Restrizioni lineari nel MRLM: esempi

Restrizioni lineari nel MRLM: esempi Eduardo Rossi 2 2 Università di Pavia (Italy) Maggio 2013 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 1 / 22

Funzione di produzione Cobb-Douglas Esempio GDP Messicano: 400000 GDP Messicano 350000 300000 GDP 250000 200000 150000 100000 1956 1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 2 / 22

Funzione di produzione Cobb-Douglas Funzione di produzione economia messicana Modello teorico: La funzione di produzione Cobb-Douglas per l economia messicana nel periodo 1955-74. Funzione di produzione Cobb-Douglas: Y = AK α L β Y output K capitale L lavoro Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 3 / 22

Funzione di produzione Cobb-Douglas Modello di regressione lineare Prendiamo i logaritmi: ln Y t = β 1 + β 2 ln L t + β 3 ln K t + ɛ t t = 1,..., 20 Campione: 1955 1974 (T = 20) Variabile dipendente: ln Y t Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value const 1,6524 0,6062 2,7259 0,0144 ln L t 0,3397 0,1857 1,8295 0,0849 ln K t 0,8460 0,0933 9,0625 0,0000 Media var. dipendente 12,22605 SQM var. dipendente 0,381497 Somma quadr. residui 0,013604 E.S. della regressione 0,028289 R 2 0,995080 R 2 corretto 0,994501 F (2, 17) 1719,231 P-value(F ) 2,41e 20 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 4 / 22

Funzione di produzione Cobb-Douglas Rendimenti costanti di scala Nel periodo 1955-72 l economia messicana è stata caratterizzata da rendimenti costanti di scala? α + β = 1 Nel modello di regressione lineare questa ipotesi corrisponde a β 2 + β 3 = 1 Regressione ristretta imponendo β 2 = 1 β 3 ln Y t = β 1 + (1 β 3 ) ln L t + β 3 ln K t + ɛ t ln Y t ln L t = β 1 + β 3 (ln K t ln L t ) + ɛ t [ Y ] [ K ] ln = β 1 + β 3 ln + ɛ t t = 1,..., 20 L L t t Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 5 / 22

Funzione di produzione Cobb-Douglas Test di restrizioni lineari Variabile dipendente: ln [ Y L Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value const [ ] 0, 495 0,122 4, 061 0,001 ln K L 1, 015 0,036 28, 106 0,000 t Media var. dipendente 2,923680 SQM var. dipendente 0,198200 Somma quadr. residui 0,016629 E.S. della regressione 0,030395 R 2 0,977721 R 2 corretto 0,976483 F (1, 18) 789,9271 P-value(F ) 2,53e 16 ] t Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 6 / 22

Funzione di produzione Cobb-Douglas Test di restrizioni lineari Test F: F = ũ ũ û û n k 1 û = û q 0, 016629 0, 013604 20 3 = 3, 78 0, 013604 1 Il p-value è pari a 0.06861. Accettiamo l ipotesi di rendimenti costanti di scala. Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 7 / 22

I t i t log p t Y t t Variabili investimento reale tasso d interesse nominale tasso d inflazione prodotto reale trend Dati: 1950.1 2000.4 204 osservazioni. log I t = β 1 + β 2 i t + β 3 log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t t = 1,..., N il modello dice che gli investitori sono sensibili al tasso d interesse nominale, i t, al tasso d inflazione, log p t, all output reale (log Y t ), e ad altri fattori che hanno un trend crescente. Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 8 / 22

Stime OLS con 203 osservazioni 1950 : 2 2000 : 4 Variabile Dipendente: log I t Variabile Stima Std. Error t p-value const -9.1284 1.3650-6.6876 0.0000 i t -0.0086 0.0032-2.6906 0.0077 log p t 1.32248 0.9348 1.4147 0.1587 log Y t 1.93016 0.1833 10.5316 0.0000 t -0.0057 0.0015-3.8030 0.0002 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 9 / 22

Modello investimentto Media campionaria della y 6,30947 Deviazione standard della y 0,599625 SSR 1,47057 Standard error dei residui (s) 0,0861806 R 2 0,979752 R 2 0,979343 F (4.198) 2395,23 Statistica Durbin-Watson 0,213960 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 10 / 22

t(198,.025) = 1,972 Variabile Stima Intervallo di confidenza 95% const -9,12843 (-11,8202;-6,4367) i t -0,00859785 (-0,0149;-0,0022963) log Y t 1,93016 (1,5687; 2,2916) log p t 1,32248 (-0,5200;3,1659) t -0,00565889 (-0,008593;-0,002725) Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 11 / 22

