Assegnamento generalizzato: generazione di piani di taglio e branch-and-cut

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1 Assegnamento generalizzato: generazione di piani di taglio e branch-and-cut Riprendiamo il problema di assegnamento generalizzato considerato a esercitazione nell esercizio 4.4: max p ij x ij s.t. i I,j J x ij 1 j J i I w ij x ij b j j J i I x ij {0,1 i I,j J. Consideriamo la specifica istanza dove P = W = Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 1

2 b = (a) Si formuli il problema in termini di Programmazione Lineare Intera e lo si risolva mediante AMPL e CPLEX. (b) Si proponga un insieme di disuguaglianze valide per il problema. (c) Si formuli il problema di separazione per suddette disuguaglianze. (d) Si implementi un algoritmo di generazione di piani di taglio per l insieme di disuguaglianze proposte. (e) Si risolva il problema mediante l algoritmo di branch-and-cut implementato in CPLEX, valutando la differenza in numero di nodi dell albero di branch-and-bound generati nei casi in cui l introduzione di piano di taglio sia attiva (come da default di CPLEX) o completamente disabilitata. Si utilizzino i parametri di CPLEX indicati nel file ga.run. Suggerimento: si osservino le disuguaglianze singolarmente. A quale problema studiato sono riconducibili? Dato un problema (A) e un suo rilassamento (B), le disuguaglianze valide per (B) sono valide anche per (A)? Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 2

3 Traccia di soluzione File dati ga.dat: #ga.dat param m := 10 param n := 5 param p: := param w: := param b := Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 3

4 Segue il file ga-i.mod contenente il modello parziale della formulazione (DFJ), da completare: #ga.mod param m param n set I := 1..m set J := 1..n param p{i,j param w{i,j param b{j #Variables #Objective function #Constraints Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 4

5 Implementazione parziale dell algoritmo di piani di taglio, file cuttingplanes-i.run: #cuttingplanes-i.run #load.mod and.dat files option solver cplex problem primal: #list vars, objective function, constraints names problem separation: #list vars, objective function, constraints names let nc := 0 param violation, default 1e300 param found, binary, default 0 repeat { solve primal for {jj in J { let j_bar := jj let {i in I x_star[i] := x[i,j_bar] let found := 0 solve separation let violation := violationobj if (violation <= 0.1) then { continue else { #add the cut to the constraints of the primal problem let found := 1 break while (found == 1) File con parametrizzazione CPLEX per l esecuzione dell algoritmo di branch-and-cut, file Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 5

6 ga.run: #ga.run model ga.mod data ga.dat option solver cplex option cplex_options "presolve 0 \ zerohalfcuts=-1 \ mipcuts=-1 \ covercuts=-1 \ mipdisplay=5" solve display x Per abilitare la generazione della famiglia di disuguaglianze proposta si cambi la riga covercuts=-1 in covercuts=0. Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 6

7 Soluzione (a) File di modello ga.mod: #ga.mod param m param n set I := 1..m set J := 1..n param p{i,j param w{i,j param b{j var x{i,j, binary maximize obj: sum{i in I, j in J x[i,j] * p[i,j] s.t. assignment{i in I: sum{j in J x[i,j] <= 1 s.t. knapsack{j in J: sum{i in I w[i,j]*x[i,j] <= b[j] File.run: model Lab3_ _AMPL/ga.mod data Lab3_ _AMPL/ga.dat option solver cplex solve display x option relax_integrality 1 solve display x Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 7

8 Soluzione della formulazione di PLI e del suo rilassamento continuo: CPLEX : optimal integer solution objective MIP simplex iterations 0 branch-and-bound nodes 9 cover cuts 2 clique cuts 1 Gomory cut 3 zero-half cuts x [*,*] : := CPLEX : optimal solution objective dual simplex iterations (9 in phase I) x [*,*] : := (b) Il problema può essere visto come una generalizzazione del problema dello zaino binario, in cui si hanno J zaini con capacita b j. Considerando singolarmente le disuguaglianze del problema, possiamo quindi utilizzare delle diseguaglianze valide per il problema di zaino, ovvero le diseguaglianze di copertura (cover inequalities). Data la diseguaglianza relativa a j J w ij x ij b j, i I definiamo un insieme di copertura C, o cover, come un sottoinsieme C I tale che: w ij > b j. i C Intuitivamente, un insieme di copertura C contiene gli indici di item i che, se assegnati contemporaneamente a j, eccedono la capacità b j. E evidente quindi che, in una soluzione ammissibile, le variabili binarie associate agli indici in un insieme di copertura C non possono assumere tutte valore 1. In altre parole, data una cover C, risulta valida la Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 8

9 corrispondente diseguaglianza di copertura x ij C 1, i C che può anche essere equivalentemente espressa come (1 x ij ) 1, indicando che almeno una delle variabili deve essere posta a 0. i C Le diseguaglianze di copertura sono valide per il problema di assegnamento, ma non per il suo rilassamento continuo. Attraverso la generazione di diseguaglianze di copertura possiamo quindi migliorare la formulazione del rilassamento continuo del problema, rendendola più stringente. (c) Per la generazione di diseguaglianze di copertura, si consideri una soluzione ottima x del rilassamento continuo. Si risolve quindi il problema di separazione che permette di trovare un insieme C I per cui la diseguaglianza di copertura non è soddisfatta da x e si aggiunge tale diseguaglianza al modello. Tale problema comporta la massimizzazione della violazione di una diseguaglianza di copertura (1 x ij ) 1, i C utilizzando delle variabili binarie α ij che indicano quali indici i appartengano alla cover C per una diseguaglianza j. In particolare, la diseguaglianza è violata se 1 i I x ijα ij > 0. Affinché l insieme definito dagli α sia effettivamente un insieme di copertura relativo alla j-esima diseguaglianza, occorre che w ij α ij > b j. i I Poichè in AMPL i vincoli vengono formulati con dei vincoli di tipo (e non >), scegliamo di esprimere la condizione con il vincolo i I w ijα ij b j +ǫ, dove ǫ > 0. Possiamo fissare ǫ = 1 per ogni j J perchè dal file ga.dat osserviamo che il minimo comune multiplo dei numeri { {w ij i I,b j è maggiore o uguale ad 1 per ogni j J (in altre parole i numeri { {wij i I,b j sono interi per ogni j J): ciò, insieme al fatto che le variabili αij sono intere, assicura che anche la differenza i I w ijα ij b j è un multiplo intero di 1. Il procedimento è iterato finché non esistono più diseguaglianze di copertura violate. Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 9

10 (d) File di modello del rilassamento continuo predisposto per l inserimento di nuove disuguaglianze: #primal.mod param m param n set I := 1..m set J := 1..n param p{i,j param w{i,j param b{j param nc >= 0 set CUTS := 1..nc set C{CUTS within I param J_bar{CUTS symbolic within J var x{i,j, >= 0, <=1 maximize obj: sum{i in I, j in J x[i,j] * p[i,j] s.t. assignment{i in I: sum{j in J x[i,j] <= 1 s.t. knapsack{j in J: sum{i in I w[i,j]*x[i,j] <= b[j] s.t. cover_cuts{k in CUTS: sum{i in C[k] x[i,j_bar[k]] <= card(c[k]) - 1 File di modello del problema di separazione, separation.mod: #separation.mod param j_bar symbolic within J param x_star{i, >=0, <= 1 var alpha{i, binary maximize violationobj: 1 - sum{i in I ( 1 - x_star[i] ) * alpha[i] s.t. cover: sum{i in I w[i,j_bar]*alpha[i] >= b[j_bar] + 1 Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 10

11 Implementazione completa dell algoritmo di piani di taglio, file cuttingplanes.run: #cuttingplanes.run model primal.mod model separation.mod data ga.dat option solver cplex problem primal: x, obj, assignment, knapsack, cover_cuts problem separation: alpha, violationobj, cover let nc := 0 param violation, default 1e300 param found, binary, default 0 repeat { solve primal display x for {jj in J { let j_bar := jj display nc, j_bar let {i in I x_star[i] := x[i,j_bar] let found := 0 solve separation expand display x_star, alpha let violation := violationobj if (violation <= 0.1) then { continue else { let nc := nc + 1 let C[nc] := setof{i in I: alpha[i] = 1 i let J_bar[nc] := j_bar let found := 1 display C[nc], j_bar break while (found == 1) solve primal display x display C, J_bar Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 11

12 Soluzione ottenuta con l algoritmo dei piani di taglio: CPLEX : optimal solution objective simplex iterations (0 in phase I) x [*,*] : := nc = 15 set C[1] := set C[2] := set C[3] := set C[4] := 1 6 set C[5] := 6 set C[6] := set C[7] := set C[8] := set C[9] := 2 8 set C[10] := 2 10 set C[11] := 4 7 set C[12] := 4 9 set C[13] := 4 6 set C[14] := 7 8 set C[15] := 6 J_bar [*] := Dalla soluzione riportata nel punto a) possiamo osservare che il rilassamento continuo forniva un limite superiore sul valore ottimo pari a 595.7, mentre la formulazione con l aggiunta di disuguaglianze di copertura ne fornisce uno di 587.6, avvicinandosi al valore del problema di PLI originale: ciò conferma che questi tagli restringono la regione ammissibile individuata dal rilassamento continuo. Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 12

13 (e) La generazione di piani di taglio può essere tipicamente usata all interno di un branch-andbound, ottenendo un metodo cosiddetto di branch-and-cut. Attivando l opzione di CPLEX che permette la generazione di diseguaglianze di copertura (cover cuts) è possibile notare la differenza di comportamento. Soluzione ottenuta disabilitando le disuguaglianze di copertura: CPLEX : optimal integer solution objective MIP simplex iterations 329 branch-and-bound nodes x [*,*] : := Soluzione ottenuta abilitando la separazione di disuguaglianze di copertura: CPLEX : optimal integer solution objective MIP simplex iterations 0 branch-and-bound nodes 14 cover cuts x [*,*] : := Osserviamo che attivando la generazione di disuguaglianze di copertura il numero di nodi dell albero di enumerazione si riduce grandemente. Ciò conferma che l aggiunta di tali disuguaglianze contribuisce a rendere più stringenti le formulazioni dei vari sottoproblemi, migliorandone i rispettivi bound e rendendo il processo di branch-and-bound più efficiente. Documento preparato da S. Coniglio, L. Taccari, V. Danese 13