Ottimizzazione Combinatoria

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1 Ottimizzazione Combinatoria Esercitazione AMPL A.A Esercitazione a cura di Silvia Canale contatto canale@dis.uniroma.it Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

2 AMPL in breve A Mathematical Programming Language AMPL è un linguaggio di modellazione algebrico per problemi di programmazione matematica: - problemi lineari e non lineari - problemi in variabili intere e continue AMPL impiega una notazione basata su concetti semplici e di uso comune per rendere più facile il processo di modellazione di un problema. Una volta formulato tramite il linguaggio AMPL, occorre un opportuno solutore di programmazione matematica per risolvere il problema. L interprete AMPL permette di risolvere un problema formulato tramite il linguaggio AMPL impiegando direttamente un solutore di programmazione matematica. 2

3 Solutori per AMPL Sono disponibili diversi solutori tramite l interfaccia grafica AMPL. La scelta del solutore dipende dal tipo di problema: -Problemi di programmazione lineare: con variabili continue: BPMPD, CPLEX, LAMPS, LOQO, lp_solve, MINOS, MOSEK, OSL, SOPT, XA, Xpress-MP con variabili intere: CPLEX, LAMPS, lp_solve, MINTO, MOSEK, OSL, SOPT, XA, Xpress-MP -Problemi di programmazione non lineare: quadratici: CPLEX, MOSEK, OSL convessi: MOSEK, SOPT generali continui: CONOPT, DONLP2, FILTER, FSQP, IPOPT, KNITRO, LANCELOT, LOQO, MINOS, NPSOL, PENNON, SNOPT generali interi: MINLP In questo corso utilizzeremo l interprete AMPL ed il solutore CPLEX, versione student. 3

4 Software AMPL Sito ufficiale: Tutte le informazioni relative ad AMPL si trovano sul sito ufficiale AMPL Pagina per il download dell interprete APML e dei solutori: La pagina contiene: - Istruzione per il download (quick start per Windows e Unix); - software eseguibile dell interprete AMPL; - software eseguibile di diversi solutori. Ulteriori informazioni sul download sono reperibili alla pagina: AMPL Pagina per il download dell interfaccia grafica: Sono disponibili tre diverse interfacce grafiche in versione sperimentale. 4

5 Materiale Oltre alle slide di questa esercitazione, è possibile scaricare dalla pagina della prof.ssa Piccialli il seguente materiale: - Par. 4- di Appunti sulla Sintassi e sui Comandi di AMPL Plus v.6 Manuale in italiano a cura dei dott. R. Bruni, G. Fasano e G. Liuzzi - Esercitazioni a cura dalla prof.ssa Piccialli con appunti delle lezioni e diversi esempi di problemi di programmazione lineare e non lineare, realizzate per il corso di Ottimizzazione A.A. 24/25. Si ringraziano i dott. Piccialli, Bruni, Fasano e Liuzzi per aver reso disponibile il materiale 5

6 Il linguaggio AMPL AMPL contiene diverse primitive per esprimere la notazione matematica normalmente utilizzata nello scrivere problemi di ottimizzazione (=, <, >,,, sommatorie, funzioni elementari, etc.) Ciascuna istruzione di AMLP deve terminare con un punto e virgola (;). E quindi possibile l indentazione nel file dei comandi. E possibile scrivere in un unico file con estensione.mod tutte le istruzioni AMPL che definiscono il modello, ma è bene separare due elementi del problema da risolvere: - la struttura del modello nel file.mod in cui sono descritte le componenti del modello (variabili, funzione obiettivo, vincoli, etc.); - i dati del modello nel file.dat in cui sono scritti i dati del problema (che in AMPL vengono chiamati parametri). Le righe di commento, sia nel file.mod che nel file.dat, devono essere precedute dal simbolo #. 6

7 Gli insiemi in AMPL AMPL consente di utilizzare la struttura dato insieme. Un insieme dev essere: - dichiarato (nel file.mod), dicendo all interprete AMPL che un nome identifica l insieme che vogliamo utilizzare attraverso la parola chave set; - definito (nel file.dat), assegnando gli elementi all insieme dichiarato. Esempio: Per definire l insieme S di elementi a, b, c e d, dichiariamo nel file prova.mod: set S; Successivamente definiamo nel file prova.dat l insieme assegnando gli elementi a, b, c e d: set S := a b c d ; Il linguaggio AMLP è case sensitive. AMPL consente di utilizzare operazioni elementari tra insiemi, quali unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica e cardinalità. 7

