2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 1 SPAZI DI HILBERT

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1 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 1 SPAZI DI HILBERT Uno spazio H è uno spazio di Hilbert se gode delle seguenti proprietà: 1) è uno spazio vettoriale, cioè sono definite, con risultato in H, l addizione f + g di due elementi e la moltiplicazione af di un elemento per un numero (complesso) con tutte le usuali proprietà; in particolare esiste l elemento nullo, che possiamo indicare con 0, neutro per l addizione e risultato della moltiplicazione per 0 di un qualsiasi elememto; 2) è dotato di un prodotto scalare g, f, hermitiano, lineare nel secondo fattore e antilineare nel primo e strettamente positivo, cioè con le proprietà f, g = g, f, g, af = a g, f, f, f 0, f, f = 0 solo se f = 0, 3) è completo (la proprietà è definita nel seguito); 4) è separabile (la proprietà è definita nel seguito). In generale diremo vettori o anche punti gli elementi di H. Possono darsi due casi: n) esistono n e non più di n vettori linearmente indipendenti, ) esistono infiniti vettori linearmente indipendenti. Nota Nel caso n, le proprietà 3 e 4 seguono da 1 e 2. Esempi Sono spazi di Hilbert concreti lo spazio l n delle n uple di numeri complessi; lo spazio l 2 delle successioni di numeri complessi a modulo quadrato sommabili; lo spazio L 2 (R) delle funzioni complesse in R a modulo quadrato integrabili, ove si associno al medesimo elemento le funzioni diverse al più in un insieme di misura nulla; lo spazio L 2 (R 3 ) delle funzioni complesse in R 3 a modulo quadrato integrabili, ove si associno al medesimo elemento le funzioni diverse al più in un insieme di misura nulla. Nei diversi casi le operazioni lineari sono definite nel modo ovvio e il prodotto scalare da n in l n, se f = {f i }, g = {g i }, g, f = 1 i g i f i, in l 2, se f = {f i }, g = {g i }, g, f = 1 i g i f i, in L 2 (R), se f = f(x), g = g(x), g, f = dx g (x)f(x), in L 2 (R 3 ), se f = f(x), g = g(x), g, f = dx g (x)f(x). R 3 R

2 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 2 Ortogonalità e lunghezza Due vettori f e g si dicono ortogonali se f, g = 0. Il numero reale non negativo f = f, f si dice lunghezza o norma di f ( f = 0 se e solo se f = 0). Dati due vettori f e g la lunghezza f g della loro differenza costituisce la loro distanza. Disuguaglianze Disuguaglianza triangolare: f + g f + g (l uguaglianza vale solo se f e g coincidono tranne che per un fattore reale non negativo). Disuguaglianza di Schwarz: f, g f g (l uguaglianza vale solo se f e g coincidono tranne che per un fattore). Indipendenza lineare I vettori di un set si dicono linearmente indipendenti quando l annullarsi di una qualsiasi combinazione lineare di vettori del set implica l annullarsi di tutti i coefficienti, (finita) k a k f k = 0 a k = 0. Varietà lineari Un set di vettori si dice varietà lineare se contiene tutte le combinazioni lineari di suoi elementi. Dato un qualsiasi set di vettori S, il set di tutte le combinazioni lineari di suoi elementi è una varietà lineare che si dice varietà lineare generata (o sottesa) da S. Nello spazio di Hilbert L 2 (R) sono esempi di varietà lineari lo spazio S (R) L 2 (R) delle funzioni derivabili infinite volte a decrescenza rapida e lo spazio C 0 (R) S (R) delle funzioni derivabili infinite volte a supporto compatto. Analogamente S (R 3 ) e C 0 (R 3 ) in L 2 (R 3 ).

