Lezione 08. Sferometro Galileo

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1 Lezione 08 Sferometro Galileo

2 a) usa la vite micrometrica, come il calibro Palmer b) i piedi sono agli estremi di un triangolo equilatero c) N è un piano ben levigato di riferimento d) parallela alla vite e solidale allo sferometro, c è una scala S verticale millimetrata. e) il disco è suddiviso in 500 parti. Un giro completo corrisponde ad uno spostamento verticale di 1,000 mm per cui la sensibilità è di 500 divisioni/mm. L errore di sensibilità è di 0,001 mm anche se nella pratica l errore di lettura è di 0,002 mm. f) L asticella L segnala lo zero dello strumento : appena la punta P tocca un oggetto ( ad esempio la superficie superiore della lastrina O), l asticella comincia a sollevarsi.

3 Come si effettua la misura di uno spessore con lo sferometro a) si poggia lo sferometro sul piano di riferimento, con la punta P sufficientemente sollevata per consentire il posizionamento della lastrina O di cui si vuole misurare lo spessore. b) si abbassa P fino a toccare O : si leggono le indicazioni della scala verticale e della scala sul disco ( per esempio 40,000 mm e 350), per cui la lettura è 40, /500 di 1,000 mm, ossia 40,700 mm c) si leva la lastrina O e si abbassa P fino a toccare il piano di riferimento: si leggono le nuove indicazioni ( per esempio 0,000 mm e 75), per cui la lettura è 0, /500 di 1,000 mm, ossia 0,150 mm d) si fa la differenza fra la misura ottenuta in b) e quella ottenuta in c) e si ottiene la misura dello spessore s, pari a (40,700 0,150) = 40,550 mm

4 Questo metodo ha però un grosso problema : lo zero dello strumento non è ben determinato, perché il piano di riferimento non è un piano ideale, ma una superficie che presenta delle inevitabili asperità, connesse con la più o meno accurata lavorazione della superficie stessa. Sferometro Leybold Il principio di funzionamento è lo stesso dello sferometro Galileo : l unica differenza consiste nello stabilire quando la punta centrale tocca

5 l oggetto in esame, visto che manca l asticella L del Galileo. I criteri di contatto sono due : il treppiede comincia a ruotare ( riproducibilità di 5 μm secondo la Leybold) se si tocca l asta filettata sulla vite di pressione e si gira avanti e indietro, dopo avere posato la punta sulla superficie di misura, è sensibile e percettibile un beccheggio ( riproducibilità di 2 μm secondo la Leybold) Il disco porta 250 divisioni ( numerate però da 0 a 500), mentre il passo della vite è 0,500 mm: ne consegue che sensibilità ed errore di sensibilità sono gli stessi di quelli dello sferometro Galileo. La scala verticale tuttavia è millimetrata e quindi il disco avanza di un millimetro ogni due giri! Attenzione allora a non perdersi i mezzi millimetri!

6 Come si misura il raggio di curvatura di una superficie sferica con lo sferometro Supponendo ci conoscere lo zero, si poggiano i tre piedi sopra la superficie in esame. Visti dall alto, i tre piedi individuano una circonferenza di raggio ρ, che è in genere una costante strumentale. Nel caso in cui ρ non è noto, esso può essere determinato in base a semplici considerazioni geometriche, una volta che con un calibro si sia misurata la distanza d fra i piedi. Infatti ρ cos 30 = d/2 e, poiché cos 30 = 3/2, ρ = d/ 3

7 Vista di lato, la circonferenza, di raggio e individuata dai punti P 1,P 2 e P 3,appare come un segmento di estremi P 1 e P 2, mentre h è la freccia della calotta sferica misurata con lo sferometro.

8 Un altra vista è rappresentata in figura : Per il 2 teorema di Euclide ρ 2 =(2R-h) h, da cui R= ( +h )

9 Un altra vista è rappresentata in figura : Per il 2 teorema di Euclide ρ 2 =(2R h) h,da cui R=1/2 (ρ 2 /h + h) Esercit azione di laborat orio : determinazione del raggio di curvatura di una superficie sferica ( per esempio una lente ) con uno sferometro Le operazioni da fare sono le segu enti : 1.Determinare la precisione dello strumento effettuando misure ripetute su un punto arbitrario del piano di riferimento e stimando la O" della distri buzione limite ( che dovreb be essere 2 µm ). 2.Controllare quanto "ben levigato' sia il piano di riferimento e determinare lo "zero ' dello strumento.

