Giuseppe Accascina Problem solving con software didattico

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1 Giuseppe Accascina Problem solving con software didattico Inquadramento generale delle ricerche Le ricerche rientrano nell'ambito delle ricerche del progetto coordinato da Mariolina Bartolini Bussi. Il nostro gruppo di ricerca studia l attività di problem solving con software didattico a livello di scuola secondaria superiore e a livello di docenti di scuola secondaria superiore in formazione. In particolare attualmente l attenzione di tutto il gruppo è concentrata sull uso di software di geometria dinamica (DGS) nella geometria del piano. I DGS possono essere molto utili nel problem solving nel campo della geometria. Lo studente abituato a leggere in un testo le dimostrazioni di teoremi e a memorizzarle, non appena coinvolto in attività di problem solving con DGS, comincia a lavorare e a pensare come un ricercatore di matematica. Vedere per esempio [Schattschneider and King, 1997], [Furinghetti, Paola, 2003]. Inoltre un attività di problem solving con DGS può aiutare gli studenti ad apprezzare la natura e gli obiettivi delle dimostrazioni matematiche. Vedi [Hoyles, Jones, 1998], p Vedere anche [Olivero, 1999], [Hadas et al, 2000], [Hanna, 2000], [Laborde, 2000], [Mariotti, 2000], [Jones, 2000], [Mariotti, 2001], [Mariotti, 2005]. Nell attività di problem solving il docente chiede agli studenti di disegnare un diagramma con l ausilio di un DGS, di fare congetture sulle proprietà geometriche della configurazione ottenuta e di dimostrarne la verità o falsità. Tema della ricerca Abbiamo osservato in vari esperimenti che molti studenti che usano un DGS vedono soltanto alcune proprietà ma non altre. Il nostro gruppo di ricerca sta studiando proprio questi casi. Gli esperimenti fatti con studenti di scuola secondaria superiore, con futuri docenti (specializzandi SSIS) e anche con docenti in servizio sembrano mostrare che le proprietà non viste dagli studenti abbiano caratteristiche comuni. Parte dei risultati ottenuti sono stati descritti in [Accascina et al. 2004a], [Accascina et al, 2004b], [Accascina, Margiotta, Rogora, 2005a], [Accascina, Margiotta, Rogora, 2005b]. L analisi di queste caratteristiche suggerisce il tipo di modifiche da apportare ai problemi assegnati agli studenti in modo tale che la maggior parte di loro sia in grado di vedere le proprietà che prima gli erano rimaste nascoste. D altro canto appare anche necessario esporre piu volte gli studenti proprio a problemi in cui alcune proprietà non vengono viste e discutere con essi di ciò. Si stanno preparando alcuni esperimenti per ambedue le situazioni. Composizione del gruppo di ricerca. G.Accascina, E. Rogora (docenti universitari), M. Batini, F. Del Vecchio, G. Margiotta, E. Pietropoli, D. Valenti (docenti di scuole secondarie superiori). Riferimenti bibliografici. [Accascina et al. 2004a] Accascina, G., Batini, M., Del Vecchio, F., Margiotta, G., Pietropoli, E., Valenti D., (2004), Problem posing e problem solving con Cabri, Progetto Alice, 14, [Accascina et al. 2004b] Accascina, G., Batini, M., Del Vecchio, F., Pietropoli, E., Valenti D., (2004), Problem posing e problem solving con software di geometria dinamica, in (Accascina G,, Margiotta G. edts) Percorsi di Geometria dinamica, Cabri Géomètre II Pus, Cabri 3D, Cabriworld, 2004, pp [Accascina, Margiotta, Rogora, 2005a] Accascina G., Margiotta G, Rogora E. Making Bad Conjectures And Incomplete Proofs With Good Drawings Within a Dynamic Geometry

2 Environment, in (Olivero F, Sutherland R. edts) Proceedings of the 7 th International Conference on Technology in Mathematics Teaching, vol 1. pp [Accascina, Margiotta, Rogora, 2005b] Accascina G., Margiotta G., Rogora E., Pitfalls Caused by Evident Properties in a Dynamic Geometry Environment, Preprint, Dipartimento Me.Mo.Mat., Università La Sapienza di Roma [Furinghetti, Paola, 2003] Furinghetti F. and Paola, D. To produce conjectures and to prove them within a dynamic Geometry Environment: a Case Study. In Proceedings of the PME Conference, vol. 2, pp [Hadas et al., 2000] Hadas, N., Hershkowitz, R. and Schwarz, B. The role of contradiction and uncertainty in promoting the need to prove in dynamic geometry environments. Educational Studies in Mathematics, 44, [Hanna, 2000] Hanna, G. Proof. Explanation and exploration: an overview. Educational Studies in Mathematics, 44, 5-23 [Hoyles, Jones, 1998] Hoyles, C. and Jones, K. Proof in dynamic geometry contexts. In eds. Mammana, C. and Villani, V. Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st Century, Kluwer, Dordrecht [Jones, 2000] Jones, K. Providing foundation for deductive reasoning: students interpretations when using dynamic geometry software and their evolving mathematical explanation, Educational Studies in Mathematics, 44, [Laborde, 2000] Laborde, C. Dynamic geometry environments as a source of rich learning contexts for the complex activity of proving, Educational Studies in Mathematics, 44, [Mariotti, 2000] Mariotti, M.A. Introduction to proof: the mediation of a dynamic software environment, Educational Studies in Mathematics, 44, [Mariotti, 2001] Mariotti, M.A. Justifying and proving in the Cabri environment, International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6, [Mariotti, 2005] Mariotti, M.A. La geometria in classe. Riflessioni sull insegnamento e apprendimento della geometria. Pitagora, Bologna [Olivero, 1999] Cabri-Géomètre as a mediator in the process of transition to proofs in open geometric situations. In Proceedings of the 4 th International Conference on technology in Mathematics teaching, University of Plymouth, UK [Schattschneider, King, 1997] Schattschneider, D., King, J. Making Geometry Dynamic, in eds. Schattschneider, D., King, J. Geometry Turned On, Cambridge University Press, London

3 Giuseppe Accascina e Enrico Rogora Il problema del raccordo tra scuola e università. Materiali e possibili interventi. Inquadramento generale delle ricerche Le ricerche rientrano nell'ambito delle ricerche del sottogruppo Azione trasversale del Progetto Lauree Scientifiche coordinato da Gabriele Anzellotti. Il problema del raccordo in matematica tra scuola e università è stato ben descritto in una tavola rotonda durante l ICM 1998 di Berlino [De Guzmàn et al., 1998]: The passage from secondary school to tertiary mathematics education is determined by procedures varying considerably from one country to the other, and even within one country, from one institution to another. But whatever the context, this transition often presents major difficulties for an important part of those students who take mathematics courses at the tertiary level. This is true whether the students being considered are specializing in mathematics or are registered in a program for which mathematics is a service subject. Le difficoltà sono di varia natura: epistemologica e cognitiva, sociologica e culturale, didattica. Le difficoltà di natura epistemologica e cognitiva sono state studiate in [Accascina et al., 1998]. Da questa ricerca emerge che gli studenti non sanno, non sanno di non sapere, non sanno che la loro ignoranza influirà sui loro studi. [De Guzmàn et al., 1998] suggeriscono 12 azioni che potrebbero alleviare queste difficoltà. Le prime tre sono: 1. Stabilire un migliore dialogo tra docenti di scuola secondaria superiore e di università 2. Organizzare attività di orientamento per gli studenti 3. Organizzare attività di aiuto individuale per gli studenti. Tema della ricerca Il nostro gruppo di ricerca studia le difficoltà epistemologiche e cognitive incontrate dagli studenti e prepara materiali che possano essere utili a superarle avendo come obiettivi i tre punti indicati sopra. Ha in particolare pubblicato il CD AMBO [Accascina, Rogora et al., 2004]. Il CD si rivolge agli studenti degli ultimi anni di scuola secondaria che intendano proseguire i loro studi in campo scientifico; per costoro il CD realizza il duplice obiettivo di orientare verso la scelta universitaria e di rafforzare le conoscenze matematiche di base; ai docenti universitari e di scuola secondaria che vogliano organizzare percorsi di recupero sulle conoscenze matematiche. In [Accascina, Mastrogiovanni, Rogora, 2004 ] sono descritti gli aspetti informatici del CD (e le loro implicazioni didattiche), basati sulle metodiche di archiviazione di materiale didattico in formato elettronico, descritti in [Rogora, Sterbini, 2001] e in [Rogora, Roselli, 2001]. Il nostro gruppo sta attualmente conducendo delle analisi sull uso del CD in diversi contesti; a scuola, dove è stato utilizzato come materiale per attività di ripasso coordinate dagli insegnanti e all università, dove è stato utilizzato come materiale per l autoformazione. Sono state distribuite più di 4000 copie del CD alle matricole dei corsi di laurea di Ingegneria e di Scienze dell Università di Roma La Sapienza. I risultati delle analisi sull uso del CD sono alla base progetto che stiamo approntando per una sua nuova versione in cui inoltre intendiamo aggiungere nuovi argomenti (probabilità) e includere nuovi strumenti (percorsi di autoformazione che usino software matematico CAS, DGS, ). Composizione del gruppo di ricerca. G.Accascina, E. Rogora (docenti universitari), M. Batini, A. Celentano, C. Ipsevich, G. Olivieri, D. Proia, F. Rohr, S. Volpe (docenti di scuole secondarie superiori). Riferimenti bibliografici. [Accascina et al., 1998]

