a scorrimento e del calibro Palmer

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1 Fig Prima Esercitazione di Laboratorio uso del calibro a scorrimento e del calibro Palmer Sono consigliate la determinazione del volume di un cilindretto metallico e la rnisura del diametro di sferette Determinazione del volume di un cilindretto metallico Dalla geometria elementare, il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l'area di base per l'altezza ( vedi figura 9 ). Sembrerebbe ahora che, per determinare D, basti posizionare R ~D~ Fig.9 h 1 il calibro, per esempio, a meta altezza, poi fare misure ripetute per ottenere valore medio e stima dell'errore della media ( amm sso che 1 fluttuazioni statistiche non siano somrn rse dall'errore di sensibilita ). Chi ci garantisce che ij cilindro sia veramente un eilindro e non sia ad esempio un troneo di cono 0 abbia la forma di un barilotto? E necessario ahara eitettuar almeno una misura di diametro a quote differenti e costrwre una tabella del ti po 8

2 1 D i (mm) n in cui la prima misura e effettuata a quota zero e l'ultima a quota h, per esempio. Se la successione delle misure mostra un carattere crescente ( 0 decrescente ) vuol dire che il cilindro e piuttosto un trone di cono. Pili in generale, bisogna controllare che il diametro del cilindro sia una grandezza gaussiana.nfatti, se il cilindro e veramente tale, ci aspettiamo che il diametro sia costante al variare dell'atezza, a mend degii errori di misura, e ehe quindi sia la stessa cosa, concettualmente, misurare ripetutamente il diametro ala stessa quota 0 misurarlo a quote diverse. n entrambi i casi, ci aspettiamo che e distribuzioni 'limite" coincidano con una gaussiana, centrata sui valore "vero" del diametro. Analogo discorso vale per l'altezza del cilindro. Quante misure bisogna effettuare? Se la distribuzione e gaussiana con media D e deviazione standard a, il 68% delle misure e compreso nell'intervallo, avente come estremi D - a e D + a. Un 16% e compreso fra -00 e D - a e l'altro 16% e compreso ra D +u e +00. Se il numero delle misure e la, il 16% di 10 e 1.6, che e molto prossimo a zero. C'e allora il concreto pericolo di errore, per effetto delle fiuttuazioni statistiche. n conclusione, il numero delle misure dovrebbe essere 2:: 20, per poter avere una ragionevole stima di a e ;::: 30, per stabilire se a distribuzione e gaussiana. Supponiamo che il cilindro sia "regolare", perche abbiamo ottenuto e seguenti misure, mostrate nella tabella 1 della pagina seguente: relativi istogrammi sono illustrati in figura 10. Dai dati raccolti, si ricava che :,f 8 f, N '8 6! it.., 2 t..4.~ 2 ~ -/ ~s,oo L.~,-iS..,2S.. 44,85 l.~.~s l)(rnvm) l...W h('1n1'fyl ') Fig.10 9

3 1 D i (rum) hi (mm) Tabella 1 CTD = 0.04 mm CT D = mm D = mm CTh = 0.04 mm CT; = mm h = mm La migliore stima V per il volume del cilindretto e data allora da con un errore relativo V = ~(D)2h Nel nostro caso V = mm e CT V = 31 mm. n questo modo peri> il risultato ha un numero eccessivo di cifre significative!! nfatti CT V va scritta con una sola cifra significativa e quindi CT V = 0.03 cm3, per cui V = cm 3. Ghe cosa succede, s, per stimare il valore del volume, uso la seguente espressione anziche V = ~(D)2h 4 10