10 3. misurare l'altezza della calotta, individuata dai tre piedi dello strumento, m punti diversi della calotta stessa. Ai fini della prova di laboratorio, si possono ritenere privi di errore i valori di p ( per il tipo "Galilei", p è pari a 50 m m, mentre per il tipo "Leybold" è d e non p a valere sempre 50 mm ). Notare inoltre che il piano di riferimento è costituito da una lastrina di vetro, avente solo una faccia lavorata otticamente dalla parte con gli angoli smussati. Per determinare lo "zero" h 0, si poggia lo sferometro sul piano di riferimento, si traccia sul piano un reticolo immaginario ( in pratica conviene porre un foglio di carta millimetrata sotto al piano ) e, per ogni cella del reticolo, si effettua una misura. È opportuno riportare, sempre sotto forma di reticolo, questi dati dapprima sul "quaderno di bordo" del laboratorio e poi sul fogli o di relazione, in modo tale che sia possibile individuare la presenza eventuale di deformazioni sul piano stesso : lo stesso discorso del reticolo vale per le misure dell'altezza della calotta. Supponiamo di avere effettuato 81 misure di h 0 e di aver ottenuto l'istogramma illustrato in figura 11. 2L n i i i 'Z I I I t..o 1.,1 Fig.11 Se le misure così ottenute si dist ribuiscono in maniera gau siana intorno alla media con una stima di u praticamente uguale a quella ottenuta in 1), allora possiamo concludere che il piano di riferimen o è t'veramenten un piano, lavorato al meglio dei 2 µm. Se ciò non avviene, vuol dire che il piano è rovinato e andrebbe s stituito. Per capire se la distribuzione è gaussiana, u siamo il test del x 2 ( vedi il cap.12 di Taylor ). TI valore medio delle osservazioni è ho = 34 ~lm mentre la stima della deviazione standard e O"ho = 2 µrn. 12

11 Dall'istogramm a si ricava che gli eventi osservati Ok sono ( seguendo la nota in calce alla pag. 186 del Taylor ) 15.0 nell 'intervallo tra - oo e h 0 - O"ho, ossia tra -oo e 32 µm, 26.5 nell 'intervallo tra h 0 - O"ho e h 0, ossia tra 32 µme 34 µm, 23.0 nell'intervallo tra h 0 e h 0 + O"ho, ossia tra 34 µm e 36 µm, 16.5 nell intervallo tra h 0 + O"ho e +oo, ossia tra 36 µm e + oo. Se la distribuzione sperimentale è una gaussiana, ci aspettiamo che nei suddetti quatt ro int ervalli vada a finire rispettivamente il 163, il 343, il 34% e il 16% d egli eventi osservati, ossia che gli Ek valgano rispettivamente 13.0, 27.5, 27.5 e Il x 2 allora si scrive 2 0 (0k- Ek)2 X = w E = i=l k ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ' = 2.02 Il x 2 ridotto,,x 2, ossia il x 2 diviso per il numero di gradi di libertà d, vale ancora 2.02 perchè in questo caso il numero dei gradi di libertà vale 1. Infatti, usando la terminologia del Taylor, d = n- e, dove n è il numero di intervalli ( nel nostro caso 4) e e è il numero dei vincoli ( nel nostro caso 3, perchè h 0 e O"ho sono ottenuti dai dati sperimentali e I: Ok = N = 81, ossia il totale degli eventi osservati). La probabilità P 1 (x 2 2: 2.02) vale allora '.:::'. 16%. Da notare che il valore medio atteso di x 2 e nel nostro caso pari ad 1 e che valori di,x 2» 1 sarebbero indice di ipotesi scadente o da rigettare. Bisogna tenere in conto tuttavia che i valori di h 0 e O"ho sono stati ottenuti dalla totali tà dei dati sperimentali e non dalla minimizzazione del x 2, scritto prima : questo comporta ( vedi I<endall e Stuart, "The A dvanced Theory of S tatistics, vol.2, ) una certa riduzion del numero dei vincoli, che può portare ad accet tare valori di x 2 dell'ordine di 3, anzichè di 1. Se non avessimo voluto dividere in due i "bin" dell 'istogramma che appartengono a differenti ok e far sì che, in ogni caso, cadano in ogni ok non meno di.5 event i, avremmo potuto scegliere per il test i seguenti intervalli, compresi tra : -oo e 33 µm, ossia tra -oo e ho "h 0 con 0 1 =27, 33 µme 35 µm, ossi a tra ho "h 0 e h a-ho con 0 2= 29, 35 µm e 37 µm, ossia tra ho+ 0.50"h 0 e ho+ l.50"h 0 con 03=17, 37 µme +oo, ossia t ra ho+ ].50"h 0 e + oo con 0.1=8. 13

