I TEST DI LOGICA. Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica Università di Padova. Liceo Giorgione, Castelfranco 12 aprile 2016

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1 I TEST DI LOGICA Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica Università di Padova Liceo Giorgione, Castelfranco 12 aprile

2 Sull implicazione «se A allora B» equivale a «se non-b allora non-a» «se A allora B» equivale a «non-a oppure B» Un implicazione è vera se e solo se ha antecedente falso oppure conseguente vero Da «se A allora B» e «non-a» non possiamo dedurre niente 2

3 ESEMPIO Si supponga che: chi vince la lotteria smette di lavorare e chi smette di lavorare ingrassa. Quale delle seguenti ulteriori affermazioni ci permette di concludere che Mario non ha smesso di lavorare? A Mario piace lavorare. Mario non ha vinto la lotteria. Mario non è ingrassato. Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato. 3

4 formalizzazione se V allora S se S allora I vogliamo concludere non(s) non(i) implica non(s) Mario non è ingrassato. 4

5 ESEMPIO Sapendo che tutti gli uomini sono bipedi e mortali e Socrate è mortale, possiamo concludere che a) Socrate è un uomo. b) Socrate è bipede. c) Se Socrate è bipede, allora è un uomo. d) Se Socrate è un uomo, allora è bipede. Osservazione: non abbiamo usato l ipotesi che Socrate sia mortale 5

6 ESEMPIO Quale delle seguenti affermazioni implica che Socrate non è un bipede mortale? a) Se Socrate è un uomo, allora non è mortale. b) Se Socrate è un uomo, allora non è bipede. c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale. d) Se Socrate è bipede, allora è mortale. Osservazione: le risposte a e b sono folcloristiche. Perché? 6

7 ESEMPIO c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale. d) Se Socrate è bipede, allora è mortale. Quale implica che Socrate non è un bipede mortale? Osservazione. Socrate non è un bipede mortale è la negazione di un e : non ( S è bipede e S è mortale) che equivale a S non è bipede oppure S non è mortale se quindi S è bipede allora... 7

8 ESEMPIO Affinché sia possibile confutare l affermazione quando passa un tornado per Roma, tutti gli abitanti si chiudono in casa è necessario: a) che qualche abitante di Roma ami il rischio b) che per Roma non passino tornado c) che qualche casa di Roma sia poco robusta d) che per Roma passi un tornado 8

9 DEDUZIONI VUOTE Il sabato sera Mario va al cinema oppure in discoteca; sabato scorso Mario aveva una gamba rotta; sabato scorso davano film che Mario aveva già visto. Possiamo concludere logicamente che sabato scorso Mario è rimasto a casa Mario è andato in discoteca, ma non ha ballato Mario è andato al cinema, ma si è annoiato Mario è andato al cinema o in discoteca 9

10 DEDUZIONI VUOTE FORMALIZZAZIONE A A è una formula sempre vera Se A è vera... Se A è falsa... 10

11 UN PO DI LOGICA esiste ( ), per ogni ( ) esiste x con una certa proprietà non esclude che tutti gli x tale abbiano quella proprietà non x tale che... equivale a x non... non x... equivale a x tale che non... x... equivale a non x non... x... equivale a non x non... 11

12 ALTRI ESEMPI Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza bagno. Questo significa che A) Esiste un albergo in cui c'è una stanza che ha il bagno B) In ogni albergo tutte le stanze hanno il bagno C) Ogni albergo ha il bagno in tutte le stanze D) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno 12

13 ALTRI ESEMPI Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza bagno. Non è vero: A s (s non ha il bagno) A non è vero: s (s non ha il bagno) A s non è vero: (s non ha il bagno) A s (s ha il bagno) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno 13

14 ALTRI ESEMPI Qual è la negazione dell affermazione ogni uomo è calvo oppure non ha i baffi? a) Ogni uomo non è calvo oppure ha i baffi. b) Ogni uomo non è calvo e ha i baffi. c) Esistono uomini che hanno i baffi e non sono calvi. d) Esistono uomini calvi e senza baffi. Possiamo escludere subito a) e b). Perché? 14

15 ALTRO ESEMPIO In Italia c'è una persona x tale che se tale persona vota per il partito P allora tutti votano per il partito P. Cosa si può dire di tale affermazione? x [ x vota P implica y ( y vota P)] x [ x NON vota P oppure y ( y vota P)] AFFERMAZIONE VERA 15

