Calcestruzzi con armatura tradizionale e fibre d'acciaio nei rivestimenti di gallerie

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1 Calcestruzzi con armatura tradizionale e fibre d'acciaio nei rivestimenti di gallerie Nuove procedure teorico-numeriche per il progetto dei rivestimenti di gallerie in FRC gettato in opera B. Chiaia, A.P. Fantilli, P. Vallini, Politecnico di Torino Nel presente articolo si presentano due nuove procedure teorico-numeriche per il progetto dei rivestimenti di gallerie di calcestruzzo fibrorinforzato (FRC) gettato in opera. Allo stato limite ultimo, la rottura duttile di tali elementi massivi è assicurata dalla presenza delle classiche barre d acciaio, la cui minima area trasversale è inferiore rispetto a quella calcolata con gli approcci proposti dalle norme tecniche Europee ed Americane. Ciò grazie alla capacità del conglomerato cementizio fibroso di sopportare tensioni di trazione anche in presenza di ampie fessure. Nella fase di esercizio, l ampiezza massima di fessura è calcolata con un nuovo modello di concio, capace di tenere in conto sia l effetto di bridging delle fibre, sia il classico fenomeno di tension stiffening. Entrambi i modelli proposti sono stati utilizzati nella progettazione di alcune gallerie in Italia. Nel campo delle costruzioni di opere in sotterraneo, quali le gallerie, i conglomerati fibrorinforzati (FRC) sono da tempo largamente utilizzati per la realizzazione dei rivestimenti provvisori in calcestruzzo proiettato. È solo negli ultimi vent anni che le fibre sono state adottate anche per la realizzazione dei rivestimenti finali, come mostrato da numerose gallerie a conci prefabbricati sparse in tutto il mondo (Vandewalle, 2005). La struttura di rivestimento di tali opere, soggetta prevalentemente a sollecitazioni normali e flessionali, richiede un quantitativo minimo di armatura di rinforzo. Poiché le sezioni trasversali dell arco raggiungono lo stato limite ultimo durante la fase di crescita delle fessure formatesi in zona tesa, lo sforzo massimo di trazione sopportato dall armatura ordinaria risulta pressappoco uguale a quello assorbito dal FRC teso. Infatti, proprio per la presenza delle fibre disperse nella matrice cementizia, è possibile riscontrare tensioni di trazione anche in corrispondenza di ampie aperture di fessura. Sulla base di quanto affermato, risulta necessario considerare l effetto benefico fornito dalle fibre al calcestruzzo in termini di resistenza a trazione. Tale contributo può essere valutato mediante approcci basati sulla meccanica della frattura non lineare. Un approccio semplificato per l analisi strutturale dei compositi cementizi fibrorinforzati è quello proposto dal Rilem TC-162 TDF (2003). Esso si basa sulla legge costitutiva tensioni - deformazioni (-) riportata in Fig.1, nella quale il ramo di softening relativo alla fase di postfessurazione è rappresentato da una bilatera ( > ε 1 ). Attraverso la relazione di Fig.1 è possibile tracciare i diagrammi di interazione momento flettente-sforzo normale, in grado di definire tutte le possibili coppie M-N resistenti per una qualsiasi sezione in FRC, anche in presenza di armatura ordinaria (R/FRC). È a partire da tali diagrammi che si basa la progettazione dei conci prefabbricati in FRC, il cui utilizzo conferisce alcuni vantaggi rispetto ad analoghi elementi in calcestruzzo ordinario. In essi la presenza delle fibre consente infatti di ridurre il quantitativo d armatura, anche se non la elimina completamente. Le barre d acciaio vengono concentrate in tali elementi soprattutto ai bordi, che risultano essere le zone più sensibili in quanto soggette alle azioni di spinta esercitate dai martinetti della TBM. Un ulteriore vantaggio che risulta dall aggiunta delle fibre nel conglomerato è la possibilità di realizzare conci di spessore minore, con conseguenti effetti benefici da un punto di vista strutturale, in quanto ne derivano una riduzione dei momenti 1

