La Ricerca Operativa ha lo scopo di fornire un supporto scientifico alle decisioni che si può sintetizzare nei seguenti passi fondamentali:

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1 Ricerca Operativa La Ricerca Operativa ha lo scopo di fornire un supporto scientifico alle decisioni che si può sintetizzare nei seguenti passi fondamentali: 1 Definizione del problema: c è un sistema che si può migliorare? 2 Osservazione e raccolta dati: quali sono le caratteristiche importanti di questo sistema? È possibile quantificarle? 3 Formulazione di un modello: come si possono tradurre queste informazioni in un problema matematico in modo da poter ottenere i risultati che si vogliono? 4 Scelta di un alternativa: qual è la soluzione di questo problema? 5 Analisi dei risultati: perché la soluzione trovata migliora il sistema? 6 Implementazione della decisione scelta: come si mette in pratica tutto questo? S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

2 Soluzione analitica VS soluzione numerica AMPL è un valido strumento per risolvere numericamente i modelli. PROBLEMA MODELLO AMPL SOLUZIONE Analitica SOLUTORE Analisi RISULTATO SOLUZIONE Numerica S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

3 Esempio 1 - Problema Una fabbrica metallurgica utilizza un laminatoio che prende delle lastre di acciaio e le trasforma in due tipologie di prodotti semi-lavorati: barre e bobine. Questi semi-lavorati vengono prodotti a differenti ritmi di produzione e vengono venduti a prezzi di mercato differenti: ritmi (ton / ora) prezzi ($) Barre Bobine Questa settimana la fabbrica deve decidere quante tonnellate di barre e di bobine produrre, in modo da non superare le 40 ore di attività, non superare la domanda di 6000 tonnellate di barre e 4000 tonnellate di bobine, e da ottenere il massimo profitto. S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

4 Esempio 1 - Modello Si indica con x il numero di tonnellate di barre prodotte e con y il numero di tonnellate di bobine prodotte: max 25x + 30y x y 40 0 x y 4000 S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

5 Esempio 1 - Soluzione Analitica La soluzione di questo problema di programmazione lineare è facile da individuare per via grafica ed è pari a (6000,1400) S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

6 Esempio 1 - Soluzione Numerica Nel prompt AMPL: ampl: var x; ampl: var y; ampl: maximize profitto: 25*x + 30*y; ampl: subject to tempo: (1/200)*x + (1/140)*y <= 40; ampl: subject to limite_barre: 0 <= x <= 6000; ampl: subject to limite_bobine: 0 <= y <= 4000; ampl: solve; MINOS 5.51: optimal solution found. 2 iterations, objective ampl: display x, y; x = 6000 y = 1400 ampl: quit; S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

7 Esempio 2 - Modello Supponiamo di considerare un problema il cui modello sia il seguente: min (x 1) 2 + y 2 x 2 y 1 Questo è un problema di ottimizzazione non lineare con funzione obiettivo quadratica e un vincolo quadratico. S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

8 Esempio 2 - Soluzione Analitica La soluzione di questo problema di programmazione non lineare è facile da individuare per via grafica ed è pari a (1,0) S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

9 Esempio 2 - Soluzione Numerica Con AMPL otteniamo una soluzione da interpretare: ampl: var x; ampl: var y; ampl: minimize obiettivo: (x-1)^2 + y^2; ampl: subject to vincolo: x^2 - y >= 1; ampl: solve; MINOS 5.51: optimal solution found. 14 iterations, objective e-13 Nonlin evals: obj = 39, grad = 38, constrs = 39, Jac = 38. ampl: display x, y; x = 1 y = e-07 ampl: quit; S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

10 Funzionamento di un solutore Un solutore comunica con AMPL, ricevendo in input il problema di ottimizzazione e i settaggi e restituendo in output tutto quello che riguarda la soluzione che ha trovato. AMPL dati iniziali: x SI x è suff. ottimo? NO scelta metodo Metodo 1 Metodo 2 Metodo 3 nuovo punto: x S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

11 Esempio 3 - Modello Supponiamo di considerare un problema il cui modello sia il seguente: min (x 1) 3 + y 3 x 3 6y 2 1 3x 4 2y 2 7 Questo è un problema di ottimizzazione non lineare, per cui è complessa una risoluzione analitica. S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

12 Esempio 3 - Soluzione Numerica Con AMPL inizialmente non otteniamo una soluzione: ampl: var x; ampl: var y; ampl: minimize obiettivo: -(x-1)^3 + y^3; ampl: subject to vincolo1: x^3-6*y^2 <= 1; ampl: subject to vincolo2: 3*x^4-2*y^2 >= 7; ampl: solve; MINOS 5.51: infeasible problem (or bad starting guess). 32 iterations Nonlin evals: obj = 80, grad = 80, constrs = 80, Jac = 80. S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

13 Esempio 3 - Soluzione Numerica Il solutore MINOS ci suggerisce che la difficoltà potrebbe essere data dal punto iniziale scelto. Di default il punto iniziale è (0,0) che per questo problema non è ammissibile. Proviamo a cambiarlo impostando un punto ammissibile: ampl: let x:= 2; ampl: let y:= 2; ampl: solve; MINOS 5.51: optimal solution found. 31 iterations, objective Nonlin evals: obj = 95, grad = 94, constrs = 95, Jac = 94. ampl: display x, y; x = y = S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

14 Insiemi Sintassi AMPL Gli insiemi definiscono gli elementi in base ai quali si indicizzano variabili, parametri e vincoli del modello. È necessario distinguere tra dichiarazione e assegnazione di un insieme 1 dichiarazione(file.mod): set NomeInsieme; 2 assegnazione(file.dat): set NomeInsieme:= e1 e2... em; Esistono diversi tipi di insiemi 1 insiemi non ordinati 2 insiemi numerici 3 insiemi ordinati 4 insiemi ordinati e ciclici S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

15 Sintassi AMPL Dichiarazione Insiemi 1 insieme non ordinato: set NomeInsieme; 2 insieme numerico: set NomeInsieme:= inizio.. fine by intervallo; 3 insieme ordinato: set NomeInsieme ordered; 4 insieme ordinato e ciclico: set NomeInsieme circular; N.B.: gli insiemi numerici non hanno bisogno di un assegnazione S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

16 Operazioni su Insiemi Sintassi AMPL Operatori e funzioni su insiemi generici funzione A union B A inter B A diff B A symdiff B card(a) risultato insieme di elementi che stanno in A o B insieme di elementi che stanno sia in A che in B insieme di elementi che stanno in A ma non in B insieme di elementi che stanno in A on in B ma non in entrambi numero di elementi che stanno in A Operatori e funzioni su insiemi ordinati funzione risultato first(a) primo elemento di A last(a) ultimo elemento di A next(a,a) elemento di A dopo di a prev(a,a) elemento di A prima di a next(a,a,k) k-esimo elemento di A dopo di a prev(a,a,k) k-esimo elemento di A prima di a ord(a,a) posizione di a in A ord0(a,a) come ord(a,a), ma restituisce 0 se a non è in A member(k,a) elemento di A in k-esima posizione S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

17 Sintassi AMPL Insiemi impliciti Espressioni di indicizzazione permettono di definire insieme impliciti ad-hoc utili nella definizione di parametri, di vincoli, della funzione obiettivo e di altri insiemi, senza dover dare un nome esplicito all insieme. coppie ordinate di elementi, tratti rispettivamente da A e da B {A,B} {i in A, j in B} coppie ordinate di elementi, entrambi da A {i in A,j in A} elementi di A tali che il valore associato nel vettore costi >= 10 {i in A: costi[i] >= 10} S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

18 Parametri Sintassi AMPL I parametri rappresentano i dati del problema. I valori numerici non vengono modificati dal solutore. Ovviamente a monte e a valle del processo di risoluzione é possibile modificare esplicitamente tali valori. dichiarazione(file.mod): set PROD; set ZONA; param T; param costi{prod}; param prezzo{prod,zona}; param domanda{prod,zona,1..t}; uso:...t..;...costi[p]...;# p in PROD...prezzo[p,z]...;# p in PROD e z in ZONA...domanda[p,z,t]...;# " " t in 1..T S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

19 Parametri Sintassi AMPL assegnazione(file.dat): set PROD:= p1 p2; set Zona:= z1 z2; param T:=2; param costi:= p1 5 p2 4 ; param prezzo: z1 z2:= p1 3 5 p2 6 4; param domanda:= [*,*,1]: z1 z2:= p p [*,*,2]: z1 z2:= p p ; S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

20 Variabili Sintassi AMPL Le variabili rappresentano le incognite del modello, i cui valori numerici vengono determinati dal solutore su una particolare istanza del modello. dichiarazione(file.mod): set PROD; set OPERAI; param dom{prod}; var Tempo; var Num{PROD}integer; var Ass{PROD,OPERAI} binary; var Quantita{p in PROD}>=0, <=dom[p]; uso: come per i parametri assegnazione (opzionale)(file.dat e file.run): let Tempo:=6; blocco/sblocco(opzionale)(file.dat e file.run): fix Tempo:=4; unfix Tempo; S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

21 Sintassi AMPL Espressioni 1 Le espressioni sono fondamentali nella costruzione della funzione obiettivo e dei vincoli, come anche per imporre condizioni aggiuntive sui parametri e sulle variabili. operatori simbolo tipo operandi tipo risultato + - * / div ^ mod numerico numerico < <= ==!= > >= numerico logico if-then-else logico numerico or and not logico logico S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

22 Espressioni 2 Sintassi AMPL funzioni funzione abs(x) floor(x) ceil(x) sqrt(x) log(x) exp(x) risultato valore assoluto di x approssimazione intera per difetto di x approssimazione intera per eccesso di x radice quadrata x logaritmo naturale di x esponeziale di x funzioni indicizzate funzione sum{a in A}... prod{a in A}... min{a in A}... max{a in A}... risultato somma estesa ai soli elementi in A produttoria estesa ai soli elementi in A minimo esteso ai soli elementi in A massimo esteso ai soli elementi in A S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23

23 Sintassi AMPL Vincoli e funzione obiettivo 1 Vincoli I vincoli del modello definiscono le carattestiche che una possibile soluzione deve soddisfare dichiarazione vincolo subject to nomevincolo: espressione_logica; 2 Funzione obiettivo La funzione obiettivo definisce un ranking delle soluzioni ammissibili dichiarazione(file.mod): minimize obj1: espressione_aritmetica; maximize obj2: espressione_aritmetica; scelta obiettivo(se più obiettivi)(file.dat e file.run): objective obj2; S. Sagratella (DIAG) March 4, / 23