4 Uso un procedimento che e in linea di principio sbagliato, anche se pub capitare di ottenere risultati praticamente identici. La grandezza gaussiana misurata e D e non D 2 : si puo dimostrare che anche D 2 e una grandezza gaussiana,purche Un «D. Per un discorso pili esauriente, vedi Oliva-Terrasi,pagine 48,57-58 e 5.7. Come si determina l'errore su volume del cilindro se ad esernpio l'errore su diametro e di tipo statistico e quello sull'alt zza di tipo massimo? Severi consiglia di rendere di tipo massimo l'errore su diametro, moltipecando per tre quello statistico, ossia ~D = 3u v e quindi ~~v = ~h + 2~D = ~h + 6(TD V h D h D Questa procedura non e sempre accettata, perche si perdono informazioru. Anche per il futuro, quando si incontreranno casi simie, conviene stimare separatamellte l'errore statistico e quello massimo V ± ~V ± (Tv dove ~V= V~h e (Tv = 2V D h D ~ ~ ~ (T e tenere conto, nelle applicazioni successive, di ambedue gli errori, a meno che uno dei due non sia trascurabile rispetto all 'altro Misura del diametro di sferette Sj possono effettuare almeno due tipi di misura : Si possono effettuare misure ripetute del diametro di una singola sferetta e controuare se la distribuzione e gaussiana. Si puo prendere un insieme dj sferette e misurare il diametro di ognuna di esse, COD. trouando se il campione eomogeneo oppure contiene sferette, il cui diametro differisce dalle altre per costruzione delle stesse e nod. per effetto statistico. 1.8 Esercitazione di laboratorio : determinazione del raggio di curvatura di una superficie sferica ( per esempio una lente ) con uno sferometro Le operazioni da fare sono e segu nti : 1. Determinare la precisione della strumento effettuando misure ripetute su un punto arbitrario del piano di riferimento e stimando la (T della distribuzione limite ( che dovrebbe essere ~ 211m). 2. Controllare quanto "ben levigato' sia il piano di riferimento e determinare 10 "zero" dello strumento. 11

5 3. misurare l'altezza della cal tta, individuata dai tre piedi dello strumento, n punti diversi della calotta stessa. Ai fini della prova di laboratorio, si possono ritenere privi di errore i valori di p ( per il tipo "Galilei", p e pari a 50 mm, mentre per il tipo "Leybold" ed e non p a valere sempre 50 mm). otare inoltre che il piano di riferimento ecostituito da una lastrina di vetro, avente solo una faccia lavorata otticamente dalla parte con gli angoli smussati. Per determinare 10 "zero" ho, si poggia 10 sferometro su piano di riferimento, si traccia su piano un reticolo immaginario ( in pratiea eonviene porre un Foglio di carta millimetrata sotto al piano) e, per ogni cella del reticolo, si effettua una misura. Eopportuno riportare, sempre sotto forma di retieolo, questi dati dapprima su "quaderno di bordo" dellaboratorio e poi su foglio di relazione, in modo tale ehe sia possibile individuare a presenza eventuale di deformazioni su piano stesso : 10 stesso diseorso del retieolo vale per e misure dell'altezza della ealotta. Supponiamo di avere effettuato 81 misure di ho e di aver ottenuto 'istogramma illustrato in figura 11. '10 2L. 29..n ~ l ~ 'LO 10 Fig.ll Se e misure COS! ottenute 8i distribuiseono in maniera gau siana intorno ala media con una stima di a praticamente uguale a quella ottenuta in 1) 1 alora possiamo concludere che il piano di riferimen 0 e;'veramente" un piano, lavorato al meglio dei 2 p,m. Se cia non avviene, vuol dire che il piano e rovinato e andrebbe s stituito. Per capire se la distribuzione e gaussiana, usiamo it test del X 2 ( vedi il cap.12 di Taylor). n valore medio delle 0 servazioni e fi o = 34 p,m mentre la stima della deviazione standard e aha = 2 pm. 12