16 ALTRO ESEMPIO In Italia c'è una persona x tale che se tale persona vota per il partito P allora tutti votano per il partito P. Supponiamo sia falsa non ( x [ x vota P implica y ( y vota P)]) x non [x vota P implica y ( y vota P)] x [x vota P e non( y ( y vota P))] x [x vota P e y ( y non vota P))] Affermazione falsa 16

17 Da un test per medicina Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora A). B) alcuni uomini sono disonesti C). D). 17

18 Commenti al test Se (tutti) i bugiardi sono disonesti e (tutti) i bugiardi sono uomini allora alcuni uomini sono disonesti e se vivessimo in un mondo dove non ci sono bugiardi? 18

19 Commenti al test Se (tutti) i bugiardi sono disonesti e (tutti) i bugiardi sono uomini allora alcuni uomini sono disonesti se tutti gli uomini con tre teste mangiano chiodi e tutti gli uomini con tre teste sono uomini allora alcuni uomini mangiano chiodi Le due deduzioni hanno la stessa struttura 19

20 Commenti al test Se (tutti) i bugiardi sono disonesti e (tutti) i bugiardi sono uomini allora alcuni uomini sono disonesti Quale ulteriore ipotesi serve per rendere vera la deduzione? l ipotesi che esistono dei bugiardi 20

21 ALTRI ESEMPI In un test a risposte multiple ci sono quattro scelte possibili: (a), (b), (c) e (d), ed esattamente una delle quattro è corretta. Sappiamo che (b) vale se e solo se non vale (d) e se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) Quale è la risposta esatta? (d) o (b) è esatta Se (d) fosse esatta, allora lo sarebbe anche (a) o (c) La risposta esatta è la (b) 21

22 FORMALIZZAZIONE (b) vale se e solo se non vale (d) se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) (b) non(d) non(b) (d) non(b) (a) oppure (c) (d) (a) oppure (c) 22

23 Necessario e sufficiente E sufficiente che piova per cinque giorni affinché il Bacchiglione straripi Se piove per cinque giorni allora il Bacchiglione straripa E necessario che piova per cinque giorni affinché il Bacchiglione straripi Se non piove per cinque giorni allora il Bacchiglione non straripa 23

24 Necessario e sufficiente E sufficiente che piova per cinque giorni affinché il Bacchiglione straripi Ha piovuto per cinque giorni. Cosa posso concludere? Il Bacchiglione è straripato. Cosa posso concludere? 24

25 Necessario e sufficiente E necessario che piova per cinque giorni affinché il Bacchiglione straripi Ha piovuto per cinque giorni. Cosa posso concludere? Il Bacchiglione è straripato. Cosa posso concludere? 25

26 Necessario e sufficiente La condizione A è sufficiente affinché valga la condizione B La condizione A è necessaria affinché valga la condizione B Se A B e B A allora A B A B non A non B B A La condizione A è necessaria e sufficiente affinché valga la condizione B 26

27 Necessario e sufficiente La condizione A è sufficiente affinché valga la condizione B equivale a La condizione B è necessaria affinché valga la condizione A 27

28 Necessario e sufficiente AVERE QUATTRO LATI UGUALI è condizione... per essere un quadrato? necessaria sufficiente necessaria e sufficiente è necessario che P abbia quattro lati uguali affinché sia un quadrato 28

29 Necessario e sufficiente è necessario che P abbia quattro lati uguali affinché sia un quadrato Qual è l implicazione corrispondente? P quadrato P ha quattro lati uguali P ha quattro lati uguali P quadrato P quadrato P ha quattro lati uguali 29

30 Necessario e sufficiente ESSERE UN QUADRATO è condizione... per avere tutti i lati uguali? necessaria sufficiente necessaria e sufficiente è sufficiente che P che sia un quadrato affinché abbia quattro lati uguali 30

31 Necessario e sufficiente è sufficiente che P che sia un quadrato affinché abbia quattro lati uguali Qual è l implicazione corrispondente? P quadrato P ha quattro lati uguali P ha quattro lati uguali P quadrato P quadrato P ha quattro lati uguali 31

32 Necessario e sufficiente è sufficiente che P che sia un quadrato affinché abbia quattro lati uguali è necessario che P abbia quattro lati uguali affinché sia un quadrato 32

33 Necessario e sufficiente AVERE DUE ANGOLI UGUALI è condizione... per essere un triangolo isoscele? necessaria sufficiente necessaria e sufficiente è necessario e sufficiente che il triangolo T abbia due angoli uguali affinché sia un triangolo isoscele 33

