Diario delle Lezioni di Matematica II, Chimica Industriale

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1 Diario delle Lezioni di Matematica II, Chimica Industriale M. A. Pozio (23/06/2017) Un testo in cui sono trattati gli argomenti (e a cui ci si riferisce nel seguito con [Cap....]): M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Matematica, Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Zanichelli Ed. 1 marzo. Vedere la Nota sui numeri Complessi sulla pagina di elearning e [Cap. 1, 8]: Equazioni non risolubili e l ampliamento dai reali ai numeri complessi. Forma algebrica, modulo, forma trigonometrica dei complessi (non si è data la definizione di coniugato, né si è visto come costruire il reciproco di un numero complesso). Rappresentazione di un numero complesso sul piano complesso e significato geometrico delle operazioni di somma, moltiplicazione ed elevamento a potenza intera nei complessi. Polinomi e Teorema fondamentale dell algebra ([Cap. 1, 8, Teor. 8.2]: si parla di molteplicità delle radici, noi abbiamo considerato che una radice z possa ripetersi tante volte quanta è la sua molteplicità, cioé quante sono le volte che (z z) compare nella decomposizione del polinomio. Cenni sull estrazione di radice. 6 marzo. Esempi di equazioni differenziali del primo e secondo ordine: integrale generale e problema di Cauchy che individua una soluzione particolare. Il modello di Malthus, individuazione approssimata del tasso di accrescimento (o diminuzione, uguale alla differenza tra quello di natalità e quello di mortalità ). Uso del modello per fare previsioni. Decadimento radiattivo. Limiti del modello di Malthus e modello di Verhulst. Risoluzione di esercizi sui numeri complessi (vedere Foglio 1). 8 marzo. Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale e Teorema di esistenza ed unicità della soluzione di un problema di Cauchy Sia dato il problema di Cauchy { y = f(t, y) y(t 0 ) = y 0, dove f : I J R è una funzione C 1 (I J) e I, J R sono intervalli aperti. Allora per ogni t 0 I, y 0 J esiste un unico intervallo il piú ampio possibile I 0 I in cui esiste la soluzione del problema di Cauchy ed essa è unica. [f C 1 (I J) indica che f è continua e derivabile con derivate continue. Se f(t, y) = h(t)g(y) questo significa che sia h : I R che g : J R sono continue con derivate continue, il caso generale sarà chiaro dopo lo studio delle funzioni di piú variabili. Equazioni differenziali a variabili separabili. Soluzioni stazionarie (o di equilibrio). Previsione del comportamento delle soluzioni dallo studio del segno della derivata, come prescritto dal modello stesso. Determinazione delle soluzioni del modello di Verhulst con il metodo di separazione delle variabili. Equazioni differenziali lineari del I ordine. Risoluzione del caso omogeneo: integrale generale e soluzione di un problema di Cauchy. Un esempio. 13 marzo. [Bibliografia sulle Equazioni Differenziali (fino a questa lezione inclusa siamo arrivati ad iniziare il 3.4): Cap. 7, 1, 2, 3 ( 3.1 facoltativo, 3.3 senza dimostrazioni, 3.4 bisogna conoscere le soluzioni ma non è necessario sapere come sono state ricavate, 3.5 sostituire con gli Appunti sulle Equazioni Differenziali sulla pagina del corso, 3.6 facoltativo]] Risoluzione degli esercizi 2 e 3 del Foglio 2. Equazioni differenziali lineari del I ordine: l integrale generale del problema non omogeneo si ottiene sommando ad una soluzione particolare del non omogeneo l integrale generale del problema