8 I parametri in AMPL I parametri sono i dati del problema, da non confondere con le variabili. Una volta invocato il solutore, il valore dei parametri resta costante. Un parametro dev essere: - dichiarato (nel file.mod), dicendo all interprete AMPL che un nome identifica il parametro che vogliamo utilizzare attraverso la parola chave param; - definito (nel file.dat), assegnando il valore al parametro dichiarato. Esempio: Per definire il parametro N dichiariamo nel file prova.mod: param N; Successivamente definiamo nel file prova.dat il valore del parametro N: param N := ; Se il parametro assume un valore INTERO, possiamo dichiararlo di tipo integer: param N integer; Analoghe restrizioni sul valore assunto dal parametro possono essere indicate in fase di dichiarazione. 8

9 Parametri a più dimensioni in AMPL I vettori di parametri sono molto utili per definire vettori di coefficienti. Un vettore di parametri dev essere: - dichiarato (nel file.mod), dicendo all interprete AMPL il nome che identifica il vettore e l insieme entro cui varia l indice delle sue componenti attraverso la parola chiave param e le parentesi {}; - definito (nel file.dat), assegnando i valori al vettore di parametri dichiarato. Esempio: Per definire il vettore di parametri vett di componenti indicizzate su un insieme S dichiariamo nel file prova.mod: set S; param vett{s}; Successivamente definiamo nel file prova.dat i valori dei parametri: set S := a b c d; param vett := a b 2 c 3 d 4; 9

10 Grafo Esercitazione AMPL A.A. 29-2

11 Sia dato il grafo orientato G(N,A) in figura N = {A, B, C, D, E} A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} Problema Problema Il grafo Il grafo A C B E D Matrice di incidenza M di G(N,A) matrice 5 x 7 a valori {,, -} M =

12 Flusso di costo minimo (MCF) Esercitazione AMPL A.A

13 Problema Flusso su grafo orientato Sia dato il vettore c di capacità definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) c = { 6, 4, 2, 7, 8, 4, 5 } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} 6 B A 2 4 E 4 4 C -5 Sia dato il vettore d di domande definito sull insieme N dei nodi del grafo G(N,A) d = {-5, 6, -5,, 4} N = {A, B, C, D, E } 8 D 5 3

14 Problema Flusso su grafo orientato Sia w il vettore di costi definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) w = { 2, 3,, 5,, 2, 4 } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} 6 B A 2 E C D -5 Vogliamo risolvere il problema di flusso a costo minimo (MCF) sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore w di costi (MCF) min wt x M x = d A x c 4

15 Problema di Flusso di Costo Minimo Vogliamo determinare un flusso x di (G, c, d) di costo minimo (x AB, 6) B 6 (x BE, 7) -5 A (x BC, 2) (x DB, 4) E 4 (x AC, 4) (x CD, 8) C D -5 (x DE, 5) costo(x) = w T x = 2 x AB + 3 x AC + x BC + 5 x BE + x CD + 2 x DB + 4 x CD (MCF) min w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL 5

16 Modellazione con AMPL (MCF) min wt x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL creando due file: - file.mod contenente: - la dichiarazione dei parametri: insiemi N, A; vettori w, d, c e M; - la dichiarazione delle variabili: vettore x; - la struttura e la definizione della funzione obiettivo: w T x; - la struttura e la descrizione dei vincoli: M x = d, A x c. - file.dat contenente i valori numerici dei parametri - N = {A, B, C, D, E} - A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} - w = { 2, 3,, 5,, 2, 4 } M = - d = {-5, 6, -5,, 4} - c = { 6, 4, 2, 7, 8, 4, 5 } 6

17 File modello File modello MCF.mod - dichiarazione dei parametri: dichiariamo gli insiemi dei nodi N e degli archi A che identifichiamo con insieme NODI e insieme ARCHI: set NODI; (N) set ARCHI; (A) dichiariamo i vettori a una (w, d, c) e a due dimensioni (M): param costo {ARCHI}; (w) param domanda {NODI}; (d) param capacita {ARCHI}; (c) param M {NODI, ARCHI}; (M) 7

18 File modello File modello MCF.mod - dichiarazione delle variabili x positive e soggette a vincoli di capacità: var x {j in ARCHI} >=, <= capacita[j]; (x) A x c - la struttura e la definizione della funzione obiettivo w T x minimize Costo_Totale: sum {j in ARCHI} costo[j] * x[j]; etichetta etichetta - la struttura e la descrizione dei vincoli M x = d parametrizzata subject to Incidenza {i in NODI}: sum {j in ARCHI} M[i,j] * x[j] = domanda[i]; 8

