MOSTRA E CONCORSO : La bottega matematica : idee e suggerimenti. Trasformazioni Geometriche: macchina per lo studio della simmetria assiale

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1 MOSTRA E CONCORSO : La bottega matematica : idee e suggerimenti Trasformazioni Geometriche: macchina per lo studio della simmetria assiale Di cosa si tratta?: la macchina è formata da quattro aste incernierate che formano un rombo articolato; in due vertici opposti del rombo sono collocati dei perni che scorrono in una scanalatura mentre nei restanti vertici del rombo possono essere collocati due pennarelli. A cosa serve? : ad un punto P fa corrispondere il punto Q simmetrico rispetto all asse a rappresentato dalla scanalatura. Si possono trasformare figure, verificare quali proprietà che si conservano o meno, ecc. scegliere: Elenco Alfabetico dei modelli: Biellismo per simmetrie assiali ortogonali (asse fisso) Q P Trasformazioni Geometriche: macchina per lo studio l omtetia Di cosa si tratta?: la macchina è formata da quattro aste incernierate nei punti A,B,C,D scelti in modo da formare un parallelogramma. Il punto O è fissato al piano e nei punti D e P (vertici corrispondenti dei triangoli simili OAD e OBP) si possono collocare due pennarelli. A cosa serve? : ad un punto D fa corrispondere un punto P in una omotetia di centro O. Se il punto D disegna una figura F, il punto P traccia una figura ingrandita F ; viceversa se il punto P disegna una figura G, il punto D traccia una figura ridotta G. scegliere la sezione: Trasformazioni scegliere la voce: Per le omotetie: Scheiner;

2 Sezioni coniche: macchina per tracciare un arco di parabola. Di cosa si tratta?: la macchina è formata da un piano di legno con un asta orizzontale su cui scorre una squadra. All estremità superiore della squadra è fissato un filo di lunghezza pari al lato stesso della squadra. Il secondo estremo del filo è fissato in un punto fisso O; tale filo, accostato alla squadra, viene tenuto in tensione da pennarello che traccia la curva. A cosa serve? : il punto P traccia un arco di parabola avente come direttrice l asta orizzontale e come fuoco il punto fisso O. Si può verificare la definizione di parabola come luogo geometrico e variare la forma della parabola stessa. scegliere la sezione: Sezioni coniche scegliere la voce: conicografi a filo teso: parabola Giochi: spirografo Di cosa si tratta?: il gioco è formato da due ruote dentate: una fissa e una che rotola su quella fissa mantenendo il contatto sul bordo dentato. La penna viene inserita in uno dei fori della ruota che rotola e traccia una curva sul foglio di carta posto sotto. A cosa serve? : Vengono disegnate curve che si ottengono dalla composizione delle due rotazioni. Si possono esplorare le curve al variare delle rotelle usate; utilizzare il gioco per rivedere la divisione intera con resto, ecc. 2

3 Dai Rosoni ai Fregi alle Tassellature del piano Rosoni Di cosa si tratta?: con la parola rosone in matematica si indica una figura piana per la quale esiste solo un insieme finito di trasformazioni che lo portano in se stesso, in tal caso si dice che il gruppo di simmetria (utilizzata come sinonimo di isometria) dei rosoni contiene un numero finito di trasformazioni. A cosa serve?: l analisi di un rosone consente lo studio delle rotazioni e delle simmetrie assiali, permette di studiare il concetto di gruppo, infatti le trasformazioni presenti in un rosone con l operazione di composizione hanno la struttura di gruppo. Questo rosone è trasformato in sé stesso da 9 rotazioni. sometrie%20sette.htm sito dell Università di Bologna sui rosoni e sui gruppi Fregi Di cosa si tratta?:si usa il termine fregio per indicare una striscia di piano che è ricoperta dalle copie ripetute di un motivo base. Le copie sono ottenute mediante delle isometrie, una delle quali è necessariamente una traslazione nella direzione della striscia. A cosa serve?: l analisi di un fregio consente lo studio di alcune isometrie; permette di studiare il concetto di gruppo, infatti le trasformazioni presenti in un fregio con l operazione di composizione hanno la struttura di gruppo, inoltre lo studio di un fregio aiuta a comprendere meglio le tassellazioni. I sette gruppi dei fregi in un arazzo portoghese. L immagine è tratta da fregi: 3

