ESERCITAZIONE 1. ALGORTIMO DI WAGNER-WHITIN

ESERCITAZIONE 1. ALGORTIMO DI WAGNER-WHITIN Alla base di questo algoritmo (e di quasi tutte le tecniche di lot sizing) si sono molte ipotesi, tra le quali le seguenti: 1. La domanda è assunta nota in ciascun periodo e si verifica all inizio dello stesso. 2. L orizzonte temporale di pianificazione è finito e composto di molti periodi di uguale lunghezza. 3. La dimensione del lotto deve includere uno o più periodi interi di domanda presi nella stessa sequenza della cronologia dell orizzonte temporale di pianificazione. 4. L intera quantità richiesta per ogni periodo deve essere disponibile all inizio dello stesso. Tutti i rifornimenti sono costretti ad arrivare all inizio del periodo (nessun rifornimento arriva nel mezzo del periodo). 5. Non ci sono sconti sulla quantità, così il costo unitario di un prodotto è costante. 6. Tutti i prodotti sono trattati indipendentemente dagli altri. 7. L intera quantità ordinata è consegnata allo stesso istante e non sono consentite carenze e stock out. 8. I prodotti richiesti in un periodo sono trattati dal magazzino all inizio del periodo. Così il costo di mantenimento a scorta è applicato solo alle scorte che vengono tenute in magazzino almeno tra un periodo ed il successivo. I prodotti consumati durante un periodo non generano costi di mantenimento. 9. Il costo di magazzino (costo di ordinazione e costo di mantenimento) e i lead time sono conosciuti con certezza e sono costanti. 10. Gli ordini messi all inizio di un periodo sono considerati disponibili in tempo da supplire alle richieste di quel periodo (zero lead time). Questa ipotesi non è una limitazione gravosa, perché nel caso di lead time diverso da zero basta spostare l ordine indietro nel tempo della stessa quantità del lead time. 11. Non ci sono previsioni/disposizioni sul magazzino oltre l orizzonte temporale di pianificazione (ipotesi che la domanda oltre l orizzonte temporale di copertura sia zero). 12. La giacenza iniziale è zero. Se non lo fosse, deve essere sottratta alla domanda richiesta nel primo periodo e ottenere così una richiesta netta per quel periodo. Se la giacenza iniziale è superiore alla domanda del primo periodo, questo processo di aggiustamento prosegue fino all esaurimento della stessa. L algoritmo di Wagner-Whitin è una applicazione di programmazione dinamica che trova una soluzione ottima di minimo costo. Lo sforzo computazionale, spesso notevole per risolvere problemi di programmazione dinamica, è in questo caso molto ridotto dalla considerazione

(derivata appunto Wagner e Whitin) che la soluzione ottima del problema deve possedere le seguenti proprietà: 1. Un riempimento ha luogo solo quando il livello di inventario è nullo; 2. C è un limite superiore al numero di periodi di anticipo dell ordine di una quantità dj rispetto al periodo j in cui viene richiesta (alla fine i costi di mantenimento a scorta sarebbero troppo elevati rispetto ai costi di ordinazione o setup) L algoritmo consiste nei 3 seguenti step: dove: 1) Calcolo della matrice del costo variabile per tutte le possibili alternative di ordine per un orizzonte temporale di N periodi. Il costo variabile totale include il costo di mantenimento e il costo di ordinazione. Viene definito Z ce come il costo variabile nei periodi da c ad e, con ordinazione effettuata nel periodo c e che soddisfa le richieste nei periodi da c ad e. cl = costo ordinazione, Z ce = c! + mp (Q!"!!!! 1 c i e N m = tasso di costo mantenimento scorte per periodo, P = prezzo unitario di acquisto, Q ce= Σ e k=c FN(k) FN(k) = domanda nel periodo k. Q!" ) 2) Si definisce f e come il costo minimo possibile nei periodi da 1 a e, dato che il livello di inventario alla fine del periodo e è zero. L algoritmo comincia con f0=0 e calcola in ordine f1,f2,...,fn. F e è calcolato in ordine crescente usando la seguente formula: f e =min (Z ce +f c-1 ) In altre parole, per ogni periodo tutte le combinazioni alternative di ordinazione e di strategie complementari fe sono confrontate. La migliore (a minor costo) combinazione è salvata come la strategia fe che soddisfa le richieste per i periodi da 1 ad e. Il valore di fn è il costo totale dello schema ottimale. 3) Per trasformare la soluzione ottima (fn) ottenuta dall algoritmo in quantità da ordinare, si applicano le seguenti formule: f N =Z wn +f w-1

f w-1 =Z vw-1 +f v-1...... f u-1 = Z 1u-1 + f 0 L ordine finale avviene nel periodo w ed è sufficiente a soddisfare la domanda dei periodi da w ad N. L ordine prima dell ordine finale si verifica nel periodo v ed è sufficiente a soddisfare la domanda nei periodi da v a w-1. Il primo ordine è nel periodo 1 ed è sufficiente a soddisfare la domanda nei periodi da 1 a u-1. 2. Esercizio 1 Un prodotto ha un costo di ordinazione di 110, un costo del prodotto di 80 / pezzo ed un tasso di mantenimento del 15%/ anno. Si consideri la seguente tabella per i fabbisogni dei singoli mesi Tabella 1: Domanda [pezzi/mese] Mese 1 2 3 4 5 6 Fabbisogno 100 120 100 110 150 100 Si determini: (i). il piano di produzione ottimo applicando il modello di Wagner-Whitin; (ii). si calcoli il costo del piano Per implementare l algoritmo bisogna costruire la matrice del costo variabile totale per tutte le possibili alternative, ovvero bisogna determinare i valori Zce: p*m= 0,15/12 *80 = 1 Z11 = 110 +1 (100-100)=110 Z12 = 110 +1 [(220-100) + (220-220)] = 230 Z13 = 110 +1 [(320-100) +(320-220) + (320-320)] = 430 Z14 = 110 + 1[( 430-100) +(430-220) + (430-320) + (430-430)] = 760 Z15 = 110 + 1[(580-100) +(580-220) +(580-320) +(580-430) + (580-580)] =1360 Z16 = 110 + 1[(680-100) + 8680-220) + (680-320) + (680-430) + (680-580) + (680-680)] = 1860 Z22 = 110 + 1 (120-120) = 110 Z23 = 110 +1 (220-120) +(220-220)]= 210 Z24 = 110 +1[(330-120)+(330-220)+(330-330)]=430 Z25 = 110 +1[(480-120)+(480-220)+(480-330)+(480-480)]= 880 Z26 = 110 +1[(580-120)+(580-220)+(580-330)+(580-480)+(580-580)]= 1280

Z33= 110 +1(100-100)= 110 Z34= 110 +1[(210-100)+ (210-210)]= 220 Z35= 110 +1[(360-100)+(360-210)+(360-360)]= 520 Z36= 110 +1[(460-100)+(460-210) + (460-360)+ (460-460)]= 820 Z44= 110 +1(110-110)= 110 Z45 =110 +1 [(260-110) +(260-260)]= 260 Z46= 110 +1[(360-110)+(360-260)+(360-360)]= 460 Z55= 110+1(150-150)= 110 Z56= 110+1[(250-150)+(250-250)]= 210 Z66= 110+1(100-100)=110 Tabella 2: Matrice dei costi Zce c/e 1 2 3 4 5 6 1 110 230 430 760 1360 1860 2 110 210 430 880 1280 3 110 220 520 820 4 110 260 460 5 110 210 6 110 Si determina il costo minimo possibile nei periodi da 1 a e: f e = min (Zce + f c-1 ) f0= 0 f 1 = min ( Z11+f0) =110+0= 110 F 2 = min (Z12+f0; Z22+f1)= (230+0; 110+110)= 220 Per Z11 +f0 Z22 +f1 F 3 = min (Z13+f0; Z23 +f1; Z33+ f2)=(430+0; 210+110; 110+220) = 320 Z23+ f1

F 4 = min (Z14+f0; Z24+f1; Z34+f2; Z44+f3)= (760+0; 430+110; 220+220; 110+320)= 430 Z44 +f3 F5= min (Z15+f0; Z25+f1; Z35 +f2; Z45 +f3; Z55+f4)= (1360+0; 880+110; 520+220; 260+320; 110+430)= 540 Z55+f4 F6= min (Z16+f0; Z26+f1; Z36+f2; Z46+f3; Z56+f4; Z66+f5)= (1860; 1280+110; 820+220; 460+320; 210+430; 110+540)= 640 Z56 + f4 Tabella 3: Matrice dei costi totali variabili Zce + f i 1 2 3 4 5 6 1+ f 0 110 230 430 760 1360 1860 2 + f 1 220 320 540 990 1390 3 + f 2 330 450 730 1030 4 + f 3 430 580 780 5 + f 4 540 640 6 + f 5 650 La ricostruzione del piano viene effettuata back-ward, ossia partendo dall ultimo periodo dell orizzonte temporale N risalendo fino al primo, scegliendo di volta in volta la soluzione ottima per il periodo considerato. Nel caso specifico: - f 6 = f N ->combinazione di Z56 +f 4 la politica ottima fino al periodo 6 è produrre nel periodo 5 + scegliere la politica ottima fino al periodo 5; significa che l ultimo ordine di replenishment è eseguito nel periodo 5 per coprire le domande del periodo 5 e 6 ( d5+d6= 250) - f4 è combinazione di Z44 e f3, quindi al periodo 4 si emette l ordine solo per coprire la produzione di 4 (d4=110) - f3 è combinazione di Z23 e f1 quindi si emette un ordine al periodo 2per coprire la domanda di 2 e 3 pari a 220 - f1 è combinazione di Z11 +f0, quindi l ordine al periodo 1 pari a 100 Mese 1 2 3 4 5 6 Fabbisogno 100 120 100 110 150 100 Quantità D1 D2+d3 D4 D5+d6 - ordinata 100 220 110 250 -

Il costo del piano ottimo di produzione è f6= 640 (iii). Se la capacità mensile è limitata a 240 pezzi, si determini un piano fattibile a partire da quello calcolato al punto precedente e se ne calcoli il costo. Il piano ottenuto non è fattibile; per renderlo tale al mese 5 è necessario produrre solo ed esclusivamente il quantitativo che soddisfa la domanda del periodo in corso mentre i pezzi restanti devono essere realizzati nel periodo 6. Mese 1 2 3 4 5 6 Fabbisogno 100 120 100 110 150 100 Quantità D1 D2+d3 D4 D5 - ordinata 100 220 110 150 100 Costo del piano di fattibilità= Costo lancio ordine + Costo di mantenimento a scorta= N ordini * costo ordine + costo mantenimento * scorta= 5* 110 + 1* 100= 650 3. Esercitazione a casa La D&G srl è un azienda commerciale che acquista e rivende prodotti per l illuminotecnica; tra questi spicca il codice X11, un faretto alogeno. Si vuole applicare il modello di Wagner-Whitin per calcolare il piano di approvvigionamento del prodotto X11 per il prossimo anno ed il costo ad esso associato. La domanda di X11 è nota deterministicamente per i prossimi sei bimestri: pezzi/bimestre bimestre 1 2 3 4 5 6 Fabbisogno 200 150 90 80 100 120 Sono inoltre note le seguenti informazioni: - il fornitore di X11 effettua una consegna franco fabbrica; la D&G quindi deve provvedere al trasporto dei prodotti fino al proprio stabilimento, trasporto affidato ad una società terza la quale, ad ogni uscita, richiede una commissione di 100 euro (la commissione è fissa e non dipende dal numero di pezzi); - una volta che un lotto di X11 arriva in D&G ne viene prelevato un campione; i faretti campionati vengono sottoposti ad un rigido controllo qualità che impiega anche un tecnico di una società esterna che costa alla D&G 25$/ ora; il controllo qualità dura 4 ore; - il costo di acquisto di X11 è di 100 $/pezzo - il costo opportunità per immobilizzo finanziari è pari al 12%/anno.

4. Least Unit Cost costo minimo unitario È un metodo che permette di raggruppare progressivamente i fabbisogni relativi a ciascun prodotto fino a determinare il lotto Q cui corrisponde il valore minimo del costo unitario: CU = (Cl+ Cm)/ Q Cl= costo totale di ordinazione Cm= costo totale di mantenimento!! Cm = Cum [!!! t 1 FN(t) ] Cum= costo unitario di mantenimento; FN(t)= fabbisogno netto!! Q= FN(t)!!! Dove con t si è indicato l istante di tempo in corrispondenza del quale risulta:!!!! (Cl + Cum [!!! t 1 FN(t) ] )/!!! FN(t) = min! ESERCIZIO Si consideri un problema di gestione delle scorte in cui l orizzonte temporale è di un anno suddiviso in 12 periodi mensili con una domanda distribuita secondo quanto indicato in tabella: periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tot Domanda FN(t) 50 0 30 0 20 10 0 10 0 40 20 20 200 Si ipotizzi che il costo di ordinazione sia di 100 euro ed il costo di mantenimento unitario della scorta sia di 0,5 euro/mese. SI DETERMINI LA POLITICA DI APPROVVIGIONAMENTO CONSIDERANDO LA TECNICA DEL LEAST UNIT COST t Q= Σ FN(t) CU= (Cl+Cm)/Q 1 50 100 +0,5(50*0)/50= 2 2 50 100 + 0,5( 0*1 + 50*0)/50= 2 3 80 100 +0,5( 30*3+0*1+50*0)/8 = 1,625 4 80 100+0,5(0*3+30*2+0*1+50*0)/80= 1,625 5 100 100 +0,5(20*4+0*3+30*2+0*1+50*0)/100= 1,7 5 20 100+ 0,5(20*0)/20=5 6 30 100+ 0,5 (10*1+20*0)/ 30=3,5 7 30 100+0,5(0*2+10*1+20*0)/30= 3,5 8 40 100+0,5(10*3+0*2+10*1+20*0)/40= 3 9 40 100+0,5( 0*4+10*3+0*2+10*1+20*0)/40=3 10 80 100+0,5(40*5+0*4+10*3+0*2+10*1+20*0)/80=2,75

11 100 100+0,5(20*6+ 40*5+0*4+10*3+0*2+10*1+20*0)/100= 2,8 11 20 100 +0,5(20*0)/20=5 12 40 100+0,5(20*1+20*0)/40= 2,75 LOTTO PERIODI QUANTITA COSTO (U) CTOT COPERTI CUL CUM CUTOT 1 1,2,3,4 80 100/80=1,25 0,375 1,625 130 2 5,6,7,8,9,10 80 1,25 1,5 2,75 220 3 11,12 40 2,5 0,25 2,75 110 TOT= 460 5. Least total cost Determina il quantitativo da ordinare confrontando la possibilità di ordinare un quantitativo pari alla domanda relativa ad un numero crescente di periodi consecutivi (1, 2, 3,...). Questa tecnica sceglie la dimensione del lotto e l intervallo dell ordine per i quali si eguagliano il costo unitario di allestimento/ordinazione e il costo unitario di mantenimento. La dimensione del lotto aumenta con il periodo di copertura a meno che non si incontrino periodi con domanda nulla: per esempio la dimensione del lotto non varia se si decide di coprire il solo periodo 1 o i periodi 1 e 2 perché la domanda del periodo 2 è nulla. Nei calcoli de LTC utilizziamo l ECONOMIC PART PERIOD-EPP, è un unità di scorte detenuta per un periodo di tempo, con costi di mantenimento uguali ai costi di allestimento/ordinazione. Riprendiamo l esercizio precedente: l EPP sarà pari a 200 pezzi, perché per questa quantità Cl=Cm (100= 0,5*200). periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tot Domanda FN(t) 50 0 30 0 20 10 0 10 0 40 20 20 200 t Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tot giacenze 1 50 0 0 2 50 0 0 0 3 80 30 30 0 60 4 80 30 30 0 0 60 5 100 50 50 20 20 0 140

6 110 60 60 30 30 10 0 190 7 110 60 60 30 30 10 0 0 190 8 120 70 70 40 40 20 10 10 0 260 t Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tot giagenze 8 10 0 0 9 10 0 0 0 10 50 40 40 0 80 11 70 60 60 20 0 140 12 90 80 80 40 20 0 220 Quindi abbiamo 2 lotti: 1 lotto copre i periodi da 1 a 7 ed è pari a 110 pezzi (d1+d3+d5+d6) 2 lotto copre i periodi da 8 a 12 ed è pari a 90 pezzi (d8+d10+d11+d12) periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tot Domanda FN(t) 50 0 30 0 20 10 0 10 0 40 20 20 200 Ordine 110 - - - - - - 90 - - - - 200 Giacenza 60 60 30 30 10 - - 80 80 40 20-410 C tot (LTC) = n ordini*c l + C m = 2*100 + 0,5*410 = 405 Il costo totale secondo la tecnica LTC è inferiore al costo totale secondo la tecnica LUC (= 460) a parità di costo di ordinazione. 6. Classificazione ABC e curve di Pareto Nei casi reali le materie prime e/o i semilavorati da utilizzare nel processo di produzione, in genere indicati con i termini prodotti o articoli (items), possono essere di numero molto elevato (centinaia o migliaia). Non tutti gli articoli, però, hanno lo stesso valore e sono utilizzati nelle stesse quantità. Per gestire una complessità di tal genere occorre un approccio in grado di discriminare tra le diverse categorie di prodotti, in modo che ognuno di essi sia oggetto di una gestione appropriata alla sua importanza. Gli articoli che hanno un valore di utilizzo molto elevato vanno assoggettati ad un controllo più intenso, mentre quelli che hanno un basso valore di utilizzo non necessitano di un controllo così rigoroso. Per questa ragione è opportuno dividere l insieme degli articoli in categorie, sulla base delle quali impostare diverse politiche di gestione e di controllo. Il sistema di classificazione si basa sul principio, riscontrato in una vasta casistica, che le operazioni più significative di acquisto e/o vendita fanno riferimento ad un numero limitato di articoli. In genere, una percentuale relativamente limitata della gamma complessiva di articoli a magazzino

