JOB SHOP SCHEDULING Algoritmo di tabu search

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1 DESCRIZIONE DEL PROBLEMA JOB SHOP SCHEDULING Algoritmo di tabu search Sono dati 4 job da eseguire su quattro macchine M 1, M 2, M 3, M 4, descritti nel formato OPERAZIONE (MACCHINA, DURATA): job 1: A (M 1, 1) B (M 2, 1) C (M 3, 6) D (M 4, 1) job 2: E (M 2, 12) F (M 4, 3) G (M 1, 1) H (M 3, 1) job 3: I (M 4, 12) L (M 2, 15) M (M 1, 6) N (M 3, 1) job 4: O (M 4, 2) P (M 2, 4) Q (M 3, 18) R (M 1, 5) La soluzione iniziale è data dall ordinamento topologico: dove e sono le operazioni fittizie start e finish. OBIETTIVO 1. Calcolare teste e code di ogni operazione e determinare il cammino critico. 2. determinare la mossa più vantaggiosa secondo Nowicki e Smutnicki 1996, 3. determinare la mossa più vantaggiosa secondo Nowicki e Smutnicki 25, 4. calcolare il makespan della nuova soluzione nei due casi. Calcolo di teste, code e cammino critico. Teste Code

2 Cammino critico: A BELP QNH La mossa più vantaggiosa secondo Nowicki e Smutnicki 1996 Mosse ammissibili (due per blocco): v(b,e), v(l,p), v(q,n), v(n,h). NB: con la notazione v(x,y) si indica la mossa di invertire l ordine delle operazioni x e y lasciando invariato l ordine di processamento delle altre. Per stimare il makespan di una soluzione dopo una mossa con NS96 si utilizza la formula: C max = max{h (x)+q (x); h (y)+q (y)} α(x) α(y) β(x) x y δ(y) γ(x) γ(y) h (y) = max{h(β(x))+ p β(x) ; h(α(y))+ p α(y) } h (x) = max{h (y)+ p y ; h(α(x))+ p α(x) } q (x) = p x + max{q(δ(y)); q(γ(x))} q (y) = p y + max{q (x); q(γ(y))} Si ha: v(b,e): h (E) = max{h(β(b))+ p β(b) ; h(α(e))+ p α(e) } h (B) = max{h (E)+ p E ; h(α(b))+ p α(b) } q (B) = p B + max{q(δ(e)); q(γ(b))} q (E) = p E + max{q (B); q(γ(e))} dove α(e) = β(e) = B γ(e) = F δ(e) = L α(b) = A β(b) = γ(b) = C δ(b) = E 2

3 da cui: v(l,p): da cui: v(q,n): h (E) = max{; } = h (B) = max{h (E)+ p E ; h(a)+ p A } = max{+12; +1}= 12 q (B) = 1 + max{57; 51} = 67 q (E) = 12 + max{67; 48} = 79 C max = 79 h (P) = max{h(β(l))+ p β(l) ; h(α(p))+ p α(p) } h (L) = max{h (P)+ p P ; h(α(l))+ p α(l) } q (L) = p L + max{q(δ(p)); q(γ(l))} q (P) = p P + max{q (L); q(γ(p))} h (P) = max{h(e)+ p E ; h(o)+ p O } = max{2+12; 36+2}= 38 h (L) = max{h (P)+ p P ; h(i)+ p I } = max{38+4;+12} = 42 q (L) = p L + max{q( ); q(m)} = 15 + max{; 26} = 41 q (P) = p P + max{q (L); q(q)}= 4 + max{41; 38} = 45 C max = 83 h (N) = max{h(β(q))+ p β(q) ; h(α(n))+ p α(n) } = max{2+6;47+6} = 53 h (Q) = max{h (N)+ p N ; h(α(q))+ p α(q) } = max{53+1;47+4} = 63 q (Q) = p Q + max{q(δ(n)); q(γ(q))} =18 + max{1; 5} = 28 q (N) = p N + max{q (Q); q(γ(n))} = 1 + max{28;--} = 38 C max = 91 v(n,h) Si potrebbe evitare perché si tratta delle ultime due operazioni del cammino critico (e quindi non può migliorare) h (H) = max{h(β(n))+ p β(n) ; h(α(h))+ p α(h) } = max{51+18;35+1} = 69 h (N) = max{h (H)+ p H ; h(α(n))+ p α(n) } = max{69+1;47+6} = 79 q (N) = p N + max{q(δ(h)); q(γ(n))} = 1 + max{--;} = 1 q (H) = p H + max{q (N); q(γ(h))} = 1 + max{1;--} = 2 C max = 89 Mossa più vantaggiosa secondo Nowicki e Smutnicki 1996: v(b,e). La mossa più vantaggiosa secondo Nowicki e Smutnicki 25 Per calcolare esattamente il makespan di una soluzione dopo una mossa con NS5 si utilizza la formula: C max = max { D[ P ( x y)] σ ; D[ P π } 3

