I TEST DI LOGICA. Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica Università di Padova. Liceo Giorgione, Castelfranco 19 aprile 2016

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1 I TEST DI LOGICA Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica Università di Padova Liceo Giorgione, Castelfranco 19 aprile

2 Lettura interessante V. Villani, C. Bernardi, S. Zoccante, R. Porcaro, Non solo Calcoli - Domande e risposte sui perché della Matematica Springer Logica e insiemi Analisi Probabilità 2

3 CAVALIERI E FURFANTI Ambiente tipico dei test: ci sono cavalieri e furfanti, i primi dicono sempre il vero, i secondi sempre il falso. Dalle loro risposte dobbiamo trarre informazioni. Perché si prestano bene per i test? 3

4 CAVALIERI E FURFANTI Versione classica: Ad un bivio ci sono due persone: A e B. So che una è un cavaliere e l altra un furfante, ma non so quale. Dispongo di una sola domanda per sapere quale strada porta al castello. Cosa chiedo? Chiedo ad A: se chiedessi a B la strada per andare al castello, cosa mi risponderebbe? 4

5 CAVALIERI E FURFANTI Una persona dice: io sono un furfante Ci ricorda qualcosa? Se invece quella persona appartiene ad un gruppo di più persone e dice: siamo tutti furfanti, cosa possiamo concludere? 5

6 CAVALIERI E FURFANTI Di A e B sappiamo solo che sono furfanti o cavalieri. A dice: siamo due furfanti. Cosa possiamo dedurre? A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere. 6

7 CAVALIERI E FURFANTI Di A e B sappiamo solo che sono furfanti o cavalieri. A dice: almeno uno di noi è cavaliere. Cosa possiamo dedurre? A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere. Possibile Possibile Possibile 7

8 CAVALIERI E FURFANTI A dice: almeno uno di noi è furfante. A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere. 8

9 CAVALIERI E FURFANTI A dice: almeno uno di noi è cavaliere. B dice: non è vero. A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere. 9

10 CAVALIERI E FURFANTI A, B, C cavalieri o furfanti A e B dicono: «se C è furfante, allora lo sono anch io» A: «C cavaliere oppure A furfante» B: «C cavaliere oppure B furfante» 1) A cavaliere, B e C furfanti 2) A e B cavalieri e C furfante 3) A e B furfanti e C cavaliere 4) Tutti e tre cavalieri 5) Tutti e tre furfanti Perché la risposta 1) può essere scartata immediatamente? 10

11 CAVALIERI E FURFANTI A, B, C sono cavalieri o furfanti, e almeno uno è furfante A dice: siamo tutti e tre furfanti B dice: io sono cavaliere C dice: io e A siamo cavalieri A e C furfanti, B cavaliere 11

12 ALTRI ESEMPI Ad un tavolo circolare si siedono dei cavalieri e dei furfanti e ciascuno di loro afferma che la persona alla sua destra è un furfante. Cosa si può dedurne? A) Sono tutti furfanti B) Sono tutti cavalieri C) C'è un numero pari di persone D) C'è un numero dispari di persone 12

13 ALTRI ESEMPI Lo stesso tavolo di prima. Ma ciascuno di loro afferma che la persona alla sua destra è un cavaliere. Cosa si può dedurne? A) Sono tutti furfanti oppure tutti cavalieri B) Sono tutti cavalieri C) Sono tutti furfanti D) C'è un numero pari di persone 13

14 CAVALIERI E FURFANTI A dice: se io sono cavaliere, allora lo è anche B Equivale a: io sono furfante oppure B è cavaliere A e B sono entrambi furfanti A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere. 14

15 CAVALIERI E FURFANTI A dice: io sono cavaliere se e solo se su quest isola c è l oro. Cosa possiamo concludere? A è cavaliere A è furfante Sull isola c è l oro Sull isola non c è l oro 15

16 CAVALIERI E FURFANTI A dice: io sono cavaliere se e solo se su quest isola c è l oro Io cavaliere c è l oro Io cav sse c è oro V V V V F F F V F F F V Sull isola c è l oro 16

