11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 1 IRRIDUCIBILITÀ

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1 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 1 IRRIDUCIBILITÀ Sistemi irriducibili di operatori in uno spazio di Hilbert Un insieme o sistema di operatori {A, B,...} in uno spazio di Hilbert H si dice irriducibile se non esiste alcun sottospazio proprio di H invariante per tutti gli operatori del sistema. Richiami sui sottospazi invarianti I sottospazi generati da un qualunque sottoinsieme degli autovettori propri e impropri di un operatore A, cioè gli autospazi, i loro sottospazi e le somme dirette di quelli e di questi, sono invarianti per A. Se due operatori A e B commutano, ogni autospazio (ma non ogni sottospazio invariante) di uno è invariante per l altro (e ovviamente anche le somme dirette di autospazi di uno sono invarianti per l altro). Se H è un sottospazio invariante di un operatore A autoaggiunto anche il suo complemento ortogonale H = H H è invariante per A. I sottospazi generati da un qualunque sottoinsieme degli autovettori di un operatore autoaggiunto A sono tutti i sottospazi invarianti di A. Nota L applicazione dell aggettivo irriducibile al sistema di operatori è di uso corrente. Forse l espressione "H è irriducibile rispetto al sistema di operatori" traduce meglio il concetto. Nota Il concetto di sistema irriducibile di operatori e quello di sistema esauriente di operatori autoaggiunti commutanti sono del tutto distinti. Anzi, un sistema di operatori autoaggiunti commutanti (esauriente o no) non è mai irriducibile, poiché tutti gli autospazi comuni e la loro somme dirette (facendo riferimento per semplicità al caso di operatori con solo spettro discreto) sono invarianti.

2 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 2 Lemma di Schur In uno spazio finitodimensionale Sia A, B,... un sistema irriducibile di operatori; sia Z un operatore commutante con tutti gli elementi del sistema irriducibile. Allora Z è multiplo dell identità. Infatti Z ha almeno un autovalore e un corrispondente autospazio. Per la commutatività di Z con A, B, C,..., tale autospazio è invariante per tutti gli operatori del sistema. Esso coincide necessariamente con l intero spazio, cioè Z è multiplo dell identità. In uno spazio infinitodimensionale (formulazione e dimostrazione disinvolte) Sia A, B, C,... un sistema irriducibile di operatori; sia Z un operatore, che supponiamo autoaggiunto, commutante con tutti gli elementi del sistema irriducibile. Allora Z è multiplo dell identità. Supponiamo che Z abbia solo o anche spettro continuo, Z u l (k) = z(k) u l (k). Per la commutatività di Z con A, B, C,..., Z ( A u l (k) ) = A Z u l (k) = z(k) ( A u l (k) ) e quindi A u l (k) = m a l m(k) u m (k). Consideriamo il sottospazio generato dagli autovettori impropri appartenenti all intervallo (k 1, k 2 ), cioè il sottospazio composto dai vettori propri del tipo Allora l k2 k 1 dk α l (k) u l (k). k2 k2 k2 A dk α l (k) u l (k) = dk α l (k)a u l (k) = l k l 1 k m 1 = m k2 k 1 dk β m (k) u m (k), ( ) dk am(k) l α l (k) u m (k) k 1 e quindi il sottospazio considerato è invariante per A e analogamente per B, C,.... Pertanto Z non può avere spettro continuo. Allora Z ha certamente almeno un autovalore proprio e un corrispondente autospazio e si può ripetere l argomento usato nel caso finitodimensionale. l

