Gianna Monti. 26 novembre 2013

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1 Analisi Statistica Multivariata - Laboratorio di Modelli Statistici Dispensa ad uso degli studenti dell Università degli Studi di Milano-Bicocca (A.A. 2013/14) Gianna Monti 26 novembre 2013 Indice 1 Introduzione a R Una breve presentazione RStudio Nomi e assegnazioni Gli operatori Le funzioni Gli oggetti di R I Vettori Le matrici Gli array e le liste I Data frame Funzioni del tipo is.nome() e as.nome() Importazione ed esportazione di dati 17 1 Introduzione a R R è un software adatto alla manipolazione di dati, al calcolo e alla visualizzazione grafica; è distribuito gratuitamente in internet dal sito di The R Project for Statistical Computing, all indirizzo dove è altresì possibile trovare ogni tipo di supporto per l utilizzo e lo sviluppo di R. Assieme a The R Project for Statistical Computing vi è il Comprehensive R Archive 1

2 Network (CRAN), il cui indirizzo internet è dedicato specificatamente al materiale informativo e al download del software. R è disponibile per Linux, per Windows e per Mac 1. Microsoft Windows: MacOS: Linux: Nasce nel 1995, sviluppato da John Chambers ed altri nei Laboratori Bell (1976). R è un linguaggio di programmazione basato sul linguaggio S 2, a cui è strettamente legato un altro ambiente commerciale più conosciuto, S Plus (diffuso dalla Insightful Corporation di Seatle). R, a differenza di S Plus, è un GNU Sofware, ovvero disponibile sotto i vincoli della GPL (General Public Licence), anche se i due ambienti sono molto simili 3. Un gruppo di ricercatori, l R Core Team, si occupa dei codici sorgente. Lo sviluppo di R si allarga sempre più e dalla versione 0.64 si è giunti ad oggi allo sviluppo della versione È previsto un aggiornamento semestrale in quanto il gruppo di sviluppatori rilascia una major release all anno e una sua revisione (patch) ogni 6 mesi. 1.1 Una breve presentazione R è articolato in un sistema concentrico in cui al centro si trova il nucleo (che sostanzialmente definisce le regole del linguaggio stesso, modificabile solo dagli sviluppatori), nel cerchio circostante il nucleo vi è una collezione di funzionalità di base (che descrivono i blocchi su cui verranno costruite tutte le funzionalità statistiche: algoritmi di ottimizzazione lineare e non, algoritmi di algebra lineare, ecc). Nel cerchio esterno vi è un insieme di pacchetti aggiuntivi dedicati alle più svariate esigenze di tipo statistico. È un linguaggio orientato alla programmazione ad oggetti: ogni variabile in R è detta oggetto ed è associata ad una determinata classe, che ne definisce le proprietà. In R un analisi statistica normalmente è fatta attraverso una serie di passi, con risultati intermedi che sono immagazzinati in oggetti. Così mentre SAS o SPSS danno una produzione copiosa di risultati relativi all analisi richiesta, R restituisce la minima produzione, immagazzinando i risultati in oggetti che possono essere richiamati da altre funzioni dette di estrazione. R puo essere utilizzato tramite linea di comando (R Console) o attraverso un interfaccia grafica come RStudio. 1 In questo scritto si farà esclusivamente riferimento all ambiente Windows. 2 R è stato inizialmente scritto da Ross Ihaka e Robert Gentelman, del Dipartimento di Statistica dell Università di Auckland, Nuova Zelanda. Nasce come progetto di ricerca per l implementazione di S, linguaggio di programmazione statistico sviluppato nel 1980 nei Bell Labs, noti per lo sviluppo del sistema operativo UNIX e del linguaggio C. In particolare, S è stato sviluppato da un gruppo di ricercatori guidati da John Chambers, che oggi fa parte anche dell R Core Team e che nel 1998 ha ricevuto il premio ACM Software System Award proprio per il linguaggio S. 3 La maggior parte dei comandi che verranno presentati per R sono validi anche per S Plus. 2

