AFFIDABILITA DEI SISTEMI E CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA

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1 AFFIDABILIA DEI SISEMI E ONROLLO SAISIO DI QUALIA Elvira Di Nardo elvira.dinardo@unibas.it RI: Mer Modalità di esame Johnson J. (2007) Probabilità e Statistica per ingegneria e scienze, Pearson a.a. 13/14 - probabilità 1 Gli amministratori di una città potrebbero chiedersi se il livello di piombo presente nell acqua erogata sia entro i livelli di sicurezza. ONROLLO SAISIO DI QUALIA Un ingegnere civile deve determinare la resistenza dei supporti per i generatori di un gruppo elettrogeno. AFFIDABILIA DEI SISEMI Assegnato un certo dispositivo, qual è la probabilità che all istante t sia ancora in funzione? a.a. 13/14 - probabilità 2 1

2 alcolo delle probabilità (cenni) a.a. 13/14 - probabilità 3 a.a. 13/14 - probabilità 4 2

3 Spazio campione 1 Si consideri l esperimento casuale che consiste nel lanciare tre volte una moneta e nell osservare le facce che si presentano. ω 1 ω 2 S = { ω, ω, ω, ω, ω, ω, ω, ω } ω 3 ω 4 Altra rappresentazione di S ω 5 ω 6 ω 7 {, } {, } {, } S = ω 8 a.a. 13/14 - probabilità 5 Spazio campione 2 Si consideri l esperimento casuale che consiste nel lanciare tre monete uguali e nell osservare le facce che si presentano. ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 S S = { ω, ω, ω, ω } { } { } {,, },{,, },,,,,, = ω 8 a.a. 13/14 - probabilità 6 3

4 Spazio campione 3 Si consideri l esperimento casuale che consiste nel lanciare un dado e nell osservare le facce che si presentano. a.a. 13/14 - probabilità 7 Spazio campione 4 Si consideri l esperimento casuale che consiste nel lanciare due dadi distinguibili e nell osservare le facce che si presentano. a.a. 13/14 - probabilità 8 4

5 A = ' la somma dei punteggi è 4' {(, ) / 4} A = x y S x + y = a.a. 13/14 - probabilità 9 Operazioni su eventi A S omplementazione Unione Intersezione a.a. 13/14 - probabilità 10 5

6 SPAZI AMPIONI FINII O INFINII? a.a. 13/14 - probabilità 11 Spazio campione 5 Si consideri l esperimento casuale che consiste nel lanciare ripetutamente una moneta fino a quando non si verifica testa. S = {,,,,...} a.a. 13/14 - probabilità 12 6

7 Spazio campione 6 Si consideri l esperimento casuale che consiste nel lanciare ripetutamente una moneta fino a quando non si verifica testa Rappresentazione binaria dei numeri nell intervallo [0,1] a.a. 13/14 - probabilità GENERAORI DI NUMERI ASUALI? Algoritmi per restituire un numero a caso tra [0,1] GENERAORI DI NUMERI PSEUDO-ASUALI Ricostruzione di una dinamica casuale (=aleatoria, stocastica) al computer a.a. 13/14 - probabilità 14 7

8 onsideriamo un intervallo diverso da [0,1]. [0, ] Spazio campione 7 Si immagini di osservare la durata di una lampadina elettrica prodotta da una certa azienda { : 0 } S = x x a.a. 13/14 - probabilità Definizione classica p = casi favorevoli casi possibili 2. Definizione frequentista num. volte in cui si verifica A p = num. prove eseguite 3. Definizione soggettiva p = grado di fiducia nell'evento A a.a. 13/14 - probabilità 16 8

9 Esempio: Si consideri una scatola contenente 100 diodi. Qual è la probabilità di estrarre un singolo (etichettato) diodo dalla scatola? a.a. 13/14 - probabilità 17 Si lancino due monete: qual è la probabilità che si verifichi al più una testa? Qual è la probabilità che si verifichi almeno una testa? Qual è la probabilità che non si verifichi alcuna testa? a.a. 13/14 - probabilità 18 9

10 E 1 ( ) ( ) ( ) E E =, P E E = P E + P E E 2 E 1 E 3 E1 E2 = E1 E3 = P E1 E2 E2 = P E1 + P E2 + P E3 E2 E 3 = E 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a.a. 13/14 - probabilità 19 osa accade con 3 eventi? a.a. 13/14 - probabilità 20 10

11 A B ( ) = ( ) + ( ) ( ) P A B P A P B P A B +P( ) P ( A ) P ( B ) + P ( A B ) a.a. 13/14 - probabilità 21 A B 27 Delle 150 persone intervistate in un indagine sul trasporto pubblico urbano, (A)alcune vivono a più di 3 km dal centro della città; (B) alcune utilizzano la macchina per andare al lavoro; () alcune passerebbero al trasporto pubblico se fosse disponibile. alcolare : ( ) P( A), P( B), P( ), P( A B ), P( A B ), P B ( A ) a.a. 13/14 - probabilità 22 11

12 a.a. 13/14 - probabilità 23 Esempio: Se la probabilità che un sistema abbia un alta affidabilità è 0.81 e la probabilità che abbia sia un alta affidabilità che un alta selettività è 0.18, qual è la probabilità che un sistema con alta affidabilità abbia anche un alta selettività? a.a. 13/14 - probabilità 24 12