3 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 3 Continuità, limiti, punti limite Il concetto di distanza di due vettori permette, nel modo usuale, di introdurre la nozione di continuità di una funzione e di definire la convergenza di una successione a un limite. Una funzione F (f) definita in H, a valori di numero o di vettore, si dice continua in f 0 se per ogni ɛ > 0 esiste un δ (> 0) tale che F (f) F (f 0 ) < ɛ se F è a valori di numero, f f 0 < δ = F (f) F (f 0 ) < ɛ se F è a valori di vettore. Le funzioni a valori di vettore a f e f + g e a valore di numero g, f sono ovunque funzioni continue dei loro argomenti. Una successione di vettori f 1, f 2,... ha limite f (o converge a f) se la successione di numeri f 1 f, f 2 f,... converge a zero. Affermare che lo spazio H è completo significa che ogni successione di elementi che soddisfa la condizione di Cauchy ammette limite (in H ). I concetti di convergenza e limite permettono a loro volta di definire la convergenza di una serie e il valore della sua somma quali convergenza e limite della successione delle somme parziali. Un punto (vettore) è un punto limite di un set S se è il limite di una successione estratta da S. Un set S si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti limite. Un set S si dice denso in H (o ovunque denso) se i suoi punti limite riempiono tutto H. Nello spazio L 2 (R) le varietà lineari S (R) e C 0 (R) sono non chiuse e ovunque dense. Analogamente in L 2 (R 3 ) le varietà lineari S (R 3 ) e C 0 (R 3 ). Affermare che lo spazio H è separabile significa che esiste una successione densa in H. La proprietà di separabilità può essere descritta intuitivamente dicendo che le dimensioni di H, se infinite, sono numerabili.

4 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 4 Varietà lineari chiuse o sottospazi Una varietà lineare che sia anche chiusa si dice varietà lineare chiusa. Aggiungendo a una (alla) varietà lineare (generata da S) i suoi punti limite si ottiene una (la) varietà lineare chiusa ([S], detta generata da S). Una varietà lineare chiusa in uno spazio di Hilbert è essa stessa uno spazio di Hilbert con le stesse operazioni vettoriali e lo stesso prodotto scalare, cioè è un sottospazio. Viceversa, ogni sottospazio di uno spazio di Hilbert è una varietà lineare chiusa. Nota In uno spazio di Hilbert finitodimensionale tutte le varietà lineari sono chiuse. Esempio La varietà generata da un set di n vettori f 1,..., f n, costituita dalle combinazioni lineari è un sottospazio di dimensioni pari al numero di vettori linearmente indipendenti nel set. n 1 ia if i, Sottospazi propri e impropri Il sottospazio costituito dallo spazio di Hilbert H stesso e il sottospazio [0] (che diremo a zero dimensioni) generato dal vettore 0 e costituito solo da questo sono detti sottospazi impropri. Tutti gli altri sottospazi sono detti propri. Operazioni su sottospazi Se S e T sono due sottospazi, anche la loro intersezione S T è un sottospazio. Se S e T sono due sottospazi ortogonali (S T ), cioè tali che ogni elemento di ciascuno sia ortogonale a tutti gli elementi dell altro, la varietà lineare generata da S e T è chiusa e quindi è un sottospazio, che si dice somma diretta di S e T e si indica con S T. Se T è un sottospazio contenuto in un altro sottospazio S, il set degli elementi di S ortogonali a tutti gli elementi di T è un sottospazio, che si dice complemento ortogonale di T in S e si indica con S T. Vale la relazione T = S (S T ).

5 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 5 Ortonormalità e ortonormalizzazione Un set di vettori di norma 1 e mutuamente ortogonali si dice ortonormale (non necessariamente completo nel senso e con le proprietà precisate nel seguito). In uno spazio di Hilbert a n dimensioni ogni set ortonormale ha al massimo n elementi. In uno spazio di Hilbert infinitodimensionale, in conseguenza dell assunta separabilità, ogni set ortonormale è finito o numerabilmente infinito. L ortonormalità di un set di vettori {e i } si traduce nelle relazioni e j, e i = δ ij. I vettori di un set ortonormale sono sempre linearmente indipendenti. Data una qualsiasi successione (finita o infinita) di vettori, si può sempre costruire una successione di vettori ortonormali che genera la stessa varietà lineare (ad esempio, con il processo di ortonormalizzazione di Schmidt). Proprietà di un set ortonormale Sia e 1, e 2,... un set ortonormale. Allora (le affermazioni o assunzioni di convergenza sono vuote se il set è finito) la serie k a k e k converge se e solo se k a k 2 converge; da f = a k e k (la convergenza è assunta) segue e k, f = a k ; k per ogni f, posto a k = e k, f, la serie f = a k e k converge e f f è ortogonale a e 1, e 2,...; k per ogni f, g, la serie e k, g e k, f converge; inoltre, nel caso f = g, e k, f 2 f 2. k k