3 1.2 RStudio RStudio è un software open-source separato da R, ma che grazie alla sua interfaccia intuitiva e easy-to-learn ne rende più agevole l uso. RStudio è infatti un integrated development environment. Anche RStudio è disponibile per differenti piattaforme (Windows, Mac, Linux). RStudio ha quattro finestre: Finestra Console (o di Comando) Qui è possibile digitare dei comandi dopo il simbolo > ed R eseguirà il comando. Finestra Editor Qui è possibile scrivere, modificare e salvare un insieme di comandi. Se si desidera eseguire una o più righe, si può premere il pulsante Run. Finestra Workspace/History Nella finestra Workspace si possono vedere quali dati e valori R ha nella sua memoria. E possibile modificare i valori, farendo clic su di essi. La finestra History raccoglie la storia dei comandi eseguiti. Finestra Files/Plots/Packages/Help Qui è possibile aprire files, visualizzare grafici, installare e caricare pacchetti o utilizzare la funzione di help. Sul sito del CRAN sono disponibili svariate guide di introduzione ad R ed è inoltre possibile consultare i suggerimenti e i consigli presenti nelle FAQ (Most Frequent Asked Questions). Mentre si sta lavorando con il programma, si possono chiamare direttamente gli aiuti. Con il comando: help.start() appare una pagina web off line attraverso la quale si accede ai manuali e ad informazioni generali. Cliccando, ad esempio, sulla voce Packages si trova un elenco di molti pacchetti di base o aggiuntivi disponibili. Un altro modo semplice per chiedere informazioni consiste nell anteporre un punto interrogativo al comando su cui si desidera avere maggiori informazioni. Una modalità alternativa per chiedere aiuto consiste nel ricorrere alla funzione example(nome funzione). Ad esempio: >?help >?t > help.search("t") 1.3 Nomi e assegnazioni I nomi in R possono essere lettere, cifre o punti. Non sono ammessi però nomi che iniziano con una cifra, inoltre non è ammesso un punto iniziale seguito da una cifra. 3

4 R è case sensitive: distingue tra minuscole e maiuscole. Per creare un oggetto è necessario utilizzare il comando <- o = (oppure anche ->), prestando attenzione, nel momento in cui si decide di creare un oggetto, ad eventuali oggetti preesistenti, che possiedono lo stesso nome, questi ultimi verranno infatti sovrascritti e quindi cancellati. È necessario perciò evitare di creare oggetti con nomi già usati dall ambiente R, ad esempio, tra i nomi riservati di R, alcuni caratteri singoli: c q t C D F I T (si suggerisce di consultare l help per conoscere la funzione corrispondente). Nei casi di incertezza su una possibile assegnazione, si provi a digitare nella R console il nome che si desidera attribuire alla variabile, controllando che non si tratti di un carattere riservato. Il comando ls() permette di conoscere cosa è contenuto nel workspace, ovvero nel contenuto della memoria di lavoro. Per rimuovere un oggetto si può usare il comando rm(), mentre per cancellare tutte le variabili esistenti nell area di lavoro, comprese le funzioni create o aggiunte, è necessario usare il comando: rm(list=ls()). > x<-4 > x [1] 4 > t function (x) UseMethod("t") <bytecode: 0x add8f0> <environment: namespace:base> > ls() [1] "x" > rm(list="x") > ls() character(0) 1.4 Gli operatori Aritmetici: + (addizione) - (sottrazione) * (moltiplicazione) / (divisione) ^ (elevamento a potenza) 4

5 > 4*3 %/% (quoziente della divisione) %% (modulo della divisione 4 ) Relazionali: == (uguale) >= (maggiore o uguale) <= (minore o uguale) > (maggiore) < (minore)! = (diverso) Logici: & (and logico) (or logico)! (not logico) Alcuni esempi a scopo dimostrativo. [1] 12 > 3+5*8 [1] 43 > 4*3==12 [1] TRUE > 4*3>=12 [1] TRUE > 4*3<=12 [1] TRUE > 4*3>=12 [1] TRUE 4 Se a, b sono numeri naturali, con b 0, allora esistono due numeri naturali (unici), q, r tali che: a = qb + r con 0 r < b. q si chiama quoziente e r resto della divisione di a per b. L algoritmo della divisione a/b dimostra l esistenza e l unicità di q, r e, inoltre, permette di trovarli. Ad esempio: dividendo 13 per 10, 1 è il quoziente e 3 è il resto, perché 13 = Per i numeri naturali, si può dire che: r = a mod b è il resto della divisione di a per b. 5

6 > 4*3>12 [1] FALSE > 4*3!=12 [1] FALSE > 1/0 [1] Inf > -1/0 [1] -Inf > 0/0 [1] NaN > exp(1) [1] > pi [1] > sqrt(9) [1] 3 > sign(-4) [1] -1 > abs(-2) [1] 2 > round(1/3,3) [1] > log(3) [1] > log(exp(1)) [1] 1 6