4 G. Accascina, P.Berneschi, S.Bornoroni, M.De Vita, G.Della Rocca, G.Olivieri, G.P.Parodi, F.Rohr. La strage degli innocenti. Problemi di raccordo in matematica tra scuola e università, Ed. Battagin, Bassano del Grappa, 1998 [Accascina, Rogora et al., 2004] G.Accascina, E. Rogora, M. Batini, A. Celentano, C. Ipsevich, G. Olivieri, D. Proia, F. Rohr, S. Volpe A.M.B.O. (Argomenti di Matematica di Base per l Orientamento) v. 1.9, CD, Università La Sapienza di Roma, 2004 [Accascina, Mastrogiovanni, Rogora, 2004] G. Accascina, M. Mastrogiovanni, E. Rogora Bridging the gap between high school and university mathematics, Atti Didamatica 2004, Ferrara. [De Guzmàn et al, 1998] M. De Guzmàn B. Hodgson, A. Robert, V.- Villani Difficulties in the passage from secondary to tertiary education Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berlin 1998, Documenta Matematica, vol. 3, pp [Rogora, Sterbini, 2001] E. Rogora, A. Sterbini Multiple choice quiz in a web teaching environment, Atti del convegno Didamatica 2001, Bari [Rogora, Roselli, 2001] E. Rogora, P. Roselli Archiving, delivering and using Electronic teaching resources, Atti del convegno Didamatica 2001, Bari Contributo in collaborazione tra le unità di ricerca di Salerno e di Alessandria Giovannina Albano, Pier Luigi Ferrari Questo contributo si propone di illustrare una ricerca sull utilizzo di piattaforme per l e-learning per l insegnamento/apprendimento universitario della matematica. E indubbio che le ICT (Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione) sono ormai parte della nostra vita quotidiana, investendo ogni attività privata o pubblica che ci coinvolge. La Commissione Europea ha lanciato il Programma elearning il cui obiettivo globale è quello di sostenere e sviluppare ulteriormente l'uso efficace delle ICT nei sistemi europei di istruzione e formazione, come contributo a un'istruzione di qualità e come elemento essenziale per adeguare tali sistemi alle esigenze della società della conoscenza nel contesto di una formazione permanente. La nostra ricerca si concentra sull uso blended (cioè a supporto di attività tradizionali) di piattaforme di e- learning per l insegnamento/apprendimento della matematica a livello universitario. Sono di interesse sia i fattori affettivi sia gli aspetti metacognitivi. Le domande di ricerca sono finalizzate a comprendere: Quali sono le aspettative e le convinzioni degli studenti sull e-learning. In che modo e attraverso quali delle funzionalità disponibili l uso di una piattaforma di e-learning può cambiare: la motivazione all apprendimento; gli atteggiamenti; il rapporto con la matematica; il rapporto col docente; le strategie di apprendimento.

5 Come e attraverso quali funzionalità l uso di una piattaforma di e-learning può creare nuove occasioni di studio e apprendimento. La ricerca in atto si immette nel filone teorico del costruttivismo e dell apprendimento significativo di Jonassen (2003). La teoria di David Jonassen si muove all'interno della versione costruttivistica, aperta da Papert, in cui gli strumenti informatici fanno parte dei contesti di apprendimento. Secondo Jonassen (2000) la tecnologia può essere considerata come tool per accedere alle informazioni, per rappresentare idee e comunicare con gli altri, per realizzare prodotti; partner intellettuale o mindtool per organizzare ciò che si apprende, rappresentare la propria conoscenza, per riflettere su quanto si è appreso e su come lo si è fatto, per sostenere la negoziazione interna e la creazione di significato, per costruire rappresentazioni personali e sostenere l attenzione; contesto per rappresentare e assimilare problemi, situazioni e contesti dei mondo reale, per rappresentare credenze, prospettive e storie di altri, per sostenere il discorso in comunità di studenti che costruiscono conoscenza. L apprendimento significativo è caratterizzato dall essere: attivo, ovvero rende responsabile l'allievo dei propri risultati; costruttivo, attraverso l'equilibrio tra i processi di assimilazione ed accomodamento; collaborativo, in particolare attraverso l'insegnamento reciproco (reciprocal teaching) ed il sostegno (scaffolding e coaching) offerto dall insegnante; conversazionale, perché coinvolge i processi sociali e in particolare quelli dialogico-argomentativi; intenzionale, in quanto coinvolge attivamente e pienamente l allievo nel perseguimento degli obiettivi cognitivi; contestualizzato, in quanto i compiti di apprendimento coincidono con i compiti significativi del mondo reale; riflessivo, in quanto gli studenti organizzano quello che hanno appreso riflettendo sui processi svolti e sulle decisioni che hanno comportato. In questo quadro l uso di piattaforme è compatibile con metodi costruttivi e interattivi, e in particolare all approccio discorsivo alla matematica. In breve sono offerte diverse possibilità: interazione fra pari; ruolo flessibile dei tutori (semplici monitori, agenti provocatori, correttori, docenti, ); diversi sistemi semiotici: testi verbali, espressioni simboliche, figure; diverse funzioni cognitive dei testi verbali: da testi/processi (forum) a testi/oggetti (workshop); il gioco di ruoli, che è una variante sul tema della cooperazione e ha la funzione di proporre agli studenti ruoli non passivi e di ribaltare l atteggiamento nei confronti dei problemi. Per quanto riguarda i fattori affettivi, una prima indagine è stata condotta all Università di Salerno per individuare le attese degli studenti circa un corso blended: qual è l influenza delle ICT sulla qualità del corso, sull apprendimento in oggetto, sulla relazione con la matematica e con il docente (Albano, 2005a). E interessante notare come i primi risultati sottolineino come il docente da un lato risulti essere la chiave del successo per un uso efficace di strumenti di e-learning, dall altro venga finalmente percepito vicino in un ambiente dove per forza di cose (gran numero di studenti, modus operandi etc) risulta mediamente lontano o assente. D altro canto si è potuto notare un certo parallelismo tra le convinzioni/attese dei docenti che usano il PC rilevate in (Bottino, Furinghetti, 1994, 1996) e quelle degli studenti: da un lato ci sono docenti che considerano il computer come uno strumento utile per introdurre argomenti di matematica in modo più veloce, semplice o interessante, dall altro ci sono studenti che, grazie al computer, si aspettano di imparare più velocemente e facilmente e di trovare la matematica più interessante; da un lato abbiamo docenti che mirano a dare agli studenti una visione dell utilità pratica dei computer e del loro impatto sulla vita sociale, dall altro abbiamo studenti che si aspettano di imparare ad usare il computer perché ne hanno/avranno bisogno nella quotidianità della nostra società. Una più raffinata indagine è in corso tenendo conto degli studi di Zan (1996) che evidenziano come la modifica di atteggiamenti negativi influenza il successo nell apprendimento.

6 Per quanto riguarda gli aspetti metacognitivi, l idea è di supportare gli studenti con attività on-line, basate sui giochi di ruolo, che li coinvolgano attivamente e che mirino a far affrontare loro i temi di studio in una maniera meno mnemonica e più critica. Nell impostazione che abbiamo scelto, ogni studente ha assegnati tre argomenti: per il primo di essi, deve preparare delle domande come fosse un docente che verifica l apprendimento di uno studente; per il secondo, deve rispondere alle domande preparate da un collega; per il terzo torna nel ruolo del docente correggendo le risposte date da un altro. Alla fine di ogni ciclo il docente aggiunge i suoi commenti. Per ciascuna attività ognuno ha un tempo da rispettare, poiché l attività di ciascuno è presupposto per quelle successive di altri. I file elaborati da ciascuno vengono messi in un area di condivisione, accessibile a tutti gli studenti coinvolti nel gioco. Una prima sperimentazione è stata condotta con gli studenti del primo anno di Ingegneria Elettronica all università di Salerno nello scorso anno accademico. Questo gioco di ruoli ha riscosso molto successo. Tutti hanno lavorato con impegno. I feedback sono stati raccolti a fine corso attraverso interviste (Albano, 2005b), che hanno mirato a capire in che modo le attività fatte hanno influito sul modo di studiare, quali benefici sono stati riscontrati dagli studenti stessi, quale ruolo giocato è stato ritenuto maggiormente utile e perché. I ruoli di docente che verifica l apprendimento e di studente che risponde a domande tra le più svariate preparate da altri sono stati i più apprezzati, perché ritenuti particolarmente utili per abituarsi ad un modo di studiare più critico e più approfondito. Questa idea iniziale, che si collega al tema del problem posing, è stata ampliata in collaborazione con P.L.Ferrari ed è in corso una sperimentazione parallela tra l università di Salerno e quella del Piemonte Orientale. Nell esperienza di Alessandria il docente rimane dietro le quinte, e i rapporti con gli studenti coinvolti nella sperimentazione sono gestiti da due tutori. Le altre modifiche consistono nell estensione del gioco di ruolo anche ai problemi, con una marcata attenzione al coordinamento fra sistemi semiotici (e.g., testi verbali-espressioni simboliche-grafici). Inoltre è stato creato un gruppo di controllo a cui lo staff (docente + tutori) assegna dei problemi (riguardo aspetti teorici e pratici); ogni studente lavora in autonomia alla risoluzione entro un tempo fissato, alla fine del quale lo staff mette a disposizione un modello di risoluzione attraverso cui gli studenti possono autovalutarsi. Il gruppo di controllo utilizza quindi la piattaforma senza però praticare il gioco di ruoli. La ricerca prosegue in due direzioni principali: Raccolta di ulteriori dati e raffinamento delle analisi delle attività cooperative basate su piattaforma, in particolare per quanto riguarda l uso del linguaggio e gli atteggiamenti verso la matematica. Costruzione e sperimentazione di percorsi individuali di recupero per studenti in difficoltà, sfruttando al massimo l estrema flessibilità del supporto, che consente modalità di lavoro sia molto aperte (messa a disposizione di materiali con prove di autovalutazione finali) sia guidate in modo più stretto (percorsi personalizzati, questionari di autovalutazione intermedi e di comprensione dei testi, ). Riferimenti Albano, G. (2005a). Mathematics and E-learning: students' beliefs and waits. Proc. of CIEAEM 57. Albano, G. (2005b). A case study about Mathematics and E-learning: first investigations. (in progress). Bottino, R. M. & Furinghetti, F. (1994). Teaching mathematics and using computers: links between teachers' beliefs in two different domains. In J.P. da Ponte & J. F. Matos (editors), Proceedings of PME XVIII (Lisboa), v.ii, Bottino, R. M., Furinghetti, F. (1996). Teachers behaviours in teaching with computers. In A. Gutierrez & L. Puig (editors), Proceedings of PME 20 (Valencia), v.2, elearning Programme (2003). Multiannual programme (2004 to 2006) for the effective integration of information and communication technologies (ICT) in education and training systems in Europe. Jonassen, D.H. (2000). Computers as mindtools for schools: Engaging Critical Thinking. Upper Saddle River, NJ: Merril/Prentice Hall. Jonassen, D.H., Howland, J., Moore, J. Marra R.M. (2003). Learning to Solve Problems with Technology: A Constructivist Persepective. Upper Saddle River, NJ: Merril/Prentice Hall. Zan, R. (1996). Un intervento metacognitivo di recupero a livello universitario. La Matematica e la sua didattica, num. 1, pp , 1996.

7 DIMOSTRARE PER ASSURDO Samuele Antonini Università di Pavia Lavoro eseguito nell ambito del progetto PRIN 2003 Problemi di insegnamento-apprendimento in matematica: significati, modelli, teorie (coord. Maria G. Bartolini Bussi) Problema di ricerca L obiettivo della ricerca è quello di studiare le difficoltà degli studenti di scuola superiore e università con le dimostrazioni per assurdo. Le poche ricerche che si sono occupate della dimostrazione per assurdo in campo didattico hanno evidenziato quella che sembra una contraddizione: da un lato gli studenti manifestano profonde difficoltà con la dimostrazione per assurdo (per esempio Thompson, 1996), dall altra argomentare per via indiretta sembra un modo di pensare "naturale": gli studenti producono spontaneamente argomentazioni indirette nell esperienza quotidiana e anche in matematica, allo scopo di formulare congetture e di convincersi della verità di certi enunciati (Freudenthal, 1973; Polya, 1967; Thompson, 1996, Antonini, 2003a/b). Diventa quindi interessante andare a studiare i legami tra i processi che gli studenti attuano nella produzione di argomentazioni indirette (cioè, seguendo la definizione di Freudenthal, 1973, del tipo se così non fosse, avremmo che ), e i processi di costruzione di dimostrazioni per assurdo. Un quadro teorico adeguato per questo studio è quello dell Unità Cognitiva (Garuti et al., 1996a/b, Pedemonte, 2002) che si occupa proprio dello studio dei processi di costruzione di argomentazioni in relazione a quelli attuati per costruire una dimostrazione. Lo scopo è quello di analizzare e modellizzare i processi argomentativi ed esplorativi per individuare alcune variabili che possono favorire (o inibire) la costruzione di argomentazioni indirette e la transizione da un argomentazione indiretta ad una dimostrazione per assurdo. Risultati ottenuti E stato costruito un modello di dimostrazione per assurdo (Antonini, 2003a) che si basa sulla nozione di teorema come terna composta da enunciato, dimostrazione e teoria di riferimento, esposta in Mariotti (2000). La nozione di teorema come terna è stata opportunamente raffinata per tener conto della struttura logica della dimostrazione per assurdo, e della rilevanza che alcuni elementi sembrano assumere dal punto di vista cognitivo. In particolare, in una dimostrazione per assurdo sono stati individuati due livelli teorici e tre enunciati, formulati su diversi livelli teorici. Il modello si è rivelato particolarmente efficace quale strumento per l individuazione, la descrizione e l analisi fine delle difficoltà, e per la formulazione di precise questioni di ricerca. Per quanto riguarda l argomentazione, sono state individuate alcuni variabili che sembrano rilevanti per la genesi di argomentazioni indirette. In particolare, sembra che la produzione durante l esplorazione di certi esempi (che abbiamo chiamato non-esempi) che non verificano le condizioni del problema, possa portare i soggetti alla produzione di argomentazioni indirette della congettura (Antonini, 2003b). Problemi aperti Lo studio sulle relazioni tra i processi esplorativi (per esempio quelli modellizzati da Boero et al, 1999) e la struttura dell argomentazione e della dimostrazione in fase di produzione di congetture non è ancora ben approfondito in letteratura e ci sembra possa essere rilevante sia dal punto di vista teorico, sia per le ricadute didattiche. Sarà necessario definire in termini più precisi cosa si intende con struttura di un argomentazione, argomentazione indiretta, argomentazioni con strutture simili.

8 Parallelamente, dagli studi fatti, risulta che uno dei problemi maggiori degli studenti è quello dell accettabilità di una dimostrazione per assurdo come argomentazione che effettivamente valida un enunciato. Lo studio dell accettabilità pone profondi problemi di natura cognitiva, linguistica, e storico-epistemologica. Si tratta innanzitutto di definire cosa si intende con accettabilità di una dimostrazione, o in generale, di un argomentazione. A tal fine, una prima proposta può essere quella che si rifà alla nozione di accettabilità intuitiva di Fischbein (1987). Inoltre, un attenta ricerca sull origine della dimostrazione e in particolare della dimostrazione per assurdo, può rivelare elementi significativi dal punto di vista culturale e linguistico. A questo proposito, riteniamo adeguata la linea di Szabó (1978) che avanza e motiva l ipotesi che la dimostrazione matematica trova le sue radici nelle argomentazioni della filosofia eleatica. Dal punto di vista cognitivo riteniamo anche che non si possa ignorare il ruolo di certe dinamiche mentali, soprattutto di carattere temporale (Guala & Boero, 1999), non solo nella produzione ma anche nell accettazione di argomentazioni indirette e di dimostrazioni per assurdo. Infine, in un approccio di natura linguistica, la pragmatica può spiegare la non accettabilità di una dimostrazione per assurdo a partire dal fatto che tali dimostrazioni, per un certo soggetto, possono violare alcune regole conversazionali, nel senso di (Grice, 1975). Riferimenti bibliografici Antonini,S.(2003a), Dimostrare per assurdo: analisi cognitiva in una prospettiva didattica, Tesi di Dottorato, Dipartimento di Matematica, Università di Pisa. Antonini S.(2003b), Non-examples and proof by contradiction, in Proceedings of the 2003 Joint Meeting of PME and PMENA, Honolulu, Hawai'i, U.S.A., vol. 2 pp Boero,P.,Garuti,R.&Lemut,E.(1999), About the Generation of Conditionality of Statements and its Links with Proving, in Proceedings of the 23th PME Conference, Haifa, vol. 2 pp Fischbein,E.(1987), Intuition in science and mathematics, Dordrecht: Kluwer. Freudenthal,H.(1973), Mathematics as an educational task, Reidel Publishing Company: Dordrecht, Holland. Garuti,R.,Boero,P.,Mariotti,M.A.(1996a), Some dynamic mental processes underlying producing and proving conjectures, in Proceedings of th 20th PME Conference, Valencia, vol. 2 pp Garuti,R.,Boero,P.,Lemut,E.&Mariotti,M.A.(1996b), Challenging the traditional school approach to theorems: a hypothesis about the cognitive unity of theorems, in Proceedings of th 20th PME Conference, Valencia, vol. 2 pp Grice,H.P. (1975), Logic and conversation, in Cole, P.&J.L.Morgan (Eds.), Syntax and semantics: vol.3 Speech acts (pp ), New York: Academic Press (trad. it.: Logica e conversazione, Bologna: il Mulino). Guala, E. & Boero, P.: 1999, Time Complexity and Learning, Annals of the New York Accademy of Sciences, 879, Mariotti,M.A.(2000), Introduction to proof: the mediation of a dynamic software environment, Educational Studies in Mathematics v. 44 pp Pedemonte,B.(2002), Etude didactique et cognitive des rapports de l'argumentation et de la

