Approssmazo d curve e superfc Approssmazo d curve Il terme Computer Grafca comprede ua larga varetà d applcazo che rguardao umerevol aspett della ostra vta. U eleco esemplfcatvo d alcu de camp cu essa vee mpegata è: Il dsego della carrozzera d u autovettura oppure della fusolera d u aeroplao La vsualzzazoe delle costruzo archtettura I smulator d volo Og sorta d vdeo games Nella Computer Grafca, la parte pù rlevate rsulta essere la teora del Geometrc Modellg che forsce la metodologa per descrvere gl oggett da rappresetare sullo schermo. I prm sstem d dsego assstto dal calcolatore (CAD = Computer Aded Desg) furoo svluppat Fraca all tero della Reault e della Ctroe. L evoluzoe d tal sstem è strettamete legato a om d Perre Bézer e d Paul de Casteljau, geger, rspettvamete, alla Reault e alla Ctroe tra la fe degl a cquata e l zo degl a sessata. Ad esempo, quado u uovo modello d autovettura deve essere prodotto, l prmo compto spetta a desger qual studao l mercato, dvduao che cosa l mercato rchede quel mometo e realzzao la loro dea attraverso u modello (d arglla oppure d altro materale) che verrà po proposto alla drezoe. Dopo l approvazoe l modello vee aalzzato co sstem dgtal modo da otteere ua descrzoe "per put" la quale può essere mapolata attraverso u calcolatore co l utlzzo del Software CAD. Co l aals dgtale del modello d arglla s produce coè u eorme seme d put staccat qual devoo essere cogut medate curve e superfc teedo coto d u certo lmte per quato rguarda possl error. Durate l aals è ecessaro asscurare certe caratterstche: ad esempo le dverse curve e superfc che sarao costrute o devoo presetare protueraze oppure spgol o rchest, ma emmeo addolcre quell prevst. È per operare tale approssmazoe che soo utlzzate le curve d Bézer (e le curve B Sple) La maggoraza delle curve e superfc utlzzate CAGD (Computer aded geometrc desg) soo defte a partre da equazo parametrche razoal o polomal, coè del tpo a x c y c ove a(t), (t) e c(t) soo polom d grado a,, c rspettvamete (l grado della curva è l massmo tra a,, c), quato tal tp d fuzo soo pù faclmete utlzzal per l calcolo che le fuzo trascedet. Tuttava ache per le fuzo razoal c'è u prolema d staltà se l deomatore è u umero "pccolo"; oltre purtroppo o è tutvo l rapporto tra la forma della curva e coeffcet de tre polom. Rappresetare la curva medate polom saree pù comodo, e ad esempo s può fare medate terpolazoe, ma l grado de polom è elevato (per put l polomo terpolate ha grado 1), e ache questo o è comodo, ache se la valutazoe d u polomo u puto s può fare medate la regola d Horer: se P (x) = a x + a -1 x -1 + a - x - + + a x + a 1 x + a rsulta P () = ((( (((a + a -1 ) + a - )+ ) + a )+ a 1 )+ a. - 1 - Laura Ctr
Approssmazo d curve e superfc Esemp d terpolazoe el fle d Maple La Geometrc Modelg (GM) cosste, tra l'altro ell'otteere curve medate la coguzoe cotua d porzo d curve polomal, o ell'approssmazoe d curve medate curve polomal approssmat, aastaza prossme alle curve da determare e faclmete modfcal. I og caso, l'seme d tutt polom P (x) = ax + a1x -1 + a x - + + ax + a1x + a d grado more o uguale a costtuscoo uo spazo vettorale d dmesoe + 1, d ase {x, x 1, x,, x, x,1}. I coeffcet d comazoe leare (coè le compoet del vettore) o hao eache questo caso u sgfcato geometrco evdete. È possle camare le compoet modo che aao u sgfcato (è solo u camo d ase dello spazo vettorale), cosderado u approcco completamete dverso. Ivece d far passare la curva per put, utlzzamo put per modellzzare la curva, seza che ecessaramete c pass. Curve d Bezer Cosderamo + 1 put { } =,,, che costtuscoo ua polgoale P. Costruamo ua polgoale P 1 (t) facedo ua comazoe leare covessa de put 1 (t) = (1 t) + t 1 co =,, 1, t [,1]. ( geerale, dat vettor v ed scalar a, ua comazoe leare v co coeffcet a s dce covessa se: tutt gl a soo postv la somma d tutt gl a è 1). La polgoale appea costruta è tale che og vertce sta el segmeto che e coguge due della polgoale precedete; el dsego seguete è data ua polgoale P (lu) e le polgoal successve. : Costruamo successve polgoal P j (t), cascua co u vertce meo della precedete, co lo stesso algortmo: j (t) = (1t) j 1 + t co =,, j, t [, 1]. j 1 1 Poché og polgoale ha u vertce meo della precedete, l'algortmo terma quado s ha u puto solo (t). - - Laura Ctr
