Regolazione e Controllo dei Sistemi Meccanici 13 Febbraio 2006

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1 Regolazione e Controllo dei Sistei Meccanici 13 Febbraio 26 Nuero di atricola = 1α 1 = 1β 1 1) Si consideri il pendolo scheatizzato in figura 1 e descritto dalla seguente equazione: L 2 θ gl sin θ = C. Sia = 2 + α 1 kg la assa del pendolo, L = 3 + β 1 la sua lunghezza, g = 9.81 /s2 l accelerazione di gravità. Si desidera controllare l angolo θ del pendolo, agendo sulla coppia di controllo C. Figure 1: Sistea eccanico da controllare A) Si calcolino i punti di equilibrio del sistea nel caso in cui la coppia C sia costante e pari a C = C =. B) Si linearizzi il sistea in un intorno della configurazione di equilibrio ricavata al punto A) più prossia a quella rappresentata in figura. Si deterini una rappresentazione in fora di stato per il sistea lineare ottenuto e si discuta la stabilità dell equilibrio. C) Per il sistea linearizzato si ricavi la funzione di trasferiento tra l uscita θ e l ingresso C. D) Per la funzione di trasferiento ricavata, si progetti un controllore in retroazione in odo da soddisfare le seguenti specifiche: D.1) partendo dalla configurazione di equilibrio precedenteente ottenuta, il pendolo sia in grado di raggiungere a regie un qualsiasi angolo ˆθ con errore nullo; D.2) nel raggiungere l angolo ˆθ, sia garantita una sovraelongazione non superiore al 3% e un tepo di assestaento non superiore a 2.5 s; D.3) siano attenuati di un fattore 1 4 gli effetti di ruore sinusoidale, con pulsazione superiore a 5 rad/s, agente sul trasduttore di isura dell angolo θ. E) Si supponga di voler realizzare il controllore precedenteente progettato per ezzo di un prograa al coputer, in cui ogni calcolo sia svolto su tepi ultipli del tepo di clock T =.1 s. Si disponga di una pria porta di ingresso che legga il valore istantaneo del riferiento θ r (t) e di una seconda porta di ingresso che legga il valore istantaneo dell angolo del pendolo θ(t). Sia inoltre presente una porta di uscita che acquisisca il valore istantaneo calcolato del controllo C(t), per renderlo disponibile all ipianto da controllare. Utilizzando uno pseudo linguaggio di prograazione, si scriva un prograa che siuli il controllore progettato. OPZIONALE) Utilizzando il prograa Siulink, si siuli l evoluzione dinaica del sistea in anello chiuso ottenuto al punto D) nel caso in cui il riferiento sia θ r = rad, a partire dalla configurazione iniziale θ() = rad, θ() = 1 rad/s. 2) Si consideri il sistea assa-olla-sorzatore rappresentato in figura 2. Al variare del paraetro b nell intervallo b 2 k, si discutano i odi del sistea e si traccino qualitativaente i diagrai di Nyquist della funzione di trasferiento che lega la forza f(t) e la posizione y(t). Figure 2: Sistea assa-olla-sorzatore