17 CAVALIERI E FURFANTI Un viaggiatore trova due abitanti dell isola: A e B. Chiede ad A: «uno di voi è un cavaliere?» A risponde, e dalla risposta il viaggiatore sa cosa sono A e B. A e B sono entrambi furfanti A e B sono entrambi cavalieri A è cavaliere e B furfante A è furfante e B cavaliere 17

18 CAVALIERI E FURFANTI Uno di voi è cavaliere? A cavaliere B cavaliere A cav oppure B cav V V V V F V F V V F F F A risponde sì A deve aver risposto no Il viaggiatore non può sapere cosa sono A e B 18

19 INDOVINELLO Ci sono 100 persone, e almeno una di queste ha un timbro in fronte. Ognuno vede tutti gli altri e non vede sé stesso. Tutti sanno che almeno uno di loro ha il timbro in fronte. Il conduttore dice "alzi la mano chi sa di avere il timbro in fronte". Nessuno alza la mano. Ripete la richiesta e nessuno alza la mano. Così per 29 volte. Alla trentesima richiesta alzano la mano tutti e solo quelli con il timbro in fronte. Quanti sono quelli con il timbro in fronte? 19

20 INDOVINELLO Se la persona con il timbro in fronte è una sola, questa alza la mano alla prima richiesta perché vede tutti gli altri senza timbro e sa che almeno uno ha il timbro Se le persone con il timbro sono due, nessuno alza la mano alla prima richiesta, perché vede l altra con il timbro. Ma alla seconda richiesta i due con il timbro sanno che l altro non ha alzato la mano alla prima, quindi. TUTTE LE PERSONE AGISCONO RAZIONALMENTE 20

21 Principio di induzione verifico che la proprietà P vale per n0 (passo iniziale) [spesso n0 è 0 o 1] dimostro che: per ogni n n0 (se P vale per n, allora P vale per n+1) (passo induttivo) concludo che P vale per ogni n n0 21

22 Principio di induzione l uguaglianza è verificata per n=1 22

23 Aneddoto (n-1) + n n + (n-1) n+1 + (n+1) +. + (n+1) + (n+1) = n(n+1) 23

24 Problema dei timbri Proprietà P: se alle prime n richieste nessuno ha alzato la mano, allora i timbri sono più di n. P vale per n=1 Passo induttivo: supponiamo che P valga per un n arbitrario e dimostriamo che vale per n+1 24

25 Problema dei timbri Passo induttivo: la proprietà vale per n e nessuno ha alzato la mano fino alla (n+1)-esima richiesta Per l ipotesi induttiva sappiamo già (e le persone sanno già) che i timbri sono più di n Se i timbri fossero n+1, chi ha il timbro ne vedrebbe n, e, per il passo precedente, alzerebbe la mano. Se dunque nessuno alza la mano alla (n+1)-esima richiesta, allora i timbri sono più di n+1. 25

26 Problema dei timbri Possiamo quindi concludere che la proprietà P vale per ogni n. Dalla dimostrazione segue inoltre che, se i timbri sono n, allora le persone col timbro alzano la mano all n-esima richiesta. 26

27 Paradosso: tutti i cavalli sono dello stesso colore In un insieme con un solo cavallo, tutti i cavalli hanno lo stesso colore. Passo induttivo: gli insiemi con n cavalli hanno cavalli dello stesso colore ha cavalli tutti dello stesso colore consideriamo un nuovo cavallo ha cavalli tutti dello stesso colore 27

28 Tutti i cavalli sono dello stesso colore Quindi e hanno lo stesso colore Possiamo concludere che ha cavalli tutti dello stesso colore 28

29 GIOCO DELLE TRE SCATOLE In un gioco televisivo ci sono tre scatole. Una contiene un ricco premio, le altre non contengono niente. Il conduttore del gioco sa quale scatola contiene il premio. Il concorrente viene invitato a scegliere una scatola. Sceglie la scatola A. Almeno una delle scatole rimanenti è vuota, e il conduttore fa vedere che la scatola B è effettivamente vuota. Ora il concorrente può decidere se mantenere la scatola A o scegliere la C. Cosa gli conviene fare? 29