2 flettenti ed un miglioramento del comportamento membranale, con una più efficace azione di supporto del terreno. Sebbene la progettazione dei rivestimenti finali in calcestruzzo ordinario risulti più semplice se comparata con quella di analoghe strutture realizzate mediante assemblaggio di conci prefabbricati, non si riscontrano in letteratura esperienze condotte su rivestimenti realizzati in FRC gettato in opera. Applicazioni recenti del FRC nella realizzazione di rivestimenti finali gettati in sito (gallerie Faver-S.S 612 e Turina-Craviale-S.S. 23) hanno dimostrato, a conferma dei benefici derivanti dall aggiunta di fibre, una riduzione del quantitativo d armatura, con conseguenti risparmi nei costi ed un più rapido avanzamento nella costruzione (Chiaia et al., 2007). Con riferimento a tale tipologia di opere strutturali, considerando il contributo positivo di resistenza a trazione offerto dalle fibre al calcestruzzo, vengono nel seguito descritti due modelli d analisi, adottati rispettivamente per il calcolo dell armatura minima (relativamente allo stato limite ultimo) e la previsione del quadro fessurativo (relativamente allo stato limite di esercizio). 1 CALCOLO DELL ARMATURA MINIMA IN ELEMENTI DI FRC In strutture di calcestruzzo debolmente armate, il quantitativo d acciaio non deve essere inferiore ad un valore minimo, cosicché la condizione di stato limite ultimo può essere raggiunta per un momento di snervamento dell armatura ( M u ) superiore a quello di fessurazione del calcestruzzo ( M cr ). Anche per lo stato limite di esercizio deve essere garantito un quantitativo minimo d armatura in zona tesa, in modo da limitare l ampiezza delle fessure. Nelle strutture realizzate in FRC, la presenza delle fibre d acciaio disperse nella matrice cementizia determina una riduzione del quantitativo minimo d armatura necessaria, essendo le stesse in grado di assorbire sforzi di trazione anche in presenza di ampie fessure. Ciò implica che, a parità di armatura, un elemento inflesso in FRC è in grado di sopportare, rispetto ad un analogo elemento in calcestruzzo armato ordinario (RC), momenti flettenti più elevati, mostrando al contempo fessure di ampiezza più ridotta. Questo concetto assume maggiore rilevanza nel caso di strutture massive, come i rivestimenti finali di gallerie, per i quali è possibile formulare un nuovo approccio per il calcolo dell armatura minima (Chiaia et al., 2007). Il modello non lineare qui descritto, basato sulla relazione costitutiva del FRC proposta dal Rilem TC 162-TDF (2003), conduce al calcolo di una sezione d acciaio minore di quella ottenibile applicando le formulazioni proposte dalle Normative (Rilem TC 162-TDF, 2003; ACI, 1995; EC2, 2004), costituendo dunque una valida alternativa ad esse. Questo perché tali formule derivano dall analisi di elementi in calcestruzzo armato ordinario soggetti a trazione e, in quanto tali, sovrastimano l armatura minima A s,min per elementi inflessi, soprattutto se di grandi dimensioni. 2

3 Figura 1 Legge costitutiva del FRC proposta dal Rilem TC 162-TDF (2003). 2.1 IL CONCETTO DI ARMATURA MINIMA Nelle strutture debolmente armate è necessario un quantitativo minimo d armatura al fine di soddisfare i requisiti sia in fase di esercizio (controllo della fessurazione) che in fase di stato limite ultimo (garantire duttilità al comportamento strutturale prima di arrivare a collasso). Se si vuole pervenire ad una definizione di armatura minima si può analizzare la risposta di una trave inflessa su tre punti al variare della percentuale geometrica di armatura (Fig.2). Essendo A s,min l armatura necessaria ad assorbire la risultante di trazione che si libera al momento della formazione della fessura, senza superare la resistenza a snervamento f yk delle armature, si osserva in Fig.2 come la condizione M cr = M u rappresenti la soglia in corrispondenza della quale si verifica la transizione tra comportamento fragile e duttile. La relativa percentuale geometrica d armatura prende il nome di percentuale minima di armatura min. Figura 2 Definizione dell armatura minima (Chiaia et al., 2007): (a) prova a flessione su tre punti; (b) curve M- al variare di. L aggiunta delle fibre nel conglomerato comporta una sensibile riduzione del quantitativo minimo d armatura, in virtù del contributo positivo di resistenza a trazione fornito al composito dalle fibre medesime anche per elevati valori di inflessione e ampiezze di fessura non trascurabili, essendo quest ultime situazioni compatibili con il raggiungimento dello stato limite ultimo. Ciò trova conferma nel caso dei rivestimenti finali di gallerie, le cui sezioni massive richiederebbero un elevato quantitativo di armatura, qualora il calcolo di A s,min fosse condotto secondo gli approcci proposti dalle Normative, i quali trascurano l effettivo contributo fornito dalle fibre. 