Lezione 14 Maggio 17

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1 PSC: Progettazione di sistemi di controllo III Trim Lezione 14 Maggio 17 Docente: Luca Schenato Stesori: Comin, Dal Bianco,Fabris, Parmeggiani 14.1 Controllo ottimo LQG Consideriamo il sistema lineare: x k+1 = Ax k + Bu k + w k y k = Cx k + v k (14.1) dove w k N(0, Q) e v k N(0, R) sono rispettivamente gli errori di modello e di uscita. Sia inoltre [ T 1 J T (x 0, u) = E (x T k W x k + u T k Uu k ) + x T T W T x T (14.2) k=0 la funzione costo, con W, U, W T matrici quadrate semidenite positive. Il problema consiste nella scelta degli ingressi u k per k = 0,..., T 1 che rendono minimo il funzionale J T, ovvero: J T (x 0 ) = min u k J T (x 0, u) Denendo la nuova funzione vale la relazione V k (x k ) min u E[x T k W x k + u T k Uu k + V k+1(x k+1 ) U k+1, Y k J T (x) = V 0 (x k ) Usando l'operatore duale per il tro Riccati S k denita in precedenza S k = Φ d (S k+1 ) si ottiene in cui si pone c k è uguale a V k (x k ) = E [ x T k S k x k U k 1, Y k + ck S T = W T, c T = 0 c k = c k+1 + tr (QS k+1 ) + tr ( P k k (A T S k A + W S k+1 ) ) 14-1

2 Sostituendo nella funzione costo si ricava: JT (x 0 ) = E [ T 1 x T 0 S 0 x 0 y 0 + tr (QS k+1 ) + tr ( P k k (A T S k A + W S k+1 ) ) L'equazione del controllore risulta u k = L kˆx k k dove ˆx k k è la stima del ltro di Kalman ˆx k k = Aˆx k 1 k 1 + Bu k 1 + K k k (y k CAˆx k 1 k 1 ) k=0 con K k k = f(p k k 1 ) P k+1 k = φ(p k k 1 ) Figura Si consideri ora il caso di avere un orizzonte. Per T : J (x 1 0 ) = lim T T J T (x 0 ) S k < M, P k k < Se S k S e se P k k P, la funzione costo esiste e vale J (x 0 ) 1 T E [ x T 0 S 0 x 0 y 0 + tr(qs ) + tr(p (A T S A + W S )) da cui visto che il primo termine tende a zero per T J (x 0 ) +tr(qs ) + tr(p (A T S A + W S )) 14-2

3 ovvero L k L LQ, K k k K klm Il regolatore LQG allora diventa tempo invariante ed è paragonabile a una funzione di trasferimento. Il prossimo passo è chiedersi cosa succede se non c'è un canale ideale tra l'uscita del processo y e l'ingresso del regolatore, per esempio se è presente una rete di comunicazione che introduce perdite di pacchetti e ritardi aleatori. u k Figura La funzione costo diventa: [ Vk (x k ) = min E x T k W x k + u T k Uu k + Vk+1(x k+1 ) U k 1, Ỹ k t, γ k In questa congurazione vale ancora il principio di separazione fra controllore e stimatore:la prestazione sicuramente degrada e il ltro di Kalman avrà memoria nita e sarà tempo variante anche a orizzonte innito. Ci mettiamo ora nel caso in cui ci sia una rete di comunicazioni anche tra il controllore e l'attuatore: 14-3

