I modelli di scoring. Rischio e valore nelle banche. Andrea Resti Andrea Sironi. Misura, regolamentazione, gestione.

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1 Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008

2 AGENDA I modelli di Scoring L analisi discriminante lineare Lo Z-score di Altman Probabilità e calibrazione dei cut-off I modelli di regressione I modelli logit e probit I modelli di natura induttiva Esercizi 2

3 sono tradizionalmente i più diffusi per la previsione dell insolvenza di un impresa Modelli multivariati che utilizzano come input i principali indici economico-finanziari di un impresa, ottenendo un valore numerico rappresentativo della probabilità di insolvenza Le tecniche sottostanti tali modelli sono state elaborate a partire dagli anni trenta Ad esempio: Fisher 1936 Durand 1941 Beaver 1967 Altman

4 x 1 L analisi discriminante lineare Vengono identificate le variabili (ad es. indici economico-finanziari) che consentono di discriminare meglio fra imprese sane e imprese anomale o insolventi I dati di un campione di imprese vengono utilizzati per tracciare un confine tra imprese sane e insolventi Cut -off A Z B Funzione discriminante x 2 Modello di Fisher (caso semplificato) Le imprese affidabili (gruppo A) e insolventi (gruppo B) sono descritte da due variabili x 1 e x 2 : sull asse z è rappresentato lo score generato combinando le due variabili. Lo score prende il nome di funzione discriminante 4

5 L analisi discriminante lineare L analisi discriminante lineare, costruisce lo score come combinazione lineare delle variabili indipendenti Date n variabili indipendenti: z g 1 j Per l i-esima impresa lo score sarà quindi dato da: I coefficienti g j vengono scelti in modo da ottenere uno score z che discrimini in modo netto le imprese anomale da quelle sane n j x j n z i g x j1 j i, j Gli z i ottenuti devono massimizzare la distanza tra le medie z A e z B dei due gruppi di imprese (centroidi) 5

6 L analisi discriminante lineare - Esempio Imprese affidabili (gruppo A): x 1 : oneri finanziari su fatturato x 2 : sconfinamenti su fido accordato Imprese insolventi (gruppo B): x 1 : oneri finanziari su fatturato x 2 : sconfinamenti su fido accordato Impresa 1 0% 0% Impresa 25 74% 36% Impresa 2 72% 40% Impresa 26 85% 10% Impresa 3 75% 31% Impresa 27 67% 42% Impresa 4 7% 2% Impresa 28 71% 38% Impresa 5 2% 0% Impresa 29 70% 43% Impresa 6 1% 2% Impresa 30 72% 64% Impresa 7 27% 5% Impresa 31 52% 37% Impresa 8 42% 3% Impresa 32 81% 32% Impresa 9 36% 12% Impresa 33 60% 51% Impresa 10 12% 9% Impresa 34 72% 0% Impresa 11 65% 25% Impresa 35 58% 6% Impresa 12 16% 9% Impresa 36 64% 11% Impresa 13 45% 5% Impresa 37 55% 21% Impresa 14 0% 0% Impresa 38 65% 47% Impresa 15 65% 0% Impresa 16 16% 2% Impresa 17 70% 33% Impresa 18 29% 15% Impresa 19 0% 32% Impresa 20 0% 0% Impresa 21 54% 19% Impresa 22 9% 0% Impresa 23 0% 4% Impresa 24 57% 24% Valori medi: 29,1% 11,3% 67,4% 31,2% La Tabella mostra un campione di 24 imprese sane e 14 anomale Sono state rilevate, per semplicità, solo due variabili indipendenti Rapporto tra gli sconfinamenti e il credito totale accordato dalla banca Rapporto tra oneri finanziari e fatturato 6

7 L analisi discriminante lineare - Esempio I dati per le imprese anomale sono stati rilevati un certo numero di mesi prima del dissesto Il modello deve individuare le 70% imprese destinate a diventare insolventi in un prossimo futuro 60% x2 - sconfinamenti su accordato 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0% 20% 40% 60% 80% 100% x 1 - oneri finanziari su fatturato Affidabili Insolventi Entrambe le variabili (e in particolare x 1 ) assumono spesso valori più elevati che per le imprese sane Valori medi: 0,29 x A ; x B 0,11 0,67 0,31 7

