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1 Logica matematica

2 12. Le date possono essere scritte in forma numerica usando le otto cifre. Per esempio, il 19 gennaio 2005 può essere scritto come In quale anno cadrà la prossima data nella quale tutte le otto cifre saranno differenti fra di loro? A) 2145, B) 2456, C) 2345, D) 2134, E) 2017 Soluzione: Andiamo per esclusione. Siccome l anno più vicino è 2017, cominciamo con quest ultimo. Dobbiamo escludere i giorni e mesi dove appaiono le cifre 2, 0, 1, 7.

3 Non ci possono essere i mesi 01, 02,..., 12 quindi questa opzione è da escludere. Nel caso 2134 sono ammessi i mesi 05, 06,..., 09, pero non rimangono alternative per i giorni. Nel caso 2345 possiamo per esempio scegliere come mese 09 e come giorno 16, quindi la C) è la soluzione. 13. Due guardie addette alla sicurezza, Davide e Giovanni, fanno la ronda in una base aerea. Davide passa davanti all ingresso principale ogni 8 minuti. Giovanni passa davanti all ingresso principale ogni 15 minuti. Ciascuno ha iniziato il proprio giro all inizio del turno. Quanto tempo passerà prima che si incontrino nuovamente

4 davanti al cancello principale? A) 2 ore e 30 minuti, B) 1 ora e 10 minuti, C) 2 ore e 0 minuti, D) 1 ora e 0 minuti, E) 3 ore e 0 minuti. Soluzione: Il numero di minuti deve essere il numero più piccolo divisibile per 8 e 15, o in altre parole, il minimo comune multiplo. In questo caso è 8 15 = 120 min oppure 2 ore, il che significa che la C) è la risposta cercata. 14. Tommaso ha ripartito del denaro fra i suoi tre figli secondo la proporzione 5 : 3 : 2. Successivamente ha dato altri 6 euro al figlio che inizialmente ne aveva ricevuti meno. Questo ha comportato che il denaro è stato ripartito in una

5 quota maggiore e due quote inferiori di eguale ammontare. Quanto denaro Tommaso ha dato in totale ai suoi figli? A) 66 euro, B) 20 euro, C) 60 euro, D) 36 euro, E) 26 euro Soluzione: Introducendo la incognita x possiamo dire che le quote originali sono 5x : 3x : 2x. Poi sommiamo 6 euro alla quota 2x per ottenere una quota uguale a 3x. La somma ottenuta non può essere uguale a 5x, perché altrimenti otterremmo due quote maggiori ed una inferiore, il che è contrario alle premesse.

6 Quindi vale l uguaglianza 3x = 2x + 6, oppure x = 6. Questo implica che in totale il padre ha dato 5x + 3x + 2x + 6 = 66 euro. La risposta A) è quella corretta.

7 15. Ritagliando lungo le linee non tratteggiate l immagine qui riportata, per poi ripiegare i lati lungo le linee tratteggiate ed incollarne gli angoli, un foglio di cartoncino può essere utilizzato per costruire una scatola priva di coperchio.

8 Il foglio di cartoncino misura circa 30 cm x 21 cm. Qual è la capienza approssimativa della scatola ottenuta da tale foglio di cartoncino, con una profondità di 5 cm? A) cm 3, B) 2000 cm 3, C) 2100 cm 3, D) 2200 cm 3 E) 1100 cm 3 Soluzione: La lunghezza della scatola ottenuta è 20 cm e la larghezza è 11 cm. Il volume è dato da Quindi E) = 1100 cm 3.

9 16. Maria sta arredando la cucina e vorrebbe inserire dei mobili componibili lungo l intera parete ed includere almeno due cassetti. La parete misura 3 metri e Maria ha intenzione di sfruttarne tutta la lunghezza. Nel catalogo di cucine componibili sono disponibili i seguenti modelli di mobili componibili:

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11 Qual è la combinazione più economica che si può montare lungo l intera parete? A) 650, B) 540, C) 590, D) 580, E) 680 Soluzione: Per paragonare i prezzi dei mobili rispetto alla lunghezza è utile calcolare i prezzi per unità di lunghezza (qui scegliamo come unità di misura /cm).

12 Mobile nr Prezzo per cm Confrontando i prezzi/cm dei mobili nr.1, nr.2 e nr.3. si vede che è opportuno scegliere solo un mobile di tipo 2 perché un mobile di tipo 1 non basta, essendo fornito di un solo cassetto. I restanti mobili si scelgono fra i mobili nr.3 e nr.4 (se possibile) perché il mobile nr.5 costa ovviamente troppo.

