1. Impostazione di un semplice modello FEM

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1 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 16/07/2012, pagina 1/6 Cognome: Anno accademico in cui si è seguito il corso Nome: 2011/2012] 2010/2011] 2009/2010] ] Matricola: 1. Impostazione di un semplice modello FEM Considerare il serraggio di un componente tubolare in parete sottile entro il mandrino di un tornio a 3 ganasce come da figura 1a. Scopo dell'analisi è valutare lo stato tensionale e deformativo del tubolare, nei seguenti casi di carico. p y q z x 1a: ganasce e loro zone di contatto su tubo sottile (facce esterne e proiezione delle stesse alla superficie interna) 1c: pressione serraggio + tensioni tangenziali d'attrito + coppia equilibrante in estremità (via RBE3) C p y r x t r 1b: pressione serraggio 1d: pressione esterna e contropressione interna 1e: pressione esterna contro appoggio interno, a tutto sviluppo assiale Caso di Fig. 1b {$$}{p }: sola applicazione di una pressione distribuita p sulle facce esterne a contatto con le ganasce. Caso di Fig. 1c {$$}{p }: come da caso di Fig. 1b, ma con aggiunta di una sollecitazione torsionale del tubo applicata mediante un'azione tangenziale d'attrito q in corrispondenza delle ganasce, e coppia concentrata C equilibrante applicata in testa al tubo mediante un link di carico

2 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 16/07/2012, pagina 2/6 distribuito RBE3 1 come da figura. Caso di Fig. 1d {$$+}{p }: supponendo di voler rinforzare il tubolare in corrispondenza del serraggio con un elemento di contrasto interno della presa (es. un cilindro pieno), considerare un caso analogo all'1b ma con l'aggiunta di una contropressione interna r applicata sempre in corrispondenza delle ganasce. Interessa in particolare valutare lo schiacciamento della parete del tubo tra pressione applicata e contropressione. Caso di Fig. 1e {$$+}{p }: con elemento interno come da caso 1d, ma modellato mediante un vincolo di supporto radiale alle superfici interne del tubolare. Anche qui interessa valutare lo schiacciamento della parete del tubo, adottando l'ulteriore ipotesi semplificativa di pressione esterna e supporto interno agenti sull'intero sviluppo assiale 2 del tubolare. Si suppone inoltre di avere ad ogni nodo un sistema di riferimento con direzioni radiale r, tangenziale t, e assiale z, ulteriore rispetto al consueto x,y,z di figura. Per ognuno di questi quattro casi discutere quale sia la più efficiente modellazione FEM della struttura, ottenuta sfruttando ogni eventuale simmetria del modello, ed eventuali modellazioni in tensione/deformazione piana o in teoria delle piastre; Definire opportune condizioni di vincolo e carico da assegnare al modello. Si richiede di vincolare solamente i gradi di libertà nodali supportati dagli elementi utilizzati. Compilare una tabella nella forma: identificazione area vincolata o caricata tipo di carico o vincolo A, B, CD u x =0, u y =0, z =0 M Ft=10N, u r =0, u a =0, t =0 area EFGH pressione uniforme p Assemblaggio e vincolamento di semplice struttura FEM Considerare la struttura in figura (2d, plane stress) composta dai seguenti elementi triangolari equilateri di lato l elemento 1 (tria3) elemento 2 (tria3) elemento 3 (tria3) connettività (i,j,k)=(1,4,2) (i,j,k)=1,3,4 (i,j,k)=5,4,3 matrice di rigidezza elemento a 11 a 16 a 61 a 66] b11 b16 b 61 b 66] c11 c16 c 61 c 66] 1 link di corpo rigido RBE2 per gli studenti che han seguito il corso secondo AA o precedenti. 2 ritenuto rilevante rispetto alle dimensioni caratteristiche di sezione