34 Necessario e sufficiente è necessario e sufficiente che il triangolo T abbia due angoli uguali affinché sia un triangolo isoscele Qual è l implicazione corrispondente? T isoscele T ha due angoli uguali T ha due angoli uguali T isoscele T isoscele T ha due angoli uguali 34

35 Necessario e sufficiente Se c è il sole vado al mare (S M) L esserci il sole è condizione... affinché io vada al mare Risposta: sufficiente Perché non è necessaria? 35

36 Necessario e sufficiente Avere il quadrato sull ipotenusa uguale alla somma dei quadrati sui cateti è condizione... affinché il triangolo sia rettangolo necessaria sufficiente necessaria e sufficiente 36

37 Necessario e sufficiente Avere tutti i lati uguali è condizione... affinché un poligono sia regolare Avere tutti gli angoli uguali è condizione... affinché un poligono sia regolare Avere tutti i lati e gli angoli uguali è condizione... affinché un poligono sia regolare 37

38 Necessario e sufficiente Quale tra le seguenti affermazioni, riferite ad un triangolo, è FALSA? a) essere equilatero è condizione sufficiente per essere isoscele; b) non essere isoscele è condizione sufficiente per non essere equilatero; c) essere isoscele è condizione necessaria per essere equilatero; d) essere equilatero è condizione necessaria per essere isoscele. 38

39 Necessario e sufficiente Uno studente dice: «Se sono promosso, mi comprano uno scooter» e «Se mio padre ha uno scatto di carriera, mi comprano uno scooter» 39

40 Necessario e sufficiente a) L essere promosso è condizione necessaria affinché lo studente abbia lo scooter; b) Lo scatto di carriere del padre e condizione necessaria affinché lo studente abbia lo scooter; c) L'essere promosso e condizione sufficiente affinché lo studente abbia lo scooter; d) Lo scatto di carriera del padre e condizione sufficiente affinché lo studente abbia lo scooter; e) E necessario che lo studente sia promosso e il padre abbia uno scatto di carriera affinché lo studente abbia lo scooter. No No Sì Sì No 40

41 Necessario e sufficiente Il regolamento per l'assegnazione di un premio stabilisce che: «Riceveranno il premio gli studenti che sono promossi con una media superiore a 8 oppure hanno voti tutti superiori a 8 in matematica» media > 8 oppure voti > 8 in matematica 41

42 Necessario e sufficiente a) Avere la media superiore a 8 è condizione sufficiente Sì per avere il premio; b) Avere la media superiore a 8 è condizione necessaria No per avere il premio; c) Non riceve il premio chi e promosso con una media No superiore a 8 e ha anche voti tutti superiori a 8 in matematica; d) Condizione necessaria e sufficiente per avere il premio No è essere promossi con una media superiore a 8 e avere voti tutti superiori a 8 in matematica; e) Per avere il premio è sufficiente essere promossi con Sì una media superiore a 8 e avere voti tutti superiori a 8 in matematica 42

43 Necessario e sufficiente Il regolamento per l'assegnazione di un premio stabilisce che: «Riceveranno il premio gli studenti che sono promossi con una media superiore a 8 e hanno voti tutti superiori a 8 in matematica» media > 8 e voti > 8 in matematica 43

44 Necessario e sufficiente a) Avere la media superiore a 8 è condizione sufficiente per avere il premio; b) Avere la media superiore a 8 è condizione necessaria per avere il premio; c) Condizione necessaria è sufficiente per avere il premio è essere promossi con una media superiore a 8 e avere voti tutti superiori a 8 in matematica; d) Per avere il premio è sufficiente essere promossi con una media superiore a 8 e avere voti tutti superiori a 8 in matematica No Sì Sì Sì 44

45 Russell: critica al sillogismo Ipotesi: Tutti gli uomini sono mortali e Socrate è un uomo. Conclusione: Socrate è mortale Come siamo arrivati a formulare l ipotesi tutti gli uomini sono mortali? Abbiamo controllato tutti gli uomini? Ma in tal caso... Oppure siamo arrivati induttivamente alla conclusione. Ma in tal caso... 45

46 Deduzioni induttive Tutti gli uomini sono mortali In Giappone i treni arrivano in orario Se mi alzo alle sette arrivo a scuola in orario 46

47 Deduzioni induttive Tutti quelli che hanno una certa malattia della pelle, hanno subito una scottatura nei primi tre anni di vita. Mio figlio si è scottato a due anni. Posso concludere quacosa? Tutti quelli che hanno una certa malattia della pelle hanno bevuto almeno un caffè negli ultimi cinque anni. 47