9 démonstration dans l'apprentissage des mathématiques, Thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble. Polya,G.(1967), How to solve it, Princeton University Press, Traduzione italiana, Come risolvere i problemi, ed. Feltrinelli. Szabó, A. (1978), The beginnings of greek mathematics, Dordrecht: Reidel. Thompson,D.R.(1996), Learning and Teaching Indirect Proof, The Mathematics Teacher v. 89(6) pp F. Arzarello, O.Robutti, F, Ferrara, C. Sabena, insegnanti (COFIN BARTOLINI) Università di Torino La nostra ricerca più recente è basata su studi in ambito psicologico (Antinucci, 2001), neurologico (Gallese & Lakoff, 2005) e di educazione matematica (Nemirovsky et al., 2003; Tall, 2002). In particolare è fondata sul paradigma dell embodied mind, che sfida la comune concezione secondo cui tutti i concetti sono simbolici ed astratti, e sostiene che la conoscenza concettuale è radicata nelle esperienze percettivo-motorie dell individuo. Gli esseri umani sono caratterizzati rispetto agli animali dalla manipolazione di simboli, ma tale uso è strutturato dall azione e dai sistemi percettivi comuni che si sviluppano sia in ambienti naturali che in contesti in cui sono presenti artefatti. E in tali ambienti che la matematica, prodotto culturale dell umanità, si sviluppa come costruzione umana fondata sull esperienza senso-motoria (Lakoff & Nunez, 2000). Certamente, la riduzione di concetti astratti a fenomeni concreti non spiega completamente i processi fondamentali che sono coinvolti negli atti di astrazione. Infatti, le esperienze senso-motorie possono essere strutturate in modo vario da quelle predisposizioni neurofisiologiche che noi in quanto esseri umani possediamo geneticamente, ma mediate dai fattori ambientali che includono i sistemi simbolici e culturali nei quali siamo immersi, sia come individui che come gruppi (Schiralli & Sinclair, 2003). Evoluzione genetica e culturale rappresentano i due quadri profondamente intrecciati entro cui vivono e vanno studiati i processi di astrazione, in particolare quelli di chi apprende la matematica. I processi di apprendimento procedono, in modo sociale, per appropriazione, creazione, condivisione di nuovi segni legati profondamente alle esperienze senso-motorie, in particolare a quelle con gi strumenti; tali processi sono rivelati da gesti, parole, azioni, sguardi, atti di immaginazione, che rappresentano elementi di oggettificazione della conoscenza (Radford, 2005). La nostra ricerca è rivolta a studiare tali elementi, nello specifico dell apprendimento-insegnamento della matematica: da una parte le relazioni tra gesti, sguardi, e l immaginazione in matematica (indicatori di tale processo, come illustrato nel passato da famosi matematici quali Poincaré, Hilbert, Hadamard); dall altra l interazione tra strumenti e pensiero matematico (mediatori della conoscenza, secondo una tradizione millenaria, oggi fondamentale per il ruolo delle nuove tecnologie). Su questo versante, si utilizzano approcci teorici che mettono in luce il tipo di utilizzo dell artefatto secondo il processo di strumentalizzazione che il soggetto intraprende (Verillon & Rabardel, 1995) o la maggiore/minore trasparenza che un artefatto può avere per l utilizzatore (Meira, 1998; Ainley, 2000). Questo quadro teorico è stato utilizzato per sviluppare due studi di tipo sperimentale in continuità con quelli precedenti: 1) la costruzione dei concetti matematici e la genesi delle dimostrazioni in ambiente geometrico bi- e tridimensionale, con l uso di materiali concreti e di ambienti virtuali di geometria dinamica (la geometria nel piano e su sfera, cilindro, cono, con l obiettivo di investigare sul senso dello spazio ); 2) La genesi del concetto di funzione e delle sue rappresentazioni grafiche, simboliche, numeriche a partire da esperienze in contesti vari: scienze fisiche e sperimentali, economia, informatica e matematica (invariante, variazione, modello,

10 funzione, grafico, pendenza, variazione di pendenza, derivata, integrale). L approccio adottato è embodied e particolare attenzione viene rivolta al ruolo di mediazione semiotica degli strumenti. I nostri studi hanno due finalità, in parte già raggiunte: costruire un modello cognitivo comune, applicabile in generale a situazioni di apprendimento in cui gli allievi sono coinvolti in interazione sociale, e legare le attività di ricerca e di didattica con ricadute da entrambe le parti. Un risultato ottenuto, legato alla prima finalità, è il costrutto teorico dello Spazio di Azione, Produzione e Comunicazione, che intreccia gli elementi percettivo-motori dell attività di apprendimento con quelli semiotici della costruzione di conoscenza matematica da parte degli allievi. Un lavoro in corso, legato alla seconda finalità, è l analisi di test tipo OCSE, PISA, o Invalsi, con il duplice obiettivo di ricerca e di didattica, per trovare un equilibrio in una dialettica tra due polarità: quella di analisi dei processi da una parte e quella di valutazione dei prodotti dall altra. I primi risultati dei nostri studi sono stati presentati nel 2005 al CERME4 (Barcellona), al PME29, al convegno Interacting Bodies (Lione) e al Convegno ICTMT7 (Bristol). L. Bazzini, F. Morselli, L. Bertazzoli (COFIN BOERO) La nostra ricerca più recente si rivolge essenzialmente a due temi: La sinergia di ambienti diversi (in particolare carta e penna e CABRI) nella costruzione di conoscenza matematica da parte degli studenti; L influsso che i modelli teorici, elaborati dalla ricerca didattica relativamente al comportamento cognitivo degli allievi, possono esercitare sul comportamento dell insegnante che ha studiato e interiorizzato tali modelli. Riguardo al primo tema, ci inseriamo nel dibattito sul ruolo delle nuove tecnologie, che possono modificare sensibilmente il modo di insegnare ed apprendere la matematica. Studi recenti hanno evidenziato le potenzialità di software di Geometria Dinamica nel favorire la comprensione di concetti matematici e procedure (si vedano ad esempio Mariotti, 2000; Marrades & Gutiérrez, 2000, Arzarello et al.,2002, Lagrange & Grugeon, 2003 ). Le potenzialità del software a volte accompagnano e a volte sono in contrasto con l attività tradizionale in ambiente carta-penna: interessante al riguardo l analisi di Assude e Gelis (2002) sulla dialettica tra il vecchio e il nuovo. Questi autori sottolineano la necessità di trovare un buon equilibrio attraverso l integrazione dei due ambienti: condividendo questa prospettiva abbiamo progettato e svolto un teaching-experiment in cui l esplorazione dinamica in Cabri è accompagnata da momenti di riflessione, verbalizzazione e interazione coi compagni e con l insegnante. In questo teaching-experiment l alternanza e l integrazione dei due ambienti, adattata alle condizioni e alla cultura della classe, ha prodotto sinergia (in particolare nella produzione e validazione di congetture). Il processo di apprendimento, caratterizzato da componenti diverse (azioni e interazioni, produzioni e comunicazioni) conferma inoltre la necessità di un approccio globale, secondo il modello teorico dello Spazio di Azione, Produzione e Comunicazione (APC Space, Arzarello, 2004). Per quanto riguarda il secondo tema, ci collochiamo nel filone di ricerca che studia la natura dialettica del rapporto teoria-pratica e la necessità di un ottica collaborativa (si vedano i lavori di Brown & Cooney, 1991, Bazzini, 1991, Burton, 1991, Wittmann, 1991, Steinbring, 1994). La nostra attenzione si rivolge al ruolo dei modelli teorici nei processi di insegnamentoapprendimento della matematica, con riferimento alla figura dell insegnante. E interessante vedere come la conoscenza e l'interplay di costrutti teorici influenza e modella il comportamento dell'insegnante nelle fasi di progettazione, gestione, analisi delle attività in classe. Punto di partenza per questo studio è l analisi del comportamento professionale di un insegnante che ha subito un certo imprinting teorico, ha interiorizzato correttamente i modelli teorici e li usa proficuamente, riuscendo a cogliere e potenziare le intuizioni degli alunni con opportune