2 omogeneo. Metodo di variazione delle costanti che ci permette di determinare l integrale generale del problema non omogeneo (si puó scrivere sia usando l integrale indefinito che quello con un estremo fissato e l altro variabile). L intervallo di esistenza della soluzione di y +a(t)y = b(t) è quello in cui sono continui a( ) e b( ). Risoluzione di esercizi in aula. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, quindi della forma y + a(t)y + b(t)y = c(t), dove a( ), b( ) e c( ) sono funzioni continue in un intervallo I R. La soluzione che verifica la condizione di Cauchy (o ai valori iniziali) per la funzione e la sua derivata prima in uno stesso punto t 0 I esiste unica in tutto l intervallo I. Come nel caso lineare del I ordine, anche per le equazioni lineari del II ordine l integrale generale del problema non omogeneo si ottiene sommando ad una soluzione particolare del non omogeneo l integrale generale del problema omogeneo. Ricerca delle soluzioni di un problema lineare del II ordine a coefficienti costanti omogeneo, nella forma e λt. Polinomio caratteristico. Osservazione che nel caso omogeneo, se y è soluzione, anche c y è soluzione e somme di soluzioni sono soluzioni. Calcolo dell integrale generale dell equazione omogenea per un esempio. Esempio lasciato per esercizio: risolvere il problema di Cauchy y + (sin t)y = 3 sin t, y(0) = marzo. Correzione dell esempio (lasciato la volta precedente). Integrale generale di un problema lineare del II ordine a coefficienti costanti omogeneo, qualsiasi siano le soluzioni del polinomio carateristico (reali e distinte o reali e coincidenti o complesse coniugate). Osservazione che l integrale generale del problema non omogeneo si ottiene sommando a una soluzione particolare di quello completo l integrale generale di quello omogeneo. Principio di sovrapposizione. Calcolo dell integrale particolare nel caso di termini noti che siano polinomi o esponenziali. 20 marzo. Problema lineare del II ordine a coefficienti costanti con termine noto della forma k cos(γt) o k sin(γt). Risoluzione di esercizi sulle equazioni differenziali. [ Cap. 2, 1.1]: R 2, R 3, prodotto cartesiano di insiemi. Definizione di vettore. Rappresentazione dei vettori in R 2 e in R 3. Somma tra vettori e sue proprietà. Vettore opposto. Prodotto di un vettore per uno scalare e relative proprietà. Versore. Versori degli assi. Combinazioni lineari di vettori. Osservazione che ogni vettore del piano è combinazione lineare dei versori degli assi ( i e j). Piú in generale, dati due vettori non parelleli nel piano, ogni vettore del piano è combinazione lineare di essi. Definizione di vettori linearmente dipendenti. 22 marzo. [ Cap. 2, 1.2 (senza il prodotto vettoriale per ora)]: Prodotto scalare di vettori nel piano e nello spazio: significato geometrico, proprietà e calcolo. [ Cap. 2, 2] Equazione cartesiana di una retta nel piano. Equazione parametrica di una retta nel piano, scritta a partire da un suo punto e un vettore che ne individua la direzione o da due punti. Passaggio dall equazione parametrica a quella cartesiana. Osservazione che si puó interpretare l equazione di una retta come la richiesta che sia nullo il prodotto scalare tra il vettore che congiunge un punto qualsiasi della retta a un suo punto fissato e un vettore ortogonale alla retta. Quindi, se la retta ha equazione cartesiana ax + by + c = 0, un vettore ortogonale è v = (a, b). Distanza di un punto da una retta (formula e sua giustificazione). 27 marzo. [ Cap. 2, 2] Equazione cartesiana di un piano nello spazio R 3 = R R R. Vettore normale al piano e scrittura dell equazione cartesiana come prodotto scalare nullo tra un vettore ortogonale e il vettore tra un punto fisso del piano e il punto generico. Equazione parametrica di una retta nello spazio, scritta a partire da un suo punto e un vettore che ne individua la direzione. Passaggio dall equazione parametrica a un sistema di due equazioni cartesiane di piani di cui la retta è l intersezione. Viceversa passaggio dalla rappresentazione di una retta come intersezione di due piani ad una rappresentazione parametrica (semplicemente prendendo una delle coordinate come parametro o fissando un punto P 0 e un vettore parallelo alla retta,

