Fonti e strumenti statistici per la comunicazione

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1 onti e strumenti statistici per la comunicazione Prof.ssa Isabella Mingo A.A Obiettivi del corso ornire le conoscenze e le competenze necessarie per : un uso consapevole delle informazioni quantitative, che non può prescindere dalla conoscenza della complessità dei processi di produzione dei dati ad opera delle fonti statistiche nazionali e internazionali. interpretare e analizzare in senso critico tali informazioni, organizzate sempre più spesso in banche dati di grandi dimensioni disponibili on-line. Alla fine del corso lo studente avrà acquisito: le conoscenze necessarie per l'individuazione delle fonti statistiche adeguate ai propri bisogni conoscitivi. le competenze per l'uso e la rielaborazione dei prodotti statistici nell'ambito di un proprio progetto di indagine, in cui le statistiche diventano indicatori di fenomeni semplici e complessi. a.a

2 Concetti chiave Analisi dei dati statistici Prodotti statistici onti statistiche a.a Che cos è la statistica? E una scienza che ha per oggetto lo studio, mediante metodi matematici, di fenomeni collettivi suscettibili di misurazione e di descrizione quantitativa. Si basa sulla raccolta di dati riguardanti le manifestazioni individuali con cui tali fenomeni si manifestano. ornisce regole, strumenti e tecniche che consentono la raccolta e l analisi quantitativa delle caratteristiche dei fenomeni collettivi. 2

3 Che cosa sono i fenomeni collettivi? enomeni relativi a una collettività di casi singoli o a una collettività di osservazioni su un singolo caso. Richiedono un insieme di osservazioni detti individuali o singoli. Esempi di fenomeni collettivi: reddito nazionale natalità occupazione e disoccupazione soddisfazione degli utenti consumi culturali.. Le caratteristiche che ci permettono di analizzare e descrivere un fenomeno vengono denominate caratteri o variabili statistiche. enomeni collettivi semplici o complessi Sono fenomeni collettivi semplici quelli delineabili attraverso un solo carattere Es.: L età degli individui è un fenomeno completamente descritto dal carattere che misura il numero di anni che intercorrono dalla nascita al momento in cui si rileva l informazione. Sono fenomeni collettivi complessi o multivariati quelli descritti da un insieme di caratteri. Es.: Il consumo culturale degli individui è un fenomeno collettivo multivariato poiché può essere descritto considerando molti caratteri: numero di libri letti, spettacoli teatrali, cinematografici a cui si è assistito, musei visitati 3

4 Statistica descrittiva/inferenziale Statistica descrittiva ha l obiettivo di organizzare, riassumere e presentare i dati sotto forma tabellare e grafica in modo ordinato. I suoi strumenti permettono di: sistematizzare l informazione mediante distribuzioni semplici e complesse sintetizzare l informazione attraverso famiglie di indici: valori percentuali, medi, indici di variabilità, rapporti statistici, relazioni statistiche, ecc. Statistica inferenziale: Procedure, messe a punto con l'ausilio della Teoria della Probabilità, che consentono di generalizzare le osservazioni ottenute su una parte di una popolazione statistica- detta campione all intera popolazione. Si ottengono così le stime degli elementi distintivi dei caratteri che definiscono il fenomeno nella popolazione, e che vengono generalmente chiamate stime dei parametri nella popolazione. Alcuni concetti preliminari Carattere statistico: caratteristica da studiare, rilevata sulle unità statistiche. Unità statistica (u.s.): unità elementare che presenta le caratteristiche (caratteri) oggetto di studio. Popolazione statistica: insieme di u.s. omogenee rispetto ad uno o più caratteri. 4

5 Esempio: Qual è la regione italiana più estesa? Caratteristica o carattere o variabile Unità statistiche onte:istat 2011 a.a Esempio: Gli utenti di un servizio erogato dai Municipi di Roma Caratteri e unità Nella tabella seguente: - quali e quanti sono i caratteri? - quali e quante sono le unità statistiche? - qual è la popolazione di riferimento? Intervistati Municipio Sesso Cittadinanza Età Titolo di studio Reddito mensile AP 001 IX MUNICIPIO femmina italiana 30 medio superiore 1500 AP 004 IX MUNICIPIO maschio estera 41 laurea magistrale 2800 BO 005 VIII MUNICIPIO maschio italiana 52 laurea magistrale 1900 BO 007 VIII MUNICIPIO maschio italiana 73 medio inferiore 850 BO 008 VIII MUNICIPIO maschio italiana 44 medio superiore 1200 BR 018 XVII MUNICIPIO femmina estera 35 post laurea 900 BR 020 XVII MUNICIPIO femmina italiana 61 laurea magistrale 3000 L 043 IV MUNICIPIO femmina italiana 72 laurea magistrale 2800 L 079 IV MUNICIPIO maschio estera 78 medio inferiore 1100 L 085 IV MUNICIPIO maschio italiana 69 medio inferiore 750 M 001 II MUNICIPIO femmina italiana I.Mingo medio superiore

