11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 1 STATI E GRANDEZZE

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1 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 1 STATI E GRANDEZZE Principio S: stati di un sistema fisico A ogni sistema fisico S è associato un opportuno spazio di Hilbert H S. Se il sistema S è in uno stato definito, questo è rappresentato da un elemento ψ di H S, di norma 1, detto vettore di stato. Viceversa ogni elemento ψ di H S tale che ψ = 1 rappresenta un possibile stato del sistema. Se il sistema S non è in uno stato definito, esso è parte di un sistema più grande che è in uno stato definito. Lo spazio degli stati, prescindendo dalla normalizzazione, è uno spazio lineare; questa circostanza è detta principio di sovrapposizione. Principio G: grandezze fisiche A ogni grandezza fisica G di S corrisponde un operatore lineare autoaggiunto Ĝ nello spazio di Hilbert H S. Il termine osservabile è usato pressoché universalmente invece del termine grandezza fisica usato qui. In meccanica classica si usa di solito il termine variabile dinamica. Principio V: valori di una grandezza fisica Lo spettro discreto σ d G e quello continuo σc G di Ĝ costituiscono l insieme dei valori attribuibili a G. Se il sistema è nello stato ψ, risolto l operatore Ĝ come Ĝ = σ d G g np n + dg g P g, n σ c G la grandezza G possiede una distribuzione di valori data da ϱ ψ (g) = n δ(g g n) ψ P n ψ + ψ P g ψ. La seconda proposizione è immediatamente generalizzabile alla distribuzione congiunta dei valori di un sistema di grandezze compatibili, cioè tali che gli operatori autoaggiunti che a esse corrispondono possiedano un sistema completo di autovettori (propri e impropri) comuni.

2 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 2 Richiamo Condizione necessaria e sufficiente affinché più operatori autoaggiunti abbiano un sistema completo di autovettori comuni è che essi commutino a due a due. La distribuzione di valori ϱ ψ (g) è normalizzata all unità. Scritti i proiettori propri P n e impropri P g in termini degli autovettori propri e impropri di Ĝ come P n = n, s n, s, P g = g, s g, s s s e sviluppato lo stato ψ sui medesimi autovettori, ψ = c ns n, s + dg c s (g) g, s, ns s si ottengono subito le espressioni ψ P n ψ = s c ns 2, ψ P g ψ = s c s(g) 2. Gli autovettori propri di Ĝ sono gli stati nei quali G ha un valore definito e questo valore è il corrispondente autovalore. Gli autovettori impropri di Ĝ, che non sono stati di S, possono essere pensati rappresentare al limite situazioni in cui G via via si avvicina ad avere un valore definito. In uno stato rappresentato da un vettore che non sia autovettore (proprio) di Ĝ la grandezza G non ha un valore definito. Questa circostanza non ha riscontro in meccanica classica. Le caratteristiche più grosse della distribuzione dei valori di G nello stato ψ sono il suo valore medio (o valore di aspettazione) e il suo scarto medio (o radice dello scarto quadratico medio) o, al quadrato, varianza. Il valore medio G (indicato anche con G ) è G = dg g ϱ ψ (g) = g n ψ P n ψ + dg g ψ P g ψ = ψ Ĝ ψ. n La varianza G 2 (indicata anche con ( G) 2 ) è G 2 = ( G G ) 2 = G2 G 2.

