10 La nucleosintesi nell universo primordiale

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1 10 La nucleosintesi nell universo primordiale Uno dei motivi per cui il modello del Big Bang è così universalmente accettato è la sua capacità di spiegare le abbondanze degli elementi leggeri con la nucleosintesi primordiale che pone dei vincoli importanti al valore di b ovvero il parametro di densità dei barioni. Per capire la nucleosintesi ed altri fenomeni che vedremo più avanti è importante capire l accoppiamento tra una particella di materia di massa m ed il campo di radiazione, come schematizzato in figura 48. Come indicato in figura, il tempo cosmico t scorre verso destra, mentre la temperatura della radiazione kt r kt 0 r1`zptqs cresce verso sinistra. Per la particella di massa m il momento rilevante è quando mc 2 kt r. A questo tempo succedono due cose: come visto precedentemente nel caso di elettroni-antielettroni e barioniantibarioni, per kt r mc 2, lo scattering fotone-fotone è in grado di creare coppie della particella m edellasuaparticella. Seguendoloscorreredeltempo, quando kt r mc 2 si ha l annichilazione di particelle m eantiparticelle. Inoltre se la particella è in equilibrio termodinamico con la radiazione, per kt r mc 2, m e m sono relativistiche, mentre al disotto sono non relativistiche. La di erenza tra caso relativistico e non è che quando la particella è a c c o p p i a t a a l c a m p o d i r a d i a z i o n e l a s u a d e n s i t à s c a l a c o m e N 9 Tr 3 (relativistico) e N 9 Tr 3{2 expp mc 2 {kt r q (non relativistico). A questo punto è importante capire fino a quando la particella è in equilibrio termodinamico con la radiazione: questo è determinato da ex tempo scala che caratterizza il processo fisico di scambio di energia tra particella e campo di radiazione. L equilibrio termodinamico si ha per ex t; per ex t la particella di distacca dall equilibrio termodinamico con la radiazione e a questo punto la sua densità viene congelata al valore di N che si ha per T r pt ex q; la densità numerica di particelle sarà molto diversa a seconda che il distacco dall equilibrio sia quando la particella è relativistica o no, come si vede dall espressione per NpT r q. Una volta uscita dall equilibrio termodinamico con la radiazione, la densità numerica di particelle evolverà normalmente come aptq 3, come abbiamo già visto più volte. Vediamo adesso di trovare la densità numerica delle particelle nel caso (ultra)relativistico. Ricordiamo che per il corpo nero la densità di energia è eladensitàdifotoniè " 4 c B 8 h 3 c 3 1 e h {kt 1 N ª ` c 3 1 e h {kt 1 d 161

2 t kt > mc2 m c2 particella e antiparticella relativistiche N = N Tr3 kt < mc2 particella non-relativistica ktr 2 Tr3/2 e mc /kt N = N annichilazione particella-antiparticella!ex = t particelle escono dall equilibrio termodinamico con la radiazione ex <t ex =t ex t >t densità delle particelle è congelata (~a-3) al valore non relativistico densità delle particelle è congelata (~a-3) al valore relativistico <t ex ex =t ex >t t Figura 48: Schema relativo alla relazione tra una particella di massa m ed il campo di radiazione di temperatura (di corpo nero) Tr. Se considero come variabile di integrazione la quantita di moto del fotone p h c pc h d c dp h e considero l energia del fotone E pc posso scrivere la densita di fotoni come ª ª 8 `8 p2 dp 4 g `8 p2 dp N 3 3 h 0 ee{kt 1 h ee{kt 1 0 con g 2, degenerazione del fotone o peso statistico. In generale, per le particelle ultrarelativistiche all equilibrio termodinamico (kt " mc2 ) posso scrivere che le densita della particella N o della sua antiparticella N sono uguali e pari a ª 4 g `8 p2 dp N N 3 (10.1) h ee{kt