Approssmazo d curve e superfc Tale puto, al varare d t [, 1] descrve ua curva, detta curva d Bezer co polgoo d cotrollo P. L'algortmo co cu è stata costruta s chama algortmo d de Casteljau. La sequeza s può sstemare ua rappresetazoe tragolare: ella prma coloa put della prma polgoale e così va. 1 1 1 1 1 1 Tale algortmo forsce ache l'equazoe della curva, che è u'equazoe polomale e s ottee sosttuedo a rtroso var. Fatt cot, rsulta geerale: j (t) = t 1 t, t [, 1]. Il polomo è qud acora d grado per u polgoo d cotrollo formato da + 1 put, ma coeffcet d tale polomo soo dat dalle coordate de vertc del polgoo (a meo de coeffcet omal). Al varare de put, vara la polgoale e qud la curva. I polom B (t)= 1 t t soo chamat polom d Berste e rsulta qud Esemp co Maple Propretà: (t)= B, t [,1]. La curva d Bezer passa per put zal e fal del polgoo d cotrollo, per t = e t = 1 rspettvamete. Covex hull property: ua curva d Bezer è sempre coteuta ella regoe covessa delmtata da vertc del polgoo d cotrollo. Ivaraza per afftà. Se s cosdera ua trasformazoe affe del pao, che trasforma vertc d P vertc d Q, la curva d Bezer d polgoo d cotrollo Q è la trasformata della curva d Bezer d polgoo d cotrollo P (questo dpede dal fatto che le afftà coservao l rapporto d lughezze d segmet parallel). Propretà d dmuzoe: ua retta ha tersezo co ua curva d Bezer umero o superore a quello delle sue tersezo co lat del polgoo d cotrollo. Ua curva d Bezer covessa può avere u polgoo d cotrollo o covesso, ma se la curva, - 3 - Laura Ctr
Approssmazo d curve e superfc o è covessa, e qud se ha u flesso, scuramete l polgoo o è covesso. S può dmostrare che la dervata de polom d Berste è d dt 1 1 B (t)= t (1 t ) ( ) t (1 t ) e s possoo calcolare le dervate successve; s pervee a dmostrare che la dervata della curva d Bézer è acora ua curva d Bézer dove coeffcet soo dat da vettor dvduat dalla dffereza de put d cotrollo cosecutv, da cu s rcava che la curva d Bezer agl estrem è tagete a due ultm lat della polgoale e che geerale la dervata jesma e put zal dpede dagl ultm (prm) j vertc del polgoo. Se s suddvde u tervallo del parametro t due sottotervall, t [, a], t [a, 1], la curva d Bezer s dvde due curve d Bezer dello stesso grado sull'tervallo utaro. Poché parametr u e v che dvduao le due curve devoo varare [, 1], asterà porre u = t a e v = t a. La domada è: dove soo uov put d cotrollo? S può mostrare che 1 a uov put s leggoo ella taella tragolare dell'algortmo d de Casteljau: soo put della dagoale e rspettvamete put della rga asso del tragolo. Suppoamo che l dsegatore vogla defre la forma della sua curva maera pù dettaglata. Per fare cò avrà scuramete sogo d avere a sua dsposzoe u umero maggore d put d cotrollo. Il metodo che permette d otteere ua uova polgoale d cotrollo, la quale preseta u vertce pù della precedete, è chamato Elevazoe d grado, ma o c soffermeremo su tale metodo., Il cocetto d Sples Aamo detto che l'terpolazoe o è computazoalmete effcete per l'alto grado del polomo terpolate. D'altra parte, co lo stesso umero d put, ache ua curva d Bezer ha grado elevato, oltre tale curva o passa se o per due put estrem dell'tervallo. Il metodo usato per approssmare ua curva GM è u aalogo del metodo de trapez o d Smpso per l calcolo dell'tegrale defto: s suddvde l'tervallo sottotervall, s determa la curva terpolate, o la curva d Bezer, per tal put defedo così la curva a tratt. Il prolema è e put d raccordo, poché geerale la curva sarà cotua, ma d classe C, qud avrà degl spgol o volut. S dce che due curve P(t), t[t, t 1 ] e Q(u), u[u,u 1 ] s cogugoo co cotutà G 1 o soo cogute co tagete cotua se hao u estremo comue e el puto hao lo stesso vettore tagete, sa drezoe che modulo. Aaltcamete questo s ottee se P Q P(t 1 ) = Q(u ) e ( t1) ( u). t u - 4 - Laura Ctr