3 ottenuto ad esempio trovando un secondo punto P 1 della retta e quindi poi il vettore P 0 P 1 ). Distanza di un punto da un piano(formula e sua giustificazione). [ Cap. 2, 5.1 (caso di due equazioni in due incognite, fino al Teorema di Cramer incluso con la soluzione indicata nella (5.11))] Sistemi di equazioni lineari in R 2, quindi di due equazioni in due incognite. Allora ciascuna equazione rappresenta l equazione di una retta e il sistema significa che cerchiamo se due rette hanno un punto in comune. Si ottiene che, se il determianante della martrice dei coefficienti è deta 0 allora esiste un unica intersezione (rette secanti) che si puó calcolare per sostituzione oppure usando il Teorema di Cramer (pag. 99 del libro consigliato). Nel caso sia deta = 0, le rette hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi sono parallele (nessuna soluzione o coincidenti (infinite soluzioni, tutti i punti della retta stessa). Siamo nel primo caso se almeno uno dei determinanti della (5.11) è 0 ( B 1 0 o B 2 0 perché stiamo considerando il caso di due equazioni, quindi due variabili x 1 = x e x 2 = y), siamo nel secondo caso se entrambi i determinanti della (5.11) sono nulli ( B 1 = 0 e B 2 = 0). Soluzione degll Es. 4 del Foglio 4. Esempio di problema con risonanza (vedi Appunti sulle Equazioni Differenziali). Spiega fenomeni imprevisti quali il crollo del Tacoma Bridge nel 1940, vedi Narrows Bridge (1940). Esempio di problema del II ordine con dati al bordo (y(0) = 0, y(a) = 0) invece di dati di Cauchy (y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = y 1 ) : come visto nel corso di Chimica Inorganica I, ci sono soluzioni solo per certi valori dei parametri. 29 marzo. [ Cap. 2, 2] Rappresentazione dei vettori in forma trigonometrica in R 2. Coseni direttori in R 2 e in R 3. [ Cap. 2, 5.1] Enunciato del Teorema di Cramer. nel caso di R 2 e sua generalizzazione al caso di R n (n 2). Interpretazione geometrica e determinazione delle infinite soluzioni quando non si puó applicare il Teorema di Cramer perché la matrice dei coefficienti ha determinante nullo. 3 aprile. Proprietà del determinante: cambio del segno scambiando due righe o colonne successive, possibilità di raccogliere un fattore comune a riga o colonna. Significato geometrico del determinante di una matrice 2 2. Scrittura dell equazione( di un) piano passante per tre punti con il prodotto misto (cioé scalare e vettoriale v w z = v w z ). Significato geometrico del determinante di una matrice 3 3. [ Cap. 2, 1.2 e sottoparagrafo del 4.3] Prodotto vettoriale in R 3 e sue proprietà e calcolo (usando il determinante di una matrice 3 3. Esercizio: un sistema 3 3 con un parametro. Discussione di come impostare un esercizio del Foglio 5. 5 aprile. [ Cap. 2, 4.1, 4.2, 4.3, senza le dimostrazioni] Funzione (anche chiamata applicazione ) lineare: definizione ed esempi nel piano e nello spazio. Tutte le applicazioni lineari tra spazi vettoriali si scrivono come prodotto di una matrice per un vettore (senza dimostrazione). In particolare se f : R n R m è lineare essa è rappresentabile nella forma f( x) = A x dove A è una matrice m n. Vettori immagine dei vettori degli assi, tutti gli altri sono combinazioni lineari di quelli con coefficienti coincidenti con le coordinate del vettore. Componendo applicazioni lineari si ottiene una applicazione lineare che si rappresenta con una matrice ottenuta come prodotto righe per colonne delle matrici delle applicazioni che si compongono. Il prodotto tra matrici non è commutativo ma è associativo. La somma di applicazioni lineari è una applicazione lineare la cui matrice è somma delle due matrici delle applicazioni che si sommano. Proprietà della somma tra matrici e proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Matrice identità in R n. Se una matrice quadrata A è tale che deta 0, l applicazione lineare corrispondente è invertibile. Costruzione della matrice inversa. Significato geometrico di una applicazione lineare con determinante nullo. Teorema di Binet (sul determinante della matrice prodotto). Matrice trasposta.. 10 aprile. [ Cap. 2] Trasposta di una matrice prodotto [ pag. 75]. Base di uno spazio vettoriale e dimensione. Lo spazio vettoriale dei polinomi ha dimensione infinita [ pagg. 61, 62].