8 L analisi discriminante lineare - Esempio Calcoliamo le matrici di varianze e covarianze per il gruppo delle imprese sane (S A ) e per il gruppo delle imprese anomale (S B ): 0,076 0,023 Σ A ; Σ B 0,023 0,016 0,000 0,001 0,001 0,036 S (valida per entrambi i gruppi) viene ricavata attraverso una media di S A e S B ponderata per il numero di imprese (n A, n B ) presenti nei due gruppi: Σ n A na 1 n B 2 Σ A n A nb 1 n B 2 Σ B Σ A Σ B 0,052 0,014 0,014 0,023 Per calcolare il vettore gamma è necessario invertire la matrice varianze e covarianze: Σ 1 23,4 14,3 14,3 51,9 8

9 L analisi discriminante lineare - Esempio I valori dei coefficienti g sono: γ Σ 1 ( x A x B ) 23,4 14,3 14,3 0,29 0,67 51,9 0,11 0,31 23,4 ( 0,38) 14,3 ( 0,20) 6,09 14,3 ( 0,38) 51,9 ( 0,20) 4,84 Lo score della generica impresa è: z i γ xi 6,09 x1, i 4, 84 x2, i x 1 riceve un peso maggiore Può indicare maggiore capacità discriminante Ad esempio, per l Impresa 7: z7 = -6,09 0,27-4,84 -1,85 9

10 L analisi discriminante lineare - Esempio Imprese affidabili (gruppo A): z i PD Imprese insolventi (gruppo B): z i PD Impresa 1 0,000 1,1% Impresa 25-6,237 85,0% Impresa 2-6,295 85,7% Impresa 26-5,657 76,0% Impresa 3-6,065 82,6% Impresa 27-6,085 82,9% Impresa 4-0,526 1,8% Impresa 28-6,106 83,2% Impresa 5-0,097 1,2% Impresa 29-6,349 86,3% Impresa 6-0,131 1,2% Impresa 30-7,481 95,2% Impresa 7-1,850 6,6% Impresa 31-4,920 60,2% Impresa 8-2,733 14,5% Impresa 32-6,479 87,8% Impresa 9-2,784 15,2% Impresa 33-6,130 83,6% Impresa 10-1,167 3,4% Impresa 34-4,352 46,2% Impresa 11-5,186 66,4% Impresa 35-3,809 33,3% Impresa 12-1,397 4,3% Impresa 36-4,403 47,5% Impresa 13-2,975 17,8% Impresa 37-4,362 46,4% Impresa 14 0,000 1,1% Impresa 38-6,189 84,3% Impresa 15-3,957 36,6% Impresa 16-1,067 3,1% Impresa 17-5,847 79,3% Impresa 18-2,498 11,9% Impresa 19-1,549 4,9% Impresa 20-0,005 1,1% Impresa 21-4,195 42,3% Impresa 22-0,548 1,9% Impresa 23-0,213 1,3% Impresa 24-4,591 52,2% Valori medi: -2,32 22,4% -5,61 71,3% La tabella mostra i valori per il nostro campione di 38 imprese I due gruppi risultano addensati attorno ai rispettivi centroidi z A e z B (-2,32 per le imprese sane e -5,61 per quelle anomale) I due gruppi non sono perfettamente separati: esistono imprese sane con punteggi bassi e imprese anomale con score elevati Non è possibile prevedere il dissesto di un impresa facendo riferimento a due soli indici 10

11 L analisi discriminante lineare - Esempio Come soglia ( cut-off point ) al di sotto della quale un impresa viene scartata si può ad esempio utilizzare il punto a metà strada tra i due centroidi: 1 2 γ( x A x B ) z A 2 z B 3,97 Ciò condurrebbe a rifiutare il credito a sei imprese sane e a concedere credito ad un impresa anomala (la 35) La capacità discriminante del modello è piuttosto limitata 11

12 Il lambda di Wilks Per misurare l effettiva capacità discriminante di un modello, un indice usato è il Lambda di Wilks: ia ( z i z A n i1 ) 2 ( z i ib z) ( z 2 i z B ) 2 media di z i sull intero campione di imprese sane o anomale Se un modello è efficace: i valori degli score per le singole imprese sane (o anomale) sono molto simili tra loro Le due devianze al numeratore si avvicinano a 0 e con esse l intero Lambda di Wilks Se la capacità discriminante è bassa, il quoziente sarà vicino ad 1 Nel nostro esempio il valore del Lambda di Wilks è pari a circa 55,3% 12