3 con g peso statistico della particella e segno ` per i fermioni e per i bosoni. Fino a che le interazioni sono in grado di mantenere in equilibrio le varie specie di particelle ultrarelativistiche con loro antiparticelle e con le altre specie su tempi scala! t, molto minori dell età dell universo (ovvero finché ex! t), allora le densità delle varie particelle sono date dall espressione Quindi all equilibrio termodinamico tra le varie specie ultrarelativistiche si hanno i seguenti casi. Fotoni: sono bosoni ( ) conmassanullaeg 2; come abbiamo già trovato la densità totale di fotoni di corpo nero (quelli all equilibrio termodinamico) è 3 ˆ2 kt N m 3 hc con " 4 c T 4 Nucleoni, elettroni e le loro antiparticelle: sono fermioni (`)con g 2; si può facilmente dimostrare che N b 3 4 N ˆ2 kt hc 3 m 3 (10.2) con " b 7 8 " 7 8 4c T 4 Neutrini ( e, µ e ): sono fermioni con elicità per cui g 1; analogamente a prima N 1 3 ˆ2 kt 2 N b m 3 hc con " 1 2 " b c T 4 Per trovare l energia totale è necessario sommare i contributi delle densità di energia di tutte le specie all equilibrio e si ottiene " tot pt q 4 c T 4 (10.3) 163

4 Nel caso generale, la distribuzione di particelle con energia E equantità di moto p è d a t a d a l l a r e l a z i o n e N 4 g h 3 ª `8 0 p 2 dp e pe µq{kt 1 con la relazione tra energia e quantità di moto data da E 2 m 2 c 4 ` p 2 c 2. Il segno `{ si riferisce ovviamente al caso fermioni/fotoni e g è s e m p r e i l p e s o statistico della particella. Quando la specie è ultrarelativistica (pc " mc 2 )si ha E» pc, µ» 0esiritrovala10.1. Quando le particelle diventano non relativistiche per kt! E» mc 2 eleloroabbondanzesonomantenuteinequilibriodalleinterazionitrale particelle le loro densità sono date dal limite non relativistico dell equazione 10.1 ovvero con µ 0, ˆ mc2 3{2 ˆmkT N g e kt (10.4) h 2 ovvero N decresce esponenzialmente con T e non contribuisce più alla densità di massa inerziale che determina la decelerazione dell universo. In questo caso non ci sono più le antiparticelle perché il campo di radiazione non ha più l energia necessaria a generarle. Consideriamo il caso semplice dell abbondanza di protoni e neutroni. Per z 10 12, dopo l annichilazione di barioni e antibarioni, n e p sono nonrelativistici e le loro abbondanze sono mantenute all equilibrio (cioè sono descritte dalla 10.4) dalle reazioni: e` ` n Ñ p ` e e ` n Ñ p ` e n Ñ p ` e ` e (10.5) queste mantengono l equilibrio termodinamico di p, n con e, e`, e, e che a loro volta sono in equilibrio termodinamico con la radiazione, come abbiamo già visto. g è l o s t e s s o p e r p, n per cui applicando la 10.4 a neutroni e protoni si ha n ˆ mc2 N n e kt (10.6) p N p dove m è l a d i erenza di massa tra neutrone e protone e m n m p 1 ` 164 m m p» 1

5 Come si vede il rapporto tra la densità di neutroni e di protoni cresce al descrescere della temperatura; questo rapporto si congelerà quando il tempo scala per le reazioni 10.5 diventerà maggiore dell età dell universo, ovvero quando l universo diventa otticamente sottile alle reazioni deboli Il disaccoppiamento dei neutrini e la barriera dei neutrini rn{ps si congela e rimane costante quando le interazioni con i neutrini descritte dalle 10.5 non possono più mantenere legate all equilibrio le abbondanze di p e n. Questo avviene quando il tempo scala delle interazioni deboli t weak diventa maggiore dell età dell universo. Durante la nucleosintesi primordiali per z «10 8 n e p sono non-relativistici (siamo per z )eleloroabbondanzedecresconoesponenzialmenteper cui il loro contributo alla profondità ottica dei neutrini è piccolo. Ma e e e` sono relativistici e la loro densità è N 3 4 N ˆ2 kt hc 3 m 3 questo fa si che i neutrini non siano in grado di muoversi liberamente a causa delle reazioni e ` e` Ñ e ` e e ` e Ñ e ` e e ` e Ñ e ` e (10.7) sono queste reazioni (e non quelle con p ed n) chemantengonoineutriniin equilibrio termodinamico con elettroni e antielettroni, che a loro volta sono in equilibrio termodinamico con la radiazione. Il tempo scala per queste interazioni è t weak 1 (10.8) c c w N con cammino libero medio e w sezione d urto per le interazioni deboli dei neutrini è pari a ˆ 2 E w «3 ˆ m 2 (10.9) m e c 2 con E energia del neutrino. N è l a d e n s i t à n u m e r i c a t o t a l e d i e escala come N 9 a 3 9 T 3 per le particelle relativistiche (vedi la 10.2) per le quali l energia media è Ē 3kT. Questo significa che w 9 T 2 da cui t weak 9p w Nq 1 9 T 5 165