6 Unità statistica E un entità reale (persona, animale, oggetto, territorio) o virtuale (es. evento) suscettibile di misura che presenta le caratteristiche oggetto di studio. Non è necessariamente una persona fisica Es: nello studio del fenomeno «vendita di quotidiani» le unità statistiche di riferimento potrebbero essere sono le diverse Testate; Es: nello studio delle Imprese che producono automobili le unità statistiche di riferimento sono le imprese Non è necessariamente rappresentata da un singolo elemento. Es: nello studio del fenomeno relativo al consumo delle famiglie, l unità statistica di riferimento è la famiglia e quindi un insieme di individui. Termini equivalenti per indicare una unità statistica sono elemento, soggetto, oggetto, caso o individuo. Popolazione statistica L insieme di unità statistiche, omogenee rispetto ad una o più caratteri osservabili su di esse. Può essere: inita, se costituito da un numero finito di unità statistiche. Es. aziende esistenti in una certa area in un determinato periodo. Infinita, se costituita da un numero illimitato di unità statistiche, tanto che non è possibile definirne una lista compiuta. Es. pezzi producibili da una fabbrica a ciclo continuo. Reale (o empirica) quando tutte le unità della popolazione sono osservabili; Teorica (o virtuale) quando alcune unità, che potrebbero o dovrebbero far parte della popolazione statistica di riferimento, non sono rilevabili. Es. visitatori potenziali di un museo. a.a

7 Caratteri statistici Osservare o rilevare un carattere sulle u.s. significa attribuire a tali u.s. una modalità del carattere secondo determinate regole e con certi contenuti u x x rappresenta la modalità del carattere X associata all u.s. u Modalità: modi in cui un carattere si può presentare Esaustive : devono rappresentare tutti i possibili modi di essere del carattere Non sovrapposte : ogni u.s. presenta una ed una sola modalità Esempio: Caratteri e modalità Nella tabella seguente: - quali sono i caratteri? - quali sono le modalità? modalità Intervistati Municipio Sesso Cittadinanza Età Titolo di studio Reddito mensile AP 001 IX MUNICIPIO femmina italiana 30 medio superiore 1500 AP 004 IX MUNICIPIO maschio estera 41 laurea magistrale 2800 BO 005 VIII MUNICIPIO maschio italiana 52 laurea magistrale 1900 BO 007 VIII MUNICIPIO maschio italiana 73 medio inferiore 850 BO 008 VIII MUNICIPIO maschio italiana 44 medio superiore 1200 BR 018 XVII MUNICIPIO femmina estera 35 post laurea 900 BR 020 XVII MUNICIPIO femmina italiana 61 laurea magistrale 3000 L 043 IV MUNICIPIO femmina italiana 72 laurea magistrale 2800 L 079 IV MUNICIPIO maschio estera 78 medio inferiore 1100 L 085 IV MUNICIPIO maschio italiana 69 medio inferiore 750 M 001 II MUNICIPIO femmina italiana I.Mingo medio superiore

8 Tipi di caratteri (1/2) Caratteri qualitativi (mutabili statistiche) Le modalità sono espresse da attributi. E possibile associare a ciascuna modalità un numero intero che tuttavia non ha alcun valore numerico: rappresenta solo un codice convenzionale Codifica dei caratteri qualitativi: esempio Nazionalità 1= Italiana 2= Estera a.a Sesso 1= Maschio 2= emmina IdentificatiMunicipio Sesso Nazionalità Età Titolo di studio Reddito AP AP BO BO BO BR BR L L L M