30 GIOCO DELLE TRE SCATOLE Per capire la soluzione, supponiamo che, anziché 3, le scatole siano100. Il giocatore ne sceglie una e il conduttore del gioco, che conosce il contenuto delle scatole, ne mostra 98 di vuote. E più probabile che la scatola con il premio sia quella scelta dal giocatore o quella rimasta delle 99? 30

31 Problemi con l infinito Già Galileo osserva che i quadrati dei numeri naturali sono «tanti quanti» i numeri naturali Ma allora non è vero che «il tutto è maggiore di una sua parte»! 31

32 Problemi con l infinito Abbiamo infinite palline numerate con i numeri naturali: 1, 2, 3,.. Il primo giorno mettiamo in una grande scatola le palline da 1 a 10, e togliamo la 1. Il secondo giorno mettiamo nella scatola le palline da 11 a 20, e togliamo la 2 Il terzo giorno mettiamo nella scatola le palline da 21 a 30, e togliamo la 3. 32

33 Problemi con l infinito Dopo infiniti giorni quante sono le palline nella scatola? Infinite, o la scatola è vuota? Osservazione 1: Il numero di palline nella scatola è crescente (ogni giorno aumenta di 9) Osservazione 2: prima o dopo ogni pallina viene tolta dalla scatola. 33

34 Problemi con l infinito 0, = 0,5 + 0,05 + 0,005 + = (1 0,5) + (1 0,95) + (1 0,995) +.. = 1+ ( 0,5 + 1) + ( 0,95 + 1) + ( 0,995 +1) +.. = 1+ 0,5 + 0,05 + 0, = 1,

35 Problemi con l infinito 0, = 1, Cosa abbiamo fatto? abbiamo applicato la proprietà associativa della somma: (5+7)+3 = 5+(7+3) ma con le somme infinite tutto cambia 35

36 Problemi con l infinito fissato un numero reale arbitrario r, possiamo cambiare l ordine di infiniti addendi in modo che la somma infinita sia r anche la commutatività della somma non vale più 36

37 Un test a risposta multipla deve avere un unica risposta esatta su quattro. Dire, tra le seguenti situazioni, quale può effettivamente verificarsi. La risposta A è equiv.e alla B, la C è equiv. a D La risposta A è equiv.e alla negazione della B, la C è equiv. alla negazione della D La risposta A è equiv.e alla B, la C è equiv. alla negazione della D La risposta A è equiv.e alla B, La negazione della C è equiv. alla negazione della D 37

38 Aldo, Giovanni e Giacomo, indagati per un reato, vengono interrogati. Aldo dichiara: Sono colpevole. Giovanni dichiara: Il colpevole è Aldo Giacomo dichiara: Non sono colpevole. La polizia sa per certo che il colpevole del reato mente, e almeno uno dei non colpevoli dice il vero. Allora, (A) Il colpevole è Aldo (B) Il colpevole è Giovanni (C) Il colpevole è Giacomo (D) non possibile determinare la risposta con certezza. 38

39 Aldo dichiara: Sono colpevole. Giovanni dichiara: Il colpevole è Aldo Giacomo dichiara: Non sono colpevole. Il colpevole del reato mente almeno uno dei non colpevoli dice il vero. Aldo non è colpevole (ma mente) Giovanni mente Giacomo dice il vero Giovanni è colpevole 39

40 Commenti al test E paradossale che Aldo dica: sono colpevole? No! Dire il falso non significa essere colpevole A colpevole A mente A mente e si dichiara colpevole A innocente Concludiamo che A è innocente Consecuzio Mirabilis: (ϕ non(ϕ)) non(ϕ) 40

41 Bob dice di adorare i gelati. I gelati sono dolci, e chi adora i gelati adora anche i limoni. Allora: (A) Bob adora tutti i dolci (B) Bob adora tutti i dolci, soprattutto se mangiati insieme ai limoni (C) Chi adora i gelati, adora i dolci (D) Bob adora i limoni 41