6 ed in particolare t weak 1 c w N 1 c ˆ da cui pm e c 2 q 2 3 ˆ p3ktq 2 m 2 ˆ ˆ10 10 K t weak 1.4 T ˆ 0.183p2 kt{hcq 3 m 3 s (10.10) Questo tempo scala è da confrontare con l età dell universo che in questa fase è d o m i n a t o d a l l a r a d i a z i o n e p e r c u i s i h a 1{4 ˆ32 G"tot,0 aptq t 1{2 (10.11) 3c 2 dove, come indicato, la densità di energia per t t 0 è d a i n t e n d e r s i t o t a l e ovvero per tutte le specie. Dato che si ha T T 0 p1 ` zq T 0 a (10.12) t 9 a 2 9 T 2 (10.13) Per ottenere i valori corretti l espressione di aptq deve essere modificata per tener conto di tutti i tipi di particelle che contribuiscono alla densità di energia a queste epoche ovvero " pt q 4 c T 4 (10.14) con pt q 1 ` 2 ˆ 7 8 ` 2 ˆ n ˆ 7 16 Per n 3siha (fotoni) pe`,e q pn specie neutriniq 43{8 equindi quindi ricavando T ottengo " pt q 4 c T 4 " 0 a 4 Z " 0 ˆ 3c 2 32 G Z " 0 t 2 (10.15) ˆ 3c 2 1{4 T t 1{ ˆ 10 9 t 1{2 K» t 1{2 K (10.16) 32 G 4 {c 166

7 con t espresso in s; l età dell universo in questa fase è quindi data da in conclusione t weak {t univ ˆ10 10 K t univ T «1sihaper 2 s (10.17) ˆ K ˆ K 1.4» 1 T T T 1.4 1{3 ˆ K 1.1 ˆ K che corrisponde a t» 0.8s per la A questa epoca si ha anche kt» 1MeV. Si noti che questo tempo per cui t weak t univ el energiacorrispondente sono determinati dalle costanti della fisica! Abbiamo anche ottenuto l epoca a cui l universo diviene trasparente ai neutrini, ovvero l epoca in cui i neutrini non possono più mantenere neutroni eprotoniinequilibriotermodinamico. Così, come c era la barriera di fotoni per z «1500 così c è una barriera di neutrini per kt «1 MeV. Quindi ci aspettiamo che i neutrini del background cosmico abbiano avuto il loro ultimo scattering all epoca in cui kt «1MeV ovvero circa «1s dopo il big bang La sintesi degli elementi leggeri All epoca in cui i neutrini si disaccoppiano dall equilibrio termodinamico (kt 1 MeV), anche protoni e neutroni escono dall equilibrio termodinamico elafrazionedineutronisicongela;partendodalla10.6possiamoscrivere n e mnc2 {kt n ` p e mnc2 {kt ` e mpc2 {kt e mc2 {kt 1 ` e mc2 {kt tenuto conto che m n ˆ gem p ˆ gsiha ˆ mc 2 1 kt kt MeV (10.18) ovvero per kt 1MeV risulta n 0.21 (10.19) n ` p 167

