Capitolo 5 Sistemi di equazioni differenziali Molti problemi sono governati non da una singola equazione differenziale, ma da un sistema di più equazioni. Ad esempio questo succede se si vuole descrivere un sistema ecologico di due o più popolazioni. Consideriamo quindi un sistema di due equazioni differenziali { x f(x, y y g(x, y ( dove x x(t e y y(t sono due funzioni incognite (ad esempio le densità di due popolazioni al variare del tempo e f(x, y e g(x, y sono funzioni assegnate (che supponiamo differenziabili in una regione del piano. Un sistema di questo tipo si dice autonomo poichè le funzioni f(x, y e g(x, y non dipendono dal tempo t. Esempio 5.1. { x y y x è un sistema detto oscillatore armonico. Più in generale, { x 5x + y y x y è un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti. È utile rappresentare il sistema in forma matriciale: ( x y ( 5 ( x y Una soluzione del sistema ( è data da una coppia di funzioni x(t, y(t derivabili in un certo intervallo. In generale, le soluzioni del sistema non sono uniche ma dipendono da due costanti arbitrarie. Per determinarle, purchè valgano condizioni di regolarità per le funzioni f e g, è sufficiente fissare le condizioni iniziali, Vale cioè il 55
56 Capitolo 5 Teorema 5. (di Cauchy. Sotto opportune ipotesi di regolarità per le funzioni f e g, assegnate le condizioni iniziali x(t 0 x 0, y(t 0 y 0, esiste un unica coppia di funzioni x(t, y(t, soluzioni del sistema ( che verificano le condizioni iniziali. Esempio 5.3 (L oscillatore armonico. Abbiamo visto che un esempio di sistema omogeneo a coefficienti costanti è l oscillatore armonico: { x y y x. Ora, se deriviamo la prima equazione, troviamo e sostituendo la seconda equazione x y x x. Quest ultima è un equazione del secondo ordine a coefficienti costanti che ha come soluzione generale x c 1 cos t + c sin t. Sostituendo nella seconda equazione si trova y c 1 cos t + c sin t e quindi y c 1 sin t c cos t. Non è difficile vedere che le curve soluzione sono circonferenze. Ad esempio se la condizione iniziale è il passaggio per il punto P 0 (1, 0 si ha c 1 1, c 1 e quindi la soluzione { x cos t y sin t. che è la circonferenza di centro l origine e raggio unitario. Si noti che al variare del parametro t, ogni soluzione x x(t, y y(t descrive nel piano x, y una curva che viene detta orbita oppure traiettoria del sistema. Un punto (x 0, y 0 tale che f(x 0, y 0 0 e g(x 0, y 0 0 si dice punto stazionario o di equilibrio. Si noti che la soluzione dell equazione differenziale passante per (x 0, y 0 è (x(t, y(t (x 0, y 0. In altre parole, l orbita di un punto stazionario è il punto stesso. S. Console M. Roggero
Sistemi di equazioni differenziali 57 5.1 Il piano delle fasi Un sistema di equazioni differenziali { x f(x, y y g(x, y si può interpretare in modo fisico nel modo seguente: la coppia di funzioni (f(x, y, g(x, y definisce in ogni punto del piano un vettore e quindi descrive un campo vettoriale V. Le soluzioni (x(t, y(t possono essere interpretate come posizione di una particella al tempo t la cui velocità (x, y è data in ogni punto dal campo V. Le orbite sono quindi le traiettorie della particella. Il piano x, y viene detto piano delle fasi. Esempio 5.4. Nel caso del sistema { x x + y y 3x + y che può essere scritto in forma matriciale come ( x scriviamo alcuni vettori del campo: P P P ( 1 1 ( 0 ( 3 y ( 1 3 V V V ( x y ( 1 3 ( 1 3 ( 1 3 ( 1 1 ( 0 ( 3 ( 1 1 ( 6 ( 7 13 Se facciamo questo per un gran numero di vettori otteniamo il piano delle fasi. Il seguente disegno rappresenta il piano delle fasi e alcune traiettorie. Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.1.06
58 Capitolo 5 Esempio 5.5. Nel caso dell oscillatore armonico abbiamo il seguente piano delle fasi. { x y y x S. Console M. Roggero
Sistemi di equazioni differenziali 59 Le orbite (eccetto l orbita per l origine, che è l origine stessa sono circonferenze di centro l origine. Se consideriamo il sistema (che possiamo pensare come una lieve pertubazione dell oscillatore armonico { x 0.05x y y x 0.05y abbiamo il seguente piano delle fasi con orbite che a differenza del caso dell oscillatore armonico non sono chiuse. Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.1.06