7 > log10(10) [1] 1 Si noti che: le forme indeterminate (ad esempio 0/0) e quelle tendenti ad infinito (ad esempio 1/0) sono ben interpretate da R, che restituisce risultati corretti: NaN è l acronimo di not-a-number e Inf di infinito; TRUE (abb. T) e FALSE (abb. F) corrispondono a 1 e 0: rappresentano l esito della valutazione del confronto di due oggetti, in generale l esito di una condizione. Una piccola nota sui dati mancanti Quando si è in presenza di un dato mancante, R assegna il valore NA, acronimo di not available. In generale, un operazione su un NA dà come risultato un NA. NA non è un vero e proprio valore, ma è solo un identificatore: questo può portare a risultati indesiderati, soprattutto quando si effettuano dei confronti logici, per tale ragione R dispone della funzione na.omit(object,...), che ha il compito di eliminare gli NA dall oggetto indicato in object, ad esempio un data frame o un vettore, rimuovendone i casi mancanti. Un altro valore mancante, di cui si è accennato più sopra, è prodotto da calcoli numerici, come nell esempio 0/0 che dà come risultato un NaN, ovvero not a number. 1.5 Le funzioni R dispone al suo interno di numerose funzioni, per ciascuna delle quali è presente un file di aiuto a cui si può accedere digitando dal prompt?funzione o help(funzione). Quest ultimo chiarisce tutti gli argomenti richiesti dalla funzione, il loro nome, il loro ordine, quelli necessari e quelli opzionali, ovvero quelli per cui un valore di default è già impostato. Tra le funzioni matematiche si dà un elenco (non esaustivo): sqrt(); sum(); prod(); mean(); var(); min(); max(); log(); log10(); exp(); median(); abs(); sign(); round() e molte altre. p in R è una costante predefinita corrispondente al numero pi greco; mentre il numero e di Eulero si ottiene con la funzione exp(1). 2 Gli oggetti di R In R gli oggetti appartengono a classi. Sono 5 le classi principali: vector; matrix; 7

8 array; dataframe; list. 2.1 I Vettori In R uno scalare viene interpretato come un vettore di dimensione 1 1. La funzione più comune per creare un vettore è c() (che sta per concatena ). Per individuare gli elementi di un vettore sono necessarie le parentesi quadre. > Vett<-c(-3,8,6) > Vett[1] [1] -3 > Vett[-1] [1] 8 6 > Vett[1:2] [1] -3 8 > Vett[c(1,3)] [1] -3 6 > length(vett) [1] 3 > Vett[which(Vett>0)] [1] 8 6 > which.min(vett) [1] 1 > which.max(vett) [1] 2 > sort(vett) [1] > length(vett) 8

9 [1] 3 La funzione which() richiede come argomento un vettore di tipo logico. La funzione R() ha il compito di ordinare gli elementi del vettore, mentre la funzione R() restituisce la dimensione del vettore. Un operatore molto utile per generare successioni di valori equidistanti è la funzione seq(a,b,by=1). Quando si vuole generare una suddivisione di un intervallo in sottointervalli si può usare il parametro length, che indica il numero degli elementi della successione. La funzione rep() è altrettanto utile per generare sequenze regolari. > seq(1,5,by=1) [1] > seq(0, 1, length=11) [1] > rep(1,6) [1] Le operazioni con vettori (vale anche per le matrici) sono eseguite su ogni elemento dell oggetto, ovviamente si deve trattare di un operazione ammissibile. > Vett+3 [1] > Vett*6 [1] > Vett+c(1,1) [1] R gestisce anche vettori alfanumerici. In tal caso, le due funzioni principali che vengono utilizzate quando si manipolano vettori di caratteri sono: substr(x,start,stop), che restituisce delle sotto stringhe, e paste(). > nomi<-c("luca","marta","anna") > nomi[1] [1] "Luca" > length(nomi) [1] 3 9