42 Commenti al test Bob dice di adorare i gelati. I gelati sono dolci, e chi adora i gelati adora anche i limoni. Allora: A) Bob adora tutti i dolci... NO C) Chi adora i gelati, adora i dolci... NO D) Bob adora i limoni... SI Osservazione: la seconda informazione è superflua A cosa serve? A dare credibilità alla risposte A e C 42

43 Vito e Franco dicono sempre rispettivamente il vero e il falso. Mario invece dice a volte il vero e a volte il falso. X e Y due di questi tre signori dicono rispettivamente io sono Franco e io sono Mario. Allora a) non si può sapere chi sono X e Y b) X è Mario e Y è Franco c) X è Franco e Y è Mario d) X è Mario e Y è Vito 43

44 Osservazioni: Commenti al test Osservazione utile: Vito non può essere X o Y Attenzione alla distinzione tra risposta possibile e risposta necessariamente vera 44

45 Vito e Franco dicono sempre rispettivamente il vero e il falso. Mario invece dice a volte il vero e a volte il falso. X e Y sono due di questi tre signori. Quale delle seguenti situazioni NON è logicamente possibile. a) X e Y dicono di essere Franco b) X e Y dicono di essere Mario c) X dice di essere Vito, Y dice di essere Franco d) X dice di essere Mario, Y dice di essere Franco 45

46 La negazione della frase can che abbaia non morde è A) tutti i cani che abbaiano mordono B) c è almeno un cane che abbaia e morde C) c è almeno un cane che non abbaia e morde D) c è almeno un cane che non abbaia e non morde 46

47 Osservazioni: Commenti al test can che... è un universale: tutti i cani che abbaiano non mordono Quindi la negazione sarà un esistenziale c ( c abbaia non (c morde) ) se negato diventa c non ( c abbaia non (c morde) ) c ( c abbaia e c morde ) 47

48 L affermazione «se tutti i gatti sono carnivori, allora esiste un gatto vegetariano» A) implica che non esistono gatti carnivori B) implica che non esistono gatti vegetariani C) è sempre falsa D) implica che esistono gatti vegetariani carnivoro = non vegetariano 48

49 Commenti al test «se tutti i gatti sono carnivori, allora esiste un gatto vegetariano» equivale a: «non tutti i gatti sono carnivori oppure esiste un gatto vegetariano» «esiste un gatto vegetariano oppure esiste un gatto vegetariano» 49

50 La negazione della frase tutti sono ricchi e almeno uno non è felice è A) nessuno è ricco e almeno uno è felice B) qualcuno è ricco oppure nessuno è felice C) qualcuno non è ricco oppure tutti sono felici D) esiste almeno uno non ricco e felice 50

51 Commenti al test L esercizio si presta bene alla formalizzazione Negazione di: tutti sono ricchi e almeno uno non è felice x ( x è ricco ) e y ( y non è felice) se negato diventa non( x ( x è ricco )) oppure non( y ( y non è felice)) x ( x non è ricco ) oppure y non ( y non è felice) x ( x non è ricco ) oppure y ( y è felice) 51

52 Mario dice alternativamente il vero e il falso (cioè ogni sua affermazione vera è seguita da una falsa, e viceversa). Quale delle seguenti affermazioni è attribuibile a Mario? A) La mia precedente affermazione è vera B) La mia precedente affermazione è falsa C) Questa mia affermazione è falsa D) La mia prossima affermazione sarà vera 52

53 Osservazioni: Paradosso nella risposta C Commenti al test Affermazione attribuibile : dobbiamo guardare le risposte impossibili Osservare che le risposte A e D si trattano allo stesso modo 53

54 Se alcune biciclette hanno il cambio allora A) ci sono biciclette senza cambio B) non ci sono biciclette senza cambio C) tutte le biciclette hanno il cambio D) non tutte le biciclette sono senza cambio 54