4 Tassellature Di cosa si tratta?:con il termine tassellatura (o tassellazione) si intende una qualsiasi ripartizione del piano in un certo numero di figure dette tasselli; si ha una tassellatura soltanto quando le varie tessere che la compongono non si sovrappongono né lasciano spazi vuoti. Gli schemi bidimensionali, come quelli che si vedono raffigurati nella carta da parati e nei pavimenti sono composti applicando ad un unico motivo fondamentale delle isometrie. A cosa serve?: l analisi di una tassellazione consente lo studio di alcune isometrie; ad esempio nell immagine raffigurata sotto vi sono rotazioni di 120 (e multipli), traslazioni, simmetrie assiali. Esempio di tassellatura ottenuta con il software Cabrì e ispirato alle opere dell artista olandese Maurits Cornelis Escher ( ) che si interessò di tassellazioni utilizzando figure regolari ed irregolari. Per altri esempi (tra l altro in questo sito vi è una spiegazione dettagliata su come operare con paint per creare una tassellazione) si veda (Matematica e...tassellature Il mondo di Escher) (unità didattica da sviluppare in una classe seconda superiore) Wallpaper Groups wallpaper animate: Penrose (tassellazioni non periodiche) laturepenrose.htm Sito dell Università di Ferrara su Escher e sulle tassellazioni Questi sono solo alcuni dei moltissimi siti presenti in internet su questo argomento. 4

5 Giochi: Hex Di cosa si tratta?: il gioco consiste nel riuscire a formare una linea ininterrotta di pedine da un lato all altro della scacchiera qui sotto riprodotta. Questo gioco è stato inventato indipendentemente dal premio Nobel per l economia John Nash e dal matematico danese Piet Hein. Come si gioca? : I due giocatori utilizzano pedine di colore diverso (per esempio rosse e blu). Si inizia con la scacchiera vuota. Il primo giocatore pone una propria pedina in una qualsiasi cella, di seguito il secondo giocatore colloca una sua pedina in una delle celle ancora libera. I due giocatori si alternano così nel gioco, cercando di collegare con una linea i lati della scacchiera del proprio colore. La catena può essere tortuosa e lunga quanto si vuole, a patto che non ci siano spazi vuoti e che sia formata da pedine dello stesso colore. Le celle in angolo possono essere occupate da pedine di entrambe i giocatori. Vince il giocatore che per primo riesce a completare la sua catena. A cosa serve? : Pur avendo delle regole semplicissime, il gioco è particolarmente articolato, con una grande ricchezza di strategie e tattiche. Lo stesso Einstein aveva sulla sua scrivania, nello studio di Princeton, una scacchiera dell'hex. Martin Gadner Enigmi e giochi matematici Bur Saggi Giochi: Germogli Di cosa si tratta?: E un gioco a due che può essere effettuato con carta e matita. Come si gioca? : Si disegnano tre punti su un foglio. A turno ogni giocatore unisce due punti con una linea e pone un nuovo punto su di essa. Da ogni punto possono partire al massimo tre linee. Si continua alternativamente fino a che non si può più tracciare nessuna linea. Vince chi dei due giocatori traccia l ultima linea possibile. situazione iniziale dopo una mossa 5

6 gioco vinto dal secondo giocatore Naturalmente è possibile partire da un maggior numero di punti iniziali, ma già con tre punti il gioco non è scontato. A cosa serve? : si possono studiare le varie tattiche risolutive, il numero di mosse minime o massime per terminare la sfida, quali curve chiuse o aperte sia meglio tracciare per bloccare l avversario, ecc. Giochi: Torre di Hanoi Di cosa si tratta?: Il problema delle Torri di Hanoi deriva da una antica leggenda indiana che recita così: «nel grande tempio di Brahma a Benares, su di un piatto di ottone, sotto la cupola che segna il centro del mondo, si trovano 64 dischi d'oro puro che i monaci spostano uno alla volta, infilandoli in un ago di diamanti, seguendo l'immutabile legge di Brahma: nessun disco può essere posato su un altro più piccolo. All'inizio del mondo tutti i 64 dischi erano infilati in un ago e formavano la Torre di Brahma. Il processo di spostamento dei dischi da un ago all'altro è tuttora in corso. Quando l'ultimo disco sarà finalmente piazzato a formare di nuovo la Torre di Brahma in un ago diverso, allora arriverà la fine del mondo e tutto si trasformerà in polvere». Come si gioca? : La torre di Hanoi è un gioco di abilità per un giocatore solo. Il gioco è costituito da tre bastoncini e da dei dischi di diverso diametro, forati al centro, che vengono inseriti nei bastoncini. La situazione iniziale vede tutti i dischi infilati nel primo bastoncino, ordinati in modo che il più largo sia in basso, mentre il più stretto in alto. Lo scopo del gioco è di riprodurre la stessa configurazione sul terzo bastoncino, muovendo un disco alla volta e tenendo conto che un disco non può mai essere posto sopra ad un altro più piccolo. A cosa serve? : gioco di abilità logica, si può cercare il metodo risolutivo più veloce ed efficace, o anche il numero minimo di mosse per terminare il gioco. 6

7 Giochi: Pentamini Di cosa si tratta?: L idea è quella del tangram, solo che le tessere da utilizzare si costruiscono accostando, senza sovrapposizioni, cinque quadrati uguali in modo che due quadrati adiacenti abbiano in comune un intero lato. Le 12 possibili configurazioni sono riