IL PROBLEMA DELLE SCORTE Un problema di Ricerca Operativa, di notevole interesse pratico, è il problema della gestione delle scorte, detto anche di controllo delle giacenze di magazzino. Esso riguarda ogni impresa che impiega materie prime, di cui deve rifornirsi e di cui deve conservare scorte in magazzino. In base al consumo di tali materie prime, al costo di ordinazione e ai costi di magazzinaggio, l impresa deve decidere la quantità ottima da ordinare ogni volta e, di conseguenza, il numero di ordinazioni da effettuare in un certo periodo di tempo, afinchè il costo totale sia minimo. Notiamo che, considerando i costi fissi delle ordinazioni, risulta più conveniente aumentare la quantità di ciascun ordine, e quindi ridurre il numero delle ordinazioni, soprattutto se il fornitore concede sconti su acquisti di importo maggiore, mentre, considerando i costi di magazzinaggio, risulta più conveniente avere meno scorte e quindi fare più ordinazioni. Pertanto, gestire il problema delle scorte significa attuare quella politica di approvvigionamento che rende minimo il costo totale ottenuto dalla sommatoria dei costi di ordinazione, di magazzino e di acquisto del materiale. Per studiare questo problema, è necessario fare alcune semplificazioni, diversamente il problema delle scorte sarebbe un problema di scelta in condizioni di incertezza, cioè dobbiamo supporre che: 1. I tempi di consegna siano nulli, cioè le consegne avvengano subito dopo l ordinazione, rendendo possibile effettuare quest ultima al momento dell esaurimento delle scorte. 2. Il consumo sia costante per ogni unità di tempo, cioè la quantità di materie prime ordinata sia sempre la stessa e le ordinazioni vengano fatte ad intervalli regolari. 3. I prezzi di acquisto non subiscano variazioni nel tempo, cioè non influenzino l acquisto di maggiori o minori quantità di merce. In base a tali ipotesi, indicando con la quantità di merce (materia prima) da ordinare ogni volta, all inizio del periodo arriva la merce ordinata. Avendo supposto un consumo uniforme nel tempo, il livello della scorta decresce in modo rettilineo e diventa nullo un istante prima che arriva la merce dell ordinazione successiva. La situazione si può schematizzare, in funzione del tempo, attraverso il seguente diagramma detto a denti di sega. Si tratta del grafico di una funzione periodica di periodo (il suo andamento si ripete ad ogni ), discontinua, con discontinuità di terza specie non eliminabile [infatti lim ()=,mentre lim ()=0] per =,2,3 ecc. ove presenta un salto di ampiezza.
Diagramma a denti di sega 0 2 3 / ANALISI DEL COSTO TOTALE 1. Costo di ordinazione: = Ogni ordinazione comporta una spesa che è indipendente dalla quantità ordinata ; è un costo fisso che deriva da spese di corrispondenza e trattative con i fornitori, da spese amministrative di carico e scarico, da spese legali. Nota la quantità di materia prima, occorrente in genere in un anno, è il numero di ordinazioni da effettuare nello stesso intervallo di tempo. Il prodotto ordinazione, riferito ad un anno. si chiama, appunto, costo di 2. Costo di magazzinaggio: =. Decorre dal momento dell ingresso della merce in magazzino sino al momento del prelievo e deriva dalle spese per la conservazione della merce (assicurazione contro danni o furti, sorveglianza, deperimento della merce). Esso si calcola in percentuale o proporzionalmente alla scorta media minima zero, =, media aritmetica tra la giacenza massima e prende il nome di giacenza media delle scorte in magazzino. Indicato con il costo unitario della scorta nello stesso intervallo di tempo, risulta che il costo di magazzino è proprio = 3. Costo di acquisto del materiale : è riferito ad ogni unità di merce acquistata ed è comprensivo delle spese di trasporto. Occorre distinguere il caso in cui è costante da quello in cui si prevedono riduzioni per acquisti superiori ad una certa quantità. Nel primo caso si può trascurare perché non dipende da e, detta la capacità di magazzino, il modello matematico risulta:
== + < Essendo,,,, quantità positive, il grafico del costo riguarda solo il primo quadrante dove la funzione presenta un minimo. STUDIO DELLA FUNZIONE DEL COSTO TOTALE 1 C. E. = R ; + =+ = (as.verticale dx), essendo = = ed = + = 0 = (as. obliquo) = + >0 >0-2>0 = ()=2,; = (numero di ordinazioni nel periodo ), = CASI POSSIBILI (frequenza delle ordinazioni) C/y C/y (a) (b) 0 0 1 La funzione è del tipo =+ con,>0 e prende il nome di iperbole non equilatera. Essendo una funzione somma di due, una retta per l origine = e una iperbole equilatera riferita agli asintoti =, dal prodotto costante, essa ammette un minimo quando le due funzioni sono uguali. Ponendo = si ricava = da cui, per sostituzione, si trova = + = + =2. Il procedimento seguito per determinare il minimo, ha la seguente interpretazione geometrica: Tra tutti i rettangoli di area assegnata, quello di perimetro minimo è il quadrato. Infatti, dette ed le dimensioni del rettangolo, il problema si traduce nel seguente modello: =+,soggetta al vincolo =h. Risolvendo per sostituzione: = si ha =+ e =1 da cui si ha == h. Ciò prova che il perimetro è minimo se la figura ha le dimensioni uguali e, quindi, se è un quadrato.
Dai due grafici precedenti si vede che in assenza di riduzioni di prezzo, per cui è trascurabile, il minimo si ha in se <,igura (a), mentre si ha in se >,igura (b). Invece, se è la quantità da acquistare per avere diritto ad uno sconto sul prezzo della merce il modello matematico diventa: = + + = + + << In tal caso, si possono presentare, sostanzialmente, le situazioni seguenti: / / (c) (d) 0 0 Dalla figura (c), essendo <, ed < <, si vede che il minimo si ha in perché bisogna scegliere la funzione di costo minore che è definita per,ossia nell intervallo,+,a meno del vincolo della capacità. Dalla figura (d), invece, si vede che, pure in presenza di riduzioni, non si può accedere ad esse in quanto il magazzino non lo consente, essendo << (oppure < <), per cui si ha il minimo in (oppure in se risulta < ),dovendo considerare la funzione. Una variante al grafico (c) si presenta quando il minimo della funzione si trova dopo la riduzione cioè risulta < <, e questo accade se la funzione dopo continua a decrescere e raggiunge il minimo tra e, in tal caso la soluzione di minimo costo complessivo si trova proprio in e non in.