13 Lo Z-score di Altman Il più noto score discriminante è quello sviluppato da Edward Altman nel 1968 per le imprese quotate statunitensi. Esso è funzione di cinque variabili indipendenti: z i 1,2 xi, 1 1,4 xi,2 3,3 xi,3 0,6 xi,4 1, 0 xi,5 capitale circolante/totale attivo utili non distribuiti/totale attivo utile ante interessi e imposte/totale attivo valore di mercato del patrimonio/valore contabile delle passività verso terzi fatturato/totale attivo Maggiore è il valore dello z di un impresa, migliore è la sua qualità Il cut-off point fissato da Altman è 1,81 13

14 Probabilità e calibrazione dei cut-off L analisi discriminante può essere utilizzata per stimare la probabilità di default associata alle singole imprese Se le variabili indipendenti si distribuiscono secondo una normale multipla, la probabilità che un impresa sia anomala è: 1 cut-off (slide 11) PD p B x i 1 p B zi 1 e p probabilità di appartenere al gruppo B (anomale), dato il vettore di variabili indipendenti x i B probabilità di default a priori, una misura della qualità media del portafoglio crediti della banca che dipende dalle caratteristiche generali del mercato Riprendendo l esempio della slide 6, p B è pari all incidenza delle imprese anomale nel campione (14/3837%), in mancanza di informazioni più accurate Il risultato è riportato nella Tabella di slide 10: la probabilità di default è tanto più alta quanto più basso è lo score 14

15 Probabilità e calibrazione dei cut-off Sempre riferendosi alla tabella di slide 10, i risultati sono tutt altro che perfetti: a diverse imprese sane viene assegnata un elevata probabilità di default per l impresa 35, destinata a fallire nei mesi successivi, la PD stimata è pari al 33% Con un valore di p B più basso, le probabilità di default sarebbero più basse e viceversa. La formula che calcola la probabilità di default non tiene conto solo dei suoi indici economici, ma anche della qualità media del portafoglio. È possibile rendere la formula maggiormente ottimistica o più conservativa 15

16 Probabilità e calibrazione dei cut-off Il valore soglia può essere modificato per tenere conto della PD e della qualità media del portafoglio (p B ) Si potrebbe decidere di rifiutare il credito a un cliente soltanto se la sua PD è superiore al 50%: Tale condizione equivale a: 1 PD 1 p 1 p z i B B zi e p B ln 1 p 0,5 B un cliente viene considerato eccessivamente rischioso quando il suo score è inferiore ad se la qualità media del portafoglio è scadente e dunque p B è elevato, la soglia viene alzata 16

17 Probabilità e calibrazione dei cut-off Nel nostro esempio p B 37% (valore inferiore al 50%) La soglia calcolata è più bassa, più ottimista, di quella calcolata in precedenza. a = -3, 97+ ln 0,37 -4, 5 Casi come l impresa 21 (precedentemente scartata) verranno considerati accettabili, visto che la loro PD è inferiore al 50% e che quindi il loro score è superiore alla nuova soglia 17

18 Calibrazione dei cut-off I costi degli errori È evidente che nessuna banca sceglierebbe di prestare denaro a imprese con PD del 30% o del 40% sono accettabili valori di PD ragionevolmente prossimi a zero, come 0,5%, 1% o 2% Possono essere fatti 2 errori: 1. la classificazione di un impresa insolvente fra quelle sane Il costo di questo errore C( A B) e al capitale perduto in seguito all insolvenza dell impresa erroneamente classificata come sana ( ) corrisponde agli interessi 2. la classificazione di un impresa sana fra quelle insolventi Il secondo tipo di errore produce un costo corrispondente al mancato guadagno, causato dal rifiuto del cliente sano C( B A). 18

19 Calibrazione dei cut-off I costi degli errori Il cut-off point può essere calibrato in modo tale da considerare il diverso costo associato ai due tipi di errori É possibile decidere di rifiutare il credito al cliente quando il costo atteso dal primo tipo di errore è superiore al costo atteso dal secondo tipo di errore, cioè: C( A B) PD C( B A) (1 PD) Sostituendo PD con la formula di slide 16: Tornando all esempio ipotizziamo : z i p BC( A B) log (1 p ) C( B Costo del primo errore = perdita del 70% del capitale prestato Costo del secondo errore = mancato guadagno dello spread del 2% sul capitale prestato B A) 19