19 File dati File dati MFC.dat - definizione dei parametri: definiamo gli insiemi NODI e ARCHI: set NODI := A B C D E ; set ARCHI := AB AC BC BE CD DB DE ; definiamo i vettori a una dimensione (w, d, c): param domanda := A -5 B 6 C -5 D E 4 ; param: capacita costo := AB 6 2 AC 4 3 BC 2 il simbolo : BE 7 5 indica che stiamo CD 8 definendo più di un vettore DB 4 2 DE 5 4 ; 9

20 File dati File dati MFC.dat - definizione dei parametri: definiamo i vettori a due dimensioni (M): param M : AB AC BC BE CD DB DE := A - - B - - C - D - - E ; 2

21 Interprete AMPL ampl: reset; // cancelliamo i modelli e/o i dati precedentemente caricati // (obbligatorio se abbiamo già caricato un problema) ampl: model MCF.mod; // carichiamo prima il modello del problema ampl: data MCF.dat; // carichiamo successivamente i dati del problema 2

22 Soluzione del problema (MCF) ampl: option solver cplex; // scegliamo il solutore di Programmazione Matematica con cui // risolvere il problema: CPLEX (attualmente vers..2.) ampl: solve; // risolviamo il problema caricato // output ottenuto: CPLEX.2.: optimal solution; objective 33 dual simplex iterations ( in phase I) valore ottimo informazioni sul metodo di soluzione soluzione disponibile 22

23 Soluzione del problema (MCF) ampl: display x; // chiediamo i valori della soluzione ottenuta (componenti di x) // output ottenuto: x [*] := AB 5 AC BC BE CD 5 DB DE 4 ; soluzione a componenti intere M M I Totalmente unimodulare 23

24 Soluzione del problema (MCF) Abbiamo determinato il flusso x* ottimo di (G, c, d) 6 B (5, 6) (, 7) -5 A (, 2) (, 4) E 4 (, 4) (5, 8) C D -5 (4, 5) x* soddisfa sia i vincoli di capacità che i vincoli di domanda: M x* = d A x* c. costo(x*) = 2 x 5 + x x + 4 x 4 = 33 valore ottimo 24

25 Cammino di costo minimo (CM) Esercitazione AMPL A.A

26 Problema Cammino di costo minimo Siano s = A e t = E due nodi speciali del grafo G(N,A). Sia w il vettore di costi definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) w = { 2, 3,, 5,, 2, 4 } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} 2 B 5 s 2 t 3 C D 4 Vogliamo risolvere il problema di cammino di costo minimo (CM) da s a t sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore w di costi. 26

27 Problema Cammino di costo minimo Consideriamo il vettore c di capacità infinite definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) c = {,,,,,, } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} B - A E C Sia dato il vettore d di domande definito sull insieme N dei nodi del grafo G(N,A) d = {-,,,, } N = {A, B, C, D, E} D 27

28 Problema Cammino di costo minimo Il problema di cammino di costo minimo (CM) da s a t sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore w di costi è un caso particolare di problema (MCF) (CM) min w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL Vogliamo determinare un cammino x di (G, c, d) di costo minimo B (x AB, ) (x BE, ) - A (x BC, ) (x DB, ) E (x AC, ) (x CD, ) (x DE, ) C D 28 costo(x) = w T x = 2 x + 3 x + x + 5 x + x + 2 x + 4 x

29 Modellazione con AMPL (CM) min w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL creando due file: - file.mod contenente: - la dichiarazione dei parametri: insiemi N, A; vettori w, d, c e M; - la dichiarazione delle variabili: vettore x; - la struttura e la definizione della funzione obiettivo: w T x; - la struttura e la descrizione dei vincoli: M x = d, A x c. - file.dat contenente i valori numerici dei parametri - N = { A, B, C, D, E} - A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} - w = { 2, 3,, 5,, 2, 4 } M = - d = {-,,,, } - c = {,,,,,, } 29

30 File modello CM.mod = MCF.mod File dati CM.dat File modello e dati - definizione dei parametri come per il file MCF.dat tranne i vettori a una dimensione (d, c): definiamo i vettori a una dimensione (w, d, c): param domanda := A - B C D E ; param: capacita costo := AB Infinity 2 AC Infinity 3 BC Infinity BE Infinity 5 CD Infinity DB Infinity 2 DE Infinity 4 ; 3