2 Soluzione Esercizio 1 A) Scelte coe variabili di stato x 1 = θ, x 2 = θ, il sistea può essere descritto dalle seguenti equazioni: { ẋ1 = x 2, ẋ 2 = g L sin x 1 + C L. 2 Nel caso C = C =, annullando le derivate delle variabili di stato si ottengono le configurazioni di equilibrio con k =, 1, 2,.... x 1 = θ = kπ, x 2 = θ =, B) La configurazione di equilibrio più prossia a quella rappresentata è x 1 =, x 2 =. Il sistea linearizzato può essere ottenuto introducendo le variabili traslate: x = x x = x, ũ = u ū = C C=C, ỹ = y ȳ = θ θ = θ e le atrici A = f, B = f, C = h ( x,ū) ( x,ū) ( x,ū), D = h ( x,ū). Si ottengono le seguenti equazioni: x u x u x = A x + Bũ, ỹ = C x + Dũ, dove A = B = [ 1 g [ L 1 L 2 ] ; ] ; C = [ 1 ] ; D =. Gli autovalori della atrice A sono in λ 1,2 = ± g L. Poiché il sistea ha un autovalore positivo, il punto di equilibrio risulta instabile. C) In un intorno della configurazione di equilibrio x 1 =, x 2 = è possibile approssiare l equazione del oto del sistea con la seguente: L 2 θ glθ = C. L-trasforando la precedente equazione si ottiene G(s) = Y (s) U(s) = 1 L 2 s 2 gl. D) La funzione di trasferiento del sistea G(s) ha un polo positivo. È quindi opportuno ipiegare la tecnica del doppio anello di retroazione, scheatizzata in fig.3. Per pria cosa, utilizzando il luogo delle radici della f.d.t. Figure 3: Schea del sistea di controllo da progettare con la tecnica del doppio anello di retroazione C1(s)G(s) 1+C 1 (s)g(s) sia G(s) si progetta un controllore C 1 (s) tale che la f.d.t. dell anello chiuso più interno G 1 (s) = asintoticaente stabile. Coe si osserva in fig.4, la f.d.t. G 1 (s) = C 1(s)G(s) 1+C 1(s)G(s) non può essere resa asintoticaente stabile con un controllore C 1 (s) puraente proporzionale. Per rendere la f.d.t. G 1 (s) asintoticaente stabile, è possibile ipiegare una rete anticipatrice (fig.5). Inserendo ad esepio nel controllore C 1 (s) uno zero in -1, un polo in -5 e auentando il guadagno a 1 si ottiene C 1 (s) = 1 s+1.2s+1 e G (s+1) 1(s) = (s+.5148)(s s+22.2), i cui poli sono in.5148 e

3 .8 Root Locus Editor (C) Iag Axis Real Axis Figure 4: Luogo delle radici della f.d.t. G(s) 15 Root Locus Editor (C) 1 5 Iag Axis Real Axis Figure 5: Luogo delle radici della f.d.t. C 1 (s)g(s)

4 5 Open Loop Bode Editor (C) Magnitude (db) G.M.: 1.1 db Freq: 4.48 rad/sec Stable loop 135 Phase (deg) P.M.: 56.6 deg Freq: 1.5 rad/sec Frequency (rad/sec) Figure 6: Diagrai di Bode della f.d.t. C 2 (s)g 1 (s) con C 2 (s) = 1 s in ± i. A questo punto, il sistea G 1 (s) viene chiuso in retroazione con il controllore C 2 (s), il cui copito è quello di soddisfare le specifiche e il cui progetto può essere fatto sui diagrai di Bode della f.d.t. di anello C 2 (s)g 1 (s). Facendo riferiento al progetto di un controllore nella fora: C 2 (s) = K st Ĉ(s), con Ĉ() = 1, la scelta del tipo t e della costante di guadagno K del controllore C 2 (s) può essere fatta in base alle specifiche statiche. Affinché l errore a regie per un riferiento a gradino sia nullo, è sufficiente introdurre un polo nell origine. I diagrai di Bode della f.d.t. C 2 (s)g 1 (s), con C 2 (s) = 1 s, vengono riportati in fig.6. La assia sovraelongazione aessa per il sistea in anello chiuso è del 3%. Tale specifica si traduce nell iporre che il sistea in anello chiuso sia approssiabile ad un sistea del secondo ordine con uno sorzaento dei poli doinanti pari o superiore a δ =.3579 (coe si ricava dall espressione della sovraelongazione per i sistei del secondo ordine S = e πδ 1 δ 2 ). Sul piano di Bode, questo significa che si aette un argine di fase φ M 36 o. La specifica sul tepo di assestaento, per il caso di sistea in anello chiuso a due poli doinanti stabilito sulla base della precedente specifica, indica che la pulsazione naturale dei due poli deve essere ω N 3 δt a 3.4 rad/s. Questa specifica si traduce nel chiedere che il diagraa di Bode delle apiezze di C 2 (jω)g 1 (jω) intersechi l asse a db per pulsazioni superiori a 3.4 rad/s. Per soddisfare queste specifiche è necessario introdurre un opportuna azione anticipatrice. Ad esepio fissando il guadagno k = 1.3 e piazzando uno zero in 1 si ottengono i diagrai di Bode riportati in fig.7. Così facendo si ottengono un argine di fase di 41.1 o e una pulsazione di taglio di 6.63 rad/sec. A questo punto riane da iporre la specifica di reiezione dei disturbi in alta frequenza: C 2 (jω)g 1 (jω) db 8 db per ω 5 rad/s. Si garantisce questa specifica inserendo nel copensatore un polo in alta frequenza. Ponendo il polo in 2, si ottiene il diagraa di Bode riportato in fig.8. Le specifiche relative a argine di fase e pulsazione di taglio riangono verificate. Il controllore finale ottenuto risulta: (s + 1) C 2 (s) = 1.3 s(.5s + 1). Coe si vede in fig.9, la risposta al gradino del sistea in anello chiuso rispetta le specifiche assegnate. E) Il controllore C 1 ha in ingresso l errore e 1 (t) = u 2 (t) y(t) e in uscita il controllo u(t). Per pria cosa, è necessario τ ricavare l equazione differenziale del controllore. Posto C 1 (s) = k 1s+1 1 τ 2s+1 si ottiene: (τ 2 s + 1) U(s) = (k 1 τ 1 s + k 1 ) E 1 (s), da cui, per anti-trasforazione e supponendo nulle le condizioni iniziali, si ricava l equazione in fora norale: u(t) + 1 τ 2 u(t) = k 1τ 1 τ 2 ė 1 (t) + k 1 τ 2 e 1 (t).