2.2 VALIDAZIONE DELLA LEGGE COSTITUTIVA DEL FRC La definizione di un nuovo metodo di calcolo, basato su un modello non lineare (Chiaia et al., 2007) per la valutazione di A s,min in elementi strutturali R/FRC, ha reso necessario verificare l attendibilità del legame - (Rilem TC 162-TDF, 2003), adottato per il dimensionamento strutturale delle sezioni (Fig.1). Mediante prove di flessione su tre punti su provini intagliati, di dimensioni tali da renderli simili alla tipologia strutturale dei rivestimenti finali di gallerie (B = 300 mm; H = 150 mm), si sono potuti stimare i parametri di resistenza a trazione residua in fase post-fessurata, coi quali definire il legame costitutivo del FRC adottato (costituito da 35 kg/m 3 di fibre Dramix RC-60/65-BN). 3

4 Figura 3 Trave in FRC sottoposta a prova di flessione su tre punti (Chiaia et al., 2007): (a) distribuzioni teoriche di M(z) e (z) per una data inflessione ; (b) confronto tra le curve P- ottenute per via analitica e sperimentale. La fase post-picco del diagramma - è stata riferita ad una lunghezza L c opportuna della regione di softening ove avviene la localizzazione delle deformazioni. Poiché la fessurazione di un elemento teso in FRC è accompagnata dal meccanismo di estrazione di una singola fibra dalla matrice, il massimo valore di L c è stato assunto pari alla lunghezza della fibra stessa. La verifica dell affidabilità del legame costitutivo ottenuto per il FRC impiegato per la galleria Craviale è stata condotta mettendo a confronto le curve carico-freccia ottenute sperimentalmente su travi in FRC non intagliate, con quelle valutate per via analitica (Fig. 3b). Il calcolo teorico del diagramma P- ha reso necessaria la definizione preventiva, per una generica sezione trasversale, del legame momento-curvatura (M-). In particolare, per un determinato valore di si può ricavare il corrispondente valore del momento flettente risolvendo il seguente sistema non lineare: H / 2 N 0 B, ydy H / 2 (1) H / 2 M B, y y dy H / 2 Una volta noto il legame M-, è possibile definire, al variare del carico P, i diagrammi del momento flettente M(z) e della curvatura (z) (Fig. 3a). Attraverso l equazione dei Lavori Virtuali, a partire dalle distribuzioni di M(z) e (z) che competono ad un determinato carico P, è possibile infine calcolare il valore della freccia in mezzeria. Il fuso delle curve P- ottenute sperimentalmente da prove condotte su 10 travi non intagliate viene riportato in Fig. 3b, dove è messo a confronto con le curve ottenute per via teorica, e calcolati per due casi differenti. Nel caso 1, la definizione del legame è avvenuta impiegando i parametri di resistenza stimati a partire dai risultati di test di compressione (Rilem TC 162-TDF, 2003) e usati per il progetto del rivestimento finale (Chiaia et al., 2007). Nel caso 2 sono invece considerati i parametri di resistenza ottenuti da prove a flessione su tre punti di travi intagliate. Dal momento che il contributo delle fibre diventa determinante per elevati valori di inflessione, risulta di particolare 4

5 interesse il confronto tra i dati numerici e sperimentali nella fase post-picco. Come mostra la Fig.3b, la curva P- del caso 2 cade all interno del fuso dei valori sperimentali per > 0.5 mm. La relazione - proposta dal Rilem TC 162-TDF (2003), se associata a una lunghezza L c della regione di softening pari alla lunghezza delle fibre (L c = 60 mm), fornisce dunque una riproduzione soddisfacente del comportamento strutturale di elementi in FRC in prossimità del collasso e può dunque trovare valida applicazione nel dimensionamento strutturale delle sezioni, ed in particolare della minima armatura. 