Approssmazo d curve e superfc Tuttava la propretà aaltca è legata alla parametrzzazoe, se s cama l parametro ua delle due curve la propretà o è coservata; poché GM è molto mportate poter camare parametrzzazoe, la defzoe è così camata: S dce che due curve P(t), t[t, t 1 ] e Q(u), u[u, u 1 ] soo cogute co tagete cotua (o co cotutà G 1 ) se: P(t 1 ) = Q(u ) P Q esste > per cu ( t1 ) ( u ). t u La codzoe > è essezale perché fa sì che l verso del vettore tagete sa lo stesso, e vedremo l parametro può essere usato per la costruzoe d curve GM. I modo aalogo s dce che due curve P(t), t[t, t 1 ] e Q(u), u[u,u 1 ] s cogugoo co cotutà G o soo cotue per curvatura se hao u estremo comue, el puto hao lo stesso vettore tagete, sa drezoe che modulo el puto hao lo stesso cercho osculatore (coè la stessa curvatura). Aaltcamete se el puto comue P(t1) = Q(u) rsulta P Q ( t1) ( u) t u e P Q ( t 1) ( u ). t u Ache questo caso, per ovvare al prolema della parametrzzazoe, la codzoe dvee: P(t1) = Q(u) P Q esste > per cu ( t1 ) ( u ) t u esste > per cu Rpredamo l dscorso. P Q Q ( t 1 ) ( u ) ( u ). t u u Stamo defedo la fuzoe terpolate o approssmate a tratt. Aamo cosderato sulla fuzoe da approssmare ua sequeza d put che la suddvde e che chamamo od. Se per cogugere od utlzzamo ua spezzata curve d grado 1 (segmet) o aamo u grado aastaza elevato per rchedere eppure la cotutà G 1. Se cosderamo ua spezzata curve d secodo grado (paraole) possamo chedere la cotutà G 1 ma o G ; per poter chedere la cotutà G servoo almeo delle cuche. Ua fuzoe F defta a tratt co polom d grado s dce ua sple se F G 1. S possoo costrure sa curve sples terpolat, sa curve sples d Bezer. Per determare delle sples d Bezer cuche soga, dat od, costrure tutt gl ulteror put d cotrollo, due per og tervallo, coè og segmeto [u, u +1 ] sarà descrtto da ua curva d Bezer d terzo grado - 5 - Laura Ctr
Approssmazo d curve e superfc passate per due od e utlzzate altr due put d cotrollo. Il segmeto d varaltà del u u parametro può essere reso utaro, come vsto precedetemete, poedo t. u u Bsoga po mporre, og odo, le tre codzo per la cotutà G. Per la G due estrem dell'tervallo devoo essere due put estrem del polgoo d cotrollo. Po soga mporre le altre due codzo medate le dervate delle fuzo cogte, utlzzado de put cogt auslar. S ottegoo delle formule rcorsve per tal put auslar D: posto = u+1 u rsulta 1 1 D= 1 E svolgere u el po' d altr cot 1 D+1= 1 Questo è l metodo usualmete usato e programm d grafca vettorale, quado s dsegao le curve che soo dcate come d Bezer; la curva passa per put dcat, altr due put servoo come put d cotrollo. B-sples A parte la dffcoltà de cot, le curve d Bezer hao l prolema che aggugedo put d cotrollo s ha u desderato aumeto del grado della curva, oltre dal calcolo delle dervate s è vsto che soo molt put d cotrollo che soo fluezat dal movmeto d uo d ess. Le curve sples d Bezer (ad esempo cuche) rspodoo al prolema d o alzare l grado, ma per trovare put d cotrollo ecessar soga rsolvere sstem o semplc. S vorreero trovare delle curve che sao fluezate solo localmete dalla varazoe de put d cotrollo e tal che l umero de put d cotrollo o flusca sul loro grado. C'è ua rsposta postva al questo, data dalle curve B-Sples. Dato l polgoo d cotrollo, la curva d Bezer è defta come comazoe leare de polom d Berste deft sul segmeto e le sples d Bezer soo fuzo defte a tratt (da u odo al successvo e che s raccordao co cotutà d orde opportuo. Le fuzo B-Sples vece soo fuzo defte gloalmete su tutta la sequeza de od, ma co polom che soo o ull solo su sottosem della sequeza de od, sempre co la codzoe che sao sples, coè che s raccordo co opportuo orde d cotutà. La defzoe (rcorsva) è la seguete. 3 3 X ( u) B ( u) Data la sequeza de od t, t1,, t-1, t, t+1,, t+ ua fuzoe -sple ormalzzata N, d orde è defta rcorsvamete come segue: 1 1 t t t 1 Per = 1 N,1(t) = altrove t t t t Per > 1 N,(t) = N, 1 N 1, 1 t t t t 1 1 =,, Tal formule s semplfcao u po' se s suppoe che od sao equspazat, e qud se t =. - 6 - Laura Ctr