3 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 3 Principio E: sistemi elementari particella senza struttura Lo spazio di Hilbert associato a una particella senza struttura interna (o della quale trascuriamo la struttura interna) è lo spazio L 2 (R 3 ) delle funzioni f(x, y, z). Alle coordinate cartesiane x, y, z della particella corrispondono gli operatori ˆx, ŷ, ẑ definiti da ˆxf(x, y, z) = xf(x, y, z), ŷ f(x, y, z) = y f(x, y, z), ẑ f(x, y, z) = z f(x, y, z). Alle componenti del momento lineare p x, p y, p z della particella corrispondono gli operatori ˆp x, ˆp y, ˆp z definiti da ˆp x f(x, y, z) = iħ f(x, y, z), x ˆp y f(x, y, z) = iħ f(x, y, z), y ˆp z f(x, y, z) = iħ f(x, y, z). z Gli operatori corrispondenti alle altre grandezze fisiche della particella sono funzioni (autoaggiunte) degli operatori ˆx, ŷ, ẑ, ˆp x, ˆp y, ˆp z. Gli elementi f(x) dello spazio di Hilbert L 2 (R 3 ) delle funzioni di x, che diciamo H part, possono essere denotati con il simbolo f in corrispondenza biunivoca con f(x), f(x) f. Allora f(x) è il rappresentativo di f nell autorappresentazione dello spazio H part. Indicando con x i corrispondenti degli elementi δ(x x ) dell autobase (impropria) di H part, δ 3 (x x ) x, la relazione tra f e f(x) si scrive x f = d 3 x δ 3 (x x )f(x) = f(x ).

4 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 4 Principio E: sistemi elementari spin Lo spazio di Hilbert associato a uno spin di valore s è lo spazio l 2s+1 delle colonne a m, m = s, s 1,..., s. Alle componenti s x, s y, s z dello spin corrispondono gli operatori ŝ x, ŝ y, ŝ z definiti dalle matrici [ (s (ŝ x ) m m = 1 2 ħ m)(s + m + 1) δm,m+1 + ] (s + m)(s m + 1) δ m,m 1, [ (s (ŝ y ) m m = 1 2 i ħ m)(s + m + 1) δm,m+1 ] (s + m)(s m + 1) δ m,m 1, (ŝ z ) m m = ħ m δ m,m. Gli operatori corrispondenti alle altre grandezze fisiche del sistema di spin sono funzioni (hermitiane) degli operatori ŝ x, ŝ y, ŝ z. Gli elementi a m, m = s, s 1,..., s dello spazio di Hilbert l 2s+1, che diciamo H spin s, possono essere denotati con il simbolo a in corrispondenza biunivoca con a m, a m a. Allora a m è il rappresentativo di a nell autorappresentazione dello spazio H spin s. Indicando con m i corrispondenti degli elementi δ mm dell autobase di H spin s, δ mm m, la relazione tra a e a m si scrive m a = m δ mm a m = a m. Gli operatori ˆx, ŷ, ẑ, ˆp x, ˆp y, ˆp z per una particella senza struttura e gli operatori ŝ x, ŝ y, ŝ z per uno spin si dicono operatori fondamentali.

5 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 5 Principio C: sistemi composti Lo spazio di Hilbert associato al sistema S composto dai sistemi componenti A e B, se tutte le grandezze fisiche di A e B sono anche grandezze fisiche di S, è lo spazio di Hilbert H S = H A H B, prodotto tensoriale degli spazi di Hilbert di A e B. Le grandezze fisiche G A e G B di A e B sono rappresentate in H S dagli operatori Ĝ A ÎB e ÎA ĜB. Le grandezze fisiche di S sono rappresentate, in H S, da operatori del tipo ĜA ĜB o da funzioni (autoaggiunte) di questi. Il sistema A non è in uno stato definito se il sistema A + B è in uno stato i χ i A ξ i B che non sia della forma χ A ξ B. Situazioni di questo tipo non hanno riscontro in meccanica classica. Poiché L 2 (R 3 ) = L 2 (R) L 2 (R) L 2 (R) una particella che si muove nello spazio può essere considerata "composta" dai tre movimenti lungo x, y e z. Si può distinguere tra sistemi dotati e non dotati di analogo classico secondo che tra i componenti non compaiono o compaiono sistemi di spin. La limitazione sottolineata nel testo del principio sui sistemi composti sottintende che non tutte le funzioni autoaggiunte degli operatori fondamentali di un sistema composto corrispondono a grandezze fisiche. Vedremo che esistono importanti limitazioni di principio.