11 microdecisioni. Riteniamo che l esame di questo case study potrà fornirci indicazioni sull individuazione di strategie compatibili con l apparato teorico (e presumibilmente ispirate da esso), non escludendo che in altre situazioni possano verificarsi strategie diverse, anche non compatibili coi modelli teorici appresi. Giorgio T. Bagni Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine ARTEFATTI E LINGUAGGIO NELLA DIDATTICA DELLA MATEMATICA 1. La presente ricerca si inquadra nel COFIN 2005 coordinato da Paolo Boero (Unità di Roma, coordinata da Lucilla Cannizzaro) e rientra nell ambito della Didattica della Matematica con particolare attenzione agli aspetti storico ed epistemologico, i quali meritano considerazione anche nel settore di formazione degli insegnanti. Una sperimentazione (Bagni, forthcoming-a) è stata incentrata su di un approccio interculturale che può essere assai produttivo in ambito didattico: essa non prevede infatti un semplice accostamento di esperienze derivanti dalle diverse culture, bensì è basata su di un efficace interazione, su di un confronto paritetico che porti alla valorizzazione delle differenze (Rorty, 2003). Nella presente ricerca, in particolare. è stata studiata un esperienza didattica basata sull uso di artefatti derivati dalla tradizione matematica cinese (bastoncini e tavola da calcolo), applicati alla risoluzione di alcuni problemi originali (equivalenti a sistemi di equazioni lineari) proposti ad allievi di 11 anni. L applicazione delle bacchette da calcolo nel campo della ricerca in didattica della matematica richiede la precisazione di un apposito quadro teorico: ci siamo basati su quanto proposto da Bartolini Bussi, Mariotti e Ferri (2005) che si collega a lavori di Vygotskij (1974, 1990), Rabardel (1995) e Wartofsky (1979). In particolare, com è noto, Vygotskij riconosce funzioni di mediazione agli strumenti tecnici e psicologici (e, per quanto riguarda l uso, ne sottolinea l intenzionalità); Wartofsky identifica gli strumenti tecnici come artefatti primari; gli artefatti secondari sono usati per fissare e trasmettere le modalità di azione. Nella situazione sperimentale in esame, le bacchette da calcolo sono considerate, in prima lettura, artefatti primari; regole e convenzioni rappresentative corrispondono ad artefatti secondari; una teoria matematica è un artefatto terziario che organizza gli artefatti secondari (Wartofsky, 1979). Didatticamente significativo è che l uso degli artefatti primari richieda la loro manipolazione; l importanza degli aspetti corporei si accorda con la recente posizione della scienza cognitiva basata sui lavori di Lakoff, Johnson e Núñez (Lakoff & Núñez, 2000), secondo la quale la formazione di idee matematiche si basa sull esperienza sensoriale-motoria (Antinucci, 2001; Robutti & Ghirardi, 2004; Arzarello & Robutti, forthcoming). La ricerca sperimentale è in progress, ma alcuni risultati sono già stati ottenuti e presentati alla comunità scientifica (Bagni, forthcoming-a, b, c). La più ampia riflessione sul linguaggio ha portato alla pubblicazione di alcuni lavori (Bagni, 2005-a, b; D Amore, Radford & Bagni, forthcoming); un esposizione più organica delle problematiche affrontate è in preparazione. 2. Per quanto riguarda l approfondimento teorico delle questioni collegate al linguaggio, ci riferiamo ad Gadamer (2000) e Rorty (2004); alcuni spunti sono tratti da Wittgenstein (1971, 1999), Radford (2003) e dallo studio delle diverse radici della razionalità (seguendo: Habermas, 2001). Si consideri, ad esempio, la celebre possibilità di collegare una proposizione geometrica ad un dispositivo meccanico descritta in alcuni passi delle Osservazioni sopra i fondamenti della matematica (Wittgenstein, 1971, III, 49, p. 168 e V, 51, p. 256). Un primo accenno a tale

12 dispositivo meccanico è nella III parte dell opera, in cui Wittgenstein scrive: «supponiamo che io abbia davanti a me le fasi del movimento di sotto forma di immagine. Questo mi aiuta a formulare una proposizione che io ricavo, per così dire, dalla lettura di quest immagine. [ ] È strano che dalla lettura di un immagine si debba poter ricavare una proposizione. Tuttavia la proposizione non tratta dell immagine che io vedo. Non dice che in quest immagine si può vedere questo e quest altro. Ma non dice nemmeno che cosa farà il meccanismo reale, per quanto lo faccia capire» (Wittgenstein, 1971, III, 49, p. 168). Nel passo sopra riportato, dunque, Wittgenstein introduce e discute la possibilità di formulare una proposizione ricavata dalla lettura di un immagine. Ma quando riprenderà l argomento, nella V parte dell opera (nel paragrafo conclusivo delle Osservazioni sopra i fondamenti della matematica), la sua posizione andrà ben oltre quella ora ricordata. Seguiamo la citazione originale: «considera un meccanismo; per esempio questo: Mentre il punto A descrive un cerchio, B descrive una figura a forma di otto. Questa proposizione la scriviamo come una proposizione della cinematica. Mettendo in moto il meccanismo, il suo movimento mi prova la proposizione, proprio come farebbe una costruzione disegnata sulla carta. La proposizione corrisponde, poniamo, a un immagine del meccanismo in cui siano disegnate le traiettorie descritte dai punti A e B. Dunque, per un certo aspetto, la proposizione è un immagine di quel movimento. Tien fermo ciò di cui la prova mi convince» (Wittgenstein, 1971, V, 51, p. 256). L enfasi, in questo secondo caso, non è più sulla possibilità che il meccanismo avrebbe di suggerire la proposizione, bensì sul fatto che la proposizione è un immagine di quel movimento. Non c è, dunque, la necessità di alcun suggerimento : è il movimento stesso che prova la proposizione. E, prosegue Wittgenstein, «se la prova registra il procedere secondo la regola allora, così facendo, produce un nuovo concetto» (Wittgenstein, 1971, V, 51, p. 256). La conclusione è importante: «la prova deve mostrare il sussistere di una relazione interna [ ] perché la relazione interna è l operazione che produce una struttura dall altra [ ] così che il passaggio conforme a questa successione di immagini è, eo ipso, un passaggio conforme a quelle regole di operazione» (Wittgenstein, 1971, V, 51, p. 256). 1 È essenziale notare che il meccanismo sopra descritto da Wittgenstein funziona: ed esso funziona indipendentemente dalla sua eventuale interpretazione in chiave matematica. Ma la coincidenza del 1 Per comprendere quest ultima delicata frase ne proponiamo le versioni originali in tedesco e in inglese: «so daβ nun der Übergang dieser Bilderreihe gemäβ, eo ipso ein Übergang jenen Operationregeln gemäβ ist» e «so that now the transitino according to this series of configuration is eo ipso a transition according to those rules for operating» (Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik Remarks on the Foundations of Mathematics. Blackwell, Oxford 1956, pp. 196 e 196e).

13 funzionamento fisico e del funzionamento matematico, ovvero della descrizione del moto dei punti mediante equazioni di un certo tipo, non può, ovviamente, ridursi ad una casuale analogia. È segnatamente la necessità della natura fisica che si rispecchia nella matematica (concetti, segni, regole algebriche etc.) mediante la quale il dispositivo meccanico viene descritto. La nostra ricerca è dunque incentrata, dal punto di vista teorico, ad approfondire questo legame fondamentale e dal punto di vista didattico (Ferrari, 2004; Mariotti, 2005) a studiare i possibili processi di insegnamento-apprendimento basati sul quadro teorico delineato. Grazie a Ferdinando Arzarello, Mariolina Bartolini Bussi, Paolo Boero, Bruno D Amore, Pier Luigi Ferrari, Donatella Iannece, Maria Alessandra Mariotti, Ornella Robutti per le preziose indicazioni. PRINCIPALI RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Antinucci, F.: 2001, La scuola si è rotta. Laterza, Bari. Arzarello, F. & Robutti, O.: forthcoming, Approaching functions through motion experiments. Educational Studies in Mathematics. Bagni, G.T.: 2005-a, Storie di concetti matematici: contesti socio-culturali e riorganizzazioni del sapere, Bollettino dei docenti di matematica, 50, Bagni, G.T.: 2005-b, Esistono infiniti primi gemelli? Nel cinquantenario della pubblicazione di Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (Osservazioni sopra i fondamenti della matematica) di Ludwig Wittgenstein (Oxford, 1956). La matematica e la sua didattica 4, Bagni, G.T.: forthcoming-a, Bacchette da calcolo cinesi e sistemi di equazioni, Atti del Seminario Franco Italiano di Didattica dell Algebra, VI. Bagni, G.T.: forthcoming-b, Some cognitive difficulties related to the representations of two major concepts of Set Theory. Educational Studies in Mathematics. Bagni, G.T.: forthcoming-c, Il re degli abitanti della luna è calvo? Nel centenario della pubblicazione di On denoting di Bertrand Russell (1905), Atti del Seminario Franco Italiano di Didattica dell Algebra, VI. Bartolini Bussi, M.G., Mariotti, M.A. & Ferri, F.: 2005, Semiotic mediation in primary school: Dürer s glass. Hoffmann, M.H.G.; Lenhard, J. & Seeger, F. (Eds.), Activity and sign. Grounding mathematics education. Festschrift for Michael Otte. Springer, New York, D Amore, B. & Radford, L. & Bagni, G.T.: forthcoming, Ostacoli epistemologici e prospettiva socioculturale. L insegnamento della matematica e delle scienze integrate. Ferrari, P.L.: 2004, Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica. Pitagora, Bologna. Gadamer, H.G.: 2000, Verità e metodo, traduzione di G. Vattimo. Bompiani, Milano (Warheit und Methode: Gründzuge einer philosophischen Hermeneutik. Mohr, Tübingen 1960). Habermas, J.: 2001, Verità e giustificazione. Laterza, Roma-Bari (Wahrheit und Rechtfertigung. Philosophische Aufsätze. Suhrkamp, Frankfurt a.m. 1999). Lakoff, G. & Núñez, R.: 2000, Where Mathematics come from? How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, Basic Books, New York. Mariotti, M.A.: 2005, La geometria in classe. Riflessioni sull insegnamento e apprendimento della geometria. Pitagora, Bologna. Rabardel, P.: 1995, Les hommes et les technologies: Approche cognitive des instruments contemporains. Colin, Paris. Radford, L.: 2003, On the epistemological limits of language. Mathematical knowledge and social practice in the Renaissance. Educational Studies in Mathematics 52(2), Robutti, O. & Ghirardi, S.: 2004, Dai moti alle rappresentazioni simboliche: un esperienza nella scuola elementare. L insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 27A-B, 5, Rorty, R.: 2003, La filosofia dopo la filosofia. Laterza, Roma-Bari (Contingency, irony, and solidarity. Cambridge University Press, Cambridge 1989). Rorty, R.: 2004, La filosofia e lo specchio della natura. Nota introduttiva di D. Marconi & G. Vattimo. Bompiani, Milano (Philosophy and the Mirror of Nature, Princeton University Press, Princeton 1979). Vygotskij, L.S.: 1974, Storia dello sviluppo delle funzioni psichiche superiori e altri scritti. Giunti, Firenze (Istorija razvitija vyssih psihiceskih funktcij, Accademia delle Scienze Pedagogiche della RSFSR, Moskva 1960; testo ultimato nel 1931).