2.3 IL MODELLO NON LINEARE PER IL CALCOLO DI A s,min Nella valutazione dell area minima d armatura da inserire in elementi strutturali RC possono essere adottate le formule proposte dall Eurocodice 2,..a meno che da calcoli più rigorosi non risultino sufficienti aree inferiori (EC2, 2004). Per elementi in R/FRC è preferibile affrontare la problematica relativa al rinforzo minimo attraverso un approccio differente che tenga conto dei benefici apportati dalla presenza delle fibre. Ciò è possibile attraverso l adozione di un modello non lineare (Chiaia et al., 2007) che consente di caratterizzare, mediante una procedura numerica, la risposta meccanica del materiale partendo da un analisi sezionale. Se sono noti il momento flettente M cr, lo sforzo normale applicato N d e la legge costitutiva del materiale (Fig. 1), la condizione limite che fornisce il valore di A s,min risulta: M u Mcr (2) In condizioni di sezione non fessurata, comportamento lineare elastico e distribuzione lineare delle deformazioni, M cr può così essere facilmente valutato: Nd Mcr W ct,max A (3) dove, W = B H 2 /6 = modulo di resistenza della sezione trasversale; N d = sforzo normale applicato (positivo se di compressione); A = B H = area totale della sezione trasversale; ct,max = f ctm,fl = valore medio di resistenza a trazione per flessione del calcestruzzo. Il momento ultimo M u, cioè l azione flettente che provoca la deformazione di snervamento syd nelle barre d armatura (Fig. 4b), non può essere invece valutato facendo ricorso ad una semplice formula come l Eq.(3) per M cr. Ciò è dovuto al comportamento non lineare del FRC, sia in trazione che in compressione. Risulta pertanto necessaria l introduzione di una procedura numerica non lineare per il calcolo di M u e di A s,min. Attraverso tale approccio, il quantitativo minimo d acciaio viene cambiato in modo iterativo fino a soddisfare l Eq.(2). Con riferimento alla Fig. 4, vengono nel seguito illustrati i passaggi in cui si articola la procedura numerica: Figura 4 Modello utilizzato per il calcolo di A s,min (Chiaia et al., 2007): (a) proprietà geometriche della sezione trasversale; (b) diagramma delle deformazioni; (c) diagramma delle tensioni. 5

6 1. Occorre definire la geometria della sezione, lo sforzo normale N d, le leggi costitutive del FRC (Fig. 1), dell acciaio ed il momento di fessurazione M cr (Eq.3). 2. Lo sforzo normale N d viene portato dal baricentro della sezione a quello delle barre d armatura tese ( y = H/2 - c, dove c è il copriferro). Le azioni N d e M d = M cr + N d (H/2-c) sono riportate in Fig. 4a. 3. Si assume un valore di tentativo per (Fig.4b) ( = valore di deformazione per y = 0). 4. Se si assume che la deformazione s delle armature tese eguagli quella di snervamento ( s = syd ), si può allora valutare il valore della curvatura (Fig. 4b). 5. Noti e, risulta possibile definire l intero profilo delle (y), mentre l andamento delle tensioni (,y) può essere ricavato applicando la legge costitutiva propria del FRC (Fig.1):, y y (4) 6. Si calcola il momento di risposta M r rispetto al baricentro dell armatura tesa considerando solo le tensioni agenti sul calcestruzzo: H M r, y y c da (5) 2 A c 7. Se il valore calcolato di M r è differente da M d, occorre attribuire un nuovo valore a e ripetere la procedura dal punto Nel caso in cui M r coincida con M d, è possibile calcolare l area d armatura minima valutando la risultante delle forze sulla sezione trasversale: Nd, y da Ac As,min (6) f Utilizzando la procedura numerica illustrata si è certi di poter contare su un comportamento duttile della struttura a fessurazione avvenuta. Infatti, per qualunque valore dello sforzo normale applicato, la condizione di stato limite ultimo viene raggiunta per un momento M u superiore o al più uguale a M cr (Fig. 2). Occorre evidenziare che il modello proposto non considera il meccanismo di aderenzascorrimento tra le barre d armatura e il FRC che, se fosse effettivamente preso in conto, porterebbe a un valore di M u maggiore di quello calcolato col metodo appena illustrato: ciò testimonia come il modello proposto risulti conservativo, quindi a favore di sicurezza. 