Approssmazo d curve e superfc S ha: t t N,(t) = N, 1 N 1, 1 =,, 1 1 Esempo: Predamo ua sequeza uforme d od e calcolamo ua fuzoe -sple. Per = 1 N,1 (t) s ha ua fuzoe costate sull'tervallo [, + 1]. N,1 (t) = 1 t 1 altrove Per = soga usare la rcorsoe, qud t t N,(t)= N,1 N 1,1 1 1 E sosttuedo valor precedet t 1 t 1 N,(t) = t 1 t altrove È charo che cremetado s ha semplcemete ua traslazoe. Duque provamo a calcolare N,3 (t). t 3 t N,3 (t) = N, N1, 31 3 1 t t t 3t t 1 1 t N,1 N1,1 N1,1 N,1 1 1 1 1 1 t t 1 N,1 t t N1, N,1 t t 1 1 t t 1 t Qud defedola a tratt: N,3 (t) 1 t t 3 altrove No è olgatoro che od sao tutt dstt e s dmostra che la fuzoe -sple N, (t) cocde col polomo d Berste B 1 d grado 1 se la sequeza de od cotee elemet d cu prm ugual a e gl altr ugual a 1. Come polom d Berste servoo per la costruzoe delle curve d Bezer, le fuzo -sple servoo alla costruzoe delle curve -sple, che s ottegoo come loro comazoe leare: dett d, =,,, + 1 put (dett put d de Boor e vertc del polgoo d cotrollo) e - 7 - Laura Ctr
Approssmazo d curve e superfc data ua sequeza d od t, t1,, t1, t, t+1,, t+ s ha: X(t)= d N,, 1, t[t -1,t +1 ]. S mostra che la -sple o passa per due put estrem del polgoo d cotrollo, e che c soo molto pù od d quat rchest dalla defzoe; rpetedo pù volte u odo s ottee l rsultato d far passare la curva per l puto corrspodete, co evetualmete tagete, curvatura, ecc., a secoda del umero delle rpetzo. Superfc Se due superfc rappresetate forma parametrca come P(t, s), e Q(u, v), soo cogute u puto, s può pesare d defre modo aalogo a quato fatto el pao la cotutà per pao tagete tra le due superfc se el puto comue P(t *, s * ) = Q(u *, v * ) rsulta P (t *, s * Q ) = (u *, v * ), t u P (t *, s * Q ) = (u *, v * ) s v ma ache questo caso la parametrzzazoe può essere scelta modo che le lee t = t * e u = u * e aalogamete s = s * e v = v * o sao sovrapposte o o s cogugao co cotutà, per cu la codzoe da mporre è P(t *,s * )=Q(u *,v * ) P P t 1 s ove la matrce è o sgolare e sa 1 che devoo essere postv. Q 1 Q u v I modo aalogo s defsce per le superfc la cotutà per curvatura se oltre a passare per lo stesso puto ed avere lo stesso pao tagete hao ache la stessa curvatura massma e mma. Come per le curve, s possoo defre le superfc approssmat o terpolat u seme d put. L'dea è quella d vedere le superfc come otteute medate l movmeto d ua loro sezoe paa (proflo) che u movmeto rgdo (ad es. u'sometra) s muove essedo vcolata ad u'altra curva (guda). Ad esempo l paraolode perolco è otteuto cosderado due paraole co asse vertcale, ua co cocavtà verso l'alto e l'altra verso l asso, su pa perpedcolar, ua delle qual s muove per traslazoe, mateedo l vertce fssato sull'altra. Ora se l proflo è ua curva d equazoe c P( u) B ( u), ove put d cotrollo c soo costat, s modella l movmeto del proflo lugo la guda poedo c fuzoe d altro parametro v: c P( u, v) ( v) B ( u). I tale rappresetazoe la fuzoe d due varal è otteuta come prodotto (prodotto tesorale) d due fuzo d ua sola varale. - 8 - Laura Ctr
Approssmazo d curve e superfc Le superfc d Bezer s possoo costrure, attraverso u aalogo dell'algortmo d de Casteljau per lo spazo, cosderado u proflo che sa ua curva d Bezer e ua guda che sa ach'essa ua curva d Bezer; s ottee qud ua grgla d put d cotrollo. L'equazoe è della forma: m j j m j P( u, v) B ( v) B ( u), u [, 1], v [, 1] dove polom d Berste u e v o soo polom ecessaramete dello stesso grado e gl elemet della matrce j soo le coordate de put della grgla d cotrollo. La superfce passa per quattro vertc della grgla P(, ), P(, 1), P(1, ) e P(1, 1) dvduat da ecc. ed ha come pao tagete tal put quello dvduato rspettvamete da e da due put vc della grgla elle drezo d u e v ecc. I modo del tutto aalogo, sosttuedo a polom d Berste le fuzo B-sples, s ottegoo le superfc B-sples. - 9 - Laura Ctr