8 A quest epoca i protoni erano più abbondanti dei neutroni. Dopo quest epoca rn{n ` ps diminuisce solo lentamente a causa del decadimento dei neutroni con vita media n s. A questo punto i protoni ed i neutroni possono cominciare il processo di formazione degli elementi leggeri con la sequenza delle reazioni 2 ˆ p ` n Ñ D ` p ` D Ñ 3 He ` n ` D Ñ 3 H ` p `3 H Ñ 4 He ` n `3 H Ñ 4 He ` D ` D Ñ 4 He ` 3 He `3 He Ñ 4 He ` 2 p Il risultato netto è che quasi tutti i neutroni si combinano con i protoni per formare nuclei di 4 He: per ogni coppia di n che sopravvive, si è formato un nucleo di He. La maggior parte della nucleosintesi non avviene immediatamente dopo il disaccoppiamento dei neutroni per kt» 1MeV ovvero per T» 1.1 ˆ K ma a temperature più basse per T» 10 9 Ka nchè i Deuteroni formati nella reazione p ` n Ñ D ` non vengano distrutti dai fotoni della radiazione di fondo. Infatti l energia di legame del Deuterone è E B 2.23 MeV kp2.6 ˆ Kq; per ogni barione ci sono circa «10 9 fotoni e la frazione di fotoni con energia E è p a r i a per E{kT «26.5. La temperatura acuicisono10 9 fotoni per barione con energia E B è p e r t a n t o d a t a d a E B 26.5kT ovvero k ˆ 2.6 ˆ K 26.5 kt (10.20) da cui T «10 9 K. Al disopra di questa temperatura ci sono abbastanza fotoni da distruggere tutti i Deuteroni che si formano. T «10 9 avviene al tempo t dato dalla trovata prima, T 10 10t 1{2 K, ovvero per t» 100 s. Il calcolo dettagliato dell evoluzione delle abbondanze degli elementi leggeri è stato fatto agli inizi degli anni 70 ed è riportato in figura 49. Come si vede dalla figura la maggior parte della sintesi degli elementi avviene per t «300 s (5 minuti) e fino a questo tempo l abbondanza dei neutroni era rimasta praticamente costante, a parte quei pochi che sono decaduti spontaneamente. Dopo t «300s la frazione di massa dei neutroni è diminuita a mentre, come abbiamo visto prima, per ogni coppia di neutroni rimasti si ha un atomo di elio. La frazione di massa dei neutroni è pertanto n n ` p ` He ym n xm p ` ym n `py{2qp4m p q y x ` 3y

9 10 1 Minutes: 1/ Mass Fraction n p 7 Li, 7 Be D 4 He 3 H, 3 He 6 Li Temperature (10 9 K) 10 1 Figura 49: Frazione di massa di protoni, neutroni e nuclei leggeri in funzione del tempo (alto) e della temperatura (basso). mentre la frazione di massa di He è doppia rispetto a quella dei neutroni He py{2qp4m p q Y p n ` p ` He xm p ` ym n `py{2qp4m p q 2y 2 ˆ (10.21) x ` 3y Si noti che al denominatore resta sempre la massa totale che si conserva (in questo caso espressa come H ` n ` He). In aggiunta a 4 He vengono prodotte tracce di D (deuterio), 3 He (Elio-3), 7 Li (litio-7), 3 H (trizio) ma quest ultimo è instabile e decade con un tempo di dimezzamento di soli 12.3 yr. Non vengono sintetizzati elementi più pesanti a causa dell assenza di isotopi stabili con A 5eA 8. Gli elementi più pesanti del litio-7 vengono tutti sintetizzati durante l evoluzione stellare a partire dal processo triplo che porta alla formazione dei nuclei di carbonio (3 4 He Ñ C); ma questo processo è lento perché ha una probabilità molto bassa di avvenire pertanto non c è su ciente tempo durante la nucleosintesi che dura soltanto 15 minuti. 169