6 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 6 Esempio Lo spazio di Hilbert di un sistema composto da due particelle senza struttura è lo spazio L 2 (R 3 ) L 2 (R 3 ) = L 2 (R 6 ) delle funzioni f(x 1, x 2 ), in cui il prodotto scalare è dato da g f = d 3 x 1 d 3 x 2 g (x 1, x 2 )f(x 1, x 2 ). Esempio Lo spazio di Hilbert di una particella dotata della sola struttura di spin è lo spazio L 2 (R 3 ) l 2s+1 delle colonne di funzioni f s (x) f s 1 (x) F (x) =., f s(x) in cui il prodotto scalare è dato da G F = d 3 x gm(x)f m (x). m Una grandezza fisica corrispondente a un operatore (autoaggiunto) esprimibile come serie di potenze dei soli operatori fondamentali di posizione e momento si dice dotata di analogo classsico. Condizione necessaria affinché l operatore possa essere autoaggiunto è che ogni monomio della serie sia simmetrizzato. Se si rilascia la condizione che l operatore sia esprimibile come serie di potenze a esso può non corrispondere alcuna grandezza classica sensata anche se non coinvolge alcun operatore di spin.

7 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 7 EVOLUZIONE DI SCHRÖDINGER Definizione Diciamo chiuso un sistema che interagisca solo con sistemi esterni privi di gradi di libertà o comunque con sistemi che sono descrivibili e descritti come tali. Esempi Sono sistemi chiusi i sistemi isolati, che non hanno interazioni esterne, e i sistemi le cui uniche interazioni esterne sono con campi assegnati. Principio T: evoluzione temporale di un sistema chiuso Se il sistema S è chiuso durante un certo intervallo di tempo ed è in uno stato definito a un certo istante, esso resta in uno stato definito in tutto l intervallo di tempo e l evoluzione temporale del suo vettore di stato è retta dall equazione di Schrödinger i ħ d ψ(t) = Ĥ ψ(t), dt dove Ĥ è un opportuno operatore lineare autoaggiunto in H S detto operatore hamiltoniano corrispondente all energia totale del sistema S. L equazione di Schrödinger conserva la norma di ψ(t) in conseguenza dell hermiticità di Ĥ. L equazione di Schrödinger è lineare rispetto a ψ e l evoluzione che ne consegue è deterministica.

8 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 8 MISURAZIONE Principio M: misurazione di una grandezza fisica L interazione di S con un altro sistema può avere la natura di misurazione di una grandezza di S. L altro sistema svolge allora il ruolo di apparato misuratore. Il termine osservazione è spesso usato come sinonimo di misurazione. Il processo di misurazione è normalmente considerato istantaneo. Ovviamente questa è una schematizzazione. Principio RM: risultati di una misurazione Una misurazione della grandezza G dà sempre come risultato un valore appartenente all insieme dei valori attribuibili a G e la distribuzione di probabilità dei risultati di una misurazione effettuata a un tempo al quale lo stato del sistema è ψ è la distribuzione dei valori di G ϱ ψ (g), ovvero la probabilità che la misurazione di G dia il valore g n di σ d G è ( ) Pr(G = g n ψ) = lim 0 gn + dg g n e la probabilità che dia un valore di σ c G compreso tra g e g è ( ) Pr(g G g ψ) = g g n δ(g g n ) ψ P n ψ = ψ P n ψ dg ψ P g ψ = ψ P (g,g ) ψ dove P n e P (g,g ) = g dg P g g sono rispettivamente il proiettore sull autospazio corrispondente all autovalore proprio g n di Ĝ e il proiettore sul sottospazio generato dagli autovettori impropri corrispondenti agli autovalori impropri compresi tra g e g. Le due espressioni ( ) possono essere riassunte nell unica espressione Pr(G η G ψ) = ψ P ηg ψ, dove P ηg è il proiettore sul sottospazio generato dagli autovettori corrispondenti agli autovalori (propri e impropri) appartenenti al sottoinsieme η G dello spettro σ G di Ĝ.