14 Vygotskij, L.S.: 1990, Pensiero e linguaggio. Ricerche psicologiche. Laterza, Roma-Bari (Myšlenie i rec. Psichologiceskie issledovanja. Gosudarstvennoe Social no-ekonomiceskoe Izdatel stvo, Moskva- Leningrad 1934). Wartofsky M.: 1979, Perception, representation and the forms of action: towards an historical epistemology. In Models. Representation and the scientific understanding, Reidel, Dordrecht, Wittgenstein, L.: 1971, Osservazioni sopra i fondamenti della matematica. Einaudi, Torino (Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik. Blackwell, Oxford 1956). Wittgenstein, L.: 1999, Ricerche filosofiche. Einaudi, Torino (Philosophische Untersuchungen. Blackwell, Oxford 1953). Una ricerca sulla mediazione semiotica nella scuola elementare 2 Maria G. Bartolini Bussi (Università di Modena Reggio Emilia) Franca Ferri (Scuola Elementare Palestrina, Modena) Maria Alessandra Mariotti (Università di Siena) Michela Maschietto (Università di Modena Reggio Emilia) Il costrutto teorico della mediazione semiotica è stato introdotto nella psicologia dell'educazione da Vygotskij negli anni 30. Esso può essere riferito sia a sistemi di segni scritti (es. i sistemi di numerazione; il formalismo algebrico; i sistemi di coordinate) che a strumenti 'concreti' che consentono di compiere certe operazioni (es. abaco; compasso; prospettografo; PC con software di calcolo simbolico; PC con software di geometria dinamica, ecc.). L'applicazione alla didattica della matematica del costrutto teorico della mediazione semiotica è stato messo a punto con la pianificazione e la realizzazione di uno studio pubblicato in (Bartolini Bussi, Mariotti & Ferri, 2005). Si è così costruito un quadro teorico complesso, che prevede l articolazione di tre componenti: - una componente storico culturale, che descrive le caratteristiche polisemiche degli strumenti tecnici e psicologici che hanno la potenzialità di creare nuove forme di processi psicologici culturalmente fondati; sono qui essenziali i riferimenti a Vygotskij, Wartofsky (artefatti primari, secondari e terziari), Rabardel. - una componente didattica, che descrive il modo di progettare, realizzare a scuola ed analizzare processi di mediazione semiotica; sono qui essenziali i riferimenti a Bartolini e alla sua caratterizzazione della discussione matematica. - una componente cognitiva, che descrive i processi di internalizzazione dell attività interpsichica, che costruisce il piano della coscienza; qui il riferimento fondamentale sono i lavori di Vygotskij. Nel caso particolare di un esperimento didattico riguardante attività sul disegno prospettico con l uso di strumenti nella scuola elementare, si sono formulate due ipotesi, che hanno trovato puntuale riscontro nell analisi dell attività in classe. 1 ipotesi (Polisemia): la polisemia intrinseca dell artefatto favorisce la produzione della polifonia di voci (discussione matematica) nell attività in classe. 2 ipotesi (Embodiment): la concretezza dell artefatto induce la produzione di gesti, disegni e metafore che sono conservate anche nello stadio degli artefatti secondari e oltre. In questo intervento si intende presentare lo schema dell esperimento citato ed alcuni risultati particolari relativi all ipotesi di Embodiment, in cui si mostra come è proprio lo sviluppo parallelo dell uso di vari sistemi semiotici (gesti, disegni, testi orali e scritti) a produrre l internalizzazione della polisemia, sotto la guida dell insegnante (Bartolini Bussi e Maschietto, 2005). 2 Lavoro eseguito nell ambito del progetto PRIN 2003 ( ) Problemi di insegnamento-apprendimento in matematica: significati, modelli, teorie (coord. Maria G. Bartolini Bussi).

15 Riferimenti bibliografici. BARTOLINI BUSSI M.G., MARIOTTI M. A., FERRI F. (2005). SEMIOTIC MEDIATION IN THE PRIMARY SCHOOL: DÛRER'S GLASS. In HOFFMANN H.; LENHARD J.; SEEGER F. Activity and Sign - Grounding Mathematics Education(Festschrift for Michael Otte), New York: Springer. BARTOLINI BUSSI M. G. & MASCHIETTO M. (2005), Meaning construction through semiotic means: the case of the visual pyramid, Proc. PME29 (Melbourne, 2005) Il ruolo delle emozioni veicolate dall uso di fumetti nella costruzione del milieu per la negoziazione delle conoscenze matematiche nella scuola secondaria inferiore. Claudia Sortino Filippo Spagnolo G.R.I.M. Gruppo di Ricerca sull Insegnamento delle Matematiche Dipartimento di Matematica ed Applicazioni - Via Archirafi, PALERMO Italy Tel.+39(091) Fax +39(091) Mail: Web: Problema di ricerca In questo lavoro ho cercato di studiare i processi di insegnamento/apprendimento nella scuola secondaria inferiore finalizzati alla costruzione di particolari ambienti didattici ( milieu ) e al raffinamento di particolari strumenti o atteggiamenti che l insegnante può utilizzare durante l attività didattica per cercare di favorire la comprensione di argomenti matematici. Gli strumenti utilizzati di natura epistemologica e storica sono dei fumetti realizzati personalmente e il gioco dell indovina il numero. Gli strumenti di indagine sono qualitativi ma si pensa di poter utilizzare anche degli strumenti quantitativi. Attraverso queste attività, risulta che i ragazzi registrano molte esperienze di movimento nel quale il loro cognitive unconscious (Lakoff & Nùñez, 2000) viene evocato, attualizzato ed esplicitato. Nell uso multisensoriale dei fumetti come mediatori linguistici l approccio con la realtà è fondamentalmente lontano dall essere un semplice legame tra apprendimento scolastico ed esperienza di ogni giorno. In relazione ai risultati ottenuti con la sperimentazione mi sono chiesta entro i limiti delle conoscenze scientifiche, come avvengono certi processi di apprendimento dal punto di vista biologico e quindi quale sia effettivamente il ruolo delle emozioni nell apprendimento e se è possibile utilizzarle per non imporre la conoscenza ma per favorire che l apprendimento diventi un desiderio di apprendere (apetitus noscendi, Changeux 2003). L attenzione si é concentrata in particolare sulla possibilità di utilizzare un linguaggio prettamente iconico che tenda a ridurre al minimo il linguaggio scritto cercando di ridurre il più possibile l uso della lingua naturale. All interno di una prospettiva multiculturale o all interno di situazioni di handicap, si è cercato di costruire degli ambienti didattici facilmente riconoscibili dagli studenti per favorire il più possibile la comunicazione e la negoziazioni significati matematici. Il lavoro sperimentale organizzato nel seguente modo: è stata fatta una sperimentazione in classe in cui il riferimento teorico per quanto attiene all aspetto metodologico-sperimentale è quello della Teoria delle Situazioni [Brousseau G, 1997]. I dati sperimentali sono analizzati qualitativamente attraverso l analisi dell atteggiamento sia dell insegnante che degli studenti che dei protocolli in riferimento ai recenti studi di neurofisiologia (Changeux J P, Damasio A, Edelman G) e alla teoria di Embodied Mathematics (Lakoff & Nùñez, 2000), studi sulla Semiotica (McCloud S) e la Psicologia (L S Vygotskij). Conclusione e Problemi aperti

16 Alla luce dell ipotesi posta in particolare con l uso dei fumetti, il variegato linguaggio di mediazione tra l insegnante, l alunno e la situazione didattica nasce da un approccio alla matematica percettivo-motorio legato ad un approccio simbolico-ricostruttivo. Questo, in un contesto di interazione sociale gestito dall insegnante, produce non solo un apprendimento basato sul fare, sul toccare, muovere e vedere (Nemirovsky, 2003) ma anche sul riconoscere il particolare ambiente didattico facendo uso di un esperienza vissuta nella realtà. Le emozioni sono indispensabili per la creazione di un ricordo perché lo organizzano in una sequenza di eventi. In questo modo ne stabiliscono l importanza. Problemi aperti. L analisi proseguirà con ulteriori approfondimenti del lavoro in ambienti di multicultura e in situazioni di handicap. Riferimenti bibliografici fondamentali - Azzarello F., 2004, Mathematical landscapes and their inhabitants: Perceptions, languages, theories, proc. ICME 10, Copenhagen, Denmark. - Barberi Daniele, 2002, I Linguaggi del Fumetto, Strumenti Bompiani. - Brousseau Guy, 1997, Theory of Didactical situations in mathematics , (304 pages) traduction M. Cooper, N. Balacheff, Rosamund Sutherland et Virginia Warfield. (KLUWER Academic Publishers). - Changeux Jean Pierre, 1998, L uomo neuronale, trad. Cesare Sughi, Feltrinelli, Milano. - Changeux Jean Pierre, 2003, L uomo di verità, trad. Alessandro Serra, Feltrinelli, Milano. - Cipolla Michele, 1949, Matematica ricreativa, Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi a cura di L.Berzolari, ristampa 1972, Hoepli, Milano. - Damasio Antonio R., 1995, L errore di Cartesio, Adelphi. - Kandel E.R.- Schwartz J.H.- Jessel T.M., 1999, Fondamenti della Neuroscienze e del comportamento, c.ed. Ambrosiana, Milano. - Lakoff G. & Núñez E.R., 2000, Where Mathematics comes from,. - McCloud Scott, 1996a, Capire il fumetto - L arte invisibile, Torino, ed. Vittorio Pavesio Productions. - Vygotskij L.S. 1934, 1992, Thought and Language, Italian translation from the two editions by L.Mecacci, Bari, Laterza. Il passaggio dal Pensiero Aritmetico al Pensiero Algebrico in situazioni di multicultura Benedetto Di Paola 3 G.R.I.M. Gruppo di Ricerca sull Insegnamento delle Matematiche Dipartimento di Matematica ed Applicazioni - Via Archirafi, PALERMO Italy Tel.+39(091) Fax +39(091) Mail: Web: Problema di ricerca Uno dei problemi più interessanti che si pongono oggi è certamente quello di confrontarsi con la diversabilità in situazioni di multicultura, realtà ormai presente nella nostra società, in continuo mutamento socio-culturale, e quindi nodo centrale per la ricerca in didattica. Se infatti i fenomeni di insegnamento/apprendimento delle discipline hanno già sistemi complessi di indagine, la diversabilità ne aumenta notevolmente la difficoltà. Come evidenziato dalla ricerca in didattica (in ambienti non multiculturali), ogni persona, 3 Progetto di Dottorato di Ricerca in: STORIA E DIDATTICA DELLE MATEMATICHE, DELLA FISICA E DELLA CHIMICA, Università di Palermo, A.A. 2005/2006.