9 Caratteri qualitativi : esempi Carattere Modalità Sesso M (0), (1) Stato civile Settore attività economica Titolo di studio nubile/celibe (2), coniugato (4), divorziato (6), vedovo (8) agricoltura (1), industria (2), servizi (o terziario) (3) Nessun Titolo (1), Lic. El.(2), Lic. Media inf. (3), Diploma (4), DL1 (5), DL2 (6) Dottorato (7) Statura Bassa, Media, Alta Tipi di caratteri (2/2) Caratteri Quantitativi (Variabile Statistica): modalità espresse da valori numerici. Possono essere: Discreti: le modalità sono numeri che costituiscono un insieme discreto di valori; possono, quindi, essere i numeri interi. Esempi: numero di figli, di nati, di maschi, di anziani, di imprese. Continui: le modalità possono essere tutti i numeri, anche non interi, cioè reali, compresi entro un intervallo di valori in cui il carattere è misurabile. Esempi: peso, altezza, reddito a.a

10 Caratteri, Unità, Popolazione: esempi Scopo dell indagine POPOLAZIONE UNITÀ STATISTICA CARATTERI Indagine sulle carriere degli iscritti ai Corso di Laurea triennali in Comunicazione della Sapienza di Roma Studenti iscritti ai Corsi di Comunicazione Pubblica e d Impresa e di Scienze e tecnologie della Comunicazione Studente Anno di corso, Esami sostenuti, Età, Tipo di diploma Scopo dell indagine POPOLAZIONE UNITÀ STATISTICHE CARATTERI Indagine sulla qualità della vita dei residenti nella provincia di Rieti Popolazione residente nella provincia di Rieti Persone residenti Genere, età, Professione, Reddito, Soddisfazione a.a Caratteri, Unità, Popolazione: esempi Scopo dell indagine POPOLAZIONE UNITÀ STATISTICHE CARATTERI Indagine sulle condizioni economiche dei Paesi UE Paesi dell UE Singoli Stati UE Esportazioni, Importazioni, PIL, Tasso di disoccupazione Scopo dell indagine POPOLAZIONE UNITÀ STATISTICHE CARATTERI Indagine sulle condizioni economiche delle imprese italiane Imprese italiane Singole Imprese italiane atturato, Numero dei dipendenti a.a

11 Misurazione : caratteri qualitativi Scala nominale o Mutabile Sconnessa Nessun ordine tra le modalità Date due modalità è possibile affermare solo se sono uguali o diverse Es: Sesso, Stato civile, Sett. attività economica Scala Ordinale o Mutabile Ordinata Esiste un ordine tra le modalità Date due modalità è possibile non solo affermare se queste sono uguali o diverse, ma anche stabilire un ordinamento oggettivo, specificando quale precede l altra. Mutabili rettilinee: Tit. studio, Grado militare a.a. Mutabili cicliche: Mese di nascita, Giorno della settimana di nascita Misurazione: caratteri quantitativi Esiste un unità di misura delle modalità numeriche Variabile a scala di intervalli non esiste uno zero assoluto: il valore (modalità) 0 non significa assenza di proprietà del carattere, ma indica una situazione convenzionale. Operazioni: uguale/diverso; maggiore/minore; somma/sottrazione. Esempi: Temperatura Celsius, Q.I. Variabile a scala di rapporti esiste uno zero assoluto, naturale e non arbitrario Operazioni: uguale/diverso; maggiore/minore; somma/sottrazione; moltiplicazione/divisione Esempi: Nati, Morti, Reddito, Peso a.a

12 Esempio: variabile a scala di intervalli Temperatura in gradi Celsius e arenheit =32 +1,8 x C Città C Mosca -17,8 0,0 Milano 0,0 32,0 Roma 5,0 41,0 Napoli 10,0 50,0 Palermo 20,0 68,0 Differenze di 10 gradi C corrispondono a differenze di 18 gradi Una temperatura doppia in gradi C non corrisponde al doppio in gradi In sintesi: a.a

13 Livelli di misura e operazioni logico-matematiche = o > o < + o - x o / Sconnessa si no no no Ordinale si si no no Scala intervalli si si si no Scala rapporti si si si si Classificazione gerarchica 13

