Department of Structures for Engineering & Architecture, University of Naples Federico II, Naples, Italy

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1 A simplified method for shear capacity assessment of circular RC crosssections Metodo semplificato per la valutazione della resistenza a taglio di una sezione circolare in c.a. E. Cosenza 1,3, G. Maddaloni 2,3, G. Cuomo 1 1 Department of Structures for Engineering & Architecture, University of Naples Federico II, Naples, Italy 2 Department of Engineering, University of Sannio, Benevento, Italy 3 Construction Technologies Institute, National Research Council (CNR), San Giuliano Milanese, Milan, Italy ABSTRACT: Reinforced concrete (RC) members with circular cross-section are widely used in structural and geotechnical engineering (e.g. columns in frame structures, foundation piles). Generally, for such members, the analysis is more complex than for rectangular cross-section and the problem is not sufficiently investigated in literature. Circular shape and uniform distribution of reinforcement along the perimeter cause some difficulties for a simple assessment of bending moment and shear capacity. In this study, for RC members with circular cross-section, an alternative method for the evaluation of shear capacity is presented. / Gli elementi in calcestruzzo armato con sezione circolare sono ampiamente utilizzati nel campo dell ingegneria strutturale e geotecnica. Generalmente però, la valutazione della resistenza è più complessa rispetto a quella delle sezioni rettangolari. La forma circolare e l uniforme distribuzione in punti discreti delle barre di acciaio lungo il perimetro, comporta alcune difficoltà per una semplice valutazione della capacità della sezione sia a flessione che a taglio. Nel presente lavoro è proposta una formula semplificata per la valutazione della capacità tagliante di una sezione circolare in calcestruzzo armato. KEYWORDS: circular cross-section, shear resistance, simplified formulation / sezione circolare, resistenza a taglio, formule semplificate. 1. INTRODUZIONE Per la valutazione della resistenza di elementi strutturali in calcestruzzo armato aventi sezione trasversale di forma circolare, la normativa europea [1] e quella italiana [2] non forniscono molte indicazioni. Secondo le NTC [2] per esempio, la capacità resistente a taglio, di Elementi con armature trasversali resistenti al taglio (di sezione qualsiasi), è assunta pari al valore minimo tra la resistenza del calcestruzzo e quella dell armatura trasversale, calcolate con il metodo del traliccio ad inclinazione variabile. Tuttavia, a causa della particolare forma della sezione e della posizione delle armature distribuite lungo il perimetro, non sempre è possibile applicare a elementi a sezione circolare, delle formule validate su sezioni di forma rettangolare o quadrata. Nella letteratura tecnica [3-13], si osserva una generale consuetudine nel considerare, per la valutazione della resistenza a taglio di un elemento in c.a. dotato di staffe, anche per le sezioni circolari, la schematizzazione con il traliccio di Mörsch o con il traliccio ad inclinazione variabile. Più dettagliatamente, in Ang et al. [3] la resistenza a taglio di elementi in c.a. a sezione circolare viene determinata assumendo snervate tutte le staffe che attraversano un ipotetica fessura trasversale inclinata a 45 ed effettuando una media integrale per la valutazione della componente verticale dello sforzo in ogni singola staffa. Nel 1993 Clarke e Birjandi [4], sulla base dei risultati di test effettuati a Camberley in Gran Bretagna presso la British Cement Association, suggeriscono di utilizzare anche per le sezioni circolari, le stesse formule proposte dal British Codes of Practice [14] per le sezioni rettangolari, ma assumendo l altezza utile come la distanza tra il lembo superiore e il baricentro delle barre di armatura in zona tesa. Priestley et al. nel 1994 [5] modificano il metodo proposto da Ang et al. [3] introducendo un ulteriore termine nella formula per il calcolo della resistenza a taglio, per portare in conto gli effetti della compressione assiale sul meccanismo ad arco. Successivamente Kowalsky e Priestley [6] introducono un ulteriore variazione al metodo

2 proposto da Ang et al. [3] sulla base dell assunzione che nella zona compressa le fessure sono assenti per definizione e portando in conto gli effetti della luce di taglio e della percentuale di armatura longitudinale. Dancygier nel 2001 [7] ha dimostrato come la formulazione di Ang et al., è efficace solo per gli elementi con diametro della sezione almeno pari a quattro volte il passo delle staffe. Per tutti gli altri rapporti la formula restituisce dei valori non conservativi con errori anche superiori al 50%. Kim e Mander [8], sulla base della stessa critica fatta da Dancygier nei confronti di Ang et al., propongono un fattore riduttivo della resistenza a taglio da applicare nel caso in cui il numero di staffe attraversate da una fessura sia superiore a 5. Merta [9-10] nel 2006 propone un approccio analitico per la valutazione della resistenza a taglio in membrature con sezione circolare, portando in conto per la prima volta anche i contributi resistenti che nascono per effetto della curvatura delle staffe, sia in termini di componenti di forza (radiale e tangenziale) che di confinamento e scorrimento. In Fiore et al. [13] la resistenza a taglio è valutata a partire dai risultati dei dati sperimentali di prove di laboratorio presenti in letteratura e applicando metodi di regressione numerica. Sono proposte 5 formule aventi una struttura abbastanza complessa in quanto caratterizzate dalla presenza di numerosi coefficienti correttivi. Lo scopo del presente lavoro, è quello di proporre una formulazione semplice che porti in conto i fenomeni specifici che caratterizzano la dinamica di rottura di tali elementi, suggerendo quindi un metodo alternativo al tradizionale meccanismo a traliccio, più efficace per membrature con sezione rettangolare o quadrata. 2. ANALISI DELLA SEZIONE CIRCOLARE IN C.A. Come noto, negli elementi in c.a., i contributi resistenti come l effetto spinotto, l ingranamento degli inerti, l effetto pettine etc. forniscono una capacità resistente a taglio anche alle membrature non dotate di specifica armatura. Come si evince dalla Figura 1, in una sezione circolare, il contributo per l effetto spinotto (dowel action) delle armature longitudinali, risulta incrementato rispetto a quello di una sezione rettangolare: la disposizione delle armature lungo l altezza della sezione consente una più efficace opposizione del calcestruzzo all espulsione delle barre di armatura. Figura 1. Contributo delle armature sub-verticali all incremento dell effetto spinotto. Inoltre, la presenza delle armature sub-verticali, consente anche di limitare l ampiezza nell apertura delle fessure da taglio, cucendo le lesioni nella parte centrale della sezione (Figura 2). Figura 2. Effetto benefico delle armature sub-verticali sull apertura delle fessure. Dunque il contributo della resistenza a taglio dell armatura longitudinale risulta molto più efficace di quello delle usuali sezioni rettangolari. Inoltre il quantitativo di armature longitudinali, distribuito in genere uniformemente e con percentuali spesso maggiori di quelle delle corrispondenti sezioni rettangolari, rende elevata la resistenza delle sezioni circolari senza specifica armatura trasversale. 3. METODO PROPOSTO Negli ultimi anni, al fine di proporre formulazioni semplificate ed efficaci per la determinazione della resistenza a taglio di membrature in c.a. con sezione circolare, diversi gruppi di ricerca hanno eseguito prove sperimentali. Una ricerca in letteratura ha permesso di trovare un totale di 85 test eseguiti su elementi in c.a. con sezione circolare. In particolare,