31 Interprete AMPL ampl: reset; // cancelliamo i modelli e/o i dati precedentemente caricati // (obbligatorio se abbiamo già caricato un problema) ampl: model MCF.mod; // carichiamo prima il modello del problema Stesso file.mod di (MCF) ampl: data CM.dat; // carichiamo successivamente i dati del problema 3

32 Soluzione del problema ampl: option solver cplex; // scegliamo il solutore di Programmazione Matematica con cui // risolvere il problema: CPLEX (attualmente vers..2.) ampl: solve; // risolviamo il problema caricato // output ottenuto: CPLEX.2.: optimal solution; objective 7 dual simplex iterations ( in phase I) valore ottimo informazioni sul metodo di soluzione soluzione disponibile 32

33 Soluzione del problema ampl: display x; // chiediamo i valori della soluzione ottenuta (componenti di x) // output ottenuto: x [*] := AB AC BC BE CD DB DE ; soluzione a componenti intere M M I Totalmente unimodulare 33

34 Soluzione del problema (CM) Abbiamo determinato il cammino x* ottimo di (G, c, d) (, ) B (, ) - A (, ) (, ) E (, ) (, ) C D (, ) x* soddisfa sia i vincoli di capacità che i vincoli di domanda: M x* = d A x* c. costo(x*) = 2 x + 5 x = 7 valore ottimo 34

35 Flusso massimo (MF) Esercitazione AMPL A.A

36 Problema Massimo flusso Siano s = A e t = E due nodi speciali del grafo G(N,A). Sia dato il vettore c di capacità definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) c = { 6, 4, 2, 7, 8, 4, 5 } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} 6 B 7 s 2 4 t 4 C 8 D 5 Vogliamo risolvere il problema di massimo flusso (MF) da s a t sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore c di capacità. 36

37 37 Aggiungiamo l arco ts (e quindi una colonna alla matrice M) di capacità infinita. c = { 6, 4, 2, 7, 8, 4, 5, } A ={AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE, EA} A C B E D Problema Problema Massimo Massimo flusso flusso M=

38 Problema Massimo flusso Sia w il vettore di costi definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) w = {,,,,,,, } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE, EA} B 6 7 A 2 4 E 4 8 C D Sia dato il vettore d di domande definito sull insieme N dei nodi del grafo G(N,A) d = {,,,, } N = {A, B, C, D, E} 5 38

39 Problema Massimo flusso Il problema di massimo flusso (MF) da s a t sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore c di capacità è un caso particolare di problema (MCF) (MF) max w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL Vogliamo determinare un flusso x di (G, c, d) di valore massimo B (x AB,6) (x BE, 7) A (x BC, 2) (x AC, 4) (x DB, 4) (x DE, 5) E (x CD, 8) C D (x EA, ) 39

40 Modellazione con AMPL (MF) max w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL creando due file: - file.mod contenente: - la dichiarazione dei parametri: insiemi N, A; vettori w, d, c e M; - la dichiarazione delle variabili: vettore x; - la struttura e la definizione della funzione obiettivo: w T x; - la struttura e la descrizione dei vincoli: M x = d, A x c. - file.dat contenente i valori numerici dei parametri - N = { A, B, C, D, E} - A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE,EA} - w = {,,,,,,, } - d = {,,,, } - c = {6, 4, 2, 7, 8, 4, 5, } M= 4

41 File modello I possibilità File modello MF.mod Trasformiamo il problema di minimizzazione in uno di massimizzazione maximize Costo_Totale: sum {j in ARCHI} costo[j] * x[j]; Scriviamo esplicitamente i vincoli di capacità subject to Capacita {j in ARCHI}: x[j] <= capacita[j]; eliminandoli dalla dichiarazione delle variabili x var x {j in ARCHI} >= ; 4

42 File dati MF.dat File dati I possibilità - definizione dei parametri come per il file MCF.dat tranne: l insieme degli archi A e i vettori a una dimensione (w, d, c): set ARCHI := AB AC BC BE CD DB DE EA; param domanda := A B C D E ; param: capacita costo := AB 6 AC 4 BC 2 BE 7 CD 8 DB 4 DE 5 EA Infinity ; 42

43 File dati MF.dat File dati I possibilità - definizione dei parametri: definiamo i vettori a due dimensioni (M): param M : AB AC BC BE CD DB DE EA := A - - B - - C - D - - E -; 43