9 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 9 Poiché σ d G P n + dg P g = 1 n σ c G la probabilità totale (cioè la probabilità che il risultato sia uno qualsiasi dei valori possibili) è 1, come deve. Se ψ coincide con un autovettore proprio corrispondente all autovalore g n, allora Pr(G = g n ψ) = 1, cioè una misurazione G dà con certezza il valore g n. Considerati gli autovettori di Ĝ, propri e impropri, completi e ortonormalizzati, ϕ ns e ϕ s (g), si può scrivere e quindi P n = s ϕ ns ϕ ns, P (g,g ) = s g g dg ϕ s (g) ϕ s (g) Pr(G = g n ψ) = ϕ ns ψ 2, Pr(g G g ψ) = s s ( o anche Pr(g G g + dg ψ) = cioè la distribuzione di probabilità dei risultati è data dai moduli quadrati dei coefficienti dello sviluppo di ψ sugli autostati propri e impropri di Ĝ. g g dg ϕ s (g) ψ 2 s ϕ s(g) ψ 2 dg ),

10 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 10 Principio RMS: misurazione simultanea di più grandezze fisiche La misurazione simultanea di più grandezze A, B,... è possibile solo se le grandezze sono compatibili. La distribuzione di probabilità congiunta dei risultati di una misurazione simultanea effettuata sullo stato ψ è la distribuzione congiunta dei valori ϱ ψ (a, b,...) ovvero la probabilità che la misurazione dia i valori a, b,... appartenenti ai sottoinsiemi η A, η B,... degli spettri di Â, ˆB,... è Pr(a η A, b η B,... ψ) = ψ P ηa,η B,... ψ, dove P ηa,η B,... è il proiettore sul sottospazio generato dagli autovettori comuni di Â, ˆB,... corrispondenti agli autovalori rispettivamente appartenenti a η A, η B,.... Nel caso, ad esempio, di due grandezze compatibili A e B se, poniamo, η B coincide con l intero spettro σ B di ˆB, allora P ηa,σ B = P ηa e quindi Pr(a η A, b qualsiasi ψ) = ψ P ηa ψ. Analogamente, scambiando A e B e nel caso di più di due grandezze. Pertanto, il principio RMS sui risultati di una misurazione di grandezze compatibili è consistente con il principio RM sui risultati di una misurazione di una sola grandezza e lo generalizza.

11 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 11 Se le grandezze misurate simultaneamente corrispondono a un sistema esauriente di operatori autoaggiunti commutanti la misurazione si dice massima. Questa definizione è giustificata dal fatto che, misurando simultaneamente un ulteriore grandezza compatibile gli autovalori del corrispondente operatore autoaggiunto sono necessariamente funzioni degli autovalori del sistema precedente. La misurazione simultanea di un sistema di grandezze compatibili può essere considerata a tutti gli effetti come la misurazione di un unica grandezza dotata di un sistema di valori. Se il sistema di grandezze compatibili corrisponde a un sistema esauriente di operatori commutanti, la grandezza unica è non degenere.

12 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 12 Principio RS: riduzione dello stato Esistono misurazioni, dette ripetibili, tali che un immediata ripetizione della medesima misurazione dà il medesimo risultato. Se immediatamente prima di una tale misurazione di una grandezza G il sistema è in uno stato definito, e se il valore di G risultante dalla misurazione appartiene al sottoinsieme η G di σ G, immediatamente dopo la misurazione il sistema è in uno stato ψ appartenente al sottospazio generato dagli autovettori corrispondenti agli autovalori in η G. La misurazione può anche distruggere il sistema o perturbarlo in modo imprevedibile o comunque non essere ripetibile. Nel seguito faremo riferimento solo a misurazioni ripetibili. L evoluzione dello stato di un sistema all atto di una misurazione è detta processo di riduzione. Se la misurazione di G è massima, cioè se G è non degenere, e se il risultato della misurazione è un valore g n dello spettro discreto, lo stato ψ dopo la misurazione è determinato da g n. Se ψ è lo stato prima della misurazione, P n ψ è certamente non nullo e si può scrivere ψ = 1 ψ Pn ψ P n ψ. Una misurazione massima con risultato nello spettro discreto può essere usata per preparare il sistema in uno stato noto. Se G è degenere, essa può essere misurata in modi diversi fisicamente inequivalenti, "da sola", oppure assieme a diversi sistemi di grandezze con essa compatibili. Una misurazione che dia come risultato che il valore di G appartiene al sottoinsieme η G del suo spettro e per la quale, qualunque sia lo stato ψ prima della misurazione, ψ = 1 ψ PηG ψ P η G ψ. può essere detta misurazione esclusiva di G.

