Modelli per il processo di misura. in Meccanica Quantistica

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1 Modelli per il processo di misura in Meccanica Quantistica

2 Problemi imbarazzanti descrizione dei processi che avvengono alla frontiera tra microscopico e macroscopico e dei processi di interazione tra questi due mondi rinuncia a ritenere la meccanica quantistica una teoria universale, lasciando irrisolto il problema di individuarne i limiti di validità

3 Le prescrizioni del modello stato di un sistema fisico osservabile  operatore lineare autoaggiunto A quantità misurabili P Aˆ a a k k evoluzione d i, t H, t dt o, to, collasso del pacchetto d onde Aˆ a k ak preparazione di un sistema ai, bj, ck,... i, j, k,...

4 Il principio di sovrapposizione 1 stati possibili 1 linearità, C, quale senso fisico è da attribuirsi ad una combinazione lineare di stati? 1

5 Sovrapposizione o miscela statistica? Z x Z Probabilità ½ di trovare spin su o spin giù lungo z la particella ha oggettivamente spin su lungo x z z z z z x x Probabilità ½ di trovare spin su o spin giù lungo x

6 Sovrapposizione o miscela statistica? Z x Z Probabilità ½ di trovare spin su o spin giù lungo z la particella ha oggettivamente spin su lungo x z z z z il segno + che compare tra i termini di una sovrapposizione non può sostituirsi con una disgiunzione! Probabilità ½ di trovare spin su o spin giù lungo x

7 Processo di misura ideale Strumento A inizialmente in uno stato di attesa in cui è pronto alla misura o Corrispondenza uno-ad-uno tra stato del sistema microscopico S e posizione dell indice dello strumento interazione SA r o r r ortogonali F f k k k evoluzione di Schrödinger per S+A

8 Processo di misura ideale S o cr r r stato entangled microsistema+apparecchio interazione SA o o cr r o cr r r r r non si può affermare l indice è in una posizione oppure in un'altra

9 Il gatto di Schrödinger gatto vivo 1 gatto morto

10 Un altro punto di vista Lo stato sovrapposizione, è indistinguibile dalla somma statistica degli stati sovrapposti se r r c r r r c r r r r r non è possibile misurare osservabili dello strumento i cui operatori associati non commutano; si ignora uno dei costituenti della catena di von Neumann (cioè si misurano osservabili relativi a sottosistemi propri del sistema totale)

11 A Tr A Tr A A c c A c A c A c c A c c A si ignora uno dei costituenti della catena di von Neumann (cioè si misurano osservabili relativi a sottosistemi propri del sistema totale)

12 In sistemi di grande complessità non esistono osservabili misurabili la cui statistica sia diversa da quella prevista per uno stato miscela. FAPP (For All Pratical Purposes) Progetto: provare le caratteristiche del processo di misura a partire dalla dinamica di Schrödinger Sviluppo di un modello semplificato di misuratore come oggetto quantistico

13 Modello generale P( ) n c r u r1 r autostati di H sistema microscopico S spazio di Hilbert H H c H K H K V H K spazio di Hilbert K interazione tra S ed I. I strumento di misura macroscopico costituito da un gran numero, N, di sottosistemi quantistici non interagenti.

14 Osservabili dello strumento di misura corrispondono alle posizioni di un indice piccolissima sottoalgebra, M, dell algebra degli operatori limitati su K Autospazi simultanei delle osservabili: celle classiche dello spazio delle configurazioni operatori di proiezione 1,,..., commutanti coarse grained I 1 K

15 Modello di Colemann-Hepp S e - Elettrone in moto unidimensionale, il cui spin è misurato tramite il risultato di interazioni locali con una catena finita di L+1 spin, LЄN. 1 3 C x sistema microscopico spin dell elettrone H C u autovettori di σ z strumento di misura componente orbitale dell elettrone e catena di spin ( 1) Kˆ ( C ) L K L ( R)

16 Modello di Colemann-Hepp Stato iniziale dello strumento di misura ˆ L1 n 1 ˆ n Magnitudine della polarizzazione risultante della catena. P() ˆ ˆ n 1 I n m n, z 0 m 1 P( ) ( x) 0, x c, d stato di equilibrio ottenuto esponendo la catena ad un campo magnetico dipendente dalla temperatura diretto lungo z (in assenza di interazioni tra gli spin)

17 Modello di Colemann-Hepp Hamiltoniana per il sistema composto V ( x ) 0, x a, b H C H p K P L 1 V ( x n) n1 n, x i d dx Hamiltoniana per il moto orbitale libero dell elettrone lineare in p Il pacchetto d onde elettronico si sposta lungo l asse x con velocità uno ipt 1 ipt t ( x) e o( x) F e o( p) ( x) 1 ip( tx) e o( p) dp ( x t)

18 Modello di Colemann-Hepp Spin e - P u u u autovettori di z H C H componente orbitale e - p K Nessuna evoluzione libera per la catena di spin P L 1 V ( x n) n1 n, x P + P - evoluzione libera interazione con la catena di spin

19 Modello di Colemann-Hepp d t a 1 supporti di V e inizialmente disgiunti e pacchetto d onde dell elettrone posto a sinistra della catena di spin L 1 ( b c) τ è il tempo richiesto all elettrone per viaggiare dall inizio alla fine della catena Stato del misuratore ( t) P( t ) ˆ ˆ ˆ ˆ Z Z Gli indicatori per i vettori di stato u ± sono i sottospazi K ± che corrispondono alla polarizzazione positiva e negativa della catena lungo z. Z L1 n 1 exp ij n, x R J dx V ( x)

20 Il modello di Coleman-Hepp: un modello risolubile Conclusioni Il modello rende conto della riduzione del pacchetto d onde e della corrispondenza tra gli stati di S e le posizioni dell indice; Nessuna proprietà di amplificazione: la particella deve visitare tutti i siti in cui gli spin del misuratore sono allocati. Pur garantendo la risolubilità del modello, l ipotesi H o = p è una posizione poco realistica sul moto della particella Sviluppo di modelli più realistici H 0 p m

21 La meccanica quantistica ha due potenti fatti in suo favore, e una sola cosa in suo sfavore. Innanzitutto in suo favore sono tutti i meravigliosi accordi che la teoria ha fino ad oggi con ogni risultato sperimentale. In secondo luogo [...] essa è una teoria di stupefacente e profonda bellezza. La sola cosa che può essere detta in suo sfavore è che non ha assolutamente senso! Roger Penrose (Atomo, João Gilberto Falioni)