4 Caratteristica o rango di una matrice [Cap. 2, 4.4]. Teorema di Rouchè Capelli (senza dimostrazione) [[ Cap. 2, 5.3] e sue applicazioni: riconosco se un sistema è risolubile o no e, qualora lo sia, se ha soluzione unica o 1, 2,... soluzioni e la calcolo o le calcolo (se ha 1 soluzioni, esse dipendono da un parametro, 2 soluzioni esse dipendono da due parametri,...). Esercizi del Foglio aprile. Immagine e nucleo di una trasformazione lineare da R n a R m [ Cap. 2, 5.2]. Determinazione di questi spazi vettoriali per le applicazioni lineari L individuate dalle seguenti matrici: A = , D = Discussione della risolubilità del problema D x = b se b = (0, 2, 2) T (si osservi che, volendo scrivere il vettore b come vettore colonna, l abbiamo scritto come il trasposto del corrispondente vettore riga). Essendo rango(d) = 2, la condizione del Teorema di Rouchè - Capelli perchè esista soluzione è che la matrice (D b) abbia rango 2, quindi che b sia linearmente dipendente rispetto ai vettori colonna di D. Poiché i vettori colonna di D generano tutta l immagine e dim(im(l)) = rango(d) = 2, la condizione di Rouchè - Capelli coincide con il richiedere che b sia nell immagine di L, ovvia condizione di risolubilità. Si è osservato come, se esiste soluzione, di fatto ne esistono infinite, anzi 1, cioè un infinità dipendente da un numero di parametri uguale alla dimensione del Ker(L), cioè del nucleo. Infatti è vero in generale, e l abbiamo visto nell esempio, che le infinite soluzioni del problema non omogenero si ottengono come somma di una soluzione particolare e di una qualsiasi soluzione del problema omogeneo, quindi un qualsiasi elemento del nucleo. Si tratta della stessa osservazione utilizzata per trovare le soluzioni delle equazioni differenziali, in quanto entrambi i problemi sono lineari. 19 aprile. [ Cap. 2, 6.1, 6.2; del 6.3 solo il sottoparagrafo Matrici reali simmetriche ] Cambiamenti di coordinate ottenuti prendendo una matrice S avente come colonne i vettori della nuova base. Allora la trasformazione dalle coordinate x nella base canonica alle nuove coordinate X è data da X = S 1 x. Due esempi. Definizione di matrice ortogonale e sue proprietà. Definizione di matrice diagonalizzabile. Trasformazioni che sono semplici deformazioni lungo una direzione: autovalori e autovettori di una matrice quadrata. Teorema sulla diagonalizzabilità delle matrici (reali) simmetriche. 26 aprile. [ Cap. 2, 6.3: Teor. 6.1 (solo enunciato) e sottoparagrafo Matrici reali simmetriche (per ora non si è parlato di molteplicità algebrica o geometrica degli autovalori, quindi non sono compresi i Teoremi 6.2 e 6.3)] Calcolo esplicito degli autovalori e autovettori di una matrice A (matrice 2 2, avente due autovalori reali e distinti). Considerata la matrice S avente come colonne gli autovettori, si è osservato che D = S 1 AS è una matrice diagonale avente come elementi della diagonale ordinatamente gli autovalori corrispondenti agli autovettori delle colonne della matrice (vedere Teor. 6.1). Discussione e correzione di esercizi del foglio 7. 3 maggio. Prima prova di esonero. 8 maggio. [Cap. 10, 1, 2] Distanza fra punti di R 2 o di R n. Intorni in R e in R 2 (R n ). Funzioni da R 2 a R: insieme di definizione, insiemi di livello, grafico: esempi. Definizione di limite in R e in R 2 (R n ), unicità del limite, continuità, operazioni con i limiti. Forme indeterminate: come trovare il candidato limite e come verificare che si tratti del limite. Uso delle coordinate polari. La funzione f(x, y) = x2 y x 4 +y 2 che da tutte le direzioni tende a zero nell origine, ma che ha