10 > sort(nomi) # ordina dalla A alla Z [1] "Anna" "Luca" "Marta" > sort(nomi,decreasing=t) # ordina dalla Z alla A [1] "Marta" "Luca" "Anna" > names(vett) NULL > names(vett)<-nomi > Vett Luca Marta Anna > misure<-c(f=3,g=1,h=2) > misure f g h > names(misure) [1] "f" "g" "h" 2.2 Le matrici Per creare una matrice si usa il comando matrix(), è necessario specificare nrow e/o ncol per determinare le dimensioni della matrice e la modalità di riempimento (se per riga: byrow=t, mentre per colonna, opzione di default, byrow=f). La gestione di una matrice è simile a quella vista per i vettori: ogni elemento di una matrice è univocamente determinato da due indici, il primo indica la posizione di riga e il secondo si riferisce alla colonna. Le funzioni cbind() e rbind() vengono usate per aggiungere rispettivamente colonne e righe ad una matrice. > A<-matrix(c(1,4,6,8,-1,-4,0,6,0),nrow=3,ncol=3,byrow=T) > Amod<-cbind(A,Vett) # aggiunge una colonna ad A > Amod<-rbind(A,Vett) # aggiunge una riga ad A > A[1:1] [1] 1 > A[1,2] 10

11 [1] 4 > A[1,] [1] > A[,1] [1] > A[1:2,] [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] Altre operazioni elementari sulle matrici. > dim(a) [1] 3 3 > dim(a)[1] [1] 3 > dim(a)[2] [1] 3 > diag(c(6, 3, -10, 1)) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] > diag(3) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] > matrix(0, 4, 3) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] [4,]

12 > t(a) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] > sum(diag(a)) [1] 0 > all(a == t(a)) # controllo! [1] FALSE > inva<-solve(a) > A*A [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] > det(a) [1] 312 È possibile assegnare nomi alle righe e alle colonne di una matrice. > dimnames(a)<-list(c("nomeriga1","nomeriga2","nomeriga3"), + c("nomecol1","nomecol2","nomecol3")) > # per dare un nome solo alle righe di A si può usare il comando > dimnames(a)[[1]]<-list("nomeriga1","nomeriga2","nomeriga3") > # per dare un nome solo alle colonne di A si può usare il comando > dimnames(a)[[2]]<-list("nomecol1","nomecol2","nomecol3") > veta<-as.vector(a) > veta [1] > mata<-as.matrix(veta) > mata [,1] [1,] 1 [2,] 8 [3,] 0 [4,] 4 [5,] -1 [6,] 6 [7,] 6 [8,] -4 [9,] 0 12

13 > mata<-as.matrix(veta) > mata [,1] [1,] 1 [2,] 8 [3,] 0 [4,] 4 [5,] -1 [6,] 6 [7,] 6 [8,] -4 [9,] Gli array e le liste Gli array costituiscono un estensione delle matrici. Gli elementi di un array (multidimensionale) possono essere individuati da un vettore di indici. Tramite la funzione list (elenco o lista) si crea un oggetto che può essere visto come una raccolta di altri oggetti, anche differenti tra loro, compreso altre liste. > arr<-array(1:10,dim=c(3,5,2)) # 2 matrici 3x5 una dietro l'altra > arr,, 1 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] ,, 2 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] > dim(arr) [1] > arr[,,1] # la prima matrice [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,]

14 > arr[,,2] # la seconda matrice [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] > lista<-list(vett,a,nomi) > length(lista) # dimensioni della lista [1] 3 > lista[[1]] # primo elemento della lista Luca Marta Anna > length(lista[[1]]) # dimensioni del primo elemento della lista [1] 3 > nomi_lista<-c("vettore","matrice","nomi") > names(lista)<-nomi_lista # assegnazione dei nomi agli elementi della lista > lista $vettore Luca Marta Anna $matrice nomecol1 nomecol2 nomecol3 nomeriga nomeriga nomeriga $nomi [1] "Luca" "Marta" "Anna" > lista$vettore # primo elemento della lista Luca Marta Anna > is.list(lista) [1] TRUE > is.list(lista$nomi) 14

15 [1] FALSE > as.list(lista$nomi) [[1]] [1] "Luca" [[2]] [1] "Marta" [[3]] [1] "Anna" 2.4 I Data frame I data frame sono oggetti simili alle matrici ma con colonne che possono contenere dati di tipo diverso. In un data frame è possibile rappresentare variabili numeriche e variabili categoriali insieme. In statistica è utile rappresentare i dati provenienti da un indagine attraverso la costruzione di un data frame, dove ciascuna riga rappresenta l unità statistica osservata mentre le colonne corrispondono alle variabili rilevate. Le operazioni di indicizzazione si effettuano come su una matrice, oppure, per quel che riguarda le variabili (colonne) usando l operatore $. > dati<-data.frame(eta=c(23,30,44),nome=c("anna", "Luca", "Isa"), + genere=c("f", "M", "F")) > names(dati) [1] "eta" "nome" "genere" > dim(dati) [1] 3 3 > ncol(dati) [1] 3 > nrow(dati) [1] 3 > dati$eta [1] > dati$genere [1] F M F Levels: F M 15