48 Deduzioni induttive L 80 % degli studenti di matematica proviene da un liceo. Vuol dire che la maggioranza dei liceali poi fa matematica? 48

49 INTELLIGENZA ARTIFICIALE Ricerca di una logica vicina al senso comune Sono sul marciapiede, davanti alle strisce pedonali, e voglio attraversare. Una macchina si ferma. Io attraverso. Se cerco di avere la dimostrazione logica che quella macchina non ripartirà all improvviso, resto lì per sempre. 49

50 Ancora Intelligenza Artificiale Deduzioni basata sulla generalità, alta frequenza, ecc. Logiche a più valori: grado di verità Il grado di verità di «la macchia non mi investe» è più alto del grado di «la macchina mi investe». Quindi attraverso. Logiche fuzzy 50

51 Ancora Intelligenza Artificiale Deduzioni rivedibili (cambio idea) Ho ricevuto l informazione che un matto si diverte a far finta di fermarsi, per poi investire il pedone. Questa ulteriore informazione mi fa cambiare idea: il grado di verità di «la macchina mi investe» diventa più grande di «la macchina non mi investe». Non attraverso 51

52 Ancora Intelligenza Artificiale Logiche monotòne e non monotòne Ipotesi: ABC è isoscele Dimostro che ABC ha gli angoli alla base uguali Ipotesi: ABC è isoscele e rettangolo Dimostro ancora che ABC ha gli angoli alla base uguali 52

53 Ancora Intelligenza Artificiale Logiche monotòne e non monotòne Ipotesi: la macchina rallenta, è quasi ferma,... Decido di attraversare la strada Ipotesi: la macchina rallenta, è quasi ferma,... e inoltre so che un matto. Decido di non attraversare la strada 53

54 Un test problematico Sapendo che in questo test una sola risposta è giusta, dire di quale si tratta. a) La risposta d) è giusta. b) La risposta b) è sbagliata. c) La risposta c) è giusta. d) La risposta a) è giusta. Attenzione alla risposta b! 54

55 Affermazioni problematiche Mario dice: sto mentendo. Dice il vero o il falso? Se dice il vero..., se dice il falso... Paradosso (o antinomia) Attenzione alla versione divulgativa: Epidemide, cretese, dice: tutti i cretesi sono bugiardi E semplicemente falsa 55

56 Antinomia del mentitore Mario dice: sto mentendo. Altre versioni Coccodrillo Barbiere (Russell) Ponte (don Chisciotte) 56

57 Antinomia di Russell R è l insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi R appartiene a R? Se R appartiene a R allora R appartiene a sé stesso, e quindi... Se R non appartiene a R allora R non appartiene a sé stesso, e quindi... X ( X R se e solo se X X ) R R se e solo se R R Autoriferimento 57

58 Teorema di Cantor Per ogni insieme X non esiste nessuna funzione suriettiva da X su X Per assurdo: f suriettiva da X su X C = { x X : x f(x) } x0 C x0 f(x0) = C x0 C = f(x0) x0 C C = f(x0) Autoriferimento 58

59 Numeri definibili Con delle frasi possiamo definire dei numeri: La distanza minima in cm tra la terra e la luna Il numero di pecore attualmente in Italia, elevato al cubo Il numero di pulci nell esercito di Giulio Cesare quando ha detto alea jacta est 59

60 Numeri definibili Usando meno di 100 lettere possiamo definire un insieme finito di numeri Esistono numeri che non possiamo definire con meno di 100 lettere. Consideriamo quindi Il più piccolo numero che non possiamo definire con meno di 100 lettere. Dov è l autoriferimento? 60

61 Altro paradosso Sostitutività degli identici Giovanni = padre di Mario Ieri ho visto Giovanni Ieri ho visto il padre di Mario Giorgione = Zorzi da Castelfranco Ieri ho visto Giorgione Ieri ho visto Zorzi da Castelfranco 61

62 Altro paradosso Sostitutività degli identici Giorgione = Zorzi da Castelfranco Giorgione era chiamato così per la sua corporatura Zorzi da Castelfranco era chiamato così per la sua corporatura 62

63 Altro paradosso Sostitutività degli identici Stella del mattino = Stella della sera (= Venere) La stella della sera si chiamo così perché è la prima che si vede di sera La stella del mattino si chiamo così perché è la prima che si vede di sera 63