60 Capitolo 5 5. Soluzioni di sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti Vediamo ora come si possono trovare in generale le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti { x ax + by y cx + dy che può essere scritto in forma matriciale come ( ( ( x a b x y c d y ossia: posto Z AZ, ( ( ( x Z, Z x a b y y, A. c d L idea è di operare in modo simile al caso delle equazioni del second ordine omogenee a coefficienti costanti: cerchiamo soluzioni di tipo esponenziale, cioè del tipo Z W e λt S. Console M. Roggero
Sistemi di equazioni differenziali 61 con W un vettore che scriviamo come matrice 1 (vettore colonna ( w1 W, e λ α + iβ un numero complesso. Sostituendo Z W e λt nell equazione Z AZ troviamo cioè, dividendo per e λt : w λw e λt AW e λt λw AW. Questo significa che λ è un autovalore di A e W un autovettore di A. Dunque la ricerca delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Z AZ si riduce alla ricerca degli autovalori ed autovettori della matrice A. Esempio 5.6. Consideriamo il sistema ( ( x 5 y Autovalori ed autovettori di A sono: λ 1 1, W 1 λ 6, W ( x y ( 1 ( 1.. Ogni coppia autovalore-autovettore produce una soluzione: ( ( 1 e t, e 6t. 1 La soluzione generale è una combinazione lineare delle soluzioni: ( ( 1 W c 1 e t + c e 6t, 1 con c 1 e c costanti arbitrarie. Leggendo il risultato per righe possiamo scrivere le soluzioni generali per x e y: { x c1 e t + c e 6t, y c 1 e t c e 6t. In generale, abbiamo i seguenti casi per le soluzioni di sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti: Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.1.06
6 Capitolo 5 A ha autovalori reali distinti: la soluzione generale è del tipo W c 1 W 1 e λ 1t + c W e λ t, dove λ 1 e λ sono gli autovalori, W 1 e W i relativi autovettori e c 1 e c costanti arbitrarie. A ha autovalori reali coincidenti: in tal caso possiamo avere due casi a seconda che in corrispondenza all unico autovalore λ di molteplicità, A possieda autovettori indipendenti oppure questo non avvenga. Il secondo caso è più complesso e non lo trattiamo rimandando ad esempio a [Antonio C. Capelo, Modelli matematici in biologia, introduzione all ecologia matematica, Zanichelli Decibel editore, Cap. I.5.1]. Se invece A ha autovettori indipendenti W 1 e W, la soluzione generale è del tipo W c 1 W 1 e λt + c W e λt, dove c 1 e c sono costanti arbitrarie. A ha autovalori complessi coniugati λ 1 α + iβ, λ α iβ: in questo caso gli autovettori sono W 1 ± iw e usando la formula di Eulero si vede che la soluzione generale è del tipo W c 1 e αt (W 1 cos(βt W sin(βt + c e αt (W 1 sin(βt + W cos(βt, dove c 1 e c sono costanti arbitrarie. Esempio 5.7. Consideriamo il sistema ( ( x 0 1 y 4 0 ( x y Gli autovalori della matrice del sistema A sono soluzioni dell equazione caratteristica: λ 1 4 λ λ + 4 0. e sono quindi dati da ±i. I corrispondenti autovettori sono ( 1 ±i cioè ( 1 0 ( 0 ± i. S. Console M. Roggero
Sistemi di equazioni differenziali 63 La soluzione generale è quindi: W c 1 (( 1 0 +c (( 1 0 ( 0 cos(t sin(t + ( 0 sin(t cos(t con c 1 e c costanti arbitrarie. Leggendo il risultato per righe possiamo scrivere le soluzioni generali per x e y: { x c1 cos(t + c sin(t, y c 1 sin(t + c cos(t. Notiamo che possiamo scrivere le equazioni delle orbite in modo più espressivo quadrando ed eliminando il tempo t tra le equazioni: +, x y c 1 cos (t + c 1 c sin(t cos(t + c sin (t 4c 1 sin (t 8c 1 c sin(t cos(t + 4c cos (t Moltiplicando la prima equazione per 4 e sommando le due equazioni, troviamo 4x + y 4(c 1 + c, che rappresenta l equazione di un ellisse. Dunque, in questo caso le orbite sono ellissi, come si vede dalla seguente figura, che mostra il piano delle fasi e alcune orbite. Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.1.06
64 Capitolo 5 5.3 Esercizi S. Console M. Roggero