12 Per ricavare i corrispondenti Ei., usiamo l'appendice B del Taylor. Se indichiamo con N il totale delle misure effettuate, E 1 = N x P(ho < 33) = N [l - P(ho 2 33 )] = = N [l - P(ho 2 h 0-0.5<7)] = N [l Q(- 0.5)] = N[l Q(0.5)] = = N [0.5 - Q(0.5)] = 81( ) = 25.0 E2 = N X P(33 S ho < 35) = N x P(ho - 0.5u S h 0 < h 0 + O.Su) = = 2N Q(0.5 ) = 31.0 E 3 = N x P(35 S h 0 < 37) = N x P( ho + 0.5u S h 0 S h ') = = N[Q(l.5) - Q(0.5] = 19.6 E4 = N x P(ho > 37) = N X P(ho > h u) = = N[0.5 - Q(l.5)] = 5.4 Si ottiene così alla file un x 2 di 1.85, molto vicino al valore trovato precedentemente. Il ragionamento seguito per il piano di riferimento può essere seguito anche per la misura dell'altezza H della calotta sferica ( non ancora sottratta dello "zero"), compreso il test del x 2 Infatti, se la calotta è "sferica", ci aspettiamo che, spostando lo sferometro, otteniamo sempre lo stesso valore di H, a meno degli errori di misura e che, quindi, la distribuzione di H sia una gaussiana, con una O' maggiore di 2 µm poichè la superficie non è lavorata otticamente così come il piano di riferimento. Ottenuti h 0, ho e H, CTJj, si ricava che Da notare che la superficie in esame è sferica solo nella parte centrale (è piuttosto di forma "ovoidale") e che è lavorata con una precisione molto peggiore di quella dello strumento. Bisogna evitare inoltre di mescolare assieme misure prese da. osservatori diversi, prima di essersi accertati dell'equivalenza degli operatori stessi. 14

13 Lo scarto (x xmedio) ha un' unita' di misura naturale scarto quadra co medio lo scarto tipico! abbiamo imparato Lo scarto ridotto e' la variabile piu' espressiva t= z = (X Xmedio) / σ lo abbiamo gia' incontato nella discussione della discrepanza

14 Una descrizione della distribuzione Probabiita' Gaussiana P k 40,0% 35,0% P k Gauss 34,1% 34,1% 40% 35% P k Gauss 34% 34% su sei intervalli k=1,6 30,0% 30% 25,0% 68,2% 25% superbamente espressiva 20,0% 20% 15,0% 13,6% 13,6% 15% 16% 16% tre soli numeri!!!!!!! ne catturano il cuore delle proprieta ' analitiche 10,0% 5,0% 0,0% 95,4% 2,3% 2,3% 99,7% [, 2σ] [ 2σ, 1σ] [ 1σ, 0] [0, +1σ] [+1σ, +2σ] [+2σ, + ] 10% 5% 0% P k k=1,4... due soli numeri!! [, 1σ] [ 1σ, 0] [0, +1σ] [+1σ, + ] [, 2σ] [ 2σ, 1σ] [ 1σ, 0] [0, +1σ] [+1σ, +2σ] [+2σ, + ] 2,3% 13,6% [, 1σ] 16% 34,1% [ 1σ, 0] 34% 68,2% 34,1% 95,4% 99,7% [0, +1σ] 34% 13,6% [+1σ, + ] 16% 2,3% 100%

15 xk Nk=Ok (Nk/N)Xk (Nk/N)(Xk media artm)^ ,1 0,6297 [, 1σ] 13, ,5 1,336 [ 1σ, 0] 27, ,0055 [0, +1σ] 27, ,6 0,7391 [+1σ, + ] 13, ,8 1, ,8527 N= media artm= dev.st= ,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 E k = N P k Gauss 27,5 27,5 13,0 13,0 [, 1σ] [ 1σ, 0] [0, +1σ] [+1σ, + ] N k xk Nk=Ok 3+24/2= 24/2+29/2=29/2+17/2 = 17/2+6+2= < Ok= 15 26, , ,00% Fk= 18,52% 32,72% 28,40% 20,37% ,00% Pk= 16,00% 34,00% 34,00% 16,00% > Ek= 13,0 27,5 27,5 13, ,5 O k < >36 23 Ek 13,0 27,5 27,5 13,0 16,5 O k e E k 30 26,5 27,5 27, , ,0 13, < >36 χ2 = Σ k (O k -E k ) 2 /σ E k 2 = Σ k (O k -E k ) 2 /E k = ("distanza") 2 = 2,02 P(χ2 > 2,02) = 16% NON MALE

16 xk Nk=Ok (Nk/N)Xk (Nk/N)(Xk media artm)^ ,1 0,6297 [, 1σ] 13, ,5 1,336 [ 1σ, 0] 27, ,0055 [0, +1σ] 27, ,6 0,7391 [+1σ, + ] 13, ,8 1, ,8527 N= media artm= dev.st= ,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 E k = N P k Gauss 27,5 27,5 13,0 13,0 [, 1σ] [ 1σ, 0] [0, +1σ] [+1σ, + ] xk Nk=Ok 81 Ok= < ,00% Fk= 33,33% 35,80% 20,99% 9,88% ,00% Pk= 30,86% 38,27% 24,20% 6,67% Ek= ,6 5,4 > < > Ek ,6 5,4 O k e E k , , χ2 = Σ k (O k -E k ) 2 /σ E k 2 = Σ k (O k -E k ) 2 /E k = ("distanza") 2 = 1,85 P(χ2 > 1,85) > 16% MEGLIO!