6 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 6 Set ortonormali completi Sia e 1, e 2,... un set ortonormale. Allora ciascuna delle condizioni che seguono è necessaria e sufficiente per ciascuna delle altre: il sottospazio generato dal set ortonormale coincide con H ; il set ortonormale non è sottoinsieme proprio di alcun altro set ortonormale; per ogni f (1) f = k a k e k, dove a k = e k, f ; per ogni f, g, (2) g, f = k e k, g e k, f. Un set ortonormale che goda di tali proprietà si dice completo. In uno spazio di Hilbert a n dimensioni un set ortonormale è completo se e solo se ha n elementi. In uno spazio di Hilbert infinitodimensionale un set ortonormale se è completo è certamente infinito. Esistenza di set ortonormali completi In conseguenza della separabilità, esiste in H un set ortonormale completo. Ovviamente ciò è vero anche in ogni sottospazio (escluso [0]). Isomorfismi Tutti gli spazi di Hilbert aventi un uguale numero finito di dimensioni sono isomorfi. Tutti gli spazi di Hilbert infinitodimensionali sono isomorfi.

7 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 7 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT Un operatore A è una funzione definita in un sottoinsieme D(A) (dominio di A) di H con valori in H (codominio di A è l insieme dei valori). Il valore della funzione corrispondente a f si indica con Af. Due operatori A e B sono uguali e si scrive A = B se D (A) = D (B) e in tale dominio Af = Bf. La moltiplicazione per un numero a è un operatore ovunque definito che sarà indicato con a. In particolare l operatore identità sarà indicato con 1 e l operatore nullo con 0. Dati due operatori A e B, gli operatori somma A + B e prodotto AB sono definiti da (A + B)f = Af + Bf, (AB)f = A(Bf), nei domini in cui le scritture a secondo membro sono definite. Si usano le notazioni A = ( 1)A, A B = A + ( B); A 0 = 1, A 1 = A, A 2 = AA,.... Se, per un dato A, Af = Ag implica f = g, A ha un inverso A 1 definito nel codominio di A. Se il dominio di un operatore è denso in H diremo che esso è densamente definito. Considereremo unicamente operatori densamente definiti. Operatori lineari Un operatore A si dice lineare se ha per dominio una varietà lineare e A(f + g) = Af + Ag, A(af) = a(af). Considereremo unicamente operatori lineari (con una sola eccezione). Proprietà delle operazioni Le operazioni A + B e aa godono di tutte le proprietà del calcolo tra numeri, compresa la commutatività aa = Aa se A è lineare. Il prodotto gode della proprietà associativa (AB)C = A(BC) = ABC. Il prodotto gode della proprietà distributiva rispetto al primo fattore (A + B)C = AC + BC. Se A è lineare (e il suo dominio comprende i codomini di B e C), gode anche della proprietà distributiva rispetto al secondo fattore A(B + C) = AB + AC. Il prodotto non gode in generale della proprietà commutativa. Se per due particolari operatori A e B si ha AB = BA, si dice che A e B commutano. Se A e B hanno inversi, anche AB ha inverso dato da (AB) 1 = B 1 A 1.

8 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 8 Commutatori Dati due operatori A e B il loro commutatore [ A,B ] è l operatore definito da (3) [ A,B ] = AB BA. Si verificano facilmente le seguenti proprietà formali dei commutatori (per la cui validità può essere necessario restringere il dominio di alcune espressioni che vi compaiono): [ ] [ ] (4.1) B,A = A,B, [ ] [ ] (4.2) ca,b = c A,B, [ ] [ ] [ ] (4.3) A + B,C = A,C + B,C, [ ] [ ] [ ] (4.4) AB,C = A B,C + A,C B, [[ ] ] [[ ] ] [[ ] ] (4.5) A,B,C + B,C,A + C,A,B = 0. Si noti la completa analogia con le proprietà formali delle parentesi di Poisson della meccanica classica. Operatori lineari continui Un operatore lineare continuo in 0 è continuo in tutto il suo dominio. Un operatore lineare L si dice limitato se esiste una costante C per cui (5) Lf C f per ogni f in D(L) o equivalentemente (6) g, Lf C f g per ogni f in D(L) e ogni g. Gli operatori lineari continui sono limitati e viceversa. Un operatore lineare densamente definito e continuo (limitato) può sempre e in modo unico essere esteso per continuità a tutto H. Supporremo sempre che tale estensione sia stata fatta. In uno spazio di Hilbert finitodimensionale tutti gli operatori lineari sono limitati.