3 si riportano nel seguito le tabelle riepilogative dei risultati di 35 prove effettuate su elementi non armati a taglio (Tabella 1) e di 50 prove effettuate su elementi dotati di staffe (Tabella 2). Le caratteristiche geometriche e meccaniche dei provini testati e i valori di resistenza ottenuti, sono indicati in Tabella 1 e Tabella 2 con la seguente simbologia: della sezione circolare Il database è stato ricavato dalle seguenti sperimentazioni: Capon e de Cossio (1965) [15], Clarke e Birjandi (1993) [4], Kim (2000), pubblicato da Collins et al. nel 2002 [16]. I provini considerati presentano un diametro variabile da un minimo di 150 mm ad un massimo di 500 mm, una resistenza media del calcestruzzo compresa tra 13 MPa e 50 MPa, una percentuale di armatura longitudinale compresa tra 0.9% e 5.6% e trasversale tra 0.1% 0.45%. L obiettivo del presente lavoro è quello di proporre una formulazione semplice per la valutazione della resistenza a taglio delle membrature in c.a., che, partendo dall analisi dei contributi resistenti di elementi non armati a taglio, possa essere estesa anche al calcolo della capacità tagliante di elementi aventi specifica armatura. 3.1 Elementi non armati a taglio Secondo quanto proposto dalla normativa italiana NTC 2008 [2] e dall Eurocodice 2 [1] per una sezione generica in c.a. non amata a taglio ed in assenza di sforzo normale, i contributi resistenti possono essere valutati con la seguente formula: con d=altezza utile della sezione, Tale formula tiene conto dell interazione fra calcestruzzo e barre in acciaio, tanto in termini di dowel effect, in cui interviene la resistenza e la deformabilità del calcestruzzo, quanto dell effetto scala mediante il coefficiente k. Il primo contributo rimane concettualmente identico anche per le sezioni circolari se pur più elevato per il notevole quantitativo di barre e per la maggior efficienza dell interazione, ma anche leggermente ridotto da effetti di gruppo. L effetto scala si può ritenere poco rilevante per la grande efficienza locale del dowel effect e dell ingranamento degli inerti. Pertanto tale formula può essere estesa al calcolo del valore della resistenza a taglio per elementi con sezione circolare nel seguente modo: con Ac pari all area della sezione circolare, rapporto geometrico dell armatura longitudinale pari a e α coefficiente che tiene conto della maggiore efficace dei contributi resistenti a taglio (in particolare dell effetto spinotto) per le sezioni circolari. Il coefficiente α è stato ricavato dal fitting dei risultati sperimentale ed è risultato pari a Pertanto la formulazione proposta per la determinazione del contributo resistente a taglio di membrature non armate è: Elementi armati a taglio 3 Si è già descritta la grande rilevanza del contributo dell armatura longitudinale alla resistenza a taglio. Le percentuali di armatura trasversale che si utilizzano, viceversa non danno, spesso, un elevato contributo aggiuntivo, se confrontato con le usuali sezioni rettangolari. Pertanto si ritiene che, invece di fare una classica valutazione della resistenza mediante meccanismi tirante-puntone, sia sufficiente amplificare il contributo della sola armatura longitudinale mediante un coefficiente correttivo. b= larghezza della sezione

4 Tabella 1. Dati geometrici e meccanici relativi alle sperimentazioni su provini senza armatura a taglio. Riferimenti D f'c fyl ρ l test # mm Mpa Mpa % KN Clarke & BirJandi, 1993 [4] Capon &de Cossio, 1965 [15] Kim, 2000 [16]

5 Tabella 2. Dati geometrici e meccanici relativi alle sperimentazioni su provini con armatura a taglio. Riferimenti D f'c fyl ρ l fyw ρ w s test # [mm] [MPa] [MPa] [%] [MPa] [%] [mm] [kn] Clarke & BirJandi, [4] Capon & de Cossio, [15] Kim, 2000 [16]

