PROBLEMI. 1) I nipotini di Leonardo Fibonacci (per gli amici Leo) Ada, Beatrice, Carlo e Dario salgono i

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1 PROBLEMI 1) I nipotini di Leonardo Fibonacci (per gli amici Leo) Ada, Beatrice, Carlo e Dario salgono i 100 gradini davanti alla loro scuola in questo modo: Ada sale i gradini a due a due (ovvero tocca i gradini 1,3,5,7, ), Beatrice sale i gradini a tre a tre (tocca i gradini 1,4,7,10, ), Carlo sale i gradini a quattro a quattro (ovvero tocca i gradini 1,5,9,13, ), mentre il piccolo Dario è portato in braccio dal nonno (quindi non tocca nessun gradino). Su quanti gradini sono saliti solo 2 di loro? (Post gara: il nonno non va contato) 2) Leo, che come al solito è molto sbadato, sbaglia a dare i regali ai suoi 4 nipotini! Quindi decidono di scambiarseli in modo tale che nessuno di loro mantenga il regalo che aveva prima, in quanti modi possono farlo? 3) La vasca da bagno di Leo si riempie in questo modo: se si apre solo il rubinetto dell acqua fredda ci vogliono 6 minuti, se invece si usa solo l acqua calda ce ne vogliono 8. Inoltre, se da piena viene tolto il tappo, allora la vasca si svuota in 12 minuti. Leo, per fare più in fretta, apre entrambi i rubinetti ma prima di mettere il tappo gli viene in mente la soluzione di un problema e corre nel suo studio. Quanti secondi ci vorranno perché la vasca si riempia fino all orlo? (dare come risposta 0 se pensate che la vasca non si riempirà mai) 4) Ordinando i suoi numerosi libri di matematica Leo si accorge che il numero di tali libri è un numero pari di 3 cifre tale che la somma delle cifre sia 5 e tale che la cifra delle centinaia sia strettamente minore delle altre due. Qual è questo numero? 5) Durante le sue lezioni a Leo piace inserire dei piccoli problemi in modo da stimolare i suoi studenti. Uno di questi chiede di scrivere il numero come prodotto di 3 numeri interi consecutivi. Voi sapreste dire qual è la somma di questi tre numeri? 6) I nipotini di Leo, sbirciando sugli appunti del nonno, vedono l espressione rappresentata qui a fianco. All inizio sembrano non capirci niente, ma poi capiscono che è un addizione in cui a lettere uguali corrispondono cifre uguali e a lettere diverse cifre diverse. Capito questo riescono subito a risolvere il rompicapo. Voi sapete dire quanto vale ACCA/3? 7) Ada scrive su suo quaderno tutti i numeri da 1 a 50, poi ogni volta che vede un numero pari lo cancella e lo sostituisce con la sua metà. Continua fino a quando non rimangono solo numeri dispari sul foglio. Qual è la somma dei numeri rimasti alla fine sul foglio? 8) Per preparare il suo famoso risotto alle erbe, Leo prende il 30% del riso contenuto in una scatola ma poi, sapendo che arriveranno altri ospiti, prende il 40 % del riso rimasto nella scatola. Alla fine qual è la percentuale di riso che rimane nella scatola (rispetto alla quantità iniziale)?

