Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto la funzione funzioni dispari è dispari in quanto somma algebrica di due
Seg d f x ell tervall a) Nell tervall entrambi i termini della somma algebrica sono positivi, quindi f(x) è positiva. Basta, in proposito, osservare che b) c) Nell tervall il segno di f(x) coincide con quello di ta, essendo nel suddetto intervallo. Osserviamo che la misura in radianti di un angolo del primo quadrante è uguale alla lunghezza del corrispondente arco (rettificato) sulla circonferenza di raggio unitario, mentre ta corrisponde al segmento AT, appartenente alla retta tangente alla stessa circonferenza nel punto A ( Fig. 1) Fig.1 Poiché la misura di AT è maggiore della misura dell arco, possiamo affermare che ta ell tervall Possiamo quindi affermare che
Esistenza di un solo zero nell intervallo Si sa che Osserviamo che, mentre Essendo f(x) continua, per il teorema di esistenza degli zeri ammette uno zero nell intervallo questo zero non cade agli estremi dell intervallo e Possiamo quindi affermare che esiste un valore,, tale che Per verificare che lo zero è unico, studiamo la monotonia di f(x) in derivata attraverso il segno della che ha lo stesso segno di nell intervallo considerato. Pertanto Essendo monotona, non può ammettere più di uno zero nell intervallo considerato. Grafico di f(x) nell intervallo La funzione è definita in R ma se ne chiede il grafico in un intervallo limitato. Osserviamo comunque che,se = = e quindi, essendo f(x) una funzione dispari Calcoliamo il valore di f(x) agli estremi dell intervallo Riprendiamo lo studio del segno della derivata che, per, ha gli stessi zeri e lo stesso segno di. Gli zeri corrispondono a 0 + - + - +
I massimi relativi interni all intervallo sono I minimi relativi interni all intervallo sono sono Considerando la restrizione di f(x) all intervallo si può dire che agli estremi dell intervallo cadono il minimo assoluto e il massimo assoluto. Per conoscere l effettiva natura dei suddetti punti è opportuno estendere lo studio della funzione all intero dominio. Per, come è stato osservato, f (x) ha gli stessi zeri e lo stesso segno di e quindi l andamento è analogo a quello osservato nell intervallo. Per studiare l andamento per x<0 si tiene conto del fatto che f(x) è una funzione dispari. La derivata, invece, è una funzione pari, quindi è positiva sia in un intorno destro che in un intorno sinistro di x=0, quindi f(x) è crescente in un intorno completo di 0. Per x>0 f(x) ha infiniti punti di massimo relativo di coordinate con infiniti punti di minimo relativo di coordinate con per x<0 ha infiniti punti di minimo relativo di coordinate con infiniti punti di massimo relativo di coordinate con In x=0 si ha un punto di flesso Tra due estremi relativi consecutivi cade uno zero della funzione Tra due zeri consecutivi cade un estremo relativo
GRAFICO di f(x).. La porzione di grafico a tratto continuo è la restrizione all intervallo 2.Calcolo di Determiniamo ora con il metodo di integrazione per parti x = +c pertanto
Verifica della disuguaglianza Nell intervallo è poiché è monotona crescente nell intervallo e inoltre Di conseguenza la funzione è monotona crescente nello stesso intervallo, con dove il segno di uguaglianza vale solo per, quindi dx f x dx
3. Verifica delle identità a) x x Essendo 1 b) x x Essendo 1
4. I massimi e i minimi di L andamento della funzione si deduce facilmente da quello di. a) Essendo una funzione dispari, è una funzione pari b) Le due funzioni hanno la stessa monotonia negli intervalli in cui e hanno monotonia invertita negli intervalli in cui c) La funzione è derivabile in R e la sua derivata è uguale a quindi i suoi estremi relativi vanno cercati tra gli zeri di ) Gli zeri di ) sono i valori e corrispondono, escluso x=0, agli estremi relativi di f(x) le cui coordinate sono state determinate nel punto 1. Essi sono tutti massimi relativi per, in virtù della proprietà b), di coordinate Appartengono pertanto alla parabola di equazione Gli zeri di sono anche zeri di e sono, per quest ultima, punti di minimo ( punti in cui il grafico è tangente all asse x e, nel cui intorno, è situato al di sopra di esso ) ; appartengono tutti alla retta di equazione.