13 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 12 bis Esemplificazione del concetto di misurazione esclusiva di una grandezza degenere Facciamo riferimento all esempio di operatori hermitiani dotati di un sistema completo di autovettori comuni del fascicolo 2/2, pag. 6 bis. Consideriamo una misurazione della grandezza  avente autovalori a 1 e a 2 e rispettivamente autospazi E 1 (unidimensionale) e E 2 (bidimensionale). Sia ψ sia il vettore di stato immediatamente prima della misurazione. Se la misurazione è ripetibile e il risultato è a 2, il vettore di stato ψ a misurazione avvenuta certamente appartiene a E 2. Il vettore di stato (X) ψ a 2 = P E2 ψ ψ PE2 ψ 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA è, tra tutti i vettori di stato ϕ E 2, quello che ha la massima sovrapposizione ψ ϕ 2 08/ con ψ. E 1 ψ F 2 P E2 ψ P F1 ψ E 2 F 1 Infatti mentre, posto ϕ = ψ ψ a 2 = ψ P E2 ψ, ) 1 P E2 ψ (α α 2 + β 2 ψ PE2 ψ + β e, dove e è un vettore unitario tale che P E1 e = 0, e P E2 ψ = 0, risulta ψ ϕ = 1 ( α ψ P α 2 + β 2 E2 ψ + β ψ ( ) ) P E1 +P E2 e e quindi ψ ϕ = α α 2 + β 2 ψ PE2 ψ < ψ P E2 ψ.

14 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 12 ter Consideriamo ora una misurazione simultanea delle grandezze  e ˆB aventi coppie di autovalori (a 1, b 2 ), (a 2, b 1 ) e (a 2, b 2 ) e rispettivamente autospazi E 1,, F 1 e E 2 F 2. Se la misurazione è ripetibile e il risultato è (a 2, b 1 ), il vettore di stato a misurazione avvenuta è (Y) ψ a 2 b 1 = P F1 ψ ψ PF1 ψ che appartiene a E 2 ma, per ψ arbitrario, è diverso da ψ a 2 e non ha la sovrapposizione massima con ψ. La misurazione simultanea di  e ˆB con risultato (a 2, b 1 ) è anche una misurazione di  con risultato a 2, ma la misurazione di ˆB simultaneamente ad  con il risultato indicato forza il vettore di stato a misurazione avvenuta a essere il precisamente il vettore dato dalla (Y). Un risultato analogo si verifica per la misurazione di  simultaneamente a qualunque altra grandezza compatibile (non banalmente) con Â. Se la misurazione di  con risultato a 2 ha la proprietà che il vettore di stato a misurazione avvenuta è dato dalla (X) qualunque sia ψ è naturale interpretare questa circostanza come dovuta al fatto che la misurazione di  è esclusiva, nel senso che si misura  e solo Â.

15 11/1 PRINCIPI GENERALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 08/09 13 L evoluzione di un sistema all atto di una misurazione dipende dal risultato della misurazione e quindi è in generale stocastica, poiché lo stato prima della misurazione determina solo le probabilità dei diversi risultati. Inoltre, come risulta dalle espressioni di ψ delle note precedenti, essa è non lineare nel vettore di stato. Questi caratteri differenziano inesorabilmente l evoluzione all atto di una misurazione dall evoluzione di Schrödinger e fanno sì che la prima non sia riconducibile alla seconda. L individuazione delle misurazioni come processi di natura speciale, implicata dal principio M, è quindi essenziale. A sua volta, la stessa enuciazione del principio M presuppone logicamente la possibilità di distinguere gli apparecchi misuratori come sistemi di natura speciale. L assunzione della possibilità di tale distinzione caratterizza l interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica che sta alla base di questa presentazione. L apparecchio misuratore, la cui presenza è evidentemente necessaria affinché avvenga la misurazione, non è tuttavia incluso nella descrizione, nella quale entra solo il sistema misurato. Dell apparecchio misuratore si ammette solo che ci sia e che faccia ciò che deve, dopo di che esso viene espulso dalla trattazione.