4 Dove D[ Pσ ( x y)] = max {h (x)+q (x); h (y)+q (y)}=ns96 e D[ P π è la lunghezza del cammino critico che NON passa per x nella soluzione iniziale π data: D[ P = max{ h( u) + pu + q( v) : OT ( u) < OT ( x), OT ( v) > OT ( x)} π Nota che D[ P π non va calcolato se D[ Pσ ( x y)] D[ Pπ ], in quanto [ Pπ D[ Pπ ] quindi il calcolo è esteso alle sole mosse migliorative secondo NS96. Allo scopo è necessario individuare per ogni mossa migliorativa tutti gli archi che scavalcano il nodo x nell ordinamento topologico iniziale (uno per job e potenzialmente uno per macchina). Mosse migliorative: v(b,e), v(l,p). job 1: A (M 1, 1) B (M 2, 1) C (M 3, 6) D (M 4, 1) job 2: E (M 2, 12) F (M 4, 3) G (M 1, 1) H (M 3, 1) job 3: I (M 4, 12) L (M 2, 15) M (M 1, 6) N (M 3, 1) job 4: O (M 4, 2) P (M 2, 4) Q (M 3, 18) R (M 1, 5) D, Teste Code Si ha: v(b,e): archi di job (,E), (,I), (,O), archi di macchina (A,G). arco (,E): h()+p +q(e) = 69 arco (,I): h()+p +q(i) = 69 arco (,O): h()+p +q(o) = 44 arco (A,G): h(a)+p A +q(g) = +1+27=37 C max = max{ns96; P π (x)}= max{79;69}=79 4

5 v(l,p): archi di job (D,), (G,H), (,O), archi di macchina (G,M), (D,O), (C,Q). arco (D,): h(d)+p D +q() = =74 arco (G,H): h(g)+p G +q(h) = =46 arco (,O): h()+p +q(o) = 44 arco (G,M): h(g)+p G +q(m) = =62 arco (D,O): h(d)+p D +q(o) = =8 arco (C,Q): h(c)+p C +q(q) = =64 C max = max{ns96; P π (x)}= max{83;8}=83 Qui si può notare che, essendo NS96=83>79 (stima della mossa precedente) si poteva risparmiare questo calcolo in quanto questa mossa è certamente peggiore della precedente. Nota che questa considerazione vale solo perché il 79 della mossa precedente è il valore esatto del makespan mentre il valore 83 della mossa attuale è una sottostima al valore del makespan ottenibile in questa mossa. Mossa più vantaggiosa secondo Nowicki e Smutnicki 25: v(b,e) (in questo caso è la stessa di NS96). Makespan della nuova soluzione A E B C I F D G L O P M Q R N H Teste Il makespan della nuova soluzione è 79, come già calcolato con NS5, dovuto al cammino critico in rosso. 5