6 La valutazione della resistenza tagliante di membrature aventi specifiche armature è pertanto fatta a partire dalla formula riportata in Eq. (3), semplicemente amplificando il contributo calcolato con la stessa, così come indicato nella formula seguente: 1 4 dove è il rapporto geometrico dell armatura trasversale calcolato come dove è l area dell armatura trasversale, ovvero l area della sezione della staffa moltiplicata per il numero di bracci, mentre β è un coefficiente numerico che è stato ricavato dal fitting con i risultati sperimentali e risulta pari a 245. Dunque, la formula proposta per il calcolo della resistenza a taglio di elementi in c.a. con sezione circolare e armata trasversalmente, è la seguente: VALIDAZIONE DELLE FORMULAZIONI PROPOSTE Le formule proposte nel paragrafo precedente e relative alla determinazione della resistenza a taglio su membrature con e senza specifiche armatura a taglio, sono utilizzate per calcolare una resistenza teorica dei provini testati in laboratorio. Nelle Figure 3 e 4, si riportano in ascissa i valori sperimentali di resistenza a taglio ed in ordinata quelli teorici, rispettivamente per i 35 elementi non armati a taglio e per i 50 elementi dotati di staffe. Le Tabelle 3 e 4 riportano gli indici statistici dei rapporti tra le resistenze teoriche e sperimentali. Come è possibile notare, i valori ottenuti, sia in termini di media che degli altri indicatori statistici, consentono di asserire che la formulazione proposta coglie molto bene i risultati sperimentali. Viene di seguito presentato anche il confronto, per elementi non armati a taglio, tra valori di resistenza sperimentali e teorici utilizzando la formula proposta da Merta in [9] che in assenza di sforzo normale propone: dove rappresenta l area della sezione trasversale, il rapporto geometrico dell armatura longitudinale, la resistenza cilindrica del calcestruzzo e dipende dal rapporto tra la luce di taglio a ed il diametro della sezione e viene assunto pari a 1.25 per elementi tozzi 2.5 e 1 per elementi snelli. non arm teorico [kn] non arm sperimentale [kn] Figura 3. Elementi non armati a taglio: confronto tra resistenza sperimentale e teorica calcolati con la formula (3). Infine è un termine che porta in conto l effetto scala e viene determinato come segue: dove rappresenta l altezza utile della sezione e la dimensione massima degli aggregati. Tabella 3. Indicatori statistici dei rapporti resistenza teorica/sperimentale relativi al grafico di Figura 3 e alla formula proposta da Merta [9]. Formula proposta Merta [9] Valor medio μ Deviazione standard σ Coefficiente di variazione CoV Coefficiente di determinazione R Per elementi dotati di specifica armatura a taglio, il confronto tra valori di resistenza sperimentali e teorici è stato anche fatto utilizzando le formule proposte da Fiore et al. in [13] e da Merta in [9]. La formula di Fiore et al. è quella delle 5 proposte in [13], con tre parametri valutati numericamente con riferimento a tre diversi contributi meccanici, che ha dato i migliori risultati in termini di indicatori statistici:

7 0, dove Asl ed Ash rappresentano rispettivamente l area di armatura longitudinale e trasversale della sezione, D il diametro della sezione, fyw la resistenza allo snervamento dell armatura trasversale, f c la resistenza cilindrica del calcestruzzo, s il passo delle staffe, d altezza utile della sezione. arm teorico [kn] arm sperimentale [kn] Figura 4. Elementi armati a taglio: confronto tra resistenza sperimentale e teorica calcolata con la formula (4). La formula proposta da Merta [9] per la determinazione della resistenza a taglio di elementi aventi specifica armatura, non è altro che la stessa proposta per le sezioni non armate, alla quale viene aggiunto il contributo resistente delle armature trasversali Vs: dove, e sono parametri da determinare in base allo spessore del copriferro, all angolo ϑ di inclinazione della biella compressa nel meccanismo a traliccio ed in funzione di altre variabili. Per la determinazione di questi parametri si rimanda all articolo di Merta [9]. La Tabella 4 riporta gli indicatori statistici dei risultati ottenuti. Al fine di investigare ulteriormente l adeguatezza della formula proposta per la valutazione della resistenza a taglio per elementi con specifica armatura, è stata implementata una campagna di simulazioni, facendo variare i parametri geometri e meccanici di un elemento in c.a. con sezione circolare, così come riportato nella Tabella 5. Sono stati così generati un totale di 520 casi. Tabella 4. Indicatori statistici dei rapporti resistenza teorica/sperimentale relativi al grafico di Figura 4, alla formula proposta da Fiore et al. [13] ed alla formula proposta da Merta [9]. Formula proposta Fiore et al. [10] Merta [9] Valor medio μ Deviazione standard σ Coefficiente di variazione CoV Coefficiente di determinazione R Tabella 5. Elenco dei valori assunti dalle variabili per le simulazioni. D cm f'c MPa s mm ρ l % f yl MPa 450 f yw MPa 450 Diametro mm staffe 8 In Figura 5 per i 520 casi generati, si riporta il confronto tra i valori di resistenza a taglio, stimati con la formula proposta in (Eq. 4), con quelli valutati con la formula di Fiore et al. [13] riportata in Eq. (8). La Tabella 6 riporta gli indicatori statistici dei risultati ottenuti. arm teorico [kn] Fiore teorico [kn] Figura 5. Confronto tra resistenza teorica valutata secondo la formula proposta (Eq. 4) e quella valutata con la formula di Fiore et al. [13] riportata in Eq. (8).

8 Tabella 6. Indicatori statistici dei rapporti di resistenza teorica relativi al grafico di Figura 5. Valor medio μ Deviazione standard σ Coefficiente di variazione CoV Coefficiente di determinazione R Come si può notare, la formula proposta consente di ottenere un valore medio della resistenza molto simile a quello ottenuto con la formula di Fiore et al. [13]. Analogamente, anche i valori della deviazione standard σ, del coefficiente di variazione CoV e del coefficiente di determinazione R 2 confermano la bontà della formulazione proposta. 5. CONCLUSIONI In questo lavoro viene proposta una nuova formulazione per la valutazione della capacità resistente a taglio per elementi in calcestruzzo armato a sezione circolare con e senza specifica armatura a taglio. Le formule si basano sul considerare l importante contributo resistente a taglio che nasce per effetto della particolare tipologia di sezione. La disposizione delle armature sul contorno della sezione ed in particolare la presenza di armature a giacitura sub-verticali, assimilabili ad armature di parete, presenti in percentuale rilevante nelle sezioni circolari, consentono di ottenere un contributo di resistenza a taglio rilevante rispetto alla sezione rettangolare. Poiché il contributo resistente aggiuntivo legato alla posizione di queste armature longitudinali si sviluppa sia negli elementi armati che non armati a taglio, le formule proposte rappresentano anche un tentativo di unificazione del metodo di calcolo, partendo dalla resistenza di elementi non armati e portando in conto il contributo dell armatura trasversale attraverso un coefficiente determinato numericamente. Per il controllo dell affidabilità delle formulazioni proposte, è stata valutata la resistenza a taglio di elementi in c.a. a sezione circolare testati in laboratorio e presenti in letteratura. Le formule proposte consentono di ottenere valori estremamente affidabili sia per elementi armati che non armati a taglio. In particolare, per gli elementi non armati si riscontra un rapporto tra la resistenza teorica e quella sperimentale con uno scarto quadratico medio del 16% circa ed un coefficiente di determinazione R 2 pari al 94%. Per gli elementi aventi specifiche armature a taglio si riscontra uno scarto quadratico medio inferiore al 10% ed un coefficiente di determinazione R 2 pari al 96%. Un riscontro ancora più oggettivo sull affidabilità delle formulazioni proposte ed in particolare di quella utilizzata per gli elementi con specifica armatura a taglio, è stato fatto attraverso il confronto con i valori di resistenza ottenuti utilizzando una formula di letteratura a più parametri proposta da Fiore et al. [13]. Su una popolazione di valori di resistenza di circa 500 casi simulati, si ottiene una media dei rapporti delle due resistenze circa pari a 0,91 ed un coefficiente di determinazione molto prossimo all unità (R 2 =0,98), confermando quindi la validità della formulazione proposta. Le formulazioni proposte possono quindi ritenersi attendibili e soprattutto estremamente semplici, perché costituite da pochi parametri. 6. BIBLIOGRAFIA 1. Eurocode 2, "Design of Concrete Structures: ENV : Part 1.1: General rules and rules for buildings, CEN" Norme tecniche per le costruzioni - D.M. 14 Gennaio 2008, Italia. 3. Ang, B.G., Priestley, M.J.N., Paulay, T. "Seismic Shear Strength of Circular Reinforced Concrete Columns", ACI Structural Journal, ACI, V. 86, No.1, Jan.-Feb Clarke, J.L., Birjandi, F.K. "The Behaviour of Reinforced Concrete Circular Sections in Shear", The Structural Engineer, Institution of Structural Engineers, V. 71, No. 5, March Priestley, M.J.N., Verma, R., Xiao, Y., "Seismic Shear Strength of Circular Reinforced Concrete Columns", Journal of Structural Engineering, ASCE, V. 120, No.8,, pp Aug Kowalsky, M.J., Priestley, M.J.N., "Improved Analytical Model for Shear Strength of Circular Reinforced Concrete Columns in Seismic Regions", Structural Journal, ACI, V. 97, No.3, May Dancygier, A., "Shear Carried by Transverse Reinforcement in Circular RC Elements", Journal of Structural Engineering, ASCE, V. 127, No.1, Jan Kim, J.H., Mander, J.B., "Theoretical Shear Strength of Concrete Columns Due to Transverse Steel", Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 131, No. I, January Merta I., Analytical Shear Capacity Model of RC Circular Cross-Section Members under Monotonic

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