6 Dall'istogramma si ricava che gli eventi osservati Ok sana ( seguendo la nota in calee alla pag. 86 del Taylor) 15.0 nell'intervallo tra -00 e ho - O"ho' ossia tra -00 e 32 J-Lm, 26.5 nell'intervallo tra ho - O"h o e ho, ossia tra 32 J-Lrn e 34 J-Lrn, 23.0 nell'intervallo tra h o e h o + O"ho, ossia tra 34 J-Lrn e 36 J-Lm, 16.5 nell'intervallo tra h o + O"h o e +00, ossia tra 36 J-Lm e +00. Se la distribuzione sperimentale e una gaussiana, ci aspettiamo che nei suddetti quattro intervalli vada a finire rispettivamente il 16%, il 34%, il 34% e il 16% degli eventi osservati, ossia che gli E k valgano rispettivamente 13.0, 27.5, 27.5 e x 2 ahara si scrive t 2 x 2 = (Ok; Ed = i=1 k ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 --' ' = 2.02 n X 2 ridotto, X 2, ossia il X 2 diviso per il numero di gradi di liberta d, vale aneora 2.02 perche in questa caso il numero dei gradi di iberta vale 1. nfatti, usando la terminologia del Taylor, d = n - c, dove neil numero di intervalli ( nel nostro caso 4) e ceil numero dei vincoli ( nel nostro caso 3, perche h o e O"h o sono ottenuti dai dati sperirnentali e L Ok = N = 81, ossia il totale degli eventi osserva i). La probabilita P (X2 ~ 2.02) vale allora c::::' 16%. Da notare che il valore medio atteso di X 2 e nel nostro caso pari ad 1 e che valori di X 2» 1 sarebbero indice di ipotesi scadente 0 cia rigettare. Bisogna tenere in canto tuttavia che i valori di h o e O"h o sono stati ottenuti dalla totalita. dei dati sperirnentali e non dalla minimizzazione del X 2, scritto prima: questa comporta ( vedi Kendall e Stuart, "The Advanced Theory of Statistics, vol. 2, ) una certa riduzion del numero dei vincoli, che puo portare ad accettare valori di X 2 dell'ordine di 3, anziche di 1. Se non avessimo voluto dividere in due i "bin" dell'istogramma cbe appartengono a differenti Ok e far sl che, in ogni caso, cadano in ogni Ok non meno di 5 eventi, avremmo potuto scegliere per il test i seguenti intervalli, compresi tra : -00 e 33 J-Lm, ossia tra -00 e ho "h o con Ot =27, 33 J-Lffi e 35 J-Lm, ossia tra ho "h o e h o "h o con O 2 =29, 35}-lm e 37 p.m, ossia tra ho "h o e ho "h o con 0 3 =17, 37 p.rn e +00, ossia tra ho + ].50"h o e +00 con 04=8. 13

7 Per ricavare i corrispondenti E,., usiamo l'appendice B del Taylor. Se indichiamo con N il totale delle misue effettuate, E 1 = N x P(ho < 33) = N[l - P(ho 2: 33)] = = N[l - P(h o 2: h o ")] = N[l Q( -0.5)] = N[l Q(0.5)] = = N[0.5 - Q(0.5)] = 81( ) = 25.0 E 2 = N x P(33 -::; h o < 35) = N x P(h o " -::; h o < h o ") = = 2NQ(0.5) = 31.0 E 3 = N x P(35 -::; h o < 37) = N x P( h o " -::; h o -::; h o ") = = N[Q(1.5) - Q(0.5] = 19.6 E 4 = N x P(ho > 37) = N x P(ho > h o ") = = N[0.5 - Q(1.5)] = 5.4 Si ottiene COS! alia file un X 2 di 1.85, molto vicino al valore trovato precedentemente. ragionamento seguito per il piano di riferimento puo essere seguito anche per la misura dell'altezza H della calotta sferica ( non aneora sottratta della "zero"), compreso il test del X 2 nfatti, se la calotta e "sferica", ci aspettiamo che, spostando 10 sferometro, otteniamo sempre 10 stesso valore di H, a meno degli errori di misura e che, quindi, la distribuzione di H sia una gaussiana, con una 0" maggiore di 2 pm poiche la superficie non e lavorata otticamente COS! come il piano di riferimento. Ottenuti h o, fjh: e H, O"/f, si ricava che Da notare che la superficie in esame esferica solo nella parte centrale ( e piuttosto di forma "ovoidale") e che e lavorata con una precisione molto peggiore di quella dello strumento. Bisogna evitare inoltre di mescolare assieme misure prese da osservatori diversi, prima di essersi accertati dell'equivalenza degli operatori stessi. 14