5 6 Open Loop Bode Editor (C) 4 2 Magnitude (db) G.M.: Inf Freq: Inf Stable loop Phase (deg) P.M.: 41.1 deg Freq: 6.63 rad/sec Frequency (rad/sec) Figure 7: Diagrai di Bode della f.d.t. C 2 (s)g 1 (s) con C 2 (s) = 1.3 s+1 s 6 Open Loop Bode Editor (C) 4 2 Magnitude (db) G.M.: 24.7 db Freq: 25 rad/sec Stable loop 9 Phase (deg) P.M.: 39.2 deg Freq: 6.63 rad/sec Frequency (rad/sec) Figure 8: Diagraa di Bode della f.d.t. C 2 (s)g 1 (s) con C 2 (s) = 1.3 (s+1) s(.5s+1) A questo punto, è iediato ottenere la rappresentazione del controllore C 1 in fora canonica di controllo, indicando con w il relativo stato e ricordando che il sistea non è strettaente proprio: ẇ(t) = A a w(t) + B a e 1 (t), u(t) = C a w(t) + D a e 1 (t), dove: A a = 1 τ 2, B a = 1, C a = k 1 τ 2 k 1τ 1 τ2 2, D a = k 1τ 1 τ 2. Il controllore C 2 ha in ingresso l errore e 2 (t) = r(t) y(t) e in uscita il segnale u 2 (t). Anche in questo caso, posto τ C 2 (s) = k 3s+1 2 s(τ 4s+1), è necessario ricavare l equazione differenziale del controllore. Si ottiene: ( τ4 s 2 + s ) U 2 (s) = (k 2 τ 3 s + k 2 ) E 2 (s),

6 1.4 Step Response Aplitude Tie (sec) Figure 9: Risposta al gradino della f.d.t. di anello chiuso da cui, per anti-trasforazione e supponendo nulle le condizioni iniziali, si ricava l equazione in fora norale: ü 2 (t) + 1 τ 4 u 2 (t) = k 2τ 3 τ 4 ė 2 (t) + k 2 τ 4 e 2 (t). A questo punto, è possibile ottenere la rappresentazione del controllore C 2 in fora canonica di controllo, indicando con z il relativo stato: ż(t) = A b z(t) + B b e 2 (t), dove: u 2 (t) = C b z(t) + D b e 2 (t), A b = [ ] 1 [ ] 1 1, B b =, τ 4 C b = [ ] k2 k 2 τ 3 τ 4 τ 4, D b =. Discretizzando la variabile tepo e indicando con i il generico istante di calcolo, è possibile approssiare la derivata pria degli stati w e z con una differenza finita: ẇ(i) w(i + 1) w(i), ż(i) T La realizzazione in tepo discreto del controllore C 1 è quindi la seguente: w(i + 1) = A da w(i) + B da e 1 (i), u(i) = C da w(i) + D da e 1 (i), z(i + 1) z(i). T dove: A da = [T A a + 1] = 1 T τ 2, B da = T B a = T, C da = C a, D da = D a. La realizzazione in tepo discreto del controllore C 2 è invece: z(i + 1) = A db z(i) + B db e 2 (i), u 2 (i) = C db z(i), dove: A db = [T A b + I] = [ 1 T 1 T τ 4 ],