17 appartenente ad una stessa cultura, possiede differenze cognitive rispetto ai suoi simili; in ambienti multiculturali queste si sommano a quelle riscontrabili nei diversi saperi che interagiscono. Analizzare gli stili cognitivi nelle diverse culture, evidenziando quelle che possono essere gli schemi di ragionamento, i comportamenti, le credenze e le concezioni riguardo all acquisizione di un particolare concetto è certamente un operazione complessa ma può essere la chiave per una didattica più attenta alle diverse abilità e quindi al rispetto dell altro. La ricerca in didattica negli ultimi anni si è mostrata molto sensibile alla problematica trattata: gli studi portati avanti hanno permesso di mettere in evidenza il ruolo della storia delle matematiche come strumento di osservazione ed analisi di situazioni di insegnamento/apprendimento in condizioni di multiculturalità; il ruolo del linguaggio e della logica nello sviluppo della disciplina e del pensiero matematico autonomo; il ruolo del contesto socio-culturale dell ambiente nel quale si inserisce e si analizza la situazione di insegnamento/apprendimento multiculturale. Il progetto di ricerca, mirando all analisi dei processi cognitivi in relazione al passaggio dal pensiero aritmetico al pensiero algebrico, si inserisce in questo contesto nella comparazione specifica tra il pensiero europeo e quello cinese. - Gli allievi cinesi ed europei, nella risoluzione di particolari problemi, mettono in atto differenti strategie risolutive riferite alla loro cultura di origine (Lingua Naturale, schemi logico argomentativi, algoritmi, etc )? - Nel passaggio dal pensiero aritmetico a quello algebrico si evidenziano queste differenze? - Lo studio di tali differenze può aiutare la comprensione dei fenomeni di insegnamento/apprendimento in situazioni di multicultura? Per poter interpretare lo studio comparativo tra il pensiero cinese e quello europeo in situazioni di insegnamento/apprendimento in prospettiva multiculturale, ci si riferisce agli studi di J.G. Gherghese (1987) e U. D Ambrosio (2002). Un primo confronto tra le due civiltà considerate viene proposto dal punto di vista storico epistemologico attraverso l analisi criticocomparativa dei due testi più rappresentativi delle due culture nell antichità: I Nove Capitoli di arte matematica e gli Elementi di Euclide. Naturalmente, ove c e ne fosse bisogno, gli argomenti saranno approfonditi con altri riferimenti storico-epistemologici. Particolare attenzione in questo senso è rivolta alla comparazione dei riferimenti logico-argomentativi rispetto alla lingua naturale e alla Matematica (Chemla, 2001; Granet, 1988). Il riferimento teorico per quanto attiene all approccio metodologico-sperimentale è quello della Teoria delle Situazioni di G.Brousseau (Brousseau, 1997). Mettere in evidenza la socializzazione degli stili cognitivi (fase di validazione della situazione a-didattica) sarà l elemento portante per la comprensione dei fenomeni. Metodologia e strumenti di indagine Per quanto riguarda la parte storico-epistemologica saranno utilizzati gli strumenti ed i metodi di indagine storica. Sono previste due situazioni a-didattiche in classe messe a punto secondo la teoria delle Situazioni di G. Brousseau. In questa fase di ricerca sarà privilegiata l analisi qualitativa dei dati: classificazione di schemi di ragionamento, classificazione di indicatori semantici nelle fasi argomentative e congetturali. Lo studio del materiale di supporto sarà analizzato anche in funzione del loro ruolo di mediazione didattica. Prima e dopo la sperimentazione delle situazioni a-didattiche verranno proposti questionari con problemi aperti ma analizzabili quantitativamente. Le indagini quantitative utilizzeranno la statistica non parametrica: analisi fattoriale delle corrispondenze, analisi statistica implicativa etc Al fine di favorire una riflessione più profonda sul processo di integrazione scolastica e le relative implicazioni sul pensiero matematico, le sperimentazioni previste verranno condotte parallelamente e secondo le stesse modalità in Italia ed in Cina. Riferimenti bibliografici fondamentali K. Chemla (2001), I Nove capitoli sui procedimenti matematici : la costituzione di un canone nella matematica, Storia della Scienza: Cina, India, Americhe, Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani S.p.a. M. Granet (1988), La pensée chinoise, Editions Albin Michel, Paris. J. Needham (1981), Scienza e Civiltà in Cina (Original title: Science and Civilisation in China, Cambrige University Press, 1959), I e II Vol., Einaudi. F. Spagnolo et alii, Cultural differences in scholastic and non-scholastic environments: reasoning patterns and logical-linguistic questions in European and Chinese cultures, ICMI 2004, Copenhagen, with referee. TG25. Persone Coinvolte Il lavoro si inserisce in un quadro di un più vasto progetto di ricerca sui problemi di insegnamento/apprendimento in ambienti multiculturali che si stanno affrontando all interno del G.R.I.M. Il Laboratorio delle Macchine Matematiche: processi di produzione di congetture e costruzione di dimostrazioni 4 Michela Maschietto e Maria G. Bartolini Bussi Università di Modena Reggio Emilia 4 Lavoro eseguito nell ambito del progetto PRIN 2003 ( ) Problemi di insegnamento-apprendimento in matematica: significati, modelli, teorie (coord. Maria G. Bartolini Bussi).

18 L analisi dettagliata da un punto di vista epistemologico, cognitivo e didattico del campo di esperienza delle macchine matematiche è oggetto di un volume appena pubblicato (Bartolini Bussi & Maschietto, 2005), nel quale sono presentati numerosi esperimenti didattici che hanno consentito di interpretare questi artefatti come strumenti di mediazione semiotica per l appropriazione di significati relativi ad alcuni concetti geometrici (es. conica, trasformazione geometrica) e per la realizzazione di processi di produzione di congetture e costruzione di dimostrazioni ad essi relativi. Oltre agli esperimenti già pubblicati e recensiti nel volume citato, nel corso del 2005 sono state condotte decine di visite guidate con attività di laboratorio strutturato per le classi di scuola secondaria superiore ospiti, con i loro insegnanti, del Laboratorio delle Macchine Matematiche aperto presso il Dipartimento di Matematica di Modena. La ricchezza dei processi emergenti ha suggerito di avviare una ricerca osservativa strutturata, di cui si sta mettendo a punto la metodologia. In particolare ci si propone di investigare la produzione di gesti da parte degli studenti nelle due situazioni di esplorazione di macchine matematiche reali (es. pantografi meccanici) e macchine matematiche virtuali (simulazioni di pantografi realizzati al calcolatore). In parallelo si intende investigare le possibile modifiche negli atteggiamenti e nelle pratiche didattiche degli insegnanti che visitano il Laboratorio con le loro classi, incoraggiati dal fatto che vari insegnanti, anche da sedi lontane, chiedono di ripetere l esperienza del laboratorio con una classe diversa, dandone implicitamente una valutazione molto positiva. Questo dato suggerisce di intervistare in modo sistematico gli insegnanti con questionari relativi alla situazione precedente, alle aspettative, alle possibili ricadute di una visita anche breve al Laboratorio. In questo intervento, dopo avere illustrato brevemente i risultati raccolti nel volume citato, si presenterà lo schema tipico della visita al Laboratorio ed alcuni formati delle schede di esplorazione proposte ai ragazzi. Si darà anche qualche cenno sulla metodologia ipotizzata per la realizzazione delle ricerche previste per il prossimo futuro. Riferimenti bibliografici Bartolini Bussi M. G. e Maschietto M. (2005), Macchine matematiche: dalla storia alla scuola, editore Springer. Maschietto M. (2005), The Laboratory of Mathematical Machines of Modena, Newsletter of the European Mathematical Society, no. 57. PROBLEMI DI ORDINAMENTO FRA NUMERI E FRA PAROLE Claudio Bernardi e Paolo Francini Università La Sapienza di Roma INQUADRAMENTO GENERALE DELLA RICERCA La ricerca rientra nell'ambito delle Matematiche Complementari. L'idea generale è che argomenti e concetti, usualmente trattati a livello pre-universitario, meritano un approfondimento teorico assolutamente non scontato. Si tratta quindi da un lato di analizzare teoricamente situazioni solo apparentemente elementari, dall'altro di discuterne la ricaduta didattica, specie in riferimento a errori e misconcezioni frequenti. La ricerca rientra nel COFIN 2005 coordinato da Mariolina Bartolini Bussi. TEMA DELLA RICERCA Fin dalle Elementari si imparano a scrivere numeri naturali e decimali come sequenze di cifre. Tale scrittura si rivela opportuna per vari scopi; in particolare consente di ordinare i numeri. Una situazione concettualmente analoga si presenta quando si ordinano le parole secondo l'ordine alfabetico: anziché cifre e numeri abbiamo lettere e parole, ma c'è sempre l'idea che l'ordinamento