9 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 9 Coniugato hermitiano di un operatore limitato Sia L un operatore lineare densamente definito e limitato (che pertanto può essere considerato ovunque definito per continuità). Per ogni vettore g, l espressione g, Lf è una funzione (funzionale) lineare continua di f. Per il teorema di Riesz Fréchet, esiste sempre un vettore h tale che g, Lf = h, f Si dimostra facilmente che h (ovviamente unico) è una funzione lineare continua di g e pertanto definisce ovunque un operatore lineare limitato L, detto coniugato hermitiano (o anche aggiunto) di L, che è tale che (7) g, Lf = L g, f Si ha evidentemente (L ) = L, (al) = a L, (L + M) = L + M, (ML) = L M. Nota Abbiamo usato lo stesso simbolo per indicare il coniugato hermitiano di un operatore e il coniugato complesso di un numero. Poiché il coniugato hermitiano dell operatore di moltiplicazione per un numero è l operatore di moltiplicazione per il numero coniugato complesso, la notazione non dà luogo a inconvenienti. Un altro simbolo spesso usato per il coniugato hermitiano di un operatore è (daga). Operatori hermitiani Un operatore lineare densamente definito S si dice hermitiano (o anche simmetrico) se (8) g, Sf = Sg, f per ogni f e g in D(S). Ovviamente un operatore limitato è hermitiano se e solo se coincide con il suo coniugato hermitiano e per esso la relazione (8) vale ovunque. Per un operatore hermitiano la condizione (6) per essere limitato si riduce a (9) f, Sf C f 2 per ogni f in D(S), cioè (10) C f 2 f, Sf C f 2 per ogni f in D(S). Se solo la prima (la seconda) disuguaglianza è soddisfatta, con C positivo, nullo o negativo, l operatore hermitiano si dice limitato inferiormente (superiormente); in particolare un operatore hermitiano si dice positivo se (11) f, Sf 0 per ogni f in D(S).

10 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 10 Aggiunto di un operatore non limitato Gli spazi di Hilbert che si considerano nell ambito della meccanica quantistica sono di regola infinitodimensionali, come ad esempio L 2 (R 3 ). Possono allora esistere operatori lineari non limitati che, anche se densamente definiti, non possono essere estesi per continuità a tutto lo spazio. Molti operatori di importanza fondamentale in meccanica quantistica, come ad esempio l operatore H in L 2 (R 3 ), sono appunto operatori lineari non limitati densamente definiti. Per un operatore lineare L anche non limitato ma densamente definito è possibile definire un operatore aggiunto L il cui dominio D (L ) è costituito da tutti i vettori g per cui vale la relazione (7) per ogni f appartenente a D (L). Operatori autoaggiunti Un operatore lineare A anche non limitato ma densamente definito si dice autoaggiunto se A = A (la condizione comprende anche D (A) = D (A )). Per un operatore autoaggiunto A vale la relazione (12) g, Af = Ag, f per ogni f e g in D(A). Un operatore hermitiano S può non essere autoaggiunto poiché è S S se D (S ) è un estensione propria di D (S). Tuttavia se l operatore hermitiano S è limitato D (S) e D (S ) coincidono con l intero spazio e S è anche autoaggiunto. Gli operatori hermitiani di interesse in meccanica quantistica se non limitati sono comunque densamente definiti e, di regola, sono tali che una loro estensione è autoaggiunta. Noi sottintenderemo sempre che tale estensione autoaggiunta, che è unica, sia stata fatta e, nei capitoli successivi, considereremo i termini hermitiano e autoaggiunto come sinonimi. L importanza degli operatori autoaggiunti in meccanica quantistica discende dal fatto che per essi valgono teoremi che permettono di associare all operatore una grandezza fisica.

11 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 11 Operatori isometrici e unitari Operatori isometrici Un operatore lineare I si dice isometrico se (13) If = f per ogni f in D(I) o equivalentemente (14) Ig, If = g, f per ogni f, g in D(I). Un operatore isometrico è limitato (con C = 1) e, se densamente definito, può essere esteso per continuità a tutto H. La condizione (14) di isometria si scrive anche (15) I I = 1. Nota Un operatore isometrico non può trasformare vettori distinti nel medesimo vettore ed è quindi sempre dotato di inverso I 1 che è pure isometrico. In uno spazio di Hilbert infinitodimensionale l inverso I 1 può non essere ovunque definito anche se l operatore I è ovunque definito. Operatori unitari Un operatore U isometrico, ovunque definito e dotato di inverso ovunque definito si dice unitario. Il suo inverso U 1 è anch esso unitario. Il confronto della relazione U 1 U = 1 con la relazione di isometria U U = 1 mostra che U 1 = U. Pertanto un operatore unitario gode di entrambe le proprietà (16.1) (16.2) U U = 1, U U = 1. Viceversa un operatore che goda di entrambe tali proprietà è unitario. Nota Un operatore isometrico ovunque definito il cui codominio sia l intero spazio di Hilbert ha necessariamente inverso ovunque definito e pertanto è unitario. Nota In uno spazio di Hilbert finitodimensionale ogni operatore isometrico è anche unitario.

12 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 12 OPERATORI DI PROIEZIONE Sia S un sottospazio. Allora ogni h H può essere scomposto in modo unico in due componenti h = f + g, f S, g H S. Il vettore f si dice proiezione di h su S ; posto f = P S h, P S è un operatore definito ovunque detto operatore di proiezione (o proiettore o proiezione) su S. Si ha evidentemente P H S = 1 P S. Se S = H, P H = 1; se S = [0], P [0] = 0. S è il set di tutti i P S h (cioè è il codominio di P S ); S è anche il set delle soluzioni dell equazione P S h = h; H S è il set delle soluzioni dell equazione P S h = 0. Proprietà e caratterizzazione dei proiettori L operatore P S ha le seguenti proprietà per ogni f, g H P S (f + g) = P S f + P S g, P S (af) = ap S f, g, P S f = P S g, f, P S (P S f) = P S f, cioè è lineare, hermitiano e idempotente. Un operatore E definito ovunque è un proiettore, cioè E = P S per un sottospazio S, se e solo se è hermitiano e idempotente, cioè g, Ef = Eg, f, E 2 = E. Si noti che la linearità di E non è fra le proprietà richieste e quindi segue da queste. Se E è un proiettore, anche 1 E lo è, e viceversa. Il sottospazio S è determinato in modo unico da E. Per ogni proiettore P (17) 0 f, P f f, f, cioè P è positivo e limitato da 1. Ogni proiettore, essendo limitato e hermitiano, è autoaggiunto.

13 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 13 Operazioni su proiettori Siano P S e P T due proiettori. Allora (18) (19) (20) l operatore P S P T è un proiettore se e solo se P S P T = P T P S, e in tale caso P S P T = P S T ; l operatore P S + P T è un proiettore se e solo se S T (ovvero P S P T = 0 e equivalentemente P T P S = 0), e in tale caso P S + P T = P S T ; l operatore P S P T è un proiettore se e solo se T S (ovvero P S P T = P T e equivalentemente P T P S = P T ), e in tale caso P S P T = P S T.

14 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 14 PROBLEMI AGLI AUTOVALORI Dato un operatore lineare L in uno spazio di Hilbert l equazione (21) Lf = lf dove l è un numero e f un vettore diverso da 0 si dice equazione agli autovalori dell operatore L. Se l, f è una coppia che soddisfa l equazione (21), l si dice autovalore di L e f autovettore di L appartenente (o corrispondente) all autovalore l. Per ogni operatore lineare L Lf = lf Lg = lg = L(af + bg) = l(af + bg), cioè combinazioni lineari di autovettori appartenenti al medesimo autovalore sono autovettori appartenenti a esso autovalore, cioè gli autovettori sono organizzati per varietà lineari (autovarietà, se chiuse autospazi) individuate dagli autovalori. Se a un autovalore corrisponde un autovarietà più che unidimensionale si dice che l autovalore è degenere. Nota Per distinguere l una dall altra le coppie autovalore autovettore e per indicare la corrispondenza tra autovalore e autovettore si usano indici. Se non c è degenerazione la notazione è del tipo Lf n = l n f n, con la quale si rinuncia a denotare il fattore arbitrario sempre presente in f n. In caso di degenerazione sono possibili due notazioni, Lf n = l n f n (può essere l n = l m per n m) oppure Lf nl = l n f nl (si intende che l n l m per n m), dove, per un dato n, l corre, ad esempio, su un set di vettori linearmente indipendenti nell autovarietà corrispondente a l n.

15 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 15 Problema agli autovalori di operatori hermitiani Per un operatore hermitiano S = f, Sf = f, sf = s f, f Sf = sf = = Sf, f = sf, f = s f, f = (s s ) f, f = 0, e quindi gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali. Ancora per un operatore hermitiano S Sf = s 1 f = g, Sf = g, s 1 f = s 1 g, f = Sg = s 2 g = Sg, f = s 2 g, f = s 2 g, f = (s 1 s 2 ) g, f = 0 e quindi autovettori di un operatore hermitiano appartenenti ad autovalori distinti sono ortogonali. In conclusione, per un operatore hermitiano, gli autovalori sono reali, gli autovettori si organizzano per varietà lineari mutuamente ortogonali individuate dagli autovalori. Se l operatore hermitiano è un proiettore P S si ha P S f = f per ogni f S, P S f = 0 per ogni f H S, cioè gli autovalori di P S sono 1 e 0 e i corrispondenti autospazi sono rispettivamente S e H S. Nota Si possono sempre scegliere autovettori linearmente indipendenti in modo che costituiscano un sistema ortonormale, cioè, f n, f n = δ nn nella notazione Sf n = s n f n, oppure, f n l, f nl = δ nn δ ll nella notazione Sf nl = s n f nl.

16 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 16 Problema agli autovalori di operatori isometrici Per un operatore isometrico I If = i f = f, f = If, If = i f, i f = i 2 f, f = i 2 = 1, cioè gli autovalori di un operatore isometrico sono di modulo 1. Inoltre (I I = 1) If = i f = f = I i f = i I f = I f = i f, cioè l aggiunto di un operatore isometrico ha gli stessi autovettori dell operatore e autovalori complessi coniugati. Ancora If = i 1 f = g, If = g, i 1 f = i 1 g, f = = (i 1 i 2 ) g, f = 0 Ig = i 2 g = I g = i 2 g = I g, f = i 2 g, f = i 2 g, f e quindi autovettori di un operatore isometrico appartenenti ad autovalori distinti sono ortogonali. In conclusione, per un operatore isometrico, gli autovalori sono di modulo 1, gli autovettori si organizzano per varietà lineari mutuamente ortogonali individuate dagli autovalori.

17 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 17 RAPPRESENTAZIONI Un set {e i } ortonormale ( e j, e i = δ ij ) e completo in H, che si dice anche base ortonormale, individua una rappresentazione. Rappresentativo di un vettore Per ogni f, secondo la proprietà (1) della base ortonormale, scriviamo f = i f ie i, dove f i = e i, f. La corrispondenza, ovviamente biunivoca, f {f i } dipende dalla scelta della base. Le componenti f i di f, (22) f i = e i, f, costituiscono il rappresentativo di f nella rappresentazione individuata dalla base {e i }. Condizione di nullità di un vettore La condizione f i e i, f = 0, per ogni i, è equivalente alla condizione f = 0. Prodotto scalare In termini delle componenti, secondo il teorema espresso dalla realzione (2), il prodotto scalare si scrive (23) g, f = i g i f i. Nota L introduzione di una base ortonormale e della relativa rappresentazione trasforma qualsiasi spazio di Hilbert nello spazio l n oppure l 2 secondoché lo spazio è n dimensionale o infinitodimensionale. Nota In ciascuno degli spazi concreti l n e l 2 la rappresentazione associata alla particolare base ortonormale definita da (e i ) j = δ ij è tale che la j esima componente di un vettore è uguale al j esimo elemento della n upla o della successione associata al vettore, cioè, se f = {f i }, (f) j = f j. Una base cosiffatta è detta base canonica (o brevemente autobase) di l n o l ; 2 la rappresentazione corrispondente può essere detta autorappresentazione. Anche negli spazi concreti L 2 (R) e L 2 (R 3 ) si può considerare un autorappresentazione, ma occorrerà prima generalizzare il concetto di rappresentazione.