10 Le predizioni della nucleosintesi primordiale sono rimarchevoli per vari motivi: era sempre stato di cile capire perché l abbondanza osservata di elio fosse Y p Á 23%, valore ben al disopra di quanto predetto dalla sola nucleosintesi all interno delle stelle; era di cile capire da dove provenisse il deuterio osservato nello spazio interstellare/intergalattico poichè questo viene distrutto nei nuclei stellari, non creato; le stesse di 7 Li. coltà appena descritte si applicano ovviamente a 3 He e Ovviamente questi problemi sono risolti dal fatto che tutti questi elementi vengono sintetizzati nei primi stadi del modello del big bang. La di erenza tra la nucleosintesi primordiale e quella stellare è che la nucleosintesi nelle stelle avviene su tempi scala lunghi, in un regime di quasi equilibrio termodinamico, mentre la nucleosintesi primordiale avviene in modo esplosivo e tutto è già finito dopo appena 15 minuti. La fisica che determina l abbondanza di 4 He è d i v e r s a d a q u e l l a d e g l i a l t r i elementi: la sintesi di 4 He è e s s e n z i a l m e n t e t e r m o d i n a m i c a e d è d e t e r m i n a t a dal rapporto iniziale rn{pn ` pqs che si ha quando i neutrini si disaccoppiano dall equilibrio termico. In sostanza 4 He ha un abbondanza che è misura della temperatura a cui avviene il disaccoppiamento dei neutrini. Le abbondanze di D, 3 He, 7 Li invece sono determinate dalla rapidità delle reazioni a formare i nuclei prima che la temperatura T si abbassi troppo e blocchi le sintesi. Negli universi con b su cientemente alta c è tempo su ciente a convertire quasi tutti i neutroni in D eild in 4 He; pertanto l abbondanza risultante di D è p i c c o l a. D e l r e s t o s e b è b a s s a n o n c è t e m p o p e r l e r e a - zioni intermedie e le abbondanze di D e 3 He sono maggiori. In conclusione le abbondanze di D e 3 He forniscono una misura diretta di b. In figura 50 si riportano le abbondanze degli elementi in funzione del rapporto barioni/fotoni espresso come N b N 274 b h 2 L abbondanza di He Y p è r i p o r t a t a c o m e f r a z i o n e d i m a s s a m e n t r e p e r g l i altri elementi si hanno le abbondanze come frazioni del numero di nuclei. Come si vede dalla figura, Y p è abbastanza insensibile a b al contrario di quanto succede per gli altri elementi. 170

11 Figura 50: Abbondanza dei nuclei leggeri in funzione del rapporto barioni su fotoni espresso come N b {N 274 b h 2. Per 4 He si riporta l abbondanza in frazione di massa, mentre per gli altri elementi si riportano le abbondanze come frazioni del numero di nuclei Le abbondanze degli elementi leggeri Le abbondanze degli elementi leggeri dipendono da b ma per poter stimare il parametro cosmologico è importante fare delle misure in sistemi che non siano stati contaminati da processi astrofisici nelle stelle o nel mezzo interstellare L abbondanza di 4 He. 4 He è s i n t e t i z z a t o d u r a n t e l e v o l u z i o n e s t e l l a r e p e r t a n t o o c c o r r e c o n s i d e r a r e sistemi poco contaminati dagli e etti della nucleosintesi stellare; il procedimento di solito seguito consiste nel misurare Y p in funzione della metallicità (data per esempio dall abbondanza di Ossigeno) e poi e ettuare una estrapolazione a 0 come mostrato in figura 51; in questo caso si ottiene Y p

12 Helium Mass Fraction Izotov & Thuan fit Izotov & Thuan data Other data times O/H Ratio Figura 51: Frazione di massa di He extrapolata per zero metallicità da campioni di regioni HII a bassa metallicità L abbondanza di deuterio L abbondanza di Deuterio è cruciale perché dipende molto da b ; questa viene misurata dalle righe di assorbimento risonanti del gas nel mezzo interstellare delle galassie: quando l assorbitore si trova a z 2.5 laly è spostata nell ottico (vedi, per esempio, figura 52). Questo tipo di misure presenta vari problemi (ad esempio la confusione tra la riga di deuterio e quella di H per deboli assorbimenti a redshift diversi) come mostrato dalla dispersione dei valori riportati in figura 53. Il valor medio ottenuto dai punti in figura è D{H p qˆ10 5 p1 q L abbondanza di 3 He Le stime che si possono ottenere dai meteoriti più vecchi riflettono le abbondanze di 5 ˆ 10 9 anni fa. 3 He può anche essere osservato nelle onde radio nella transizione di struttura iperfine equivalente alla riga a 21 cm di HI. Dalle nubi del mezzo interstellare si trova r 3 He{Hs» ˆ He è distrutto nelle stelle ma è più robusto di D però quando brucia D 172