2.4 APPLICAZIONE ALLE STRUTTURE MASSIVE Le strutture di rivestimento finale delle gallerie rappresentano una delle migliori applicazioni per il calcestruzzo fibrorinforzato. Il modello proposto ha trovato una valida applicazione nel calcolo dell area di rinforzo minima per il rivestimento finale della galleria Craviale (Chiaia et al., 2007). Da un confronto diretto tra i risultati ricavati seguendo le prescrizioni Normative e quelli ottenuti con il metodo non lineare precedentemente descritto, sia per strutture RC che R/FRC (Fig. 5a,b) si può constatare come il modello non lineare fornisca valori di A s,min nettamente inferiori. La differenza tra i risultati aumenta con l incremento dello sforzo normale N Sd, al punto che per N Sd > 2000 kn risulta del tutto superfluo l inserimento dell armatura minima. Ciò si verifica poiché l aumento della forza assiale di compressione determina un parziale scarico della struttura, alleggerendo la tensione di trazione indotta dal momento flettente. La riduzione d armatura necessaria, conseguente all impiego del FRC e di un modello di calcolo non lineare (Chiaia et al., 2007), ha dunque comportato vantaggi non indifferenti in termini di risparmio nei costi e rapidità nella costruzione. yd 6

7 Figura 5 Calcolo di A s,min : (a) caratteristiche geometriche della sezione; (b) valori di A s,min ottenuti applicando il modello non lineare (Chiaia et al., 2007) e le formule proposte dalle normative (Rilem TC 162-TDF, 2003; EC2, 2004). 2 VALUTAZIONE DEL QUADRO FESSURATIVO IN ELEMENTI STRUTTURALI IN FRC In strutture di calcestruzzo armato la valutazione dell ampiezza di fessura e della spaziatura tra le medesime è necessaria durante la fase di esercizio al fine di limitare, a seconda dell aggressività dell ambiente, la corrosione dell armatura. La presenza di fibre all interno del conglomerato costituisce un valido contributo per il raggiungimento di tale obiettivo, dal momento che le fibre stesse incrementano in modo significativo le azioni di cucitura lungo le fessure che attraversano, riducendone l apertura e dando luogo ad una microfessurazione diffusa. A tale proposito risultano necessari nuovi modelli per valutare in modo più attendibile tali effetti, generalmente trascurati dagli approcci tradizionali. Questi ultimi sono infatti basati su formule semi-empiriche, ricavate dall analisi del comportamento di una singola sezione trasversale, anziché di un ampia porzione di trave in RC o R/FRC soggetta a flessione. Ne consegue una sovrastima sia dell ampiezza che della lunghezza delle fessure. Per valutare in maniera più rigorosa il quadro fessurativo, si introduce nel seguito un modello basato sull analisi di un blocco di calcestruzzo (Chiaia et al., 2009), nel quale vengono presi in considerazione sia le azioni di cucitura esercitate dalle fibre lungo le fessure che il meccanismo di aderenza-scorrimento tra le barre d armatura ed il calcestruzzo teso circostante. Tale modello permette di prevedere contemporaneamente entità delle ampiezze di fessura, la spaziatura tra le medesime e loro profondità. 3.1 IL CALCOLO DELL AMPIEZZA DI FESSURA La valutazione dell apertura w delle fessure e della loro spaziatura s r in travi RC e R/FRC soggette a flessione e sforzi normali rimane ancora un problema aperto. Nonostante l elevato numero di ricerche condotte per strutture RC in circa un centinaio d anni, le formule proposte per il calcolo di w e di s r non hanno riscontrato un consenso unanime. Un tentativo di estensione di tali formule ai calcestruzzi fibrorinforzati c è stato da parte del Rilem TC 162-TDF (2003) sulla base di risultati ottenuti da prove sperimentali (Vandewalle, 2000). Tuttavia, l ampiezza delle fessure in travi realizzate in FRC continua ad essere valutata secondo le formule tradizionali, senza tener conto del quantitativo di fibre presenti (è da precisare 7

8 comunque la presenza di coefficienti che tengono, ad esempio, conto del rapporto d aspetto delle fibre, ma questi non modificano in modo apprezzabile il valore finale). Le formule proposte dalle Normative relativamente alla stima dell ampiezza w e spaziatura s r,max tra le fessure si rivelano dunque non molto attendibili per la previsione del reale quadro fessurativo che si sviluppa in elementi RC o R/FRC soggetti a momenti flettenti e sforzo normale. In esse, w viene infatti arbitrariamente assunta essere direttamente proporzionale ad un unico valore di s r,max, generalmente valutato una volta che il quadro fessurativo si è stabilizzato (situazione che si verifica quando l acciaio teso giunge a snervamento). Occorre allora ricorrere ad un approccio che fornisca una valutazione più attendibile del quadro fessurativo, calcolando contemporaneamente w e s r con un modello relativo ad un elemento finito di trave (Chiaia et al. 2009). Per valutare i possibili quadri fessurativi nei rivestimenti finali di gallerie realizzati in FRC, il modello proposto è stato adottato per l analisi dello stato limite di esercizio di strutture massive soggette ad azioni combinate di flessione e compressione. 