Le competenze matematiche nelle Indicazioni Nazionali

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1 Bra, Settembre Pedagogico settembre 2014 Le competenze matematiche nelle Indicazioni Nazionali Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa

2 Competenze e problem solving L attività con i problemi (problem solving) è un attività cruciale per lo sviluppo di competenze: risolvere problemi è una competenza (matematica ma anche trasversale)

3 I traguardi per lo sviluppo di competenze (scuola primaria) L alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l opportunità di ricorrere a una calcolatrice. Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall uomo. Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo. Utilizza strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i più comuni strumenti di misura (metro, goniometro...). Ricerca dati per ricavare informazioni e costruisce rappresentazioni (tabelle e grafici). Ricava informazioni anche da dati rappresentati in tabelle e grafici Riconosce e quantifica, in casi semplici, situazioni di incertezza.

4 I traguardi per lo sviluppo di competenze (scuola primaria) Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici. Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria. Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri. Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri decimali, frazioni, percentuali, scale di riduzione,...). Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realtà.

5 I traguardi per lo sviluppo di competenze (scuola secondaria di 1 grado) L alunno si muove con sicurezza nel calcolo anche con i numeri razionali, ne padroneggia le diverse rappresentazioni e stima la grandezza di un numero e il risultato di operazioni. Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi. Analizza e interpreta rappresentazioni di dati per ricavarne misure di variabilità e prendere decisioni. Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza. Spiega il procedimento seguito, anche in forma scritta, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli consentono di passare da un problema specifico a una classe di problemi.

6 I traguardi per lo sviluppo di competenze (scuola secondaria di 1 grado) Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione). Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta. Utilizza e interpreta il linguaggio matematico (piano cartesiano, formule, equazioni,...) e ne coglie il rapporto col linguaggio naturale. Nelle situazioni di incertezza (vita quotidiana, giochi, ) si orienta con valutazioni di probabilità. Ha rafforzato un atteggiamento positivo rispetto alla matematica attraverso esperienze significative e ha capito come gli strumenti matematici appresi siano utili in molte situazioni per operare nella realtà.

7 Competenze e problem solving L attività con i problemi (problem solving) è un attività cruciale per lo sviluppo di competenze: risolvere problemi è una competenza (matematica ma anche trasversale) i problemi sono il contesto in cui si utilizzano le competenze

8 E in effetti nelle I.N. il problem solving è presente in molte parti e in molti aspetti. i problemi sono il contesto in cui si utilizzano le competenze

9 Indicazioni Nazionali (dalla premessa a Matematica) Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola.

10 Indicazioni Nazionali (dalla premessa a Matematica) Gradualmente, stimolato dalla guida dell insegnante e dalla discussione con i pari, l alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che s intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive.

11 Indicazioni Nazionali (dalla premessa a Matematica) Di estrema importanza è lo sviluppo di un adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e strutture che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell uomo.

12 L AMBIENTE DI APPRENDIMENTO Valorizzare l esperienza e le conoscenze degli alunni, per ancorarvi nuovi contenuti. Favorire l esplorazione e la scoperta ( ) la problematizzazione svolge una funzione insostituibile: sollecita gli alunni a individuare problemi, a sollevare domande, a mettere in discussione le conoscenze già elaborate, a trovare appropriate piste d indagine, a cercare soluzioni originali. Incoraggiare l apprendimento collaborativo. Promuovere la consapevolezza del proprio modo di apprendere. Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio.

13 Alcune parole chiave nelle I.N. RESPONSABILITA PROGETTUALITA SCELTE La risoluzione di problemi e le I.N. STRATEGIE OBIETTIVI DECISIONI CONSAPEVOLEZZA AUTONOMIA

14 (Adeguata) visione della matematica: non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare RESPONSABILITA ma riconosciuta e apprezzata come contesto per ( ) esplorare e percepire relazioni e strutture PROGETTUALITA Obiettivi d apprendimento Competenze STRATEGIE SCELTE La risoluzione di problemi e le I.N. OBIETTIVI DECISIONI CONSAPEVOLEZZA L AMBIENTE DI APPRENDIMENTO Valorizzare l esperienza e le conoscenze degli alunni Attuare interventi adeguati nei AUTONOMIA riguardi delle diversità Favorire l esplorazione e la scoperta Incoraggiare l apprendimento collaborativo. Promuovere la consapevolezza del proprio modo di apprendere Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio.