5 come insiemi di livello non nullo parabole passanti dall origine, quindi tendono all origine diversi insiemi di livello, la funzione non puó avere limite per (x, y) (0, 0). 10 maggio. [Cap. 10, 3] Esercizi di determinazione del dominio e degli insiemi di livello di una funzione. Calcolo del limite di una forma indeterminata. Insiemi aperti, chiusi, insiemi limitati e punti interni di un insieme. Unioni e intersezioni di aperti o di chiusi, individuazione di un aperto/chiuso come insieme in cui una funzione continua verifica opportune diseguaglianze strette/ deboli o uguaglianze. Minimi e massimi relativi ed assoluti. Teorema di Weierstrass sull esistenza del minimo e massimo per funzioni continue in insiemi chiusi e limitati. Teorema di esistenza degli zeri in R e sua estendibilità a R 2 (R n ) introducendo il concetto di insieme connesso. 15 maggio. [Cap. 10, 3, 4] Definizione di insieme connesso e Teorema di esistenza degli zeri in R 2. Derivate parziali, vettore gradiente. Una funzione di due variabili puó essere derivabile (parzialmente) pur non essendo continua (esempio: f(x, y) = x 2 y/(x 4 + y 2 ) se (x, y) (0, 0) e f(0, 0) = 0). Introduzione del concetto di differenziabilità in un punto che equivale a richiedere che per (x, y) tendente al punto la funzione è approssimata dal suo piano tangente a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo. Quindi per funzioni di una variabile derivabilità e differenziabilità coincidono. In R 2 (R n ) la differenziabilità implica la continuità. Teorema del differenziale (Teor. 4.3): se le derivate parziali sono continue, la funzione è differenziabile. Esercizi Foglio 9, calcolo di alcune derivate parziali e del piano tangente in un punto del grafico di una funzione di due variabili. 17 maggio. [Cap. 10, 4, 5] Derivate direzionali e utilizzazione del gradiente per calcolarle. Significato del vettore gradiente. Derivate seconde e matrice hessiana. Teorema di Schwarz sull inversione dell ordine delle derivate seconde. Spazi di funzioni C k. Formula di Taylor del I ordine e del II ordine per funzioni di due variabili. 22 maggio. [Cap. 10, 6] Definizione di punto stazionario. Definizione di massimo (e di minimo) assoluto e relativo. Punti di massimo, minimo e sella: esempi. Per funzioni C 2 la matrice Hessiana è simmetrica, quindi ha autovalori reali ed è diagonalizzabile. Riconoscimento dei punti di massimo relativo, minimo relativo e sella attraverso la matrice Hessiana calcolata in un punto stazionario. Osservazione: sul libro si parla di forme quadratiche, cioé di polinomi in cui il grado di ciascun termine (somma degli esponenti delle variabili) è 2 (x 2, y 2, xy se abbiamo solo due variabili). La matrice associata è la matrice dei coefficienti, che corrisponde a 1 2 H f. 24 maggio. Esercizi per determinare massimo e minimo assoluti di una funzione continua in un insieme chiuso e limitato. Esercizi di riconoscimento di massimo relativo, minimo relativo o sella attraverso l analisi della matrice Hessiana.[Cap. 9, 1, 3] Curve, curve continue, curve regolari, curve chiuse. Esempi. Sostegno di una curva, verso di percorrenza. 29 maggio. [Cap. 9, 4, 5] Lunghezza di una curva regolare. Curve equivalenti con verso di percorrenza che puó anche essere opposto. Ascissa curvilinea (anche detta parametro arco sul libro di testo al 4). Integrale curvilineo (di prima specie) di una funzione scalare. Esempi Esercizi del Foglio maggio. [Cap.12, 1] Definizione e significato geometrico (volume o differenza di volumi) dell integrale doppio di una funzione continua definita su un rettangolo o su domini (x o y- )semplici e relativo calcolo attraverso due integrazioni successive. Esistenza dell integrale anche se la funzione non è continua in un punto (o in un insieme di misura nulla, ad esempio un segmente), purché la funzione sia limitata. Esempio di integrale il cui calcolo potrebbe essere ottenuto sia considerando il dominio x-semplice sia y-semplice, ma risulta possibile completarlo esplicitamente solo in uno dei casi.

6 5 giugno. [Cap.12, 1 (esclusi e 1.6] Definizione di dominio regolare come dominio unione di domini semplici. Correzione degli esercizi 1 e 2 del Foglio 12. Additività dell integrale. [Cap.12, 1.2] Cambiamento di coordinate negli integrali doppi o tripli. Esempi: una trasformazione lineare, le coordinate polari, con applicazioni. E stato necessario introdurre la matrice Jacobiana (matrice delle derivate prime per funzioni vettoriali di piú variabili reali) ([Cap.11, 1, 2]) [Cap.12, 1.5] Integrali tripli: integrazione per fili e applicazione. Integrazione per strati. 7 giugno. [Cap.12, 1.5] Esempio di integrazione per strati. Cambiamenti di coordinate negli integrali tripli: le coordinate sferiche e le coordinate cilindriche e applicazioni. [Cap.12, 1.4] Integrali generalizzati o impropri per funzioni di segno costante (per non incorrere in forme indeterminate): calcolo di R 2 e (x2 +y 2) dx dy facendo il limite degli integrali sulle sfere B R ( 0) e sui quadrati [ R, R] [ R, R], per R + (vedere Esempio 1.17 Cap. 12). Comportamento di funzioni illimitate in un punto o infinitesime su un insieme illimitato: diversa integrabilità degli ordini di infinito o infinitesimo a seconda della dimensione (vedere Esempi 1.18, 1.19 Cap. 12). Già noto il caso unidimensionale, fatti i conti nel caso di integrali doppi e cenni al caso di integrali tripli. 9 giugno. [Cap.12, 1] Proprietà di linearità e di monotonia dell integrale (doppio o multiplo). Calcolo dell integrale su una regione ottenuta dalla rotazione intorno ad un asse. Maggiorazione (e minorazione) di un integrale con il sup (rispettivamente l inf) della funzione integranda f per la misura del dominio. Correzione degli esercizi 3 e 4 del foglio 12, con particolare attenzione all ascissa curvilinea. [Cap.11, 3] Superficie regolare: definizione, curve coordinate, vettori tangenti e loro prodotto vettoriale il cui modulo permette, se integrato nel dominio dei parametri, di ottenere l area della superficie. ( x(u, v) ) Se ad esempio la superficie S ha rapprentazione parametrica r(u, v) = y(u, v), (u, v) D, z(u, v) risulta Area(S) = D r u(u, v) r v (u, v) du dv, dove r u (u, v) r v (u, v) è, come detto sopra, il modulo del prodotto vettoriale tra le derivate parziali r u (u, v) e r v (u, v). Esempio: calcolo della superficie sferica. 12 giugno. Secondo Esonero. 13 giugno. Correzione del secondo esonero. [Cap.12, 2] Calcolo della massa di una superficie di densità variabile assegnata e del suo baricentro. Calcolo del volume di un cono di altezza h e base il cerchio B R ( 0) (h, R > 0), per verificare la formula già nota (abbiamo effettuato il calcolo per strati, effettuarlo per fili). ATTENZIONE: vedere sulla pagina di Elearning (sotto a questo diario) i link ad alcuni esercizi svolti di altri docenti. ESEMPI di DOMANDE D ESAME: 1. Significato geometrico di somma, differenza e prodotto nei numeri complessi. 2. Enunciato del Teorema fondamentale dell algebra. 3. Quante soluzioni ha un equazione differenziale del primo ordine in forma normale? E un problema di Cauchy?