14 Trasformazioni della scala di misura DA A Nominale Ordinale Scala di intervalli Scala di rapporti Nominale Introdurre parametri Introdurre parametri Introdurre parametri Ordinale Non tenere conto dell ordine Introdurre parametri Introdurre parametri Introdurre parametri Scala di intervalli Suddividere in classi e non tenere conto dell ordine Suddividere in classi Scala di rapporti Suddividere in classi e non tenere conto dell ordine Suddividere in classi Trasformazione di un carattere: da quantitativo a qualitativo ordinale, esempio Supponiamo di aver rilevato il reddito annuo lordo su un collettivo di occupati : il reddito minimo e 4000 euro, il massimo euro Si tratta di un carattere quantitativo a scala di rapporti. Può essere trasformato in una mutabile ordinale raggruppando in classi le modalità numeriche ed associando a ciascuna di esse un attributo. Le classi devono essere esaustive e non sovrapposte. [ Estremo incluso Classi di reddito [da a ) [da a ) Attributo Basso Mediobasso ( Estremo escluso [da a ) Medio [da , a35-000) Medio-alto [da a ] Alto 14

15 Trasformazione di un carattere: da qualitativo a quantitativo esempio Supponiamo di aver rilevato la mutabile ordinale titolo di studio in un collettivo di occupati, distinguendo nessun titolo, licenza elementare, media inferiore, diploma, laurea triennale, laurea magistrale. La mutabile ordinale può essere trasformata in carattere quantitativo facendo corrispondere a ciascuna modalità il numero di anni scolastici necessari per conseguire il titolo corrispondente. Modalità attributo Modalità numerica Nessun titolo 0 Licenza elementare 5 Licenza media 8 inferiore Diploma 13 Laurea triennale 16 Laurea magistrale 18 La struttura dei dati Carattere Qualitativo (mutabile statistica) Unità statistica Osservazione di uno o più caratteri Carattere Quantitativo (variabile statistica) Collettivo statistico 15

16 Tabelle di dati Tabella di dati: insieme di informazioni organizzate secondo diverse righe e diverse colonne Tabella unità x caratteri (o tabella unità x variabili o matrice dei dati) ciascuna riga è associata ad una u.s. ciascuna colonna è associata ad un carattere una cella è la realizzazione del carattere (in colonna) su una u.s. (in riga) Matrice dei dati A B C D E G H I J K M N P Q UNITA' genere LaureaNO Tesi VotoL Durata LavOggi Settore Qualifica Contratto OreLav LavAdeguato UnivOggi Solo Reddito u1 STC NO, non cerco u2 M STC SI NO 0 u3 SCPO SI SI 5 u4 STC NO, in cerca u5 M SCPO NO, non cerco u6 COOP SI u7 M COOP SI SI 2 u8 M STC SI SI 1 u9 SCPO NO, non cerco u10 STC NO, non cerco u11 M SCPO SI SI 3 u12 SCPO NO, non cerco u13 SCPO NO, non cerco u14 SCPO NO, non cerco u15 STC NO, non cerco u16 SCPO SI SI 1 u17 SCPO NO, in cerca u18 SCPO NO, in cerca u19 M SCPO NO, in cerca u20 STC NO, non cerco u21 SCPO NO, non cerco u22 M STC SI SI 5 u23 M STC NO, non cerco u24 SCPO NO, non cerco u25 M SCPO NO, non cerco u26 STC SI x 2 1 NO 2 16

17 Trasformazione delle unità statistiche La manipolazione dei dati può riguardare non soltanto i caratteri osservati, ma anche le unità statistiche che possono essere aggregate secondo criteri utili alle finalità dell indagine Si è rilevato su alcuni individui laureati alcuni caratteri, si può passare dalle unità statistiche laureati alle unità statistiche corsi di laurea SSC Mingo La tabella dei microdati Unità statistica di rilevazione Corso di laurea Conclusione del percorso di studio Voto di laurea Intervistato 1 Economia In corso 100 Intervistato 2 Economia uori corso 106 Intervistato 3 Comunicazione In corso 110 Intervistato 4 Comunicazione uori corso 104 Intervistato 5 Comunicazione uori corso 101 Intervistato 6 Ingegneria In corso 90 Intervistato 7 Ingegneria In corso

18 Trasformazione delle unità statistiche Si vuole focalizzare l analisi non tanto sui singoli laureati quanto sui corsi di laurea, per far emergere eventuali analogie e differenze in merito ai voti e alla possibilità di licenziare laureati in corso I dati statistici che si andranno ad analizzare non saranno quelli riguardanti i singoli intervistati, ma quelli ottenuti attraverso opportune elaborazioni dei microdati Queste elaborazioni danno luogo ai macrodati Dai microdati ai macrodati 18