15 Competenze e problem solving L attività con i problemi (problem solving) è un attività cruciale per lo sviluppo di competenze: risolvere problemi è una competenza (matematica ma anche trasversale) i problemi sono il contesto in cui si utilizzano le competenze

16 Per capire come sviluppare competenze, è importante una riflessione critica sul ruolo che hanno i problemi nella pratica tradizionale (non solo in matematica) i problemi sono il contesto in cui si utilizzano le competenze

17 Che cos è un problema? Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla. [Duncker, 1935]

18 Che cos è un problema? Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla. [Duncker, 1935] problema / esercizio

19 Che cos è un problema? Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla. [Duncker, 1935] dimensione soggettiva temporale

20 COMPITO PROBLEMA ESERCIZIO L insegnante introduce un concetto, una procedura Ruolo diverso dell errore

21 Popper Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo affrontare problemi che siano così difficili da rendere l errore quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di fare errori; la cosa più grande è imparare da essi.

22 COMPITO PROBLEMA ESERCIZIO L insegnante introduce un concetto, una procedura Ruolo diverso dell errore Idea diversa di SUCCESSO

23 Che cos è un problema? Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla. [Duncker, 1935] dimensione soggettiva temporale motivazionale

24 Che cos è un problema? Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla. Ha una meta? Quale meta? v. Von Neumann motivazionale

25 Per capire come sviluppare competenze, è importante una riflessione critica sul ruolo che hanno i problemi nella pratica tradizionale (non solo in matematica) i problemi sono il contesto in cui si utilizzano le competenze

26 Indicazioni Nazionali (p.60) Di estrema importanza è lo sviluppo di un adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e strutture che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell uomo.

27 La parola regola Non appartiene al linguaggio della matematica, che ha altre parole: Teorema Definizione Algoritmo Convenzione Ma appartiene al linguaggio quotidiano, e anche a quello della pratica didattica

28 Regola (dizionario Hoepli) 1. Norma dell'agire che prescrive il modo in cui comportarsi in determinate circostanze: trasgredire, violare, rispettare la r.; le regole FARE del gioco; le regole della buona educazione 2. Nei vari campi di attività e DOVERE discipline scientifiche, precetto a cui attenersi per raggiungere un determinato scopo o per risolvere correttamente un problema: le regole della matematica

29 Un indagine con insegnanti del 1 ciclo Fai l esempio di una regola di matematica che in genere insegni Fate anche voi un esempio

30 Alcune tipologie di risposte

31 A. Spazialità: lasciare 4 quadretti tra operazione e operazione in colonna. B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze). C. Il perimetro è la misura del contorno. D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180.

32 L uso che emerge della parola regola A. Spazialità: lasciare 4 quadretti tra operazione e operazione in colonna. B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze). C. Il perimetro è la misura del contorno. D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180. Qualcosa che si deve applicare / osservare per risolvere un esercizio o un problema

33 Proviamo a mettere un po d ordine

34 A. Spazialità: lasciare 4 quadretti tra operazione e operazione in colonna. E una procedura che l insegnante (o il libro di testo) decide di far seguire all allievo nel contesto della matematica. Un altro esempio: quando si introduce il sistema posizionale far colorare di colori diversi le cifre che sono in posizioni. Non è intrinseca alla matematica, tanto che insegnanti diversi decidono in modo diverso. REGOLA SOCIO-MATEMATICA

35 Le regole socio-matematiche nei libri di testo

36 DATI OPERAZIONI

37 I problemi sono un po noiosi perché metti più tempo a disegnare la figura, a scrivere i dati che a risolvere il problema stesso. (Marco, 5 a primaria)

38 Conseguenze di regole sociomatematiche rigide e non motivate o condivise

39 Passi (INVALSI 2008, 5a primaria) Maria, Renato e Fabio misurano a passi la lunghezza della loro aula. Maria conta 26 passi, Renata ne conta 30 e Fabio 28. Chi ha il passo più lungo? DATI? OPERAZIONE?

40 A. Spazialità: lasciare 4 quadretti tra operazione e operazione in colonna. B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze). C. Il perimetro è la misura del contorno. D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180.

41 Una domanda chiave per mettere un po d ordine è: B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze). C. Il perimetro è la misura del contorno. D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180. PERCHE?

