G. Bracco - Appunti di Fisica Generale. G. Bracco - Appunti di Fisica Generale

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1 Valori misurati e precisione Ogni misura viene effettuata utilizzando un opportuno strumento e procedimento di misura (che definisce la GF). Questo implica che esiste un valore minimo che si può apprezzare con lo strumento al di sotto del quale i valori di due GF sono indistinguibili (sensibilità dello strumento). Questo vuol dire che il valore misurato si conosce entro un intervallo di indeterminazione pari alla sensibilità dello strumento. Ciò limita il numero di cifre che rappresenta il valore numerico della GF misurata. La semiampiezza di questo intervallo è chiamato Errore assoluto ΔE (con le stesse unità della GF a cui si riferisce, cioè omogeneo ad essa, inoltre il valore è sempre positivo). L errore assoluto fornisce un modo di valutare la precisione di una misura. 1 2

2 3 Scrittura del valore di una GF È da osservare che la misura di una GF A si indica correttamente e in modo completo nel seguente modo: A= (A o ±ΔA) udm dove A o è il valore misurato, ΔA il suo errore, e udm l unità di misura della GF, mancando l errore e/o l udm il valore misurato è incompleto. Es. Comprami 5 di pane non specifica esattamente cosa voglio (5 panini, 5 chilogrammi) Mentre è possibile sottointendere l errore (vedere la parte di cifre significative), l udm va sempre esplicitata. Per alcune unità di misura di GF Derivate si utilizzano anche nomi particolari (p.es. per la carica elettrica C (coulomb), per la forza N (newton)). In tal caso anche se l udm è indicata con lettera maiuscola, il nome per intero (anche se di persona) viene scritto minuscolo. 4

3 Si definisce Errore relativo ε (o percentuale ε% se si moltiplica quello relativo per 100) il rapporto fra l errore assoluto e la misura della GF (se quest ultima è diverso da zero). Tale errore è adimensionale ed è utile per conoscere la precisione relativa di una misura: p.es. a)misura della larghezza di una porta di circa 1 m viene effettuata con metro a nastro (sensibilità di 1 mm) b)la distanza fra due incroci di una strada vale 5 km ed è conosciuta a meno di 1 m la misura a) ha ε=5 10-4, la misura b) ha ε= quindi la seconda ha una precisione relativa migliore nonostante l errore assoluto sia maggiore. 5 Cifre significative Poiché i valori misurati sono affetti da errore, il numero di cifre con cui il valore può essere scritto dipende dall errore assoluto stesso. Valori inferiori all errore assoluto sono privi di significato (poiché ricadono entro l intervallo di indeterminazione), questo vuol dire che il valore della GF comunque ottenuto deve essere arrotondato al numero di cifre che sono non inferiori a quelle dell errore (cifre significative). P.es. se si ottiene da un calcolo il seguente valore A o = e si conosce che ΔA=0.2 allora il valore di A va scritto tenendo le cifre fino ai decimi ovvero A=(1.6 ±0.2)udm (poiché la prima cifra trascurata è maggiore di 4 si aumenta di uno) mentre se ΔA=0.03 allora A=(1.58 ±0.03) udm. La cifra più a sinistra è detta cifra più significativa, quella più a destra meno significativa (nel valore 1.58 la cifra 1 è quella più significativa, 8 quella meno). 6

4 È anche possibile non esplicitare l errore e scrivere direttamente il numero di cifre corretto sottintendendo che l errore è ±1 sulla cifra meno significativa questo metodo fornisce grossolanamente l ordine di grandezza dell errore e viene utilizzato di frequente nel testo dei problemi per non far calcolare esplicitamente anche l errore sul valore finale ovvero A=1.58 udm si deve intendere A=(1.58±0.01)udm. Una scrittura A=2.00 udm non va perciò semplificata in A=2 udm o scritta poiché ciò significherebbe nel primo caso A=(2.00±0.01) udm nel secondo A=(2±1)udm, nel terzo A=( ± )udm. 7 Per valutare quante cifre significative compongono un valore è opportuno - scrivere il valore utilizzando le potenze di dieci in modo che esso contenga una sola cifra (unità) diversa da zero prima della virgola - contare tutte le cifre (compresi gli zeri finali). P.es diviene quindi ha 2 cifre significative (gli zeri prima del 2 non contano), 3000 diviene ovvero 4 cifre significative. Da notare che gli errori vengono solitamente forniti con una cifra significativa, due nel caso di misure di notevole precisione. (Nota: nel caso di numeri superiori all unità con zeri finali come 3000 alcuni testi riportano che hanno 1 sola cifra significativa poiché gli zeri successivi non contano, poiché ciò dà luogo a fraintendimenti, nel presente corso non useremo questo modo di procedere.) 8