19 Dai microdati ai macrodati: procedura I laureati sono aggregati in gruppi in base alla medesima modalità del carattere corso di laurea tanti gruppi quante sono le modalità del carattere corso di laurea unità di analisi Per gli altri caratteri si sceglie una appropriata funzione di aggregazione delle modalità che tenga conto della tipologia del carattere per la mutabile dicotomica conclusione del percorso di studio si contano, per ogni unità di analisi, i laureati in corso e quelli fuori corso per la variabile a scala di rapporti voto di laurea si calcola il voto medio alla laurea per ciascuna unità di analisi Microdati e macrodati Unità statistiche di rilevazione: unità elementari su cui vengono rilevati i caratteri danno luogo ai microdati: insieme di dati riguardanti le unità elementari Unità statistiche di analisi: unità primarie di interesse per l analisi, a cui vengono riferiti i caratteri oggetto di studio può coincidere con quella di rilevazione può riferirsi ad aggregazioni di tali unità (la famiglia, la scuola, l azienda, il corso), in tal caso danno luogo ai macrodati. 19

20 Matrice unità/caratteri o tabelle di dati Tabella ai dati: insieme di informazioni organizzate secondo diverse righe e diverse colonne Tabella unità x caratteri (o tabella unità x variabili o matrice dei dati) ciascuna riga è associata ad una u.s. ciascuna colonna è associata ad un carattere una cella è la realizzazione del carattere (in colonna) su una u.s. (in riga) Matrice dei dati microdati o macrodati La matrice unità/caratteri: esempio Da un indagine condotta ad un anno dalla laurea sui laureati nell a.a. 2016/2017 ad un corso di laurea triennale della nostra facoltà, si sono ottenuti i seguenti microdati: A B C D E G H I J K M N P Q UNITA' genere LaureaNO Tesi VotoL Durata LavOggi Settore Qualifica Contratto OreLav LavAdeguato UnivOggi Solo Reddito u1 STC NO, non cerco u2 M STC SI NO 0 u3 SCPO SI SI 5 u4 STC NO, in cerca u5 M SCPO NO, non cerco u6 COOP SI u7 M COOP SI SI 2 u8 M STC SI SI 1 u9 SCPO NO, non cerco u10 STC NO, non cerco u11 M SCPO SI SI 3 u12 SCPO NO, non cerco u13 SCPO NO, non cerco u14 SCPO NO, non cerco u15 STC NO, non cerco u16 SCPO SI SI 1 u17 SCPO NO, in cerca u18 SCPO NO, in cerca u19 M SCPO NO, in cerca u20 STC NO, non cerco u21 SCPO NO, non cerco u22 M STC SI SI 5 u23 M STC NO, non cerco u24 SCPO NO, non cerco u25 M SCPO NO, non cerco u26 STC SI x 2 1 NO 2 20

21 Distribuzione unitaria Tabella unità x variabili è una distribuzione unitaria multipla unitaria perché è rappresentata ciascuna u.s. multipla perché sono osservati più caratteri su una medesima u.s. Una sola colonna della tabella distribuzione unitaria semplice Esempio: Distribuzione Unitaria Multipla A B C D E UNITA' sesso LaureaNO Tesi VotoL Durata u1 STC u2 M STC u3 SCPO u4 STC u5 M SCPO u6 COOP u7 M COOP u8 M STC u9 SCPO u10 STC u11 M SCPO u12 SCPO u13 SCPO u14 SCPO u15 STC u16 SCPO u17 SCPO u18 SCPO u19 M SCPO u20 STC u21 SCPO u22 M STC u23 M STC u24 SCPO u25 M SCPO u26 STC Unitaria Semplice A B UNITA' sesso u1 u2 M u3 u4 u5 M u6 u7 M u8 M u9 u10 u11 M u12 u13 u14 u15 u16 u17 u18 u19 M u20 u21 u22 M u23 M u24 u25 M u26 21

22 La distribuzione Statistica di requenze Assolute Necessità di sintesi Lista delle modalità che il carattere può assumere Conteggio del numero di u.s. del collettivo considerato che presentano la singola modalità (freq. Assoluta) CARATTERE Modalità uno Modalità due Modalità kappa REQUENZE ASSOLUTE Numero di unità statistiche del collettivo considerato che presentano la modalità uno del carattere Numero di unità statistiche del collettivo considerato che presentano la modalità due del carattere Numero di unità statistiche del collettivo considerato che presentano la modalità kappa del carattere Dalla distribuzione unitaria a quella di frequenza esempio Cognome sesso età Livello soddisfaz ione Tipo albergo (categoria) Giorni permanenza Bianchi 28 basso 2 4 Alimov 52 medio 3 6 More M 19 alto 4 2 Wieser 23 alto 3 10 Lincoln M 60 medio 5 8 a.a

23 Distribuzione di frequenza assoluta Elencazione del numero delle volte che una modalità di un carattere viene osservata nel collettivo. Corrisponde alla suddivisione delle unità statistiche in sottogruppi. Sesso frequenza 3 M 2 totale 5 Livello soddisfazion e frequenza basso 1 medio 2 alto 2 Totale 5 Osservazioni: Evidenzia le caratteristiche del fenomeno Implica perdita di informazione a.a requenze assolute: la notazione X : Carattere osservato x 1, x 2,, x i,, x K : K modalità assunte del carattere X x i modalità generica x K ultima modalità Se X quantitativo x 1 < x 2 < < x i < < x K n : numero di u.s. che compongono il collettivo n 1, n 2,, n i,, n K : freq. Assol. associate alle K modalità n 1 + n n i + + n K =n Car. X REQUENZE ASSOLUTE x 1 n 1 x 2 n 2 x i x K Totale n i n K n 23

24 Esercizio 1 Data la seguente distribuzione unitaria multipla, calcolare le distribuzioni di frequenze assolute della variabile titolo di studio. Come si procede: 1. Individuare e contare le modalità della variabile titolo di studio 2. Costruire un tabella che ha: un numero di righe uguale al numero di modalità della variabile più una riga per i totali di colonna e due colonne, una per le modalità x i e una per le frequenze assolute n i 3. Se possibile, ordinare le modalità in ordine ascendente 4. Contare per ogni modalità il numero di unità statistiche e riportare il conteggio nella colonna n i 5. Sommare le frequenze assolute ottenute e controllare che il totale corrisponda al numero dei casi n della distribuzione unitaria Esercizio 1: soluzione Distribuzione di frequenza titolo di studio x i n i Medio Inferiore 3 Medio superiore 7 laurea triennale 2 laurea magistrale 8 totale (n) 20 a.a

25 Distribuzione di frequenza relativa e percentuale requenze Relative f i = n i /n si ottengono dividendo, per ogni modalità, la corrispondente requenza Assoluta n i per la Numerosità Totale del collettivo n sono sempre numeri compresi tra 0 e 1 la loro somma è sempre uguale a 1: f 1 + f f i + + f K = 1 requenze Percentuali p i = f i *100 frequenza relativa f i moltiplicata per 100 p 1 + p p j + + p K = 100 Sesso req. Assoluta n i 3 M 2 totale 5 Sesso req. Relativa f i (3/5)=0.6 M (2/5)= 0.4 totale 1 Sesso req. Percentuale p i (3/5*100)=60 M (2/5*100)= 40 totale 100 a.a Sesso Distribuzione di frequenza percentuale: esempio req. assol. 3 M 2 totale 5 Sesso req. % (3/5*100)= 60 M (2/5*100)= 40 totale 100 Sesso Sesso req. assol. 180 M 120 totale 300 req.% (180/300*100)= 60 M (120/300*100)= 40 totale 100 Attenzione: le distribuzioni percentuali implicano la perdita dell informazione sulla numerosità dei collettivi Possibile il confronto tra due o più collettivi di dimensioni diverse rispetto ad un carattere a.a

26 Esercizio 2 A partire dalla distribuzione di frequenze assolute ottenute nell esercizio 1 calcolare le frequenze relative e percentuali Come si procede: 1. A partire dalla tabella di frequenze assolute aggiungere due colonne : Una per le frequenze relative Una per quelle percentuali 2. Calcolare le freq. relative e verificare che il totale sia pari a 1 3. Calcolare le freq. percentuali e verificare che il totale sia 100 Esercizio 2: soluzione Distribuzione di frequenza titolo di studio x i n i f i p i Medio Inferiore 3 0, Medio superiore 7 0, laurea triennale 2 0, laurea magistrale 8 0, totale (n) 20 1, a.a