3.2 UN MODELLO PER LA PREVISIONE DEL QUADRO FESSURATIVO In travi in RC o R/FRC, soggette ad una distribuzione costante o variabile di momenti flettenti, risulta praticamente impossibile prevedere un unica modalità di sviluppo del quadro fessurativo. Per tali strutture, a causa della natura casuale della fessurazione, appare più appropriato definire, per una data coppia di sollecitazioni M-N applicate, i valori massimo e minimo dell ampiezza di fessura e della spaziatura tra due fessure consecutive. Ciò risulta possibile analizzando un elemento finito di trave in FRC (Chiaia et al., 2009), dove w e s r vengono calcolati considerando non solo il meccanismo di aderenza-scorrimento tra le barre d armatura ed il calcestruzzo teso circostante, ma anche il comportamento non lineare del calcestruzzo fessurato soggetto a sforzi di trazione. In tal modo è possibile determinare gli stati di sforzo e deformazione nella sezione trasversale fessurata (tipo 1) del tratto di trave considerato. Come mostrato in Fig. 6, per un dato valore di w (misurato a livello dell armatura) e di h w (Fig.6a), nell ipotesi di un diagramma lineare delle deformazioni lungo la porzione di sezione non fessurata (Fig.6b), le deformazioni nel calcestruzzo c (y) e nell acciaio teso ( s ) e compresso ( s ) (e le relative tensioni c (y), s e ' s ) si possono ricavare a partire dalle seguenti equazioni di equilibrio: N yda A A (7) Ac c s s s s H H M c y yda s A s c sa s c A 2 2 (8) c In una trave soggetta a sforzi di compressione e flessione, l ampiezza massima di due fessure consecutive viene raggiunta in corrispondenza dell incipiente formazione di una nuova fessura (Fantilli e Vallini, 2004) tra esse interposta ed è in tale istante che si ha la massima distanza tra le due fessure prese in esame. La situazione di formazione incipiente di una seconda fessura, sempre facendo riferimento ad un blocco finito di trave, è schematizzata in Fig. 7a, dove si osserva nella sezione trasversale (tipo 2) il raggiungimento della resistenza a trazione f ct del calcestruzzo al lembo inferiore teso, mentre il calcestruzzo posto a livello dell armatura inferiore subisce la deformazione critica c,crit. Anche per la sezione 2, noti M e N, è possibile calcolare il diagramma delle deformazioni (Fig.7b) e delle tensioni (Fig.7c) tramite le Eqs.(7)-(8). Le sezioni trasversali di tipo 1 (Fig.6) e tipo 2 (Fig.7), delimitano il tratto di trave preso in esame (Fig.8a), il quale rappresenta metà della porzione di trave compresa tra due fessure primarie e viene valutato nel momento di incipiente formazione di una fessura secondaria nel mezzo delle due. Con riferimento a tale tratto, le tensioni e le deformazioni nelle barre d acciaio tese e nel 8

9 calcestruzzo circostante possono essere valutate attraverso le equazioni di tension-stiffening descritte nel seguito: d s ps (9) dz A s Figura 6 Sezione traversale fessurata (tipo 1) soggetta a M-N (Chiaia et al., 2009): (a) caratteristiche geometriche (b) diagramma delle deformazioni; (c) diagramma delle tensioni. Figura 7 Sezione trasversale in condizioni di fessurazione incipiente (tipo 2), soggetta a M- N (Chiaia et al., 2009): (a) caratteristiche geometriche; (b) diagramma delle deformazioni; (c) diagramma delle tensioni. ds s z cz (10) dz con, p s e A s, rispettivamente, il perimetro e l area delle barre d armatura tese; s = valore dello scorrimento tra acciaio e calcestruzzo circostante; s ed c rispettivamente deformazioni dell acciaio teso e del calcestruzzo a livello del rinforzo; z = coordinata orizzontale; = tensione tangenziale all interfaccia tra acciaio e calcestruzzo. Se sono note le leggi costitutive - dei materiali, la legge coesiva -w e la relazione di aderenza-scorrimento -s, è possibile procedere all analisi del tratto di trave. Per la precisione, per assegnati valori dello sforzo normale N e dell ampiezza di fessura w riferita al livello dell armatura, è possibile ottenere una relazione che lega tra loro w e M risolvendo le Eqs.(7)-(10) con le condizioni al contorno seguenti: s(z = 0) = w/2 (nella sezione trasversale di tipo 1, dove z = 0); c (z = l tr ) = c,crit (a livello dell armatura, nella sezione trasversale di tipo 2, dove z = l tr ). Per la simmetria deve essere altresì soddisfatta la condizione s = 0 nella sezione di tipo 2. Poiché l intento è quello di descrivere lo stato limite di esercizio di elementi strutturali RC e R/FRC, si assume per le barre d armatura un comportamento lineare elastico. 9

10 Figura 8 Tratto di trave adottato per la valutazione del quadro fessurativo (Chiaia et al., 2009): (a) posizione delle sezioni trasversali 1 e 2; (b) diagramma delle deformazioni nel calcestruzzo a livello dell armatura tesa; (c) diagramma delle deformazioni nell acciaio; (d) scorrimento tra acciaio e calcestruzzo. 3.3 SOLUZIONE DEL PROBLEMA Il modello descritto nei paragrafi precedenti, può essere risolto per via numerica attraverso la seguente procedura iterativa (Fig. 8): 1. Si assume un valore per lo sforzo normale N. 2. Si assume un valore per l ampiezza w della fessura a livello dell armatura, nella sezione trasversale fessurata (tipo 1) (Fig. 8a). 3. Si assume un valore di tentativo per la profondità h w della fessura, sempre relativamente alla sezione trasversale fessurata (Fig. 8a). 4. Dall equilibrio della sezione 1 [Eqs.(7)-(8)], si ricava il momento flettente M applicato. 5. Dall equilibrio della sezione 2 [Eqs.(7)-(8)], è possibile ottenere gli stati di sforzo e di deformazione nella sezione stessa, la quale si trova in condizioni di fessurazione incipiente (in modo particolare si può ricavare la deformazione c,crit nel calcestruzzo a livello dell armatura). 6. Si assume un valore di tentativo per la lunghezza l tr del tratto di trave considerato, la quale viene suddivisa in n porzioni ciascuna di lunghezza Δz. 7. Essendo note ai bordi sia le condizioni statiche che cinematiche, è possibile integrare numericamente le Eqs.(9)-(10) a livello dell armatura. In un generico punto i-esimo del dominio, gli incrementi di deformazione nel calcestruzzo (Fig.8b) vengono assunti analoghi ai decrementi di deformazione nell acciaio (Fig.8c), secondo le formule seguenti: (11a) 10 s, i s,0 i s,0 s, n c, i c,0 i c,0 c, n (11b)

11 dove s,n ed c,n sono, rispettivamente, le deformazioni dell acciaio e del calcestruzzo circostante nella sezione trasversale di tipo 2; s,0 ed c,0 sono, rispettivamente, le deformazioni dell acciaio e del calcestruzzo circostante nella sezione trasversale di tipo 1; i è un coefficiente che permette di descrivere l evoluzione delle deformazioni di acciaio e calcestruzzo lungo il tratto z considerato (0 i 1). Applicando alla Eq.(10) il metodo delle differenze finite e sostituendovi le Eqs.(11a)-(11b), è possibile definire s i in funzione di i, ottenendo l espressione seguente: si si 1 z i s,0 s, n c,0 c, n s,0 c,0 (12) In modo analogo, applicando il metodo delle differenze finite alla Eq. (9), si ricava il valore della deformazione i-esima dell acciaio ( s,i ): 4 s, i s, i1 z i 1 (13) Es Attraverso le equazioni ottenute risulta possibile calcolare nell ordine, a partire dal bordo sinistro del tratto di trave fino all estremità destra, i valori di s,i dalla Eq.(13), di i dalla (11a), di c,i dalla (11b) e di s i dalla (12). 8. Se in corrispondenza del punto n-esimo risulta s n 0, occorre cambiare la lunghezza l tr e ritornare al punto 6.; 9. Se in corrispondenza del punto n-esimo risulta c,n c,crit (quindi i 1) occorre cambiare h w e ritornare al punto 3. Fissata dunque una coppia di valori per N e w max, attraverso tale procedura si possono calcolare i valori di momento flettente M, profondità h w della fessura e distanza massima s r,max = 2 l tr tra due fessure consecutive (la distanza minima è pari a l tr ). Tale approccio, contrariamente alle formulazioni proposte dalle Normative, consente dunque di valutare in maniera completa tutte le principali caratteristiche del quadro fessurativo. 3.4 APPLICAZIONE AI RIVESTIMENTI DI GALLERIE Il calcolo dell apertura delle fessure nei rivestimenti di galleria realizzati in R/FRC è analogo al caso delle strutture in calcestruzzo armato ordinario. La differenza risiede nel fatto che nel caso del FRC viene considerata la resistenza a trazione residua a fessurazione avvenuta. Le azioni di cucitura esercitate dalle fibre in corrispondenza delle fessure sono in grado di ridurne le ampiezze che si riscontrerebbero altrimenti nelle travi RC. Ciò si può notare in Fig. 9, dove sono state calcolate le ampiezze di fessura per l arco rovescio della galleria Faver (S.S. 612) sotto la combinazione di carichi quasi permanente, relativamente alla fase di esercizio della struttura. 11

12 Figura 9 Confronto tra i vari modelli per la stima delle ampiezze di fessura nell arco rovescio della sezione F27 della galleria Faver (Chiaia et al., 2009). Nella stessa figura, i risultati ottenuti applicando tre approcci differenti (relativi al calcestruzzo semplice e al FRC, vengono messi a confronto con quelli valutati utilizzando il modello proposto. Dalla Fig.9 è possibile osservare come a parità di sollecitazioni applicate (N Sd ~ 0 e M Sd = 219 kn m) il modello proposto fornisca un valore di ampiezza di fessura inferiore a 0.2 mm (massimo valore di progetto ammesso per l esercizio). In altri termini, solo attraverso il block model qui proposto è possibile valutare in maniera attendibile il contributo offerto dalle fibre sulla riduzione dell apertura delle fessure in strutture R/FRC ed applicarlo con successo in sede progettuale. Tale modello, proposto per l analisi del quadro fessurativo, trova grande efficacia se utilizzato congiuntamente a quello introdotto per la valutazione dell armatura minima. In questo modo è possibile soddisfare sia lo stato limite di esercizio che lo stato limite ultimo. 3 CONCLUSIONI La definizione della minima armatura, fondata su un analisi sezionale, nasce dall esigenza di considerare i benefici derivanti dal contributo di resistenza a trazione offerto dal FRC rispetto ad un calcestruzzo ordinario. Ne deriva, conseguentemente, un quantitativo d acciaio inferiore rispetto a quello necessario per un analoga struttura in calcestruzzo tradizionale, un più rapido avanzamento del processo costruttivo ed una riduzione dei costi legati all armatura, solo in parte ridimensionati dal maggior costo del FRC Per quanto riguarda invece la fase di esercizio, il modello introdotto per la previsione del quadro fessurativo in strutture FRC dimostra di tenere in debito conto sia l effetto di cucitura sulla fessura svolto dalle fibre, che il meccanismo di aderenza-scorrimento tra barre d armatura e FRC. I risultati ottenuti per via analitica, applicando tale modello, hanno avuto un valido riscontro da analisi sperimentali condotte su vari provini, sottolineando come il modello proposto fornisca una previsione più accurata del quadro fessurativo in termini di apertura, profondità della fessura e distanza tra le medesime rispetto alle formulazioni proposte dalla Normativa vigente. 12

13 4 BIBLIOGRAFIA ACI-American Concrete Institute- (1995) ACI : Building Code Requirements for Structural Concrete. Farmington Hills, Michigan. Chiaia B., Fantilli A. P.,Vallini P. (2007). Evaluation of minimum reinforcement ratio in FRC members and application to tunnel linings. Materials and Structures 40, Chiaia B., Fantilli A.P., Vallini P. (2009) Evaluation of crack width in FRC structures and application to tunnel linings. Materials and Structures 42, EC2-ENV (2004) Eurocode 2. Design of concrete structures - Part 1: General rules and rules for buildings. Fantilli A.P., Vallini P. (2004) Tension stiffening range in FRC elements. In di Prisco M. et al. (eds) BEFIB th RILEM Symposium on FRC. Varenna September 2004, RILEM TC 162-TDF (2003) design method final recommendation. Materials and Structures 36, Vandewalle L. (2000) Cracking behaviour of concrete beams reinforced with a combination of ordinary reinforcement and steel fibers. Materials and Structures 33, Vandewalle M. (2005) Tunnelling is an art. NV Bekaert SA. RINGRAZIAMENTI Gli autori desiderano ringraziare la società Bekaert SA per il prezioso supporto tecnico fornito nella realizzazione del presente lavoro. 13