4 Figura Consideriamo per ora solo il caso con perdita di pacchetti deniamo { 1 se il pacchetto arriva ν k = 0 se il pacchetto non arriva Ovviamente se ν k = 1, u a k = uc k, ovvero l'ingresso all'attuatore è quello calcolato dal controllore. Se ν k = 0 ci sono varie possibilità di scelta: u a k = 0: l'attuatore fornisce un ingresso al processo nullo; u a k 1: viene mantenuto l'ingresso precedente; u a k = pua k 1 + (1 p)0, con p [0, 1: l'ingresso al processo è una combinazione lineare dei due casi precedenti. Esistono inoltre alcune strategie alternative per ovviare al problema: 1. Spostare il regolatore all'attuatore (non sempre possibile) 2. Implementare il predittore u c k all'attuatore e porre quindi u a k = ûc k k (congurazione particolarmente dicile e onerosa) 3. Mandare dal controllore un pacchetto con: u c k k, uc k+1 k,..., uc k+t k, con T orizzonte di predizione (l'attuatore utilizza poi l'ingresso predetto dal controllore all'istante corrispondente se il pacchetto viene perso) 14-4

5 Caso 1 É possibile usare una architettura del tipo di Figura 11.4 Figura dove c'è la possibilità di costruire il regolatore ottimo data l'architettura utilizzata. La soluzione migliore resta comunque quella di mandare le misure in uscita dal processo direttamente alla rete di comunicazione. Se vengono mandate invece le stime, riferendosi alla Figura 11.5 nel blocchetto Kalman tempo-variante con memoria nita l'equazione diventa: Figura ˆx a k k = A k hˆx s h h + A k h 1 Bu a h + A k h 2 Bu a h Bu a k 1 Fino all'istante h-esimo si hanno a disposizione le misure, che vengono quindi considerate come condizioni iniziali per la stima al sensore. Da queste si ricalcola la stima attuale ottima all'attuatore partendo da ˆx s h h e utilizzando gli ingressi no all'istante precedente. 14-5

6 Caso 2 In questo caso il problema è piuttosto complicato: non si riescono a progettare le matrici A, B, C, D del caso lineare tempo-invariante; per esempio c'è aleatorietà anche solo nella dimensione della matrice A. Caso 3 In questo caso inne non c'è nulla da progettare, in quanto l'architettura stessa fornisce già l'informazione necessaria su come adattare l'orizzonte temporale di predizione. Si suppone ora il caso semplice di realizzazione di Figura 11.6 Le stime sono date da Figura ˆx k k = E [x k y k,..., y 0, γ k,, γ 0, ν k 1,, ν 0 = Aˆx k 1 k 1 + Bu a k 1 + K k k (y k CAˆx k 1 k 1 ) Le matrici di varianza di errore di predizione P k+1 k e di aggiornamento P k k non cambiano. Se si ha a disposizione la sequenza ν k, si conosce esattamente l'ingresso al processo all'istante precedente k 1. Quest' informazione viene quindi utilizzata come ingresso al regolatore che è costituito da un ltro di Kalman tempo variante e il controllore ottimo LQ e la stima all'istante k risulta ˆx k k = Aˆx k 1 k 1 + Bν k 1 u c k 1 + K k k (y k CAˆx k 1 k 1 ) 14-6

7 Per il controllo LQG vale ancora [ T J T = E x T k W k x k + u a kt Uu a k k=0 con u k = f k (y k, y k 1,..., y 0, ν k 1,..., ν 0, u c k 1,..., uc 0). Vale ancora il principio di separazione, con l'unica dierenza che come si vede da Figura 11.7 Figura il vettore L dei guadagni del controllore è dato dalla funzione S = φ d, ν (S ), con ν = P[ν k = 1 e φ d, ν duale di φ λ. Nel caso non ci sia informazione sulla sequenza di ingressi no all'istante k 1, la cosa migliore da fare è realizzare lo stimatore come ˆx k k = Aˆx k 1 k 1 + B νu c k 1 + K k k (y k CAˆx k 1 k 1 ) ˆx k+1 k = Aˆx k k + νbu c k e k+1 k = x k+1 ˆx k+1 k = Ae k k + (ν k ν)bu c k + w k P k+1 k = f(p k k, u c k) In questo caso però non vale più il principio di separazione in quanto J T non è più lineare, e l'ottimizzazione di L e K non è più un problema di ottimizzazione convessa. 14-7