18 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 18 Rappresentativo di un operatore Sia L un operatore lineare densamente definito e limitato, definito ovunque per continuità. Posto g = Lf, usando la definizione (22) e le linearità di L e del prodotto scalare nel secondo fattore, si può scrivere g i = e i, Lf = e i, L f je j = e i, f jle j = e i, Le j f j, j j j cioè (24) g i = L ijf j dove L ij = e i, Le j. j La corrispondenza, ovviamente biunivoca, L {L ij } dipende dalla scelta della base. Gli elementi di matrice L ij di L, (25) L ij = e i, Le j costituiscono il rappresentativo di L nella rappresentazione individuata dalla base {e i }. Condizioni di nullità di un operatore Sempre con riferimento a un operatore limitato ovunque definito, la condizione L ij e i, Le j = 0, per ogni i, j, è equivalente alla condizione L = 0. La condizione L ii e i, Le i = 0, per ogni i, equivale all annullarsi dei soli elementi di matrice diagonali di L e pertanto non implica L = 0. Tuttavia la condizione f, Lf = 0, per ogni f H, implica L = 0. Infatti, posto f = k f ke k, l ultima condizione si scrive k f ke k, L l f le l kl f k f l e k, Le l = 0. Scegliendo f = e i + e j (cioè f k = δ ik + δ jk ) e f = e i + i e j (cioè f k = δ ik + i δ jk ) si ottiene nei due casi e quindi e i, Le j = 0. kl (δ ik + δ jk )(δ il + δ jl ) e k, Le l = e i, Le j + e j, Le i = 0, kl (δ ik i δ jk )(δ il + i δ jl ) e k, Le l = i ( e i, Le j e j, Le i ) = 0,

19 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 19 Operazioni sugli operatori In termini di elementi di matrice le operazioni sugli operatori si scrivono (26) (27) (28) (aa) ij = aa ij, (A + B) ij = A ij + B ij, (AB) ij = k A ikb kj. Le espressioni al secondo membro delle (23), (24) e (28) possono essere interpretate come prodotti secondo la regola righe per colonne rispettivamente di una riga per una colonna, di una matrice quadrata per una colonna e di una matrice quadrata per una matrice quadrata. Operatore aggiunto Gli elementi di matrice dell operatore aggiunto sono dati da (29) (L ) ij = L ji. La condizione di hermiticità di un operatore S si scrive quindi (30) S ij = S ji. Condizioni di isometria e unitarietà In termini degli elementi di matrice le condizioni (31) U jiu jk = δ ik, j }{{} (o.n.tà delle colonne) j U iju kj = δ ik }{{} (o.n.tà delle righe) equivalgono all isometria (la prima) e all unitarietà (entrambe). Rappresentativo di un operatore nella rappresentazione dei suoi autovettori Sia L un operatore lineare tale che esista un sistema completo {u i } di autovettori (normalizzati) mutuamente ortogonali. Introdotta la base {e i = u i }, il rappresentativo di L è dato da L ij = e i, Le j = u i, Lu j = l i δ ij. Dunque in tale base la matrice rappresentativa è diagonale e i suoi elementi diagonali sono gli autovalori. Per questo motivo si usa spesso l espressione "diagonalizzare l operatore L" per "risolvere il problema agli autovalori dell operatore L".

20 2/1 SPAZI DI HILBERT 08/09 20 Cambiamenti di rappresentazione Accanto alla "vecchia" base ortonormale {e i } si consideri una "nuova" base ortonormale {ẽ i }. Definiamo un operatore lineare α tale che (32) ẽ i = α e i. La condizione di ortonormalità della nuova base è evidentemente l isometria di α (34) α α = 1. La completezza della nuova base (assunta l ortonormalità) implica δ ij = e j, e i = ẽ k, e j ẽ k, e i = α e k, e j α e k, e i k k = e k, α e j e k, α e i = α e j, α e i = e j, αα e i, k cioè (35) αα = 1. L operatore α è quindi unitario. Conviene introdurre anche la relazione inversa alla (32) (36) e i = β ẽ i, dove (37) β = α 1 = α. Nuovi rappresentativi I rappresentativi nella nuova base, f j di un vettore f e L kl di un operatore L, sono legati ai rappresentativi nella vecchia base dalle relazioni f i = ẽ i, f = α e i, f = e i, βf = (βf) i = j β ijf j L ij = ẽ i, L ẽ j = α e i, L α e j = e i, βlα e j = (βlα) ij = kl β ikl kl α lj. Le matrici β ij e α ij sono i rappresentativi di β e α nella vecchia base e sono date da β ij = ẽ i, e j, α ij = e i, ẽ j.