20 Calibrazione dei cut-off I costi degli errori Il cut-off point sarà: 0,37 70% 3,97 ln 0,95 (1 0,37) 2% La tabella mostra come, nel passaggio da a, il modello è diventato più selettivo La fissazione della soglia a dipende anche dalla LGD (loss given default). Se i clienti producessero maggiori garanzie, ci sarebbero più affidamenti Imprese sane Punto di cutoff Imprese anomale Punto di cutoff ' " ' " Impresa 1 Impresa 25 x x x Impresa 2 x x x Impresa 26 x x x Impresa 3 x x x Impresa 27 x x x Impresa 4 Impresa 28 x x x Impresa 5 Impresa 29 x x x Impresa 6 Impresa 30 x x x Impresa 7 x Impresa 31 x x x Impresa 8 x Impresa 32 x x x Impresa 9 x Impresa 33 x x x Impresa 10 x Impresa 34 x x Impresa 11 x x x Impresa 35 x Impresa 12 x Impresa 36 x x Impresa 13 x Impresa 37 x x Impresa 14 Impresa 38 x x x Impresa 15 x Impresa 16 x Impresa 17 x x x Impresa 18 x Impresa 19 x Impresa 20 Impresa 21 x x Impresa 22 Impresa 23 Impresa 24 x x x 20

21 La selezione delle variabili discriminanti La selezione delle variabili discriminanti può seguire due modalità: metodo simultaneo metodo stepwise Il modello è costruito in modo aprioristico. Le variabili sono selezionate con un ragionamento teorico e i coefficienti discriminanti vengono stimati congiuntamente Le procedure di stepwise selection ibride combinano entrambi i metodi (backward + forward) Le variabili vengono selezionate sulla base della capacità discriminante dimostrata sui dati del campione di stima backward elimination: partendo da tutte le variabili vengono rimosse quelle con un minore potere discriminante forward selection: partendo da un unica variabile si aggiungono quelle con maggior potere discriminante 21

22 La selezione delle variabili discriminanti I metodi stepwise possono condurre all inclusione di variabili senza un chiaro significato economico o con un coefficiente g j di segno opposto a quanto ci si attenderebbe Qualsiasi sia il metodo seguito, è necessario adottare un criterio per comprendere se l aggiunta di una variabile esplicativa migliora la capacità discriminante del modello Ad esempio si può calcolare il lambda di Wilks due volte, con e senza la variabile x j, controllando se la sua aggiunta riduce il lambda Test F-to-remove F N m 1 1 / ( m) ( m1) / ( m) ( m1) il numero di osservazioni nel campione lambda di Wilks di un modello con m-1 variabili lambda di Wilks di un modello con m variabi 22

23 La selezione delle variabili discriminanti Sotto l ipotesi nulla che x j sia irrilevante, F (il test F-to-Remove) si distribuisce secondo una F di Snedecor con (1, N-3) gradi di libertà ESEMPIO: passiamo dal modello a 2 variabili (m=2) della slide 6 ad un modello ad 1 variabile (manteniamo solo il quoziente tra sconfinamenti e fido accordato) Il lambda di Wilks passerebbe da (m) =55,3% a (m-1) =70,5% F 1 55,3% / 70,5% , 61 Valore del test 55,3% / 70,5% Il p-value associato a tale valore è 0,4%: il rischio di considerare rilevante x j, quando in realtà non lo è, è inferiore all 1% Il test ci induce a conservare nel modello il rapporto tra oneri finanziari e fatturato 23

24 Ipotesi sottostanti l analisi discriminante Ipotesi 1: le matrici di varianze e covarianze delle variabili indipendenti (le x j ) sono uguali per i due gruppi di imprese considerate. Spesso i dati empirici sembrano suggerire il contrario Nell analisi discriminante eteroschedastica o quadratica si tiene conto di questo problema: tuttavia devono essere stimati più parametri e le funzioni risultanti risultano meno facilmente leggibili Ipotesi 2: le formule utilizzate per trasformare lo score in una probabilità di default assumono che le variabili indipendenti siano caratterizzate da una distribuzione normale multivariata. Le analisi empiriche mostrano sovente che tale ipotesi è irrealistica Una distribuzione illimitata, come la normale, non può rappresentare variabili come molti indici economicofinanziari strutturalmente limitati tra 0 e