incide sostanzialmente sul valore di utilizzo complessivo. Questo fenomeno è noto come legge di Pareto, da cui il nome classificazione di Pareto o ABC. Questa classificazione, largamente utilizzata, prevede la suddivisione degli articoli in tre gruppi (A,B,C) sulla base della loro importanza relativa. Si considerino, per ciascun articolo i, i seguenti parametri: q i vı v i = vı qi Articoli entranti in magazzino in un certo periodo (es. anno) Valore medio di un articolo nel periodo di riferimento Valore totale medio dei q i articoli Gli articoli si ordinano secondo il valore totale decrescente ( v i v i+1 ); sulla base di questo ordinamento, si definisce il valore totale cumulato vc i = Σ j i v j Il valore totale cumulato percentuale dell articolo i (vc% i ), invece, è dato da vc% i = vc i /vc n *100 se n è il numero totale di prodotti. Se si introducono due valori v a e v b, apparterranno al gruppo A tutti gli articoli tali che 0 vc%i va, al gruppo B gli articoli che va vc%i Vb, e al gruppo C gli articoli rimanenti (tali, cioè, che vb vc%i 100). Ponendo ad esempio va=70% e vb =90% gli articoli del gruppo A rappresentano il 70% del valore totale mentre quelli del gruppo B incidono per un ulteriore 20%. La scelta va e vb non è rigida.

Se poniamo va=80% e vb=90%, si ha che gli articoli 1-5 appartengono ad A, quelli 6-9 al gruppo B e quelli 10-20 al gruppo C.

ESERCIZIO L azienda P&P analizza i consumi di alcuni componenti che vengono regolarmente acquistati da un fornitore per la produzione del proprio prodotto di punta C&C. In tabella sono riportati i dati relativi a tali articoli CODICE CONSUMO TOTALE ANNUO (PZ/ANNO) COSTO UNITARIO ( /PEZZO) DEV. STANDARD MENSILE A001 390 13 23 20 A002 1400 8 45 20 A003 1800 25 52 15 A004 750 45 30 15 A005 200 62 15 20 Tot= 4540 TEMPO APPROV. (GG) Si effettui una classificazione a valore e quantità dei codici in questione adoperando la tecnica di Pareto, dividendoli in due classi (A e B rispettivamente) e adoperando come soglia di riferimento l 85%. CLASSIFICAZIONE A QUANTITA CODICE CONSUMO TOT %TOTALE %CUMULATO TOTALE CUMULATO A003 1800 1800 0,4 0.4 A002 1400 3200 0,31 0.71 A004 750 3950 0.16 0.87 A001 390 4340 0,08 0.95 A005 200 4540 0.05 1 ALLA CLASSE A APPARTENGONO I PRODOTTI A003 E A002 ALLA CLASSE B APPARTENGONO I PRODOTTI A004, A001 E A002

CLASSIFICAZIONE A QUANTITA' 100,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% A CLASSIFICAZIONE A VALORE Valore= costo * consumo A001= 13*390= 5070 A002= 8*1400= 11200 A003= 25*1800= 45000 A004= 45*750= 33750 A005= 62*200= 12400 B % CUMULATA CODICE VALORE VALORE TOT %TOTALE %CUMULATO TOTALE CUMULATO A003 45 000 45 000 0,42 0.42 A004 33 750 78750 0,31 0.73 A005 12400 91150 0.12 0.85 A002 11200 102350 0,10 0.95 A001 5070 107420 0.05 1 ALLA CLASSA A APPARTENGONO I PRODOTTI A003, A004 E A005 ALLA CLASSE B APPARTENGONO I PRODOTTI A002 E A001

ESERCITAZIONE LUC E LTC Determinare il numero e l entità dei lotti di fabbricazione del prodotto il cui fabbisogno netto è indicato nella seguente tabella: periodo (settimane) Fabbisogno netto FN(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 15 25 10 10 70 35 15-40 10 Sia: Cum =1 euro/settimana Cl= 100 euro Si determini: la politica di approvvigionamento considerando la tecnica del Least Unit Cost (LUC) la politica di approvvigionamento considerando la tecnica del Least Total Cost (LTC) si effettui un confronto tra i costi totali di gestione che si ottengono dalle politiche di approvvigionamento calcolate con le due tecniche.