42 B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze). Perché in un espressione si eseguono prima moltiplicazioni e divisioni e poi addizioni e sottrazioni? In altre parole perché: x 5 = =23 e non:? x 5 = 7X5= 35 CONVENZIONE

43 C. Il perimetro è la misura del contorno. Perché il perimetro è la misura del contorno? Perché un numero primo è divisibile solo per se stesso e per 1? Perché un triangolo è un poligono di 3 lati? DEFINIZIONE

44 D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180. Perché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180? Si può dimostrare, a partire da altre proprietà geometriche. In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti AB e AC è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa BC. TEOREMA

45 In mancanza di INDICATORI LINGUISTICI può non essere evidente se un enunciato è una proprietà o una definizione Il perimetro è la misura del contorno. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180. si può rendere trasparente che si tratta di una definizione La misura del contorno si chiama perimetro.

46 Far comprendere agli allievi: REGOLA SOCIO-MATEMATICA CONVENZIONE DEFINIZIONE TEOREMA richiede strategie didattiche diverse!

47 La parola regola : Non permette di cogliere la diversità dei perché (regola socio-matematica, convenzione, definizione, teorema) Ma soprattutto insegnare regole : Trasforma i problemi in esercizi, in quanto si individua per ogni situazione cosa deve fare l allievo

48 Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3. FATTO MATEMATICO diventa Per vedere se un numero è divisibile per 3 bisogna sommare le sue cifre: se questa somma è divisibile per 3, lo è anche il numero di partenza. REGOLA comportamento da seguire

49 In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti AB e AC è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa BC. In formula: a 2 = b 2 + c 2 B A C FATTO MATEMATICO Per trovare l ipotenusa BC di un triangolo rettangolo conoscendo i cateti AB e AC bisogna a= b 2 +c 2 REGOLE Per trovare il cateto AC conoscendo l ipotenusa BC e l altro cateto AB bisogna b= a 2 - c 2 Per trovare il cateto AB conoscendo l ipotenusa BC e l altro cateto AC bisogna c = a 2 - b 2

50 C. Il perimetro è la misura del contorno. Perché il perimetro è la misura del contorno? Perché un numero primo è divisibile solo per se stesso e per 1? Perché un triangolo è un poligono di 3 lati? DEFINIZIONE

51 PESO LORDO = PESO NETTO + TARA FATTO MATEMATICO Per trovare il peso lordo si deve fare: PESO NETTO + TARA REGOLA REGOLE Per trovare il peso netto si deve fare: PESO LORDO - TARA Per trovare la tara si deve fare: PESO LORDO PESO NETTO tante e diverse, a seconda dell obiettivo

52 I FATTI DELLA MATEMATICA Teorema di Pitagora Proprietà delle potenze Area del rettangolo: A=bxh Criterio di divisibilità per 3 Definizione di multiplo DIVENTANO REGOLE - dovere - fare

53 Due approcci diversi INSEGNARE LE REGOLE sorvolando sui fatti che le originano ignorando i perché di tali fatti spesso ignorando anche le relazioni: fra regole e fatti fra le regole INSEGNARE I FATTI e come utilizzarli in vista di un obiettivo competenze Conseguenze: - enfasi sul ricordare, invece che sul riflettere, ragionare - la regola enfatizza il dover fare, nei 2aspetti: agire e dovere - la matematica è percepita come insieme di regole

54 ricordare LE VOCI DEGLI ALLIEVI

55 La geometria a me non piace perché bisogna ricordarsi tutte le formule, calcolarle, disegnare la figura, metterci la base e l altezza, insomma bisogna ricordarsi tutto. (Alessandro, 5 a primaria) ( ) si applica la memoria a ricordare regole e formule che, a volte, servono nella vita. (Giovanni, 5 a primaria)

56 Un giorno c era l interrogazione delle regole fatte a scuola il giorno prima e nonostante che avevo studiato alcune cose non me le ricordavo e così ci ho preso buono. (Sara, 5 a primaria) Inoltre in questi anni, che la matematica sta diventando un po complicata non riesco a ricordare tutte le regole e tutte le altre cose perfettamente. (Martina, 5 a primaria)

57 Il mio rapporto con la matematica è molto peggiorato perché bisogna ricordarci le regole e come si svolgono gli esercizi. (Michele, 2 a secondaria di 1 grado) La visione della matematica come insieme di regole da ricordare influisce sull atteggiamento che l allievo costruisce verso la disciplina.