25 I modelli di regressione linear probabilistic model Le variabili che determinano l insolvenza di un impresa e il loro peso vengono identificate con una semplice regressione lineare 4 Fasi: 1. Selezione del campione. Viene selezionato un numero sufficientemente elevato di imprese. Esse vengono suddivise in due gruppi, identificati da una variabile di stato binaria, y, (y i = 1 se l impresa i è anomala, y i =0 se è sana) 2. Selezione delle variabili indipendenti. Per ogni impresa i vengono misurate m variabili rilevanti (indici economico-finanziari misurati in anticipo rispetto all eventuale default) 3. Stima dei coefficienti, di norma attraverso l approccio dei minimi quadrati 4. Stima della probabilità di insolvenza. m y i j xi, j i j1 25

26 I modelli di regressione linear probabilistic model ESEMPIO: y i 0,03 0,25 xi, 1 5 xi,2 0, 7 xi,3 rapporto tra debito e capitale proprio (indicatore di leva finanziaria) rapporto tra margine operativo lordo e totale attivo (indicatore di redditività operativa) rapporto tra oneri finanziari e margine operativo lordo (indicatore di sostenibilità del debito) Immaginiamo che una nuova impresa si rivolga alla banca per un finanziamento, con x 1 =5; x 2 =0,3; x 3 =0,4. La PD dell impresa è: y 0,03 0,255 50,3 0,7 0,4 6% PROBLEMA: è possibile che y (probabilità di insolvenza) assuma valori esterni all intervallo compreso tra 0 e 100% Nel caso in cui y sia superiore a 100% o inferiore a 0%, viene solitamente troncato in corrispondenza di questi estremi 26

27 I modelli logit e probit Un ulteriore problema del linear probabilistic model è che la varianza dei residui del modello lineare non è costante, ma risente di un problema di eteroschedasticità La forma lineare non viene quasi mai utilizzata favorendo di funzioni non lineari, come nei modelli probit e logit Modello logit: la relazione lineare viene corretta con una trasformazione esponenziale (logistica) Sostituendo la forma estesa di w i si ottiene: La funzione logistica ha codominio limitato all intervallo (0,1) m w i x j1 j y i, j i 1 y i e 1 j f ( w x j j i ) i 1 1 e w i y i è sempre compresa fra 0 e

28 I modelli logit e probit E possibile utilizzare altre trasformazioni oltre alla logistica, sempre con codominio compreso tra 0 e 1 Es. una funzione di densità di probabilità cumulata normale, N(w i ) il modello finale è detto normit, o più comunemente probit La funzione logistica si caratterizza per code più spesse; in pratica, ciò non produce differenze rilevanti fra i due modelli I modelli logit e probit non sono molto diversi, a meno che il campione non includa parecchi valori estremi di w i 28

29 I modelli di natura induttiva Le reti neurali I modelli finora presentati sono fondati sulle caratteristiche strutturali che spiegano le condizioni di salute di un impresa La scelta delle variabili rilevanti riflette sempre una scelta a priori basata sul ragionamento economico Le reti neurali seguono invece un procedimento induttivo: Se si riscontra una certa regolarità in un campione di dati, essa viene utilizzata, in modo acritico e agnostico, per prevedere il default di altre imprese I modelli strutturali sono modelli trasparenti che utilizzano test inferenziali per verificare la significatività dei coefficienti stimati I modelli induttivi sono spesso dei black box la cui logica non è facilmente comprensibile fino in fondo 29

30 I modelli di natura induttiva Le reti neurali I modelli strutturati possono essere però imparati dalle imprese Potrebbero adottare politiche di bilancio per condizionarne il risultato, rendendo il modello meno efficace La mancata esplicitazione della struttura funzionale dei modelli induttivi può quindi rappresentare un vantaggio. Le reti neurali tentano di riprodurre il meccanismo di apprendimento che caratterizza la conoscenza e la memoria umana Una rete neurale si compone di un numero elevato di neuroni, collegati fra loro tramite relazioni elementari dette sinapsi 30

