I TEST DI LOGICA. Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica P. A. Università di Padova. Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 3 febbraio 2011

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1 I TEST DI LOGICA Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica P. A. Università di Padova Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 3 febbraio

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3 Aldo, Giovanni e Giacomo, indagati per un reato, vengono interrogati. Aldo dichiara: Sono colpevole. Giovanni dichiara: Il colpevole è Aldo Giacomo dichiara: Non sono colpevole. La polizia sa per certo che il colpevole del reato mente, e almeno uno dei non colpevoli dice il vero. Allora, (A) Il colpevole è Aldo (B) Il colpevole è Giovanni (C) Il colpevole è Giacomo (D) non possibile determinare la risposta con certezza. 3

4 Cos è un paradosso? Commenti Test 1 E paradossale che Aldo dica: sono colpevole? No! Dire il falso non significa essere colpevole A colpevole A mente A mente e si dichiara colpevole A innocente Concludiamo che A è innocente Consecuzio Mirabilis: (ϕ non(ϕ)) non(ϕ) 4

5 Bob dice di adorare i gelati. I gelati sono dolci, e chi adora i gelati adora anche i limoni. Allora: (A) Bob adora tutti i dolci (B) Bob adora tutti i dolci, soprattutto se mangiati insieme ai limoni (C) Chi adora i gelati, adora i dolci (D) Bob adora i limoni 5

6 Commenti Test 2 Bob dice di adorare i gelati. I gelati sono dolci, e chi adora i gelati adora anche i limoni. Allora: A) Bob adora tutti i dolci... NO C) Chi adora i gelati, adora i dolci... NO D) Bob adora i limoni... SI Osservazione: la seconda informazione è superflua A cosa serve? A dare credibilità alla risposte A e C 6

7 Vito e Franco dicono sempre rispettivamente il vero e il falso. Mario invece dice a volte il vero e a volte il falso. X e Y due di questi tre signori dicono rispettivamente io sono Franco e io sono Mario. Allora a) non si può sapere chi sono X e Y b) X è Mario e Y è Franco c) X è Franco e Y è Mario d) X è Mario e Y è Vito 7

8 Osservazioni: Commenti Test 3 Risposta data per esclusione: attenzione alla risposta non si può dire Soluzione interessante: Vito non può essere X o Y Attenzione alla distinzione tra risposta possibile e risposta necessariamente vera 8

9 La negazione della frase can che abbaia non morde è A) tutti i cani che abbaiano mordono B) c è almeno un cane che abbaia e morde C) c è almeno un cane che non abbaia e morde D) c è almeno un cane che non abbaia e non morde 9

10 Osservazioni: Commenti Test 4 Tutti si accorgono che can che... è un universale: tutti i cani che abbaiano non mordono Quindi la negazione sarà un esistenziale c ( c abbaia non (c morde) ) se negato diventa c non ( c abbaia non (c morde) ) c ( c abbaia e c morde ) 10

11 La negazione della frase tutti sono ricchi e almeno uno non è felice è A) nessuno è ricco e almeno uno è felice B) qualcuno è ricco oppure nessuno è felice C) qualcuno non è ricco oppure tutti sono felici D) esiste almeno uno non ricco e felice 11

12 Osservazioni: Commenti Test 5 Viene osservato che nessuno non è la negazione di tutti e che la negazione di e è o L esercizio si presta bene alla formalizzazione x ( x è ricco ) e y ( y non è felice) se negato diventa x ( x non è ricco ) oppure y non ( y non è felice) x ( x non è ricco ) oppure y ( y è felice) 12

13 Mario dice alternativamente il vero e il falso (cioè ogni sua affermazione vera è seguita da una falsa, e viceversa). Quale delle seguenti affermazioni è attribuibile a Mario? A) La mia precedente affermazione è vera B) La mia precedente affermazione è falsa C) Questa mia affermazione è falsa D) La mia prossima affermazione sarà vera 13

14 Osservazioni: Commenti Test 6 Molti hanno notato il paradosso nella risposta C Affermazione attribuibile : dobbiamo guardare le risposte impossibili Dobbiamo sempre considerare i due casi: dice il vero, dice il falso Osservare che le risposte A e D si trattano allo stesso modo 14

15 Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora A) tutti gli uomini sono disonesti B) alcuni uomini sono disonesti C) i bugiardi sono disonesti D) alcuni bugiardi sono disonesti 15