13 Però il mobile nr.3 non permette una combinazione con il mobile nr.4 in modo tale da coprire tutta la parete. Rimane quindi solo il mobile nr.4 come scelta possibile. Alla fine dobbiamo sommare i prezzi = 580. Risposta D). 17. Dieci anni fa a Pietro sono stati lasciati in eredità tre quadri antichi. Dopo averli fatti valutare da un antiquario una prima volta quando li ha ricevuti, ha deciso di farli valutare nuovamente ora, come mostrato da questa tabella:

14 Quale dei seguenti grafici a barre mette a confronto correttamente l aumento PERCENTUALE del valore di ciascun quadro da quando è stato valutato dieci anni fa ad oggi?

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16 Soluzione: Qui è utile rappresentare l aumento in %. Quadro Aumento % Le tre sorelle ( )/5000 = 0.8 (80%) Il dì di festa ( )/3600 = 0.75 (75%) La tempesta ( )/2000 = 0.6 (60%) Quindi valgono le proporzioni 80% : 75% : 60%.

17 Notando che 80%-75% = 5% è tre volte la differenza 75% - 60% = 15%, si trova che la risposta giusta è la A). 18. Nell atrio di un hotel è stato appeso al soffitto un dado gigante che ruota in senso antiorario (visto dal basso) attorno ad un asse verticale centrale. Su ogni faccia del dado i puntini sono in rilievo. Il dado in questione è un dado normale (vale a dire che la somma dei puntini sulle facce opposte è 7). Quando lo si guarda lateralmente da una determinata direzione il dado appare come mostrato nella figura sottostante:

18 Davanti 3 Dietro 4 Tabella 1 Sopra 1 Sotto 6 Sinistra 2 Destra 5 Quale delle seguenti immagini corrisponde a ciò che si vede dalla stessa direzione dopo che il dado ha compiuto una rotazione di un quarto?

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20 Soluzione: La soluzione C) si trova dalla tabella 1 sopra tenendo conto del fatto che il senso antiorario visto da sotto diventa senso orario visto da sopra. 19. Durante uno spettacolo un prestigiatore ha ripiegato un pezzo di carta sottilissimo in modo tale da farlo apparire al pubblico come un triangolo rettangolo con il lato maggiore lungo il doppio del lato minore.

21 Quale delle seguenti figure è l unica che NON può essere tale triangolo rettangolo quando il pezzo di carta viene aperto? Risposta esatta A)

22 20. Una gru a braccio fisso che opera nella banchina di un porto si muove lungo un binario semicircolare. Essa può ruotare descrivendo un cerchio completo, scorrere lungo il binario e muovere il suo gancio di sollevamento verso l interno o l esterno. Nei diagrammi sotto riportati, la linea interna descrive il percorso effettuato dalla gru, mentre la linea esterna ne rappresenta il raggio d azione. In quale dei seguenti diagrammi la linea esterna rappresenta il raggio d azione della gru? Ai punti estremi del binario il raggio d azione della gru è un cerchio avente lo stesso raggio dei punti interni del binario. Quindi la risposta esatta è data nella figura A)

23 Il problema 21. delle aiuole è elementare. 22. Chiara ed Ilaria vanno a correre regolarmente seguendo due percorsi circolari in un parco. Chiara (X) corre lungo il percorso circolare interno, mentre Ilaria (Y) corre nella direzione opposta seguendo il percorso circolare esterno, il quale è lungo il doppio di quello interno. Chiara corre ad una velocità di 3 m/s ed Ilaria ad una velocità di 4 m/s.

24 Se entrambe iniziano a correre nei punti indicati nell immagine qui sopra e, se Chiara ha raggiunto il punto P nel suo primo giro, quale punto ha raggiunto Ilaria? A) Punto Q, B) Punto S, C) Punto R, D) Punto T, E) Punto U

25 Soluzione: Sia L la lunghezza dello cerchio interno. Quando Chiara ha raggiunto il punto P ha percorso uno spazio di lunghezza ΔX=3/4 L. Se ΔY denota lo spazio percorso da Ilaria nello stesso tempo, vale la proporzione ΔY : ΔX = 4 : 3, per cui ΔY = 4/3 ΔX = L. Quindi Ilaria ha percorso una lunghezza L sul cerchio esterno il quale è lungo 2L. Possiamo concludere che ha percorso la metà del cerchio esterno che corrisponde al punto S nella figura (risposta B)).

26 Un sito divertente per allenarsi in logica

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