Problema del Set Covering (PLI)

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1 Problema del Set Covering (PLI) Una società deve decidere sulla costruzione di alcuni nuovi impianti per la depurazione di acque in un distretto di 5 città C i, i Ha a disposizione 12 aree A i, i , ognuna delle quali può servire una o più città secondo la seguente tabella (un * indica che la città è servita dal relativo impianto), che indica in penultima riga anche il costo (in MEuro) di installazione di ogni impianto e la capacità di depurazione (in 10 9 kg/anno): A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 C 1 * * * * * * C 2 * * * * * * C 3 * * * * * C 4 * * * * * * C 5 * * * * * * * Costo Capacità Determinare, mediante un modello di Programmazione Lineare Intera, quali impianti vanno costruiti in modo tale che ogni città sia servita da almeno un impianto, che il costo di costruzione sia minimo e che vengano depurati almeno kg/anno. Proporre un euristica di tipo greedy efficiente per il problema proposto (Set Covering con vincoli di capacità). Documento preparato da Pietro Belotti e Leo Liberti 1

2 Soluzione Formulazione. Indici: sia i un indice sull insieme delle aree (i m, dove m è il numero delle aree, m = 12); sia j un indice sull insieme delle città (j n, dove n è il numero delle città, n = 5). Parametri: sia t ij = 1 se la città j è servita dall impianto i e 0 altrimenti (come da tabella nel testo del problema); sia c i il costo di installazione di un impianto sull area i; sia C i la capacità di depurazione di un impianto costruito sull area i; sia Q la quantità minima di acqua da depurare (Q = 120). Variabili: sia x i = 1 se un impianto viene costruito sull area i e 0 altrimenti (x i {0, 1). Funzione obiettivo: m min c i x i i=1 Vincoli: (ogni città servita da almeno un impianto) per ogni j n: m i=1 t ijx i 1; (depurazione minima): m i=1 C ix i Q. File modello in AMPL # impianti di depurazione param m >= 0; param n >= 0; set M := 1..m; set N := 1..n; param costo{m >= 0; param t{m,n binary; param capacita{m >= 0; param depurazione_minima >= 0; Documento preparato da Pietro Belotti e Leo Liberti 2

3 var x{m binary; minimize costo_totale: sum{i in M costo[i] * x[i]; subject to covering{j in N: sum{i in M t[i,j] * x[i] >= 1; subject to depurazione: sum{i in M capacita[i] * x[i] >= depurazione_minima; File dati in AMPL # depuratori param m := 12; param n := 5; param costo := ; param t: := ; param capacita := Documento preparato da Pietro Belotti e Leo Liberti 3

4 ; Soluzione AMPL/CPLEX CPLEX 8.1.0: optimal integer solution; objective 15 3 MIP simplex iterations 0 branch-and-bound nodes costo_totale = x [*] := ; Euristica greedy Supponendo di aver già selezionato un insieme A di aree che servono un insieme B di città, per ogni i M\A sia D i = t ij (1) j N\B il numero di città scoperte che l impianto i coprirebbe Il costo marginale unitario di ciascun impianto, dato da d i = c i D i è un costo pesato dall utilità effettiva dell impianto. Si può quindi proporre un euristica greedy come segue: 1. Inizializza l insieme delle città servite B e l insieme di aree selezionate A all insieme vuoto. Documento preparato da Pietro Belotti e Leo Liberti 4

5 2. Ripeti i comandi seguenti fintantoché B < n o la capacità di depurazione delle aree selezionate A è minore di Q, cioè fintantoché almeno un vincoli non è soddisfatto: (a) per ogni i M\A si calcoli D i come in Eq. (1), e d i = c 1 D i ; (b) si scelga la città k = arg min{d i i M\A; (c) si aggiorni A A {k, B B {j t kj = 1 L implementazione proposta dell euristica è come segue: model setcovering.mod; data setcovering.dat; print "Euristica GREEDY"; ## dichiarazioni # numero di citta scoperte all iterazione corrente param D >= 0; # costo marginale unitario all iterazione corrente param d >= 0; # costo marginale unitario minimo param dmin >= 0; # indice dell area con costo marginale unitario minimo param k >= 0, integer; # costo della soluzione euristica param hcost >= 0; # aree selezionate nella soluzione euristica (A[area] = 1 se selezionata) param A{M >= 0, binary; # citta coperte nella soluzione euristica (B[citta] = 1 se coperta) param B{N >= 0, binary; # cardinalita dell insieme delle citta coperte param cardb >= 0; # capacita di depurazione delle aree selezionate param depuraz >= 0; ## inizializzazione valori let hcost := 0; let cardb := 0; let {i in M A[i] := 0; let {j in N B[j] := 0; let depuraz := 0; ## euristica # ciclo esterno: continua l euristica fino a che i vincoli sono soddisfatti repeat while(depuraz < depurazione_minima or cardb < n) { let dmin := ; Documento preparato da Pietro Belotti e Leo Liberti 5

6 # ciclo interno: cerca l area di costo marginale unitario minimo for {i in M : A[i] = 0 { # aggiungi affinche la divisione seguente non sia costo / 0 let D := sum{j in N : B[j] = 0 t[i,j] ; let d := costo[i] / D; if (d < dmin) then { # se l area i e migliore delle precedenti, aggiorna let dmin := d; let k := i; # al termine del ciclo interno abbiamo l area migliore k # aggiorna l insieme delle aree selezionate let A[k] := 1; # aggiorna il costo totale let hcost := hcost + costo[k]; # aggiorna la capacita di depurazione let depuraz := depuraz + capacita[k]; # aggiorna l insieme delle citta servite for {j in N : t[k,j] = 1 and B[j] = 0 { let B[j] := 1; let cardb := cardb + 1; ## stampa soluzione print "euristica: costo = ", hcost; print "euristica: soluzione = "; for{i in M : A[i] = 1 { print i; e la soluzione ottenuta è: Euristica GREEDY euristica: costo = 16 euristica: soluzione = Si osservi che la soluzione euristica è peggiore di quella ottimale (costo 16 contro costo 15) ma non di molto (meno del 7% di differenza). Documento preparato da Pietro Belotti e Leo Liberti 6