13 Esempio: Il supervisore di un gruppo di 20 operai edili vuole conoscere l opinione di 2 di essi (scelti a caso) a proposito di certe nuove norme di sicurezza. Se 12 operai sono a favore delle nuove norme e gli altri 8 sono invece contrari, qual è la probabilità che entrambi gli operai scelti dal supervisore siano contrari alle nuove norme di sicurezza? a.a. 13/14 - probabilità 25 osa accade se dopo l estrazione la pallina viene rimessa nell urna? a.a. 13/14 - probabilità 26 13

14 Eventi corrispondenti a parti non correlate di un esperimento si possono considerare indipendenti Qual è la probabilità di ottenere (,) nel lancio due volte di una moneta non truccata? Indipendenza stocastica Indipendenza statistica Se P()=0.65, P(D)=0.40 e P( D ) = 0.26 gli eventi e D sono indipendenti? A B Ogni sottosistema ha probabilità di funzionare pari a Qual è la probabilità che funzioni tutto il sistema? a.a. 13/14 - probabilità 27 Esercizio: Molte industrie devono manipolare le acque di scarico che i loro impianti riversano nei fiumi e nei corsi di acqua. In alcuni stati la legge stabilisce dei valori di qualità dell acqua che stanno al di sotto del limite di rilevamento L per l attuale metodo di misurazione. Per legge le acque di scarico stanno entro i parametri di qualità imposti se ogni campione testato si trova al di sotto del limite di misurazione L, altrimenti saranno dichiarate non conformi rispetto ai limiti di qualità. Supponiamo che l acqua sia non contaminata, ma che la variabilità dell analisi chimica ammetta comunque una possibilità dell 1% che la misurazione effettuata sul campione ecceda il limite L. (a) Determinare la probabilità che nessuno dei due test effettuati su campioni - entrambi non contaminati fallisca la conformità. (b) Se ogni settimana per due anni si effettua un test, e i campioni sono tutti esenti da contaminazione, determinare la probabilità che nessuno dei campioni fallisca la conformità. a.a. 13/14 - probabilità 28 14

15 Perché servono tutte le tipologie di intersezione? Esempio 1: Sia A l evento il primo lancio fornisce testa nel lancio di una moneta due volte. Sia B l evento il secondo lancio fornisce croce e sia l evento l esito dei due lanci è lo stesso. Determinare se A, B e sono indipendenti. Esempio 2: Sia A l evento al più una testa nel lancio di una moneta tre volte. Sia B l evento (,, ),(,, ),(,, ),(,, ) e sia l evento l ultimo esito è croce Determinare se A, B e sono indipendenti. { } a.a. 13/14 - probabilità 29 Se gli eventi E, E,, E non sono indipendenti stocasticamente allora si ha 1 2 n ( 1 2 n ) ( n 1 2 n 1 ) ( n n 2 ) ( 2 1) ( 1) P E E E = P E E E E P E E E E P E E P E Esempio: Riprendiamo l esempio dell estrazione dall urna senza reinserimento e supponiamo di fare una terza estrazione. Determinare la probabilità di estrarre 3 palline rosse. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa? a.a. 13/14 - probabilità 30 15

16 Esercizio: Un azienda produce memory card con una difettosità dichiarata pari a p. Nella catena di produzione della memory sono stati rilevati due dispositivi che potrebbero essere equamente la causa della difettosità: il dispositivo A e il dispositivo B. Il primo ha una difettosità dichiarata dello 0.01% e il secondo dello 0.02%. alcolare p. a.a. 13/14 - probabilità 31 Esempio: Una azienda produttrice di cambi ha tre fornitori. L azienda A che fornisce il 65% dei pezzi, il 25% dei pezzi proviene dall azienda B e il restante 10% dall azienda. Sapendo che i tre fornitori producono cambi con una difettosità dichiarata del 5%, 10% e 25%, determinare la probabilità che scelto un cambio dall azienda questa sia difettoso. a.a. 13/14 - probabilità 32 16

17 .Avendo selezionato un cambio, ed avendo riscontrato che questo risulta essere difettoso, determinare quale tra la 3 aziende è la causa più probabile della difettosità riscontrata. a.a. 13/14 - probabilità 33 a.a. 13/14 - probabilità 34 17

18 Esercizi di riepilogo 1. In un campione di 446 macchine fermate a un posto di blocco, solo 67 guidatori avevano la cintura di sicurezza allacciata. Stimare la probabilità che un guidatore fermato su quella stessa strada, abbia la cintura allacciata. 2. Verificare se la seguente assegnazione di probabilità è in accordo con l ipotesi che i tre eventi A,B e siano mutuamente esclusivi: P(A)=0.3, P(B)=0.4 e P()= L esplosione di un serbatoio di gas liquido durante la manutenzione potrebbe essere accaduta per un problema di carica elettrostatica, per un malfunzionamento del sistema elettrico, per una fiamma libera venuta in contatto col rivestimento o per un atto doloso (sabotaggio industriale). La consulenza di alcuni ingegneri, che avevano analizzato i rischi connessi, ha portato a pensare che tale esplosione sarebbe accaduta con probabilità 0.25 come risultato di una carica elettrostatica e rispettivamente di 0.20, 0.40 e 0.75 per le altre tre cause. Gli stessi consulenti hanno effettuato delle stime soggettive per le probabilità a priori che si verifichi una di queste quattro cause. Esse sono rispettivamente 0.30, 0.40, 0.15 e Qual è la causa più probabile dell esplosione? a.a. 13/14 - probabilità 35 18