7.5 Fitted Actual Actual and Fitted 7 6.5 log_i 6 5.5 5 1950 1960 1970 1980 1990 2000 log(i)_t Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 12 / 22

0.4 Residuals 0.3 0.2 Residual 0.1 0-0.1-0.2-0.3 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 13 / 22

4 Ellisse di confidenza al 95% e intervalli marginali al 95% 3.5 3 2.5 ld_cpi_u 2 1.5 1 1,93, 1,32 0.5 0-0.5-1 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 log_y Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 14 / 22

Se gli investitori rispondono solo a variazioni dei tassi d interesse reali, nell equazione log I t = β 1 + β 2 i t + β 3 log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t t = 1,..., n ciò implica che Dobbiamo verificare β 2 + β 3 = 0. H 0 : β 2 + β 3 = 0 H 1 : β 2 + β 3 0 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 15 / 22

Con errori omoschedastici: H 0 : Rβ = [0, 1, 1, 0, 0] β 1. β 5 = 0 F = (R β r) [R(X X) 1 R ] 1 (R β rc) s 2 = ( β 2 + β 3 )[R(X X) 1 R ] 1 ( β 2 + β 3 ) s 2 V ar(r β r) X) = s 2 [R(X X) 1 R ] ( SE( β 2 + β 3 ) = V ar(r β X) ) 1/2 ( SE( β 2 + β 3 ) = V ar[ β2 X] + V ar[ β 3 X] + 2Cov[ β 2, β 2 X] ) 1/2 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 16 / 22

Con errori omoschedastici e gaussiani: F = ( β 2 + β 3 ) ( 2 Var[ β2 X] + Var[ β ) F (1,198) 3 X] + 2Cov[ β 2, β 2 X] with t = F 1/2 ( β 2 + = β 3 ) Var[ β2 X] + Var[ β 3 X] + 2Cov[ β 2, β 2 X] Cov[ β 2, β 2 X] = 3.718 10 6 t (198) SE( β 2, β 3 ) = (0, 00319 2 + 0, 00234 2 + 2 ( 3, 718 10 6 )) 1/2 = 0, 002866 t = ( 0, 00860 + 0, 00331) 0, 002866 = 1, 845 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 17 / 22

Stime ristrette Variabile Stima Std. Error t p-value const 7, 90275 1, 19931 6, 589 < 0, 00001 *** i t 0, 00442654 0, 00227018 1, 950 0, 05260 * log p t 0, 00442654 0, 00227018 1, 950 0, 05260 * log Y t 1, 76406 0, 160561 10, 987 < 0, 00001 *** t 0, 00440260 0, 00133078 3, 308 0, 00111 *** 1 Standard error dei residui s = 0, 0866985. 2 ũ ũ = (0, 0866985) 2 (203 4), 3 F = 3, 39913, p-value = 0, 066725, F (1, 198). Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 18 / 22

Riparametrizzazione del modello in modo tale che la statistica t prodotta dal software sia usata per verificare un ipotesi congiunta. Aggiungiamo e sottraiamo β 2 log p t log I t = β 1 + β 2 (i t log p t ) + (β 2 + β 3 ) log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t log I t = δ 1 +δ 2 (i t log p t )+δ 3 log p t +δ 4 log Y t +δ 5 t+ε t in questa regressione H 0 : δ 3 = 0 corrisponde alla nulla nel modello precedente t = 1,..., n β 2 + β 3 = 0 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 19 / 22

Variabile Stime Std.error t p-value const -9,12885 1,36496-6,688 < 0, 00001 *** log Y t 1,93021 0,18327 10,532 < 0, 00001 *** log p t -2,11721 1,14795-1,844 0,06663 * t -0,00565924 0,001488-3,803 0,00019 *** i t log p t -0,00860129 0,0031954-2,692 0,00772 *** t( ˆδ 3 ) = 1, 844 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 20 / 22

Infine, consideriamo le ipotesi congiunte: β 2 + β 3 = 0 β 4 = 1 β 5 = 0 Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 21 / 22

Variabile Stime Std.error t p-value const -2,01646 0,0107646-187,32 < 0, 00001 *** i t 0,00689615 0,00339908 2,029 0,04379 ** log p t -0,00689615 0,00339908-2,029 0,04379 ** log Y t 1 0 t 0 0 F (3, 198) = 109, 841, con p-value = 6, 59341e 042. Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 22 / 22