55 Commenti al test Se alcune biciclette hanno il cambio allora A) ci sono biciclette senza cambio Solito conflitto B) non ci sono biciclette senza cambio C) tutte le biciclette hanno il cambio Sono equivalenti e ovviamente sbagliate D) non tutte le biciclette sono senza cambio OK Si può osservare che ripete la prima affermazione. E grave? NO 55

56 Giovanna ha deciso che domani indosserà una maglietta e, se sarà bel tempo, questa sarà di colore verde. Se l'indomani il tempo sarà brutto, dalla decisione di Giovanna si può dedurre che (a) la maglietta potrà avere un colore qualsiasi; (b) la maglietta sarà rossa; (c) la maglietta non sarà verde; (d) nessuna delle precedenti possibilità è corretta. 56

57 Commenti al test (a) la maglietta potrà avere un colore qualsiasi; (b) la maglietta sarà rossa; (c) la maglietta non sarà verde; sono tutte situazioni possibili ma dalle premesse possiamo dedurre solo la (a) 57

58 2 Si consideri l equazione x + 2x + a = 0 e la condizione a 0 a) la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché l equazione abbia due soluzioni distinte; b) la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l equazione abbia due soluzioni distinte; c) la condizione è necessaria e sufficiente affinché l equazione abbia due soluzioni distinte; d) la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché l equazione abbia due soluzioni distinte. 58

59 Commenti al test 2 x + 2x + a = 0 a 0 la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l equazione abbia due soluzioni distinte (si intende reali) con 0 < a < 1 abbiamo ancora due sol. distinte 59

60 Si consideri l equazione x 2 + ax + 3 = 0 e la condizione a = 2 3 a) la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché l equazione abbia un unica soluzione; b) la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l equazione abbia un unica soluzione; c) la condizione è necessaria e sufficiente affinché l equazione abbia un unica soluzione; d) la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché l equazione abbia un unica soluzione. 60

61 Commenti al test 2 x + ax + 3 = 0 a = 2 3 la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l equazione abbia un unica soluzione con a = 2 3 abbiamo ancora un unica soluzione 61

62 Si consideri il triangolo ABC, la sua altezza AH, e la condizione che i triangoli ABH e ACH siano simili. a) la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché ABC sia rettangolo; b) la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché ABC sia rettangolo; c) la condizione è necessaria e sufficiente affinché ABC sia rettangolo; d) la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché ABC sia rettangolo. 62

63 Commenti al test A La condizione che ABH sia simile a AHC non è sufficiente affinché ABC sia rettangolo B H C H C Il triangolo ACH è un solo segmento A B La condizione che ABH sia simile a AHC non è necessaria affinché ABC sia rettangolo 63

64 Si consideri il triangolo ABC, la sua altezza AH, e la condizione che i triangoli ABH e ACH siano simili. a) la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché ABC sia rettangolo in A; b) la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché ABC sia rettangolo in A; c) la condizione è necessaria e sufficiente affinché ABC sia rettangolo in A; d) la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché ABC sia rettangolo in A. 64

65 Commenti al test A B H C La condizione che ABH sia simile a AHC è necessaria affinché ABC sia rettangolo in A 65

66 Sia X un insieme non vuoto. Quali delle seguenti affermazioni è errata? a) Se X è finito, allora ogni funzione f : X X iniettiva è anche suriettiva b) Se X è infinito, allora esiste una funzione f : X X che è suriettiva e non iniettiva c) Se esiste una funzione f : X X iniettiva e non suriettiva, allora X è infinito d) Esiste sempre almeno una funzione f : X X che è iniettiva e non suriettiva 66

67 Venti compagni di classe decidono di giocare a tennis. Ogni giorno quattro di loro si trovano sul campo per una partita in doppio, in modo tale da non ripetere mai due volte uno stesso incontro (due medesime coppie si troveranno una volta soltanto a giocare l'una contro l'altra). Dopo quanto tempo avranno giocato tutti i possibili incontri? a) Entro cinque anni scolastici b) Entro un anno scolastico c) Dopo più di 26 anni d) 100 anni non bastano 67

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