7 Figure 1: Schea Siulink per la siulazione del sistea in anello chiuso B db = T B b = C db = C b. [ T ], Il segento di un prograa per l ipleentazione su coputer del controllore globalente progettato risulterebbe scritto, in uno pseudo-linguaggio di prograazione:... constant k1, k2, tau1, tau2, tau3, tau4, T, T_ax; constant z1_=; constant z2_=; constant w_=;... z1=z1_; z2=z2_; w=w_; for i=:t_ax/t u2=k2/tau4*z1+k2*tau3/tau4*z2; r=read(input1); y=read(input2); e2=r-y; e1=u2-y; z1_buffer=z1; z2_buffer=z2; z1=z1_buffer+t*z2_buffer; z2=(1-t/tau4)*z2_buffer+t*e2; u=(k1/tau2-k1*tau1/tau2^2)*w+k1*tau1/tau2*e1; write(u,output); w_buffer=w; w=(1-t/tau2)*w_buffer+t*e1; end Si noti che, avendo utilizzato la tecnica del doppio anello di retroazione, è necessario pria di tutto calcolare il segnale di uscita del controllore più esterno u 2 (i), per poi calcolare l ingresso del controllore più interno e 1 (i) = u 2 (i) y(i). OPZIONALE Poiché si chiede di siulare il sistea in anello chiuso nel caso in cui lo stato iniziale del pendolo non è nullo, è necessario descrivere il pendolo in fora di stato per ezzo delle atrici A, B, C e D e specificare le condizioni iniziali x = [ 1]. Lo schea Siulink progettato è riportato in fig.1. Si noti che il riferiento è nullo. L evoluzione teporale del sistea viene riportata in fig.11. Si osserva che lo schea di controllo progettato è in grado di riportare il pendolo nello stato θ = θ =. Esercizio 2 - Il sistea può essere rappresentato in fora di stato per ezzo della atrice dinaica [ ] 1 A =. Gli autovalori della atrice A valgono: k b λ 1,2 = b b 2 ± k. Il discriinante risulta positivo per b > 2 k, quindi per valori esterni al capo di variazione di b indicato nel testo. Al variare di di b all interno del capo indicato, si possono avere diverse situazioni.

8 Caso < b < 2 k. Si hanno autovalori coplessi coniugati λ 1,2 = σ±jω, con σ = b 2 e ω = k b I odi propri del sistea sono del tipo e σt sin ωt, e σt cos ωt. Essendo σ <, i odi sono convergenti a zero. k Caso b =. Si hanno autovalori iaginari puri λ 1,2 = ±jω = ±j. Si hanno odi oscillanti, liitati a non convergenti, del tipo sin ωt, cos ωt. Caso b = 2 k k. Gli autovalori della atrice A sono reali e coincidenti: λ 1,2 =. La olteplicità algebrica degli autovalori è 2, entre la olteplicità geoetrica è 1. La atrice A è infatti siile alla atrice di Jordan J = k 1. I odi del sistea sono del tipo e λt, te λt ; essi sono convergenti a zero, essendo λ <. - La f.d.t. che lega l ingresso f(t) e l uscita y(t) è G(s) = 1 k k k s2 + b k s + 1. La f.d.t. ricavata è tipica di un sistea del secondo ordine, con pulsazione naturale ω n = b k e sorzaento dei poli δ = 2. Al variare di b nell intervallo specificato, δ varia da a 1. I diagrai di Nyquist dipendono dal k valore di δ, quindi da b. In fig.12 vengono riportati alcuni diagrai di Nyquist, relativi al caso k = 1, = 1, per valori decrescenti di b. Si nota che al diinuire di b il diagraa di Nyquist si allarga. Il caso b = δ = è particolare, poiché Matlab non è in grado di tracciare correttaente il diagraa di Nyquist. Tracciando preventivaente i diagrai di Bode, è counque possibile tracciare il diagraa di Nyquist, coe riportato in fig.13. Si noti che la fase di G(jω) è, in questo caso, o π.

9 Figure 11: Evoluzione del sistea in anello chiuso nel caso θ() =, θ() = 1 3 Nyquist Diagra 2 1 Iaginary Axis 1 b Real Axis Figure 12: Diagrai di Nyquist della f.d.t. G(s) al variare del paraetro b

10 Figure 13: Diagrai di Nyquist della f.d.t. G(s) per b =