5 Nelle operazioni è bene tener presente le seguenti regole pratiche: a) nella somma di numeri conta sempre l errore assoluto maggiore che limita il numero di cifre significative del risultato, b) nel prodotto, il numero di cifre significative è uguale al numero minimo di cifre significative presenti nei fattori. Quindi nella soluzione di problemi il numero di cifre del risultato non può essere superiore a quello minimo dei dati. Ordini di grandezza per esprimere ordini di grandezza si arrotonda il valore esprimendolo con opportune potenze di dieci. P.es. l ordine di grandezza di 3580 è 10 3, quindi l'ordine di grandezza è una stima arrotondata alla potenza di dieci più vicina (per 6450 è 10 4 ). Le unità SI vengono usate assieme ai prefissi SI, che tengono conto degli ordini di grandezza 9 Unità di misura e conversione fra differenti unità Dall analisi dimensionale si conosce il contenuto delle GF Fondamentali per le quali viene definito l unità campione U (nel S.I. metro m, secondo s, ) e quindi le unità di misura delle GF Derivate. Utilizzando gli esempi precedenti poiché [v]=[l][t] -1 l unità di misura di v sarà il m/s (o ms -1 ) e per i volumi il m 3. Abbiamo già visto che per alcune unità di misura di GF Derivate si utilizzano anche nomi particolari (carica elettrica C (coulomb), forza N (newton), frequenza hertz (Hz), capacità elettrica farad (F),...) ma queste sono riconducibili sempre alle udm delle GF fondamentali. Scegliendo diverse unità U per le GF Fondamentali si ottengono diverse unità di misura per le GF Derivate con valori numerici differenti. È necessario perciò poter passare da una unità ad un altra per effettuare calcoli in unità coerenti (ovvero di uno stesso sistema di unità come quello Internazionale). 10

6 Infatti, anche se matematicamente 1=1 (uno=uno) è un ovvia uguaglianza tra le grandezze adimensionali, le seguenti sono chiaramente errate (anche se le misure ai due membri si riferiscono a grandezze omogenee come è necessario per poterle confrontare): 1m =1 cm, 1 cm = 1 in (inch), 1 m 3 =1 l (litro) mentre sono corrette le seguenti 1m= 100 cm, 2.54 cm=1 in, 1 m 3 =10 3 l. Per passare da un unità ad un altra si può utilizzare il procedimento che si basa sul moltiplicare il membro di un eguaglianza per il rapporto unitario fra le diverse unità in modo che l uguaglianza non cambi. Vediamo alcuni esempi. Velocità: 60 km/h = x m/s dove x è il valore da trovare. Poiché 1 km= 10 3 m il rapporto 1km/10 3 m è unitario e quindi (10 3 m /1km) 60 km/h= m/h semplificando le unità di misura come se fossero monomi, d altra parte 1 h=3600 s quindi il rapporto 1h/3600s è unitario da cui (1h/3600s) m/h=60 (10/36) m/s infine 60 km/h= 60 (10/36) m/s= m/s 17 m/s arrotondato alle opportune cifre significative Densità (rapporto tra massa e volume): 5 g/l= 5 (1kg/10 3 g) g/l= kg/l= (1 l/10-3 m 3 ) kg/l=5 kg/m 3 11 Multipli e sottomultipli vengono utilizzati perché le unità di misura di un sistema non sempre sono le più convenienti in tutti fenomeni. Basti pensare alle misure di lunghezza: se 1 m è utile in molte circostanze su scala umana, ciò non è più vero su scala atomica o su scala galattica. Per limitare il numero di zeri da utilizzare (il raggio della prima orbita di Bohr dell atomo di idrogeno vale circa m) e per ragioni legate anche alle cifre significative si utilizzano i prefissi che moltiplicano l unità per potenze di dieci con esponenti multipli di 3 o -3. Multipli: chilo k =10 3, mega M=10 6, giga G=10 9, tera T=10 12, peta P=10 15, exa E=10 18 zetta Z=10 21, yotta Y=10 24 Sottomultipli: milli m=10-3, micro μ=10-6, nano n=10-9, pico p=10-12, femto f=10-15, atto a=10-18, zepto z=10-21, yocto y=10-24 Da osservare che per il kg i multipli e sottomultipli si formano a partire dal g e non dal kg quindi si scrive Mg e non kkg oppure mg e non μkg Esempi: le trasmissioni a modulazione di frequenza si trasmettono tra 88 e 108 MHz (mega hertz=10 6 Hz, con hertz unità di misura della frequenza), mentre i telefonini dual band funzionano a 900 MHz e 1.8 GHz le dimensioni atomiche sono inferiori a 1 nm (nano metro= 10-9 m), i condensatori più piccoli sono quelli da 1pF (pico farad= F, con farad unità di misura delle capacità elettrica) Problema: 1 anno luce=distanza percorsa dalla luce in un anno a quanti metri corrisponde con 2 cifre significative? 12

7 13 Esempi di sottomultipli di unità di misura 14

8 Esercizi: Sommare i seguenti numeri 2.54, 1.3, 0.02 Fare il prodotto dei seguenti numeri 2.1, 0.23, 0.05 Sapendo che X=10.8 m ha un errore relativo percentuale del 9% scrivere in modo completo e corretto X. Una grandezza adimensionale G dipende dalle seguenti tre grandezze adimensionali X=10.5±0.2 Y=1.2 ±0.2 Z=0.25 ±0.01 nel seguente modo G=X*Y 2 *Z 3. Calcolare l errore assoluto e relativo su G. Mediante un goniometro si è misurato un angolo α=10.2 ±0.3 Calcolare l errore assoluto e relativo su G=cos(α) 15