3 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 3 Irriducibiltà del sistema {ˆx, ˆk} in L 2 (R) Sia, al solito, ˆxf(x) = xf(x), ˆkf(x) = i d dx f(x). I sottospazi di L 2 (R) invarianti rispetto a ˆx sono gli insiemi E (E) degli elementi di L 2 (R) il cui supporto è contenuto in un dato sottoinsieme chiuso E di R. D altra parte exp ( ia( id/dx) ) f(x) = 0 n 1 d n n! an n f(x) = f(x + a) dx Poiché un sottospazio invariante per un operatore è invariante anche per qualsiasi sua funzione, ne segue che E (E) è invariante per ˆk se e solo se E = R oppure E = insieme vuoto, cioè E (E) = L 2 (R) o rispettivamente E (E) = [0. Il sistema {ˆx, ˆk} è pertanto irriducibile in L 2 (R). Ovviamente la stessa affermazione vale per il sistema {ˆx, ˆp}. Irriducibilità del sistema {ŝ x, ŝ y, ŝ z } in l 2s+1 Siano ŝ x, ŝ y, ŝ z i soliti operatori di spin in l 2s+1. I sottospazi invarianti rispetto a ŝ z sono i sottospazi E (e) = (e) m E m, dove E m sono gli autospazi (unidimensionali) di ŝ z e e è un sottoinsieme di {s, s 1,..., s}. Ovviamente, E (e) è invariante per ŝ + e ŝ (e a loro volta per ŝ x e ŝ y ) se e solo se e = {s, s 1,..., s} oppure e = insieme vuoto, cioè E (e) = l 2s+1 o rispettivamente E (e) = [0. Il sistema {ŝ x, ŝ y, ŝ z } è pertanto irriducibile in l 2s+1.

4 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 4 Teorema sull irriducibilità in uno spazio prodotto Sia {A (1) } un sistema irriducibile di operatori nello spazio di Hilbert H (1) e {A (2) } un sistema irriducibile di operatori nello spazio di Hilbert H (2). Allora, considerato lo spazio di Hilbert H = H (1) H (2), il sistema di operatori in H {{A (1) } I (2), I (1) {A (2) }} è irriducibile. La dimostrazione del teorema è data nell appendice. Implicazioni del teorema Dal teorema e dai risultati precedenti segue che il complesso degli operatori fondamentali dei costituenti elementari di un sistema composto costituisce un sistema irriducibile. Poiché gli operatori fondamentali di ciascun costituente elementare sono anche grandezze fisiche del costituente elementare, se tutte le grandezze fisiche dei costituenti elementari sono anche grandezze fisiche del sistema composto, gli operatori che a queste corrispondono costituiscono un sistema irriducibile.

5 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 5 Teorema di Stone e von Neumann Se {ˆx, ˆk} e {ˆx, ˆk } sono due sistemi di operatori che agiscono rispettivamente negli spazi di Hilbert H e H, che soddisfano rispettivamente alle regole di commutazione [ˆx, ˆk = i e [ˆx, ˆk = i, che sono ciascuno irriducibile nel rispettivo spazio di Hilbert, allora esiste un isomorfismo H H tale che T T 1 ˆx = T ˆx T 1, ˆk = T ˆk T 1. T è determinato a meno di un fattore numerico di modulo 1. La dimostrazione del teorema è data nell appendice. Un teorema analogo vale ovviamente se ˆk e ˆk sono sostituiti da ˆp e ˆp. Osservazione L esistenza in uno spazio di Hilbert H di due operatori ˆx e ˆk con la regola di commutazione [ˆx, ˆk = i implica che H è infinitodimensionale. Teorema analogo per gli operatori di spin Se {ŝ x, ŝ y, ŝ z } e {ŝ x, ŝ y, ŝ z} sono due sistemi di operatori che agiscono rispettivamente negli spazi di Hilbert H e H di uguali dimensioni, che soddisfano rispettivamente alle regole di commutazione e [ŝx, ŝ y = iŝz, [ŝ x, ŝ y = iŝ z, [ŝy, ŝ z = iŝx, [ŝ y, ŝ z = iŝ x, [ŝz, ŝ x = iŝy [ŝ z, ŝ x = iŝ y, che sono ciascuno irriducibile nel rispettivo spazio di Hilbert, allora esiste un isomorfismo H H tale che T T 1 ŝ x = T ŝ x T 1, ŝ y = T ŝ y T 1, ŝ z = T ŝ z T 1. T è determinato a meno di un fattore numerico di modulo 1. La dimostrazione del teorema è data nell appendice. Un teorema analogo vale evidentemente se {ŝ x, ŝ y, ŝ z } e {ŝ x, ŝ y, ŝ z} sono sostituiti da {ŝ - x, ŝ - y, ŝ - z} e {ŝ - x, ŝ - y, ŝ - z }. Terminologia Gli operatori {ˆx, ˆp} o {ŝ - x, ŝ - y, ŝ - z} in H e gli operatori {ˆx, ˆp } o {ŝ - x, ŝ - y, ŝ - z } costituiscono realizzazioni distinte degli operatori fondamentali in spazi di Hilbert distinti.