31 I modelli di natura induttiva Le reti neurali I neuroni sono collocati a strati (layers): ogni neurone dello strato più esterno della rete riceve in input n variabili le elabora con una funzione il risultato della funzione viene passato ai neuroni dello strato successivo input x 1 x 2 x n strato 1 strato 2 (nascosto) n 1 f(x 1, x n ) n 2 f(n 1,n 2 ) output Score Dopo uno o più strati nascosti (hidden layers) la rete genera un risultato finale n 3 n 4 31

32 I modelli di natura induttiva Le reti neurali I coefficienti delle singole funzioni elementari che compongono la rete vengono messi a punto mediante un meccanismo di tipo iterativo Esempio: Si modificano gradualmente i valori dei coefficienti in modo da ottenere risultati quanto più simili a quelli desiderati Osservazioni x 1 x 2 y A B C D E F Attraverso ripetuti tentativi ( epoche ) la rete riuscirà a ridurre progressivamente l errore commesso, ottenendo i risultati della tabella a fianco (chiaramente troppo imprecisi per il problema proposto) Partendo dai valori delle variabili x 1 e x 2, vogliamo ricostruire il valore di y (y è semplicemente la somma di x 1 e x 2 ) Osservazione x 1 x 2 y reale y generato Errore dalla rete A ,60-0,60 B ,41-1,41 C ,56 0,44 D ,52 0,48 E ,31 0,69 F ,04-0,04 32

33 I modelli di natura induttiva Gli algoritmi genetici Gli algoritmi genetici sono stati sviluppati da John Holland negli anni 60 e 70 e si ispirano al comportamento degli organismi biologici Il loro funzionamento si fonda infatti su una trasposizione artificiale dei principi darwiniani di selezione naturale e survival of the fittest. Processo di evoluzione naturale: Charles Darwin The Origin of Species Gli individui di una medesima specie animale competono tra loro per accaparrarsi le risorse fondamentali per l esistenza e per l accoppiamento Gli individui che hanno le migliori caratteristiche hanno una maggior probabilità di sopravvivere e di riprodursi. Solo gli individui migliori arrivano a trasferire il loro bagaglio genetico alle generazioni future 33

34 I modelli di natura induttiva Gli algoritmi genetici Oltre alla selezione naturale, altri due meccanismi concorrono all evoluzione e al miglioramento della specie: La ricombinazione genetica (cross-over) può condurre ad una progenie con caratteristiche migliori (superfit) Il bagaglio genetico può cambiare anche in seguito ad improvvise e rarissime, mutazioni casuali di singoli geni Nel caso degli algoritmi genetici gli individui da fare evolvere sono le possibili soluzioni a un problema Immaginiamo di voler generare una funzione basata su indicatori di bilancio (x 1, x 2,, x n ) in modo tale da assegnare valori elevati alle imprese sane e valori bassi a quelle anomali z 0 1x1 2x2... mx m 34

35 I modelli di natura induttiva Gli algoritmi genetici Ogni individuo è rappresentato da un vettore α= [α 0 α m ] Valori di α j nulli indicano che il corrispondente indice economico-finanziario non viene utilizzato da questo individuo-soluzione Per selezionare le soluzioni migliori e affinarle: 1. viene generata casualmente una prima popolazione di s individui-soluzioni; 2. utilizzando una funzione di valutazione, viene calcolata la bontà (fitness) degli s individui (capacità di rappresentare una buona soluzione per il problema); 3. si applica un algoritmo (detto operatore genetico ) di selezione che identifica gli individui destinati a sopravvivere; 4. si applica un secondo operatore genetico che permette agli individui sopravvissuti di riprodursi, producendo una seconda generazione di soluzioni i cui vettori α sono combinazioni delle soluzioni della generazione precedente; 35

36 I modelli di natura induttiva Gli algoritmi genetici 5. Con l operatore genetico di mutazione si introduce la possibilità di registrare una improvvisa modifica di una o più soluzioni della nuova generazione 6. Viene misurata la fitness di ogni individuo della nuova generazione di soluzioni. Se non è soddisfacente, allora il processo viene ulteriormente replicato, fino ad una soluzione attraente o sino a quando il miglioramento di fitness passando da una generazione all altra è nullo. Generazione di una popolazione iniziale Valutazione della fitness delle soluzioni Una soluzione è pienamente soddisfacente? no sì Soluzione? Problema Generazione di una nuova popolazione Selezione Crossover Mutazione 36