3 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 16/07/2012, pagina 3/6 Quesito 2.1: {$$$}{p } Si richiede di assemblare i contributi delle matrici di rigidezza degli elementi entro la matrice di rigidezza globale, e di assemblare la forza concentrata F entro il vettore dei carichi. Fare attenzione alla scomposizione vettoriale della stessa. F1x F1y F2x F2y F3x F3y F4x F4y F5x F5y Matrice K, in forma piena b Quesito 2.2: {$$$}{p } Supponendo che il solo vincolo in 2 sia non omogeneo, e in particolare imponga uno spostamento x di entità -δ 2, riportare la matrice di rigidezza e il termine noto come restituito dalle procedure di vincolamento. Applicare tutti i vincoli di figura, controllando la congruità delle unità di misura. F1x F1y F2x F2y F3x F3y F4x F4y F5x F5y Matrice K, in forma piena b Quesito 2.3: {$}{p } Calcolare la larghezza di banda necessaria per contenere la matrice K di cui sopra 3. Quesito 2.4: {+}{p } Discutere come il campo tensionale, deformativo e di spostamenti della struttura variano al variare dell'entità di spostamento imposto -δ 2. 3 potrebbe risultare diversa pre e post vincolamento, nel caso riportare il valore massimo tra i due.

4 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 16/07/2012, pagina 4/6 3. Listato di programma Fortran 77 Teoria in pillole: Nell'ambito dell'analisi numerica, una matrice sparsa è una matrice i cui termini non nulli sono in numero molto minore rispetto al numero di termini totale. Sono particolarmente frequenti nelle analisi agli elementi finiti, in quanto tipicamente, l'equazione di equilibrio di un dato g.d.l. collezionerà contribuiti solo dai g.d.l. associati ai nodi limitrofi. Un metodo per memorizzare con alta efficienza una matrice sparsa consiste nel definire tre vettori A, IA, JA di lunghezza pari al numero di termini non nulli della matrice stessa. Il primo di questi vettori (A) è reale e contiene i valori ai termini non nulli, mentre il secondo e il terzo (IA e JA) sono interi e contengono gli associati indici di riga e di colonna rispettivamente. Risulta altresì efficiente per una varietà di operazioni mantenere i termini ordinati per indice di riga e secondariamente di colonna crescenti. Ad esempio, data la matrice in forma piena C: ] essa potrà essere memorizzata come matrice sparsa nella forma: A= ], IA= ], JA= ] Il quarto termine non nullo, ad esempio, è A(4) = 9.2 e si trova in posizione IA(4)=2, JA(4)=3. Questo ci indica che nella nostra matrice densa di partenza C(2,3) = 9.2. Si può notare come questo formato permetta di risparmiare spazio nel caso di matrici effettivamente sparse, mentre nell'esempio fornito lo spazio necessario per salvare in memoria la matrice sparsa è addirittura maggiore rispetto a quello necessario per memorizzare la matrice densa. Traccia listato Si chiede ora di implementare le seguenti subroutine Fortran 77 operanti con matrici sparse come sopra definite. {$$}{p } Scrivere una subroutine CHKSPARS(N, M, C, EPS, NELMAX, NEL) che, data la matrice rettangolare a valori reali C(N,M), ne conti il numero NEL di elementi a valore assoluto maggiore della tolleranza EPS, e visualizzi inoltre un messaggio a schermo nel caso i termini rilevati non nulli siano in numero maggiore del limite NELMAX fornito. {$$}{p } Scrivere una subroutine SP2DEN(NEL, A, IA, JA,N, M, C) che, data la matrice sparsa descritta dai vettori A(NEL), IA(NEL) e JA(NEL) come da teoria, e date le dimensioni N e M restituisca l'equivalente matrice in forma densa C(N,M). {+++}{p } Scrivere una subroutine SUMSPAR(NEL1, A1, IA1, JA2, NEL2, A2, IA2, JA2, NELS, S, IS, JS) che, date due matrici in formato sparso, definite quindi dai tre vettori A1(NEL1), IA1(NEL1), JA1(NEL1) la prima e dai tre vettori A2(NEL2), IA2(NEL2), JA2(NEL2) la seconda, calcoli la matrice somma S(NELS), IS(NELS), JS(NELS) in formato sparso. Due note: data la difficoltà del mantenere l'ordinamento per indice di riga e di colonna dei termini, si suppone di avere a disposizione una subroutine ORDINASP(NEL,A,IA,JA) per riordinare a fine sommatoria i termini per riga e quindi per colonna crescenti. dal momento che a priori non è possibile sapere quale sia il numero di elementi non nulli della matrice somma e, di conseguenza, la dimensione NELS dei vettori S, IS ed JS, essa in fase di chiamata (e quindi al di fuori della subroutine stessa) verrà definita come la massima possibile, ovvero NEL1+NEL2. 4. Listato al manipolatore algebrico Maxima {$$$+}{p }Sia data una trave di sezione rettangolare b h, ad asse circolare 4 di raggio r e sviluppo angolare di α radianti, incastrata ad un estremo e caricata da sforzo normale N all'altro. Impostare un listato al Maxima che restituisca la rotazione dell'estremità libera della trave stessa. 4 si utilizzi Castigliano nella sua formulazione per la trave diritta puramente flessionale

5 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 16/07/2012, pagina 5/6 5. Teoria degli Elementi Finiti 5.1 {$$$}{p } Formulazione dell'elemento triangolare tria3 Esprimere in forma generica le funzioni di interpolazione per gli spostamenti u(x,y) e v(x,y) per l'elemento triangolare tria3; Definire la procedura per ricavare i coefficienti α i delle funzioni di interpolazione in funzione degli spostamenti nodali; Ricavare le componenti di deformazione x, y, xy a partire dalla formulazione agli spostamenti; Descrivere in che forma il vettore x, y, xy T può essere ricavato dal vettore degli spostamenti nodali; Descrivere che tipo di relazioni legano il vettore x, y, xy T delle componenti di deformazione al vettore x, y, xy T delle componenti di tensione. Calcolare le componenti di deformazione per un elemento di coordinate nodali (0,0),(1,0),(0,1), e spostamenti nodali (0,0),(0,1),(0,0) ai nodi i,j,k rispettivamente. 5.2 {$$$}{p } Formulazione dell'elemento isoparametrico 4 nodi corso secondo a.a ] Descrivere la procedura di rilievo dello stato deformativo e tensionale puntuale ai punti di Gauss a partire dal vettore degli spostamenti nodali di elemento. corso secondo a.a. precedenti] Descrivere il ruolo dello Jacobiano della trasformazione (ξ,η)->(x,y) tra coordinate locali e globali nel passaggio dalle derivate del campo degli spostamenti u, v, u, v nelle coordinate locali alle derivate del campo degli spostamenti u x, v x, u y, v y in coordinate globali 6. Algoritmo Newton-Raphson per la soluzione di sistemi nonlineari - iterato base {$$$} Descrivere: il passo iterativo di un algoritmo Newton-Raphson per la soluzione del sistema di equazioni nonlineari r u =F ; un esempio di inizializzazione, ossia di definizione dei valori iniziali richiesti dal primo step iterativo, generalmente applicabile ai problemi strutturali; condizioni di convergenza per l'iterato.

6 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 16/07/2012, pagina 6/6 7'. Link di carico/momento distribuito RBE3 corso secondo a.a ] {$$++}{p } Considerare la struttura in figura, in cui un carico di 20N verticale è applicato al nodo "reference" C di un link di carico/momento distribuito RBE3, a cui sono connessi i nodi 1,2,3,4 della struttura con pesi come da tabella. Nota la modalità di distribuzione di carico e momenti propria dell'rbe3, definire le forze nodali trasmesse da tale link alla struttura. peso forza nodale trasmessa F1x = F1y = F2x = F2y = F3x = F3y = F4x = F4y = OPPURE 7". Problemi di instabilità nelle strutture corso secondo a.a. precedenti al ] {$$}{p } Calcolo del carico critico di instabilità per una a scelta tra le strutture: asta verticale (a) di lunghezza l, rigida e incernierata alla base, soggetta a carico compressivo di estremità e lateralmente supportata da una molla di rigidezza k. trave (b) a compressione, di modulo flessionale EJ, lunghezza l, incernierata alla base e supportata lateralmente in estremità da un carrello. 7.3 {++}{p } Proporre per una delle due strutture (c), (d) un grafico che leghi lo spostamento imposto δ alla reazione vincolare R, pre- e post-raggiungimento del carico critico. Notare l'incompribilità assiale di asta e trave.