6 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 6 Sistemi composti Sia S un sistema composto dai sistemi componenti elementari A e B. Consideriamo per ciascuno dei sistemi componenti distinte realizzazioni { ˆf A,i }, { ˆf B,j } e { ˆf A,i }, { ˆf B,j } degli operatori fondamentali in distinti spazi di Hilbert H A, H B e H A, H B. Allora gli isomorfismi T A e T B tra gli spazi di Hilbert relativi a ciascun sistema componente generano un isomorfismo T S = T A T B tra gli spazi di Hilbert H S = H A H B e H S = H A H B con la proprietà ˆf A,i I B = T S ˆfA,i I B T 1 S, I A ˆf B,j = T S I A ˆf B,j T 1 S. Quanto affermato sopra si verifica facilmente e si estende ai sistemi composti da più di due componenti elementari, compresa la particella nello spazio tridimensionale come composta dai tre movimenti lungo x, y e z.

7 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 7 DESCRIZIONI EQUIVALENTI DI UN SISTEMA FISICO Per un sistema fisico arbitrario, consideriamo due realizzazioni distinte {ˆx α, ˆp α, ŝ - α} e {ˆx α, ˆp α, ŝ - α } degli operatori fondamentali negli spazi di Hilbert H e H rispettivamente. Consideriamo la corrispondenza tra H e H ψ = T ψ, ψ = T 1 ψ istituita dall isomorfismo T. Considerata una qualsiasi grandezza fisica G({x, p, s}), facciamo corrispondere ad essa l operatore Ĝ = G({ˆx, ˆp, ŝ}) in H e l operatore Ĝ = G({ˆx, ˆp, ŝ }) in H. Si ha Ĝ = G({T ˆxT 1, T ˆpT 1, T ŝt 1 }) = T G({ˆx, ˆp, ŝ}) T 1 = T Ĝ T 1 e, poiché a ogni effetto si può scrivere ϕ = ϕ T 1, ϕ Ĝ ψ = ϕ Ĝ ψ. Inoltre, posto U(t) = exp ( i ħĥt), U (t) = exp ( i ħĥ t ), si ha U (t) = T U(t) T 1 e pertanto ( ) U (t) ψ = T U(t) ψ. È allora ovvio che le descrizioni del sistema considerato in H e in H sono del tutto equivalenti.

8 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 8 FORMA ALTERNATIVA DEL PRINCIPIO E Le considerazioni che precedono mostrano che il principio E, che definisce lo spazio di Hilbert e gli operatori fondamentali dei sistemi elementari, può essere posto nella forma seguente. Principio E: sistemi elementari a) A una particella senza struttura interna è associato uno spazio di Hilbert H infinitodimensionale nel quale sono definiti sei operatori ˆx, ŷ, ẑ, ˆp x, ˆp y, ˆp z che soddisfano alle regole di commutazione [ˆxi, ˆx j = 0, [ˆpi, ˆp j = 0, [ˆxi, ˆp j = iħδij e che costituiscono un sistema irriducibile in H. Alle coordinate cartesiane x, y, z della particella corrispondono gli operatori ˆx, ŷ, ẑ. Alle componenti del momento lineare p x, p y, p z della particella corrispondono gli operatori ˆp x, ˆp y, ˆp z. Gli operatori corrispondenti alle altre grandezze fisiche della particella sono funzioni (autoaggiunte) di ˆx, ŷ, ẑ, ˆp x, ˆp y, ˆp z. b) A uno spin di valore s è associato uno spazio di Hilbert H (2s + 1) dimensionale nel quale sono definiti tre operatori ŝ x, ŝ y, ŝ z che soddisfano alle regole di commutazione [ŝx, ŝ y = iħŝz, [ŝy, ŝ z = iħŝx, [ŝz, ŝ x = iħŝy e che costituiscono un sistema irriducibile in H. Alle componenti s x, s y, s z dello spin corrispondono gli operatori ŝ x, ŝ y, ŝ z. Gli operatori corrispondenti alle altre grandezze fisiche del sistema di spin sono funzioni (autoaggiunte) di ŝ x, ŝ y, ŝ z. Nota Il principio C relativo ai sistemi composti rimane inalterato.