13 Figura 52: Spettro di quasar ad alto redshift con indicata la riga Ly in assorbimento a redshift z Come si vede la Ly è saturata mentre sul lato blu si nota la riga Ly del Deuterio, non saturata per la piccola abbondanza del Deuterio. si produce al tempo stesso 3 He equandobrucia 3 He si crea 4 He equindi elementi pesanti. L abbondanza di 3 He è q u i n d i m e n o a dabile per la misura di b ; pertanto il valore ottenuto r 3 He{Hs p q ˆ10 5 si può usare come consistency check. 173

14 Quasar con z > 2.5 (D/H) = (2.6±0.4) 10-5 Figura 53: Abbondanza di deuterio determinata da righe di assorbimento in quasar ad alto redshift L abbondanza di 7 Li 7 Li è fragile è può essere distrutto all interno delle stelle. Inoltre può essere sintetizzato per spallazione dalle collisioni tra i protoni ed i nuclei nei raggi cosmici e il gas freddo nelle nubi dell ISM. L abbondanza di 7 Li dovrebbe raggiungere un valore costante nelle stelle più povere di metalli come mostrato in figura 54. Il valore che si ottiene con l estrapolazione a 0 è r 7 Li{Hs 12 ` logpli{hq Confronto tra teoria e osservazioni L abbondanza di Deuterio è il barometro più sensibile: a partire da quella si determina b epoisiconfrontanoivaloriattesiperleabbondanze di 4 He, 3 He, 7 Li con quelli osservati. Dalla figura 50, in cui sono riportate le predizioni teoriche in funzione di b, si ottiene per D{H p qˆ

15 Produzione per spallazione [7Li/H] = 12+log( 7 Li/H) = 2.3±0.3 Distruzione nei nuclei stellari Figura 54: Abbondanza di Litio. Si notino i due regimi ad alta e bassa metallicità descritti nel testo ` ovvero b h ` in ottimo accordo con la stima indipendente dalle fluttuazioni di temperatura della CMB che, come vedremo più avanti, è p b q CMB h Per quanto riguarda gli altri elementi si ha elemento Predetto Misurato p 3 He{Hq p qˆ10 5 p qˆ He, Y p r 7 Li{Hs 2.65` L abbondanza di 3 He è in accordo con le osservazioni, mentre quelle di 4 He e Li lo sono entro 2. Tenendo conto delle incertezze che possono sporcare la misura della abbondanze primordiali, l accordo è eccellente. 175

16 E possibile modificare le predizioni della nucleosintesi con assunzioni nonstandard per esempio variazioni di G col tempo (9a diventa più grande che nel modello standard) o presenza di altre specie di neutrini. In entrambi i casi il tempo a disposizione per la nucleosintesi diminuisce. Nel caso in cui esistano altre specie di neutrini, diventa maggiore per cui il disaccoppiamento avviene a T maggiore, rn{n ` ps è m a g g i o r e e d i n fi n e Y p è m a g g i o r e. Tuttavia questo va nella direzione opposta di spiegare un Y p atteso maggiore di quello osservato. Se il numero di specie di neutrini N è u n p a r a m e t r o l i b e r o d e l fi t, s i ottiene N 2.3 cheè1.5 dal valore vero di 3. L importanza di questo risultato è che il valore N 2.3 necessarioaspiegareleosservazioniconla nucleosintesi primordiale è stato ottenuto prima della misura di N ottenuta al CERN col LEP. Altre possibilità che possono cambiare le predizioni della nucleosintesi primordiale sono l asimmetria tra i numeri di e e e ; anche se si considera l asimmetria come un parametro libero, questa risulta 1.5 entro lo 0 (ovvero entro la simmetria completa). In conclusione, le abbondanze primordiali osservate degli elementi leggeri sono in rimarchevole accordo con le predizioni del modello del big bang. Questo confronto fornisce dei limiti stringenti a b che per h 0.7 risulta essere b Ma avevamo visto che 0» 0.3: questo significa che non c è abbastanza materia barionica per chiudere l universo e che gran parte della materia (oscura) deve essere non barionica. La materia oscura non può essere sotto forma di materia barionica per cui 0 è d o m i n a t o d a m a t e r i a oscura non barionica. 176