7 4. Spiegare il modello di Malthus e quello di Verhulst. 5. Analisi del modello di Verhulst senza calcolare espicitamente le soluzioni ma deducendone il comportamento dall analisi dell equazione stessa. 6. Enunciato del Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy. 7. Spiegazione del metodo di separazione delle variabili. 8. Integrale generale di equazioni differenziali lineari del I ordine omogenee e non omogenee e relazione tra i due casi. Insieme di esistenza delle soluzioni. 9. Integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee e non omogenee e relazione tra i due casi. Insieme di esistenza delle soluzioni. 10. Problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari del II ordine. 11. Integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee con termine noto di tipo particolare (polinomio, esponenziale o funzione k sin(γx) o k cos(γx)). 12. Principio di sovrapposizione. 13. Prodotto cartesiano di insiemi. 14. Definizione di vettore, somma di vettori e sue proprietà. 15. Definizione di vettori linearmente dipendenti. 16. Prodotto scalare di vettori nel piano e nello spazio: significato geometrico, proprietà e calcolo. 17. Equazione parametrica di una retta nel piano (o nello spazio). Passaggio dall equazione parametrica a quella cartesiana (o a quelle cartesiane di due piani di cui la retta è intersezione, se siamo nello spazio). 18. Distanza di un punto da una retta nel piano o da un piano nello spazio (formule e loro giustificazione, quest ultima facoltativa). 19. Significato geometrico di un sistema di due equazioni lineari in due o tre incognite. 20. Significato geometrico di un sistema di due equazioni lineari in due o tre incognite. 21. Significato del determinante di una matrice 2 2 e Significato e proprietà del prodotto vettoriale (in R 3 ). 23. Equazione di un piano per tre punti (non allineati). 24. Definizione di funzione (o applicazione) lineare e sua rappresentazione tramite matrici. Somme e composizioni di funzioni lineari e matrici corrispondenti. 25. Rango o caratteristica di una matrice e suo collegamento con la dipendenza o indipendenza lineare di vettori. 26. Teorema di Rouchè Capelli e sue applicazioni. 27. Insieme delle soluzioni di sistemi lineari omogenei e non omogenei: previsione di quante soluzioni ha il problema.

8 28. Definizione di spazio vettoriale e di base di uno spazio vettoriale e dimensione di uno spazio vettoriale. 29. Cambiamenti di coordinate. 30. Matrice ortogonale e sue proprietà. 31. Autovalori e autovettori. 32. Proprietà delle matrici simmetriche. 33. Diagonalizzazione di una matrice. 34. Definizione di limite per funzioni da R 2 in R, esempi di funzioni per cui un limite esiste e di funzioni per le quali il limite non esiste. 35. Definizione di insieme aperto, chiuso e proprietà di tali insiemi. 36. Teoremi di Weierstrass e di esistenza degli zeri: per funzioni di una variabile e per quelle di piú variabili. 37. Derivate parziali, vettore gradiente, derivate direzionali e significato del vettore gradiente. 38. Una funzione di due variabili puó essere derivabile (parzialmente) pur non essendo continua (esempio: f(x, y) = x 2 y/(x 4 + y 2 ) se (x, y) (0, 0) e f(0, 0) = 0). Cosa significa invece che una funzione è differenziabile, quali proprietà ha una funzione differenziabile e come riconoscere che una funzione è differenziabile. 39. Derivate seconde e matrice hessiana. Teorema di Schwarz sull inversione dell ordine delle derivate seconde. Formula di Taylor del I ordine e del II ordine per funzioni di due varibili. 40. Definizione di massimo (e di minimo) assoluto e relativo. 41. Per funzioni C 2 riconoscimento dei punti di massimo relativo, minimo relativo e sella attraverso la matrice Hessiana calcolata in un punto stazionario. 42. Curve, curve continue, curve regolari, curve chiuse. Sostegno di una curva, verso di percorrenza. Saper fare qualche esempio. 43. Lunghezza di una curva regolare. Integrale curvilineo (di prima specie) di una funzione scalare. 44. Definizione e significato geometrico (volume o differenza di volumi) per integrali doppi di funzioni continue definite su rettangoli, su domini (x o y-)semplici e relativo calcolo attraverso due integrazioni successive. 45. Significato dell ascissa curvilinea per una curva regolare. 46. Proprietà dell integrale (additività, linearità, monotonia). 47. Significato della matrice Jacobiana e cambiamenti di coordinate negli integrali doppi o tripli (in particolare coordinate polari nel piano, cilindriche e sferiche nello spazio). 48. Integrali tripli: integrazione per fili o per strati. 49. Quando e come fare integrali generalizzati o impropri per funzioni di segno costante. 50. Superficie regolare: definizione, curve coordinate, vettori tangenti e calcolo dell area della superficie. 51. Calcolo della massa di una superficie di densità variabile assegnata e del suo baricentro.