9 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 9 APPENDICE Teorema sull irriducibilità in uno spazio prodotto Sia {A (1) } un set irriducibile di operatori nello spazio di Hilbert H (1) e {A (2) } un set irriducibile di operatori nello spazio di Hilbert H (2). Allora, considerato lo spazio di Hilbert H = H (1) H (2), il set di operatori in H {{A (1) I (2) }, {I (1) A (2) }} è irriducibile. Ovvero, nell ipotesi che non esistano in H (1) sottospazi propri invarianti per tutti gli A (1) e non esistano in H (2) sottospazi propri invarianti per tutti gli A (2), non esistono in H sottospazi propri invarianti per tutti gli A (1) I (2) e I (1) A (2). Sottospazi Siano { e (1) i } e { e (2) j } basi ortonormali in H (1) e H (2) rispettivamente. Considerato un sottospazio H s di H, i suoi elementi si scrivono ij s ij e (1) i e (2) j, dove combinazioni lineari di matrici s ij sono ancora matrici s ij. Per ogni j i vettori i s ij e (1) i costituiscono un sottospazio H (1) j di H (1), per ogni i i vettori j s ij e (2) j costituiscono un sottospazio H (2) i di H (2). Lemma Se H s è un sottospazio proprio di H, almeno uno dei sottospazi H (1) j, H (2) i è un sottospazio proprio del rispettivo spazio.

10 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 10 Dimostrazione del lemma Supponiamo per assurdo che tutti i sottospazi H (1) j, H (2) i siano non propri, cioè, per ogni j, H (1) j = H (1) oppure H (1) 0 e, per ogni i, H (2) i = H (2) oppure H (2) 0. Supponiamo che per qualche i sia H (2) i = H (2) 0 ; allora, per quegli i s ij = 0 per ogni j, ovvero, per ogni j s ij = 0 per quegli i, quindi, per ogni j, H (1) j H (1), quindi, per ogni j, H (1) j = H (1) 0, quindi, per ogni j, s ij = 0 per ogni i, cioè Allora, per l ipotesi assurda, deve essere, per ogni i, H (2) i = H (2) ; ne segue che per ogni vettore di H possiamo scrivere ij c ij e (1) i e (2) j = i e(1) i c ij e (2) j j H s = H 0, contrariamente all ipotesi del lemma. = i e(1) i s ij e (2) j j = s ij e (1) ij i e (2) j, cioè H s = H, contrariamente all ipotesi del lemma. Dimostrazione del teorema Supponiamo per assurdo che esista un sottospazio proprio H s di H invariante per l azione di tutti gli operatori A (1) I (2), I (1) A (2). Sia H s costituito dai vettori ij s ij e (1) i e (2) j. Poiché H s è invariante per I (1) A (2), si ha da cui per ogni i I (1) A (2) ij s ij e (1) i e (2) j = e d altra parte ij s ij e (1) i e (2) j ij s ij e (1) i A (2) e (2) j, j s ij e (2) j s ij A (2) e (2) j j = e d altra parte A (2) s ij e (2) j j, e quindi ogni sottospazio H (2) i è invariante per tutti gli A (2). Analogamente, ogni sottospazio H (1) j è invariante per tutti gli A (1). Per il lemma, uno dei sottospazi H (1) j, H (2) i è sicuramente proprio, contrariamente all ipotesi del teorema.