2 9) La piccola Beatrice ha trovato un disegno da colorare (quello a fianco), visto che non è molto originale, si chiede in quanti modi può colorare il disegno, usando solo tre colori, in modo che due esagoni vicini non siano mai dello stesso colore. Qual è la risposta? (Dare come risposta 999 se ci sono più di 999 modi o se ce ne sono infiniti) 10) È sera e Leo sta raccontando una storia ai suoi nipotini per farli addormentare: e i pirati, trovato il tesoro, festeggiarono tutta la sera e poi si addormentarono. Tuttavia, nel cuore della notte, il primo pirata si svegliò, andò al forziere, prese una moneta e poi nascose la metà delle monete che rimanevano. Così fecero gli altri sei pirati, uno alla volta, prendendo una moneta e quindi nascondendo metà delle monete che rimanevano. Quando la mattina dopo si svegliarono c era una sola moneta rimasta nel forziere. Quindi quante monete c erano all inizio? chiese Leo ai nipotini, che però già stavano dormendo. Voi sapreste rispondere? 11) La sera dopo, Leo racconta un altra storia ai suoi nipotini: e così il re e la regina per festeggiare invitarono tutti i 1158 abitanti del loro regno ad un banchetto! Seduti a coppie uno di fronte all altro, tutti dicono <<Quello che mi sta seduto di fronte sta mentendo!>>. Stavolta, però i nipotini erano ben svegli e subito dicono al nonno: Non serve che ce lo chiedi, perché noi sappiamo già quanti sono quelli che stanno mentendo!. Quante erano le persone che stavano mentendo? 12) Leo vuole costruire nel suo giardino, un rettangolo ABCD con i lati lunghi 61 e 48 metri, una grande aiuola. Prende quindi i punti medi dei lati più corti AD e BC, rispettivamente M e N e traccia i segmenti AN, DN, BM e CM. Detto E il punto di intersezione tra AN e BM, e F il punto di intersezione tra CM e DN, quanto vale l area (in m 2 ) dell aiuola ENFM? 13) Leo per misurare il tempo ha inventato uno strano orologio, non ha 12 numeri come tutti gli altri ma 340! Inoltre le due lancette si muovono in modo particolare: ogni secondo la lancetta più lunga si sposta di 84 posti in senso orario, mentre quella più corta si sposta di 67 posti in senso antiorario. Se adesso le due lancette sono sullo stesso numero, tra quanti secondi si ritroveranno insieme sul numero di partenza? 14) Dopo aver costruito l aiuola per i fiori, a Leo viene l idea di realizzare anche un orto. Parte allora da un triangolo ABC con il lato AB lungo 10 metri e l altezza relativa al lato AC lunga 8 metri, in modo tale che tutti i lati abbiano come lunghezza un numero intero di metri. Solo dopo si rende conto che questo triangolo non gli basta e considera il triangolo A BC, dove A è il simmetrico del punto A rispetto al lato BC. Similmente costruisce i triangoli AB C e ABC. Quanto vale la somma delle aree di questi 4 triangoli in metri quadrati? 15) Tra gli esercizi che Leo assegna ai suoi studenti ce n è uno che chiede di calcolare S = Quanto vale S? (Dare come risposta 0 se la somma è un numero negativo) 10

3 16) Leo disegna un pentagono regolare ABCDE e si chiede quanto vale la somma delle ampiezze in gradi degli angoli CAD, CBD e CED. Sapreste aiutarlo? 17) Leo ha organizzato una caccia al tesoro per i suoi nipotini, nel grande parco della città di Pisa! Dopo vari indovinelli a sfondo matematico i nipotini sono arrivati nei pressi di un bosco a forma di triangolo ABC, rettangolo in A. La mappa gli dice che il tesoro si trova a metà strada tra il vertice A e il punto medio M del lato BC. Sapendo che il lato BC è lungo 2,5 km e il cateto AB è lungo 700 m, quanti metri dista il tesoro dal punto A? 18) Il vecchio professore di matematica di Leo, Edoardo Lucas, sta per andare in pensione. Quando Leo gli chiede l età lui rifiuta di rispondere, ma svela che la sua età è un numero di due cifre che diviso per 2 dà resto 1, diviso per 5 dà resto 3 e diviso per 9 dà resto 2. Qual è l età di Edoardo Lucas? 19) Per mettere in difficoltà i suoi studenti, Leo propone loro il seguente problema: Nella figura si vede un ettagono (un poligono con 7 lati) con i lati lunghi 2 e 7 circonferenze di raggio 1 tali che due circonferenze vicine si tocchino in un solo punto. Calcolate il rapporto tra la somma delle aree rosse (quelle fuori dall ettagono) e la somma delle aree blu (quelle all interno) e moltiplicate questo rapporto per 180. Qual è la soluzione di questo problema? (Nota: non è detto che gli angoli interni dell ettagono siano tutti uguali!) 20) Leo sta per costruire una casa sull albero ai suoi nipotini quando vede una tavola di legno che gli fa venire in mente un vecchio problema. Il problema chiedeva quanti rettangoli ci sono nella figura qui a fianco. Purtroppo Leo non ricorda quale era la soluzione. Sapete rispondere voi? (Nota: I quadrati sono particolari rettangoli e quindi vanno inclusi nel conteggio) Avete 1h e 30 per risolvere i problemi Le risposte sono tutti numeri interi compresi tra 000 e 999 Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati: 2 = 1,414 3 = 1,732 π = 3,14