44 Interprete AMPL I possibilità ampl: reset; // cancelliamo i modelli e/o i dati precedentemente caricati // (obbligatorio se abbiamo già caricato un problema) ampl: model MF.mod; // carichiamo prima il modello del problema ampl: data MF.dat; // carichiamo successivamente i dati del problema 44

45 Soluzione del problema I possibilità ampl: option solver cplex; // scegliamo il solutore di Programmazione Matematica con cui // risolvere il problema: CPLEX (attualmente vers..2.) ampl: solve; // risolviamo il problema caricato // output ottenuto: CPLEX.2.: optimal solution; objective dual simplex iterations ( in phase I) valore ottimo informazioni sul metodo di soluzione soluzione disponibile 45

46 Soluzione del problema I possibilità ampl: display x; // chiediamo i valori della soluzione ottenuta (componenti di x) // output ottenuto: x [*] := AB 6 AC 4 BC soluzione a BE 7 componenti intere CD 4 DB M DE 3 M EA ; I Totalmente unimodulare 46

47 Soluzione del problema (MF) Abbiamo determinato il flusso x* ottimo di (G, c, d) B (6,6) (7, 7) A (4, 4) (, 2) (, 4) (3, 5) E (4, 8) C D (, ) x* soddisfa sia i vincoli di capacità che i vincoli di domanda: M x* = d A x* c. costo(x*) = x = valore ottimo 47

48 (MF) z R N ) y R A ) I Duale del Massimo Flusso max Mx A x x c bx A x ts ; ts x = ts N B A C D E DUALE del Massimo Flusso (DMF) x R A ) x ts ) M z y min t T z z + s A c I T A y y A (DMF) z z + z y u t z v s A min y uv c T y uv 48 A

49 Soluzione duale I possibilità ampl: display Incidenza; // chiediamo i valori della soluzione duale ottenuta (componenti di z di (DMF)) // output ottenuto: Incidenza [*] := A B C D E ; 49

50 Soluzione duale I possibilità ampl: display Capacita; // chiediamo i valori della soluzione duale ottenuta (componenti di y di (DMF)) // output ottenuto: Capacita [*] := AB AC BC BE CD DB DE EA ; TEOREMA F5: Il duale del massimo flusso ammette una soluzione ottima z + y N A ottima { }, 5

51 Soluzione duale del problema (MF) Abbiamo determinato - il flusso x* ottimo di (G, c, d) - il taglio s-t δ + (X) di (G,c) di capacità minima B (6,6) (7, 7) A (4, 4) (, 2) (, 4) (3, 5) E (4, 8) C D (, ) valore massimo flusso TAGLIO s-t di (G,c) - Taglio che separa s da t - z vettore di incidenza di X - y vettore di incidenza di δ + (X) capacità c T y = = X = {A} δ + (X) = {AB,AC} 5

52 File modello e dati II possibilità File modello MF.mod = MCF.mod File dati MF.min.dat - definizione dei parametri come per il file MCF.dat tranne: l insieme degli archi A e i vettori a una dimensione (w, d, c): set ARCHI := AB AC BC BE CD DB DE EA; param domanda := A B C D E ; param: capacita costo := AB 6 AC 4 BC 2 BE 7 CD 8 DB 4 DE 5 EA Infinity - ; max w T x = -min (-w) T x 52

53 File dati II possibilità File dati MF.min.dat - definizione dei parametri: definiamo i vettori a due dimensioni (M): param M : AB AC BC BE CD DB DE EA := A - - B - - C - D - - E -; 53

54 Interprete AMPL II possibilità ampl: reset; // cancelliamo i modelli e/o i dati precedentemente caricati // (obbligatorio se abbiamo già caricato un problema) ampl: model MCF.mod; // carichiamo prima il modello del problema Stesso file.mod di (MCF) ampl: data MF.min.dat; // carichiamo successivamente i dati del problema 54

55 Soluzione del problema II possibilità ampl: option solver cplex; // scegliamo il solutore di Programmazione Matematica con cui // risolvere il problema: CPLEX (attualmente vers..2.) ampl: solve; // risolviamo il problema caricato // output ottenuto: CPLEX.2.: optimal solution; objective - dual simplex iterations ( in phase I) valore ottimo informazioni sul metodo di soluzione soluzione disponibile 55

56 Soluzione del problema II possibilità ampl: display x; // chiediamo i valori della soluzione ottenuta (componenti di x) // output ottenuto: x [*] := AB 6 AC 4 BC soluzione a BE 7 componenti intere CD 4 DB M DE 3 M EA ; I Totalmente unimodulare 56