58 La cosa proprio che non sopporto della matematica sono il PESO-NETTO, PESO LORDO e TARA, perché a me non mi sono mai piaciute le regole. (Caterina, 5 a primaria) Non mi piace tantissimo, prima di tutto perchè devo imparare tutte le regole. (Davide, 1 a secondaria di 1 grado)

59 LE VOCI DEGLI ALLIEVI ricordare si deve, bisogna,

60 La matematica è un dovere che bisogna sempre rispettare e fare. (Alice, 4 a primaria) A me fanno un po di confusione tutte le regole che bisogna rispettare. (Claudio, 5 a primaria)

61 Non mi piace perché ci sono un mare di regole che per fare un operazione piccina picciò: devi dividere un numero per l altro, devi togliere il numero che c era prima e così via. Poi se ti dimentichi una regola sono guai! Non solo sbagli tutto ma ti prendi pure una predica dalla professoressa. (Eleonora, 1 a secondaria di 1 grado)

62 Di recente abbiamo affrontato l argomento sulle frazioni, sono abbastanza complicate, devi semplificare, per le moltiplicazioni, non ne parliamo che è meglio, si devono semplificare il numeratore con il denominatore dell altra frazioni, la divisione la si deve transformare in moltiplicazione, l addizione e la sottrazione si possono svolgere normalmente solo quando hanno il denominatore uguale se no si trova il m.c.m. (Francesco, 1 a secondaria di 1 grado)

63 I FATTI REGOLE RAGIONARE RICORDARE RIFLETTERE AGIRE

64 Conseguenze 1. Cosa succede di fronte a una situazione che non è affrontabile con una regola cioè di fronte a un problema? INVALSI OCSE PISA GARE, GIOCHI MATEMATICI

65 Passi (INVALSI 2008, 5a primaria) Maria, Renato e Fabio misurano a passi la lunghezza della loro aula. Maria conta 26 passi, Renata ne conta 30 e Fabio 28. Chi ha il passo più lungo?

66 Conseguenze 2 Cosa succede se l allievo è convinto di non ricordare la regola giusta per quella situazione?

67 Alessandro Trovare l area di un rettangolo, sapendo che il perimetro è 126 cm, e l altezza è 3/4 della base. e non conclude a questo punto non so, cioè non mi ricordo bene le formule

68 Nicola 7x 2 7 I.: Perché invece di ricordarti cosa devi fare, non provi a risolverla da solo? N.: La matematica è fatta di regole ben precise che vanno seguite, non ci si può inventare nulla. I problemi si risolvono seguendo quelle regole e io, ora, non mi ricordo come si risolvono le disequazioni.

69 Il successo in matematica Per aver successo: bisogna rispettare le regole sociomatematiche studiare e memorizzare le altre regole Chi trasgredisce viene considerato un allievo di basso rendimento / livello si convincerà di essere inadeguato poi magari fa bene alle gare, all INVALSI, in compiti non standard

70 Per capire come sviluppare competenze, è importante una riflessione critica sul ruolo che hanno i problemi nella pratica tradizionale (non solo in matematica) i problemi sono il contesto in cui si utilizzano le competenze

71 Per capire come sviluppare competenze, è importante una Le regole riflessione critica sul ruolo che hanno i problemi nella pratica tradizionale (non sono nemiche dei problemi, solo in matematica) e quindi delle competenze i problemi sono il contesto in cui si utilizzano le competenze

72 Due approcci diversi INSEGNARE LE REGOLE sorvolando sui fatti che le originano ignorando i perché di tali fatti spesso ignorando anche le relazioni fra: regole e fatti regole INSEGNARE I FATTI e come utilizzarli in vista di un obiettivo costruire competenze COME?

73 Due approcci diversi INSEGNARE LE REGOLE sorvolando sui fatti che le originano ignorando i perché di tali fatti spesso ignorando anche le relazioni fra: regole e fatti regole INSEGNARE I FATTI e come utilizzarli in vista di un obiettivo costruire competenze COME? Come insegnare i fatti : Laboratorio, Argomentare Come insegnare a utilizzarli in vista di un obiettivo: Problem solving

74 La matematica è una materia in cui bisogna riflettere molto e capire perché esiste quella regola. (Marco, 5 a primaria)

75 Grazie!