11 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 11 Teorema di Stone e von Neumann Se {ˆx, ˆk} e {ˆx, ˆk } sono due sistemi di operatori che agiscono rispettivamente negli spazi di Hilbert H e H, che soddisfano rispettivamente alle regole di commutazione [ˆx,ˆk = i e [ˆx,ˆk = i, che sono ciascuno irriducibile nel rispettivo spazio di Hilbert, allora esiste un isomorfismo H H tale che T T 1 ˆx = T ˆx T 1, ˆk = T ˆk T 1. T è determinato a meno di un fattore numerico di modulo 1. Dimostrazione (disinvolta) Nello spazio H consideriamo gli operatori a = 1 2 (αˆx + i α ˆk), a + = 1 2 (αˆx i α ˆk), per i quali si ha [ a,a + = 1, [ a + a,a + = a +, [ a + a,a = a. Gli autovettori e autovalori di a + a costituiscono catene del tipo autovettori u 0, u 1,..., u n,... autovalori 0, 1,..., n,... definite da a u 0 = 0, a + u n = n + 1 u n+1, da cui segue anche a u n = n u n 1, e tutti gli autovettori di una catena sono normalizzati supponendo u 0 normalizzato. Poiché ˆx u n = α 1 1 ( n + 1 un+1 + ) n u n 1, 2 ˆk u n = iα 1 ( n + 1 un+1 ) n u n 1, 2 il sottospazio generato da una catena di autovettori è invariante per ˆx, ˆp. Per l assunta irriducibilità del set ˆx, ˆk, esiste quindi una sola catena. Per il carattere autoaggiunto dell operatore a + a gli autovettori { u n } dell unica catena costituiscono un set ortonormale completo.

12 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 12 Nello spazio H costruiamo analogamente (usando lo stesso α) un set ortonormale completo { u n } per il quale ˆx u n = 1 α 1 2 ( n + 1 un+1 + n u n 1 ), ˆk u n = iα 1 2 ( n + 1 un+1 n u n 1 ), La corrispondenza lineare biunivoca H H definita da T T 1 u n = T u n è ovviamente un isomorfismo per il quale ˆx = T ˆx T 1, ˆk = T ˆk T 1. T è determinato a meno di una fase arbitraria conseguenza delle fasi arbitrarie in u 0 e u 0. Nota Si dimostra facilmente che, se S è un isomorfismo altrimenti costruito per il quale ˆx = S ˆx S 1, ˆk = S ˆk S 1, S differisce da T al più per un fattore di fase. Infatti, posto v n = S u n, si ha a v 0 = SaS 1 S u 0 = Sa u 0 = 0, e quindi v 0 = exp(ic) u 0 ; inoltre a + v n = Sa + S 1 S u n = Sa + u n = n + 1 S u n+1 = n + 1 v n+1. Pertanto v n = exp(ic) u n e quindi S = exp(ic) T.

13 11/3 IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT 10/11 13 Teorema analogo per gli operatori di spin Se {ŝ x, ŝ y, ŝ z } e {ŝ x, ŝ y, ŝ z } sono due sistemi di operatori che agiscono rispettivamente negli spazi di Hilbert H e H di uguali dimensioni, che soddisfano rispettivamente alle regole di commutazione [ŝx, ŝ y = iŝz, [ŝy, ŝ z = iŝx, [ŝz, ŝ x = iŝy e [ŝx, ŝ y = iŝ z, [ŝy, ŝ z = iŝ x, [ŝz, ŝ x = iŝ y, che sono ciascuno irriducibile nel rispettivo spazio di Hilbert, allora esiste un isomorfismo H H tale che T T 1 ŝ x = T ŝ x T 1, ŝ y = T ŝ y T 1, ŝ z = T ŝ z T 1. T è determinato a meno di un fattore numerico di modulo 1. La dimostrazione è analoga a quella data per il teorema di Stone e von Neumann. I due spazi di Hilbert H e H hanno necessariamente dimensioni finite.