4 SOLUZIONI: 1) 24 2) 9 3) 288: Consideriamo di quanto si riempie la vasca in un minuto: = 5. Ciò significa che per riempirsi completamente ci vorranno 24 minuti ovvero 288 secondi 5 4) 122 5) 375: I tre numeri consecutivi non possono essere maggiori di 200 (perché 200*200*200= ) né minori di 100 (perché 100*100*100= ), inoltre poiché = , uno dei tre numeri deve essere 5 3 = 125. Gli altri due si trovano per tentativi 6) 407: A=1, B=5 e C=2 7) 844: Suggerimento: la somma dei primi n numeri dispari è pari a n 2 8) 42 9) 6: Una volta fissati i colori di due piastrelle vicine tutte le altre vengono fissate (perché?), quindi quanti modi ci sono per colorare due caselle in modo che non siano dello stesso colore? 10) 255: Basta andare a ritroso 11) ) ) 340: La lancetta più lunga torna al punto di partenza ogni 85 minuti, mentre quella più corta torna al punto di partenza ogni 340 minuti. Quindi entrambe si ritrovano sul punto di partenza ogni mcm(85,340)=340 minuti 14) 192: I due triangoli ABC e A BC, hanno la base BC in comune e inoltre hanno la stessa altezza, perché A è il simmetrico di A rispetto al lato BC, quindi hanno la stessa area. Stesso discorso vale per gli altri due triangoli AB C e ABC. Quindi tutto si riconduce a trovare l area di ABC (la soluzione si trova moltiplicando tale area per 4). Si vede

5 facilmente che, poiché i lati hanno tutte lunghezze intere, i lati del triangolo sono lunghi 10, 10 e 12, con l altezza relativa alla base lunga 8. Quindi l area di ABC è 12 8 = 48 e di conseguenza la soluzione è 48 4 = ) 500: S = = 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) + ( 6 + 7) + + ( ) = volte = = ) 108: Ci sono vari modi: o si disegna la circonferenza circoscritta e si usano gli angoli al centro e alla circonferenza, oppure si osserva che il triangolo DCE è uguale al triangolo ACD, e quindi l angolo DCE è uguale all angolo CAD, per un ragionamento simile EAB = DBE. Quindi CDE + DBE + DAE = CAD + EAB + DAE = CAB, ma CAB è l angolo interno di un pentagono regolare quindi la sua ampiezza è di ) 625: Basta disegnare la circonferenza di diametro BC, il centro di tale circonferenza è M e la circonferenza passa per A (perché?). Quindi MA è un raggio (che è lungo metà del diametro, ovvero dell ipotenusa), e quindi il tesoro si trova ad una distanza pari a metà raggio da A. Poiché diametro = BC = 2,5 km, allora raggio = BC 2 = 1,25 km e quindi la distanza tra A e il tesoro è raggio 625 m. 18) 83 19) 324: Il rapporto tra le aree rosse e quelle blu è ) 216: 2 = 1,25 km = 0,625 km = 2

6 Se si vuole contare a mano, può essere utile contare prima quanti rettangoli ci sono in un rettangolo 6x3. Nell altro rettangolo rovesciato il numero di rettangoli è lo stesso, tuttavia i rettangoli tutti contenuti nel quadrato 3x3 vengono contati due volte, quindi vanno tolti dal numero trovato in precedenza. Per contare efficacemente i rettangoli nel rettangolo 6x3, si può ragionare così: i rettangoli sono delimitati da due righe verticali e da due righe orizzontali, quindi quanti modi ci sono per scegliere le due righe verticali? (sugg. : 6 modi) Similmente, le righe orizzontali si possono scegliere in 21 modi, quindi nel rettangolo 6x3 ci sono 6 21 = 126 rettangoli, e da qui si continua in modo simile