19 fra i simboli base permette di confrontare sequenze finite. Tutto appare semplice e naturale, tanto che a scuola non si dedica troppo tempo all'argomento. In realtà, se si vogliono precisare i criteri di confronto, ci si rende conto che il discorso è complesso. In particolare, i tre criteri che si introducono negli insiemi dei numeri naturali, dei numeri decimali limitati, delle parole, sono nettamente diversi tra loro. Basti notare che l'ordine dei naturali è discreto, l'ordine dei decimali è denso, l'ordine alfabetico non è né discreto né denso. Nella pratica, ci si appoggia molto spesso al significato concreto dei numeri: ciò può essere causa di difficoltà in chi privilegia un approccio puramente sintattico-procedurale. BASE DI PARTENZA SCIENTIFICA Ricerche didattiche mettono in evidenza i modelli impliciti che gli alunni hanno dei numeri decimali, e il variare di questi e suggeriscono, a livello didattico, forme di esplicitazione delle regole formali. Altri studi esaminano e cercano di classificare errori nel confronto fra numeri. Il discorso presenta anche aspetti di carattere epistemologico, ad esempio su quanto siano "naturali" notazioni e convenzioni che impariamo fin dai primi anni scolastici. Da notare che la ricerca ha portato a mettere in evidenza legami fra vari concetti matematici diversi, quali l'insieme ternario di Cantor, gli insiemi bene ordinati, la divisibilità fra numeri naturali, ecc. ASPETTI DI METODO, RISULTATI, OBIETTIVO DELLO STUDIO La ricerca è in progress. Dopo aver sostanzialmente concluso la parte teorica, si intende predisporre uno studio sperimentale nel primo biennio del Secondo Ciclo (Superiori). Si pensa di organizzare lavori e discussioni in gruppo, elaborando schede con le richieste di: formulare congetture, costruire esempi e controesempi, descrivere esplicitamente i criteri di confronto che si conoscono bene nella pratica. In queste attività l'insegnante deve essere osservatore partecipe e guida (discreta) nei momenti critici. L'obiettivo generale è di ottenere informazioni sul rapporto fra competenze operative, generalmente acquisite dagli studenti, e le capacità linguistiche e teoriche di precisare i procedimenti usati e di inquadrarli in modo appropriato. Si tratta, fra l'altro, di confrontare il comportamento degli studenti in contesti didattici diversi (ordine sul vocabolario e in un insieme di numeri). Un'ipotesi di ricerca è che gli studenti più abili nella costruzione di esempi e controesempi siano anche coloro che meglio riescono a descrivere i loro stessi procedimenti, mentre lacune teoriche si riflettano in difficoltà operative. Grande interesse ha la fase delle congetture, vista come primo passo verso la dimostrazione, in un contesto familiare, ma in cui tradizionalmente non si segue un metodo deduttivo. RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI FONDAMENTALI C. Bernardi, L. Cannizzaro, M. Ferrari, M. Reggiani, "Facciamo i conti con l'euro - la nuova moneta europea e i numeri decimali a scuola", Ministero Pubblica Istruzione, 2001 C. Bernardi, P. Francini, "Ordinare numeri e ordinare parole", sottoposto per la pubblicazione K.C. Irwin, "Using everyday knowledge of decimals to enhance understanding", Journal for Research in Mathematics Education, n. 32, pag (2001) I. Peled, J.A. Shahbari, "Improving decimal number conception by transfer from fractions to decimals", Proceedings PME 27, vol. 4, p. 1-6 (2003) L.B. Resnick, P. Nesher, F. Leonard, M. Magone, S. Omanson, I. Peled, "Conceptual bases of arithmetical errors: the case of decimal fractions", Journal for Research in Mathematical Education, vol. 20, p (1989) SULLA FUNZIONE COSTRUTTIVA DEL LINGUAGGIO VERBALE NELL INTERAZIONE TRA PARI Valeria Consogno, Teresa Gazzolo, Paolo Boero

20 PRIN : Aspetti linguistici e di rappresentazione nell insegnamento-apprendimento della matematica - Unità Operativa di Genova Come è noto, Vygotskij ipotizza che il linguaggio verbale sia uno strumento cruciale per la costruzione del pensiero. Nel campo dell educazione matematica, tale ipotesi generale ha suggerito studi approfonditi per capire: se e come la funzione costruttiva, ipotizzata da Vygotskij in generale, si realizza, in particolare, in campo matematico; quale portata essa può avere (cioè quali competenze matematiche sono costruite ); e quali implicazioni ne possono derivare per le scelte didattiche dell insegnante. Gli studi finora compiuti sottolineano, tra l'altro, il ruolo dell insegnante nell orchestrare l interazione tra pari in modo che sia produttiva per lo sviluppo delle competenze matematiche (vedi ricerche di Bartolini ed altri pubblicate negli anni 90: ESM 1996, ESM 1999), il ruolo dell argomentazione nella costruzione dei concetti (vedi Douek, ESM 1999, e tesi di dottorato, 2003), la funzione costruttiva del discorso nei confronti della conoscenza matematica (fino a teorizzarne la genesi discorsiva: Sfard, ESM 2001). Sono relativamente pochi gli studi che considerano in dettaglio come, nel procedere dell argomentazione personale o di gruppo, la conoscenza matematica si trasforma e si accresce. Nella sua tesi di laurea, e nel successivo report presentato a CERME-IV (2005), Consogno analizza il comportamento di studenti del IV anno del corso di laurea in matematica (quindi, giovani adulti esperti ) che costruiscono congetture e dimostrazioni, studiando la funzione di trasformazione semantica del linguaggio verbale quando il soggetto ritorna sulle frasi da lui scritte e ne ricava (attraverso espansioni discorsive suggerite da parole chiave ) interpretazioni che vanno al di là del significato da lui concepito nel momento della produzione di tali frasi, procedendo così nell attività costruttiva del suo pensiero. D altra parte, Teresa Gazzolo ha condotto (tra il 2001 e il 2004) un teaching experiment riguardante la costruzione a lungo termine (dalla classe I alla classe IV elementare) di elementi del pensiero probabilistico attraverso attività argomentative individuali e collettive su compiti mirati per mettere a fuoco particolari nodi concettuali della modellizzazione probabilistica delle situazioni aleatorie (come la distinzione tra evento e caso favorevole ). Era quindi naturale cercare di analizzare i dossier raccolti durante tale teaching experiment per individuare se e come la funzione di trasformazione semantica del linguaggio verbale (già individuata nel rapporto tra il soggetto esperto e il testo scritto da lui prodotto) potesse permettere di descrivere e interpretare i progressi nel processo di concettualizzazione che si erano registrati, in tale teaching experiment, nell interazione tra pari nelle fasi di discussione collettiva orchestrata dall insegnante. Precisamente si trattava di analizzare in che misura tali progressi potessero essere frutto di un meccanismo generativo a più voci, in cui il testo orale prodotto da un bambino veniva interpretato da altri bambini che restituivano al primo bambino interpretazioni più ricche, o comunque diverse dalle sue (suggerite da parole-chiave, e realizzate attraverso espansioni linguistiche del testo originario) che a loro volta consentivano al primo bambino di avanzare nel processo di concettualizzazione. Sono stati individuati alcuni episodi in cui le cose hanno funzionato proprio in tal modo, generando embrioni di nuova conoscenza che, opportunamente valorizzati dall insegnante, hanno costituito momenti di svolta per il pensiero probabilistico dei bambini della classe. Attraverso gli episodi individuati si possono ulteriormente precisare i meccanismi che rendono produttiva la "funzione di trasformazione semantica" del linguaggio verbale nel caso dell'interazione tra pari, in particolare, distinguendo tra funzioni diverse (di esplicitazione; di arricchimento/integrazione; di supporto testuale oggettivante) degli interventi verbali dei pari che consentono il progredire della concettualizzazione. L'analisi fatta pone anche il problema delle scelte didattiche e pedagogiche che possono produrre, sui tempi lunghi del lavoro di un insegnante di scuola primaria nella sua classe, effetti quali: la libertà di produrre un discorso orale incompiuto; l'ascolto "in profondità" degli interventi dei compagni; la disponibilità e l'interesse ad "approfittare" dei contributi altrui - tutte condizioni che appaiono necessarie affinché si realizzi al meglio la "funzione di trasformazione semantica" del linguaggio verbale nell'interazione tra pari.

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