16 > dati [dati$eta>=30,] eta nome genere 2 30 Luca M 3 44 Isa F > data() > fiori<-iris > fiori[1:5,] Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species setosa setosa setosa setosa setosa > is.data.frame(fiori) [1] TRUE La funzione attach() con argomento un data frame permette di utilizzare immediatamente le variabili che compongono il data frame senza definirle o ricorrere all operatore $, verificato che non esistono già nello spazio di lavoro delle variabili omonime. In ogni caso le operazioni fatte su queste variabili non cambiano il contenuto delle corrispettive componenti del data frame. Per effettuare un cambio permanente nel data frame bisogna utilizzare l operatore $. Per rilasciare il data frame si utilizza la funzione detach(), che può essere utilizzata anche per rilasciare packages caricati in precedenza. 2.5 Funzioni del tipo is.nome() e as.nome() Le funzioni del tipo is.nome() vengono utilizzate per controllare se l oggetto considerato è del tipo specificato in nome, mentre le funzioni del tipo as.nome() vengono utilizzate per forzare l oggetto considerato a trasformarsi nel tipo specificato in nome. Alcuni esempi: la funzione is.na(x) dà come risultato TRUE in presenza di entrambi i valori NA e NaN, mentre is.nan(x) dà come risultato TRUE solo in presenza di NaN. La funzione is.na(x) restituisce un vettore logico della stessa ampiezza di x con valore TRUE se e solo se il corrispondente elemento è NA; la funzione is.list() verifica che il suo argomento sia effettivamente una lista restituendo un valore logico TRUE o FALSE; in sintesi, per testare e convertire gli oggetti utilizzati da R, si può ricorrere ai seguenti comandi: 16

17 is.array(x), as.array(x); is.complex(x), as.complex(x); is.data.frame(x), as.data.frame(x); is.double(x), as.double(x); is.factor(x), as.factor(x), is.integer(x), as.integer(x); is.list(x), as.list(x); is.logical(x),as.logical(x); is.matrix(x), as.matrix(x); is.na(x), is.null(x), as.null(x); is.numeric(x), as.numeric(x); is.ts(x), as.ts(x); is.vector(x), as.vector(x). 3 Importazione ed esportazione di dati L importazione di dati, generati da programmi esterni ad R, può avvenire in diversi modi. Le funzioni dedicate a tale scopo sono diverse: read.table(), read.csv(), read.csv2(), read.delim(), read.delim2(), scan(), per le quali si consiglia di consultare l help del programma. Tra tutte, la funzione read.table consente di importare i dati contenuti in un file (formato tabella) e crea un data frame. Vi si accede con: read.table(file, header= FALSE, sep= "", dec= ".") file: nome del file (eventualmente con il percorso opportuno se il file non si trova nella directory di lavoro); header: se TRUE indica che la prima riga del file contiene i nomi delle variabili, l opzione di default è FALSE; sep: indica come sono separati gli elementi nel file da leggere. L opzione di default è "." (che indica qualsiasi carattere tra spazio, tab o a capo). Altrimenti si può specificare (ad es. ","); dec: carattere usato nel file di origine per indicare il separatore decimale (l opzione di default è "."). Per esportare i dati ottenuti da R in un altro programma si può utilizzare la funzione write.table, in grado di convertire un qualunque oggetto di R in un file di testo; write.table(), scrive una matrice o un data frame in un file (formato tabella). Vi si accede con: 17

18 write.table(x,file="", sep= " ", na= "NA", dec= ".", row.names= TRUE, col.names= TRUE) x: oggetto (matrice o data.frame) da scrivere; file: nome del file (eventualmente con il path se il file non si trova nella directory di lavoro) su cui scrivere; sep: come per read.table; dec: come per read.table; row.names: TRUE/FALSE o vettore che specifica i nomi da assegnare alle righe; col.names: TRUE/FALSE o vettore che specifica i nomi da assegnare alle colonne. Nel pacchetto base di R sono contenuti diversi dataset, per conoscere quelli disponibili basta usare il comando data(). 18