37 I modelli di natura induttiva Gli algoritmi genetici Gli algoritmi genetici realizzano una ricerca adattiva (adaptive search) Si muovono nello spazio facendosi guidare dalla memoria: l esplorazione avviene grazie alle informazioni acquisite nell attività di ricerca già svolta Gli algoritmi genetici vengono utilizzati con particolare successo in quelle aree problematiche caratterizzate da uno spazio di soluzioni ampio e rumoroso 37

38 Utilizzi e limiti dei modelli di scoring possono essere impiegati con due obiettivi: previsione delle insolvenze fissazione di una soglia minima di score al di sotto della quale la richiesta di credito viene respinta stima del livello di rischio ad ogni debitore viene assegnata una PD La stima della PD può essere effettuata a livello di singolo debitore oppure I clienti con score simile vengono raggruppati in classi: la percentuale di default effettivamente avvenuti su ogni classe negli anni successivi viene utilizzata come stima della PD 38

39 Limiti dei modelli di scoring La definizione di impresa anomala o insolvente L importanza relativa delle variabili indipendenti utilizzate dal modello di analisi discriminante potrebbe variare nel tempo trascurano numerosi fattori qualitativi, come la reputazione dell impresa, la fase del ciclo economico, la qualità del management etc. Le imprese del campione di stima dovrebbero, per quanto possibile, appartenere al medesimo settore produttivo (lo stesso indice potrebbe avere una diversa importanza nel determinare l insolvenza nei diversi settori) I campioni di stima possono essere sbilanciati ed includere una percentuale di imprese sane troppo elevata (le imprese insolvente di cui esistono i dati sono troppo poche) 39

40 Esercizi/1 1. Una banca ha analizzato i bilanci di un gruppo di clienti sani e anomali e ha riscontrato che il rapporto tra patrimonio e totale attivo è in media 50% per i sani e 20% per gli anomali ; il rapporto tra attivi liquidi e passività a breve termine è in media 2 per i sani e 0,4 per gli anomali ; la matrice di varianze/covarianze tra i due rapporti è la seguente: S e la sua inversa è S

41 Esercizi/1 La banca vuole utilizzare queste informazioni per costruire un modello di analisi discriminante. A tal fine, calcolate: i coefficienti della funzione discriminante; i centroidi; la soglia per separare i clienti sani da quelli anomali, nel caso in cui la probabilità a priori (prior) di incontrare un cliente anomalo sia il 10% e il costo degli errori non sia noto; la soglia (basata sullo stesso prior di prima) per un cliente con costi dell errore rispettivamente di euro (in caso di prestito erogato ad un impresa anomala) e euro (in caso di prestito rifiutato ad un impresa sana. 41

42 Esercizi/2 2. Un cliente ha richiesto un prestito di euro fornendo garanzie reali in contante per euro (così che, in caso di default, la perdita per la banca sarebbe pari all 80% del prestito). Il tasso applicato sul prestito sarebbe 12%; il costo dei fondi prestabili, unito a tutte le altre spese operative della banca, sarebbe pari a 10%, lasciando un margine di profitto netto del 2%. Lo score del cliente, basato su un modello di analisi discriminante, è pari a 6,1. Si tratta di un valore inferiore alla soglia minima sotto la quale non è possibile concedere un prestito; tale soglia (sulla base dei costi dell errore indicati in precedenza e di una probabilità a priori del 10% che l impresa sia anomala) è pari a 7. 42

43 Esercizi/2 Di quanto dovrebbe aumentare la garanzia reale in contante fornita dal cliente (lasciando il tasso attivo al 12%) affinché la sua richiesta venga approvata? Sulla base dei dati forniti in questo esercizio, sapreste ricavare anche la PD del cliente? 43

44 Esercizi/3 3. Considerate le seguenti affermazioni sui modelli logit e sui linear probability models: I. è necessario troncare tra zero e uno i risultati di un linear probability model, affinché essi coincidano con quelli di un modello logit; II. è necessario troncare tra zero e uno i risultati di un linear probability model, affinché il loro codominio coincida con quello di un modello logit; 44

45 Esercizi/3 III.I linear probability models e i modelli logit hanno sempre i medesimi coefficienti, ma le PD stimate sono diverse perché i modelli logit comportano l utilizzo di una funzione-filtro non lineare; IV.I linear probability models, diversamente dai modelli logit, generano stime distorte. Quali sono corrette? a) La II e la III; b) solo la IV; c) la II e la IV; d) tutte. 45