16 Commenti Test 7 Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora B) alcuni uomini sono disonesti D) alcuni bugiardi sono disonesti E se per magia scomparissero tutti i bugiardi? tutti gli uomini con tre teste mangiano chiodi è vera? Sì, provate a falsificarla! Ma da quella affermazione non possiamo dedurre che alcuni uomini con tre teste mangiano chiodi 16

17 Commenti Test 7 Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora B) alcuni uomini sono disonesti D) alcuni bugiardi sono disonesti Quale ulteriore ipotesi servirebbe per rendere vere B e D? l ipotesi che esistono dei bugiardi e in tal caso B e D sarebbero entrambe vere 17

18 Commenti Test 7 Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora A) tutti gli uomini sono disonesti C) i bugiardi sono disonesti A è ovviamente falsa C deriva da una deduzione vuota. Ciò non impedisce che sia la risposta corretta. 18

19 Se alcune biciclette hanno il cambio allora A) ci sono biciclette senza cambio B) non ci sono biciclette senza cambio C) tutte le biciclette hanno il cambio D) non tutte le biciclette sono senza cambio 19

20 Commenti Test 8 Se alcune biciclette hanno il cambio allora A) ci sono biciclette senza cambio Solito conflitto B) non ci sono biciclette senza cambio C) tutte le biciclette hanno il cambio Sono equivalenti e ovviamente sbagliate D) non tutte le biciclette sono senza cambio OK Qualcuno ha osservato che ripete la prima affermazione. E grave? NO 20

21 Giovanna ha deciso che domani indosserà una maglietta e, se sarà bel tempo, questa sarà di colore verde. Se l'indomani il tempo sarà brutto, dalla decisione di Giovanna si può dedurre che (a) la maglietta potrà avere un colore qualsiasi; (b) la maglietta sarà rossa; (c) la maglietta non sarà verde; (d) nessuna delle precedenti possibilità è corretta. 21

22 Commenti Test 9 (a) la maglietta potrà avere un colore qualsiasi; (b) la maglietta sarà rossa; (c) la maglietta non sarà verde; sono tutte situazioni possibili ma dalle premesse possiamo dedurre solo la (a) 22

23 2 Si consideri l equazione x + 2x + a = 0 e la condizione a 0 a) la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché l equazione abbia due soluzioni distinte; b) la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l equazione abbia due soluzioni distinte; c) la condizione è necessaria e sufficiente affinché l equazione abbia due soluzioni distinte; d) la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché l equazione abbia due soluzioni distinte. 23

24 Commenti Test 10 Test generalmente capito 2 x + 2x + a = 0 a 0 la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l equazione abbia due soluzioni distinte (si intende reali) con 0 < a < 1 abbiamo ancora due sol. distinte 24

25 Si consideri l equazione x 2 + ax + 3 = 0 e la condizione a = 2 3 a) la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché l equazione abbia un unica soluzione; b) la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l equazione abbia un unica soluzione; c) la condizione è necessaria e sufficiente affinché l equazione abbia un unica soluzione; d) la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché l equazione abbia un unica soluzione. 25

26 Commenti Test 11 Test generalmente capito 2 x + ax + 3 = 0 a = 2 3 la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l equazione abbia un unica soluzione con a = 2 3 abbiamo ancora un unica soluzione 26

27 Si consideri il triangolo ABC, la sua altezza AH, e la condizione che i triangoli ABH e ACH siano simili. a) la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché ABC sia rettangolo; b) la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché ABC sia rettangolo; c) la condizione è necessaria e sufficiente affinché ABC sia rettangolo; d) la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché ABC sia rettangolo. 27

28 Commenti Test 12 A La condizione che ABH sia simile a AHC non è sufficiente affinché ABC sia rettangolo B H C H C Il triangolo ACH è un solo segmento A B La condizione che ABH sia simile a AHC non è necessaria affinché ABC sia rettangolo 28

29 Si consideri il triangolo ABC, la sua altezza AH, e la condizione che i triangoli ABH e ACH siano simili. a) la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché ABC sia rettangolo in A; b) la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché ABC sia rettangolo in A; c) la condizione è necessaria e sufficiente affinché ABC sia rettangolo in A; d) la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché ABC sia rettangolo in A. 29

30 Commenti Test 12 A B H C La condizione che ABH sia simile a AHC è necessaria affinché ABC sia rettangolo in A 30