PRIMA FASE: analisi delle strategie attivate e dell area di sviluppo pros-simale del gruppo classe.

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1 PRIMA FASE: analisi delle strategie attivate e dell area di sviluppo pros-simale del gruppo classe. Le prime relazioni presentano una molteplicità di rappresentazioni che si possono classificare in tre tipi principali, che denominiamo come segue, e di cui riportiamo dei prototipi: Tipo 1) Le monetine (Alessia - Roberta) Tipo 2) Tentativo numerico e triplo di zero (Carmen e Ilaria) Tipo 3) Tripli e quadrupli (Agnese e Daniela) La proposta di tipo 1 (vedi fig.3) di Alessia e Roberta fornisce un bell esempio di senso dell equazione, seppur espresso in forma ingenua: l unità che passa dal mulo all asino è arbitraria e la relazione è rappresentata come vincolo su quantità che, pur essendo incognite, sono pensate e manipolate come note. Le ragazze hanno evidentemente mutuato tale strategia dalla loro esperienza quotidiana, è quindi una struttura che dominano e che fornisce l indispensabile supporto cognitivo per l apprendimento delle equazioni. Figura 3 La presenza di due vincoli da considerare simultaneamente e la difficoltà di tradurre in forma simbolica il problema impediscono l uso della competenza procedurale, di cui certamente dispongono. Un ulteriore conferma del fatto che il linguaggio simbolico

2 necessario alla formulazione algebrica del sistema non è disponibile, si ha dalla rappresentazione di azione (nel senso di Bruner) di Alessia: Abbiamo preso delle monetine.. Le proposte del tipo 2, (fig. 4), più ingenue delle precedenti, sono le più praticate, e connotano i gruppi per cui il percorso sarà di tipo downup. Come si vede, il tentativo di soluzione numerica per la prima equazione viene utilizzato automaticamente nella seconda e la solu-zione: asino con tre mezzi quintali, mulo privo di carico viene accettata da un numero Figura 4 consistente di gruppi e scartata da altri. Naturalmente ciò ha fornito l occasione per discutere sullo zero e sul suo ruolo rispetto alla rappresentazione dei numeri e rispetto alle operazioni.

3 Figura 5a (dal quaderno di Agnese) Figura 5b (dal quaderno di Agnese)

4 Le rappresentazioni del tipo 3 (fig. 5 e 6) sono diverse e interessanti perché tendono a far emergere la struttura del problema ragionando in termini qualitativi. In tutti i casi si riscontra la consapevolezza che strategie di tipo intuitivo non sono efficaci per gestire entrambi i vincoli, in particolare la rappresentazione di Daniela (fig. 6) induce un conflitto (legato alle parole doppio e triplo applicate ingenuamente alla stessa quantità): dalla prima relazione sembra che in partenza l asino abbia un carico maggiore del mulo e dalla seconda appare il contrario. Prima parte del problema ASINO Dal testo si evince che il carico del mulo iniziale è maggiore del carico dell asino, così come rappresentato nello schema. MULO ASINO 2/3 carico tot. MULO 1/3 carico tot. Figura 6a (dal quaderno di Daniela) Seconda parte del problema Il sistema ASINO MULO ASINO 1/4 carico tot. MULO 3/4 carico tot. Figura 6b (dal quaderno di Daniela) È significativo infine quanto Debora e Alessandra scrivono sul quaderno di bordo dopo aver risolto il sistema lineare ed aver proposto una formulazione grafica del problema strutturalmente simile al tipo 2: Non è stato difficile risolvere la prima parte del problema in maniera grafica; inoltre ci siamo rese conto che partendo da tale ipotesi di soluzione non è possibile sempre risolvere anche la seconda parte. Dalle parole delle ragazze risulta chiaro che le conclusioni tratte usando lo strumento ingenuo e quello

5 matematico, pur in evidente conflitto, vengono accettate entrambe. 1 Questo strano comportamento, di cui parla anche Vygotskij in Pensiero e linguaggio costituisce un problema abbastanza diffuso ed è importante per dei futuri insegnanti prenderne consapevolezza sul piano personale per affrontarlo successivamente con i bambini; dalle esperienze di formazione degli insegnanti in servizio risulta che la coesistenza temporale di concetti naturali e concetti scientifici nei bambini è una delle maggiori cause di frustrazione fino a che non si imparano strategie per gestirla. Una delle strategie con cui il problema viene affrontato consiste nell inserire ogni oggetto matematico in un contesto che gli assegna una connotazione semantica forte di cui rimane traccia nel linguaggio di classe per tutto il corso: a seconda dell attività introduttiva ogni anno si definisce la retta dei cilindri, degli elastici o quella dell uva passa e dei pinoli che fa da supporto cognitivo per confrontare e costruire significati; a titolo di esempio riportiamo da una discussione sul legame tra il segno del coefficiente angolare di una retta e le sue proprietà di monotonia: Questa non è come l elastico, la retta dell elastico sale, questa è come la molla che invece scende, quindi ha coefficiente angolare negativo. (Con evidente abuso di linguaggio si è chiamato elastico un oggetto che quando si tira si allunga e molla un oggetto che quando si comprime si accorcia ). In altri termini il contesto non è solo un esempio iniziale per introdurre l argomento, ma costituisce una struttura metaforica di supporto a tutto il percorso, che consente di costruire i significati degli enti astratti, ma anche di sviluppare l attitudine al controllo di coerenza attraverso il confronto di due registri di cui uno è concreto. Anche l abitudine all uso sistematico di una molteplicità di rappresentazioni, per le relazioni come per i numeri o i fenomeni, come lenti per evidenziare un aspetto o una procedura, attiva, se non il controllo, almeno la consapevolezza delle rappresentazioni ingenue. 1 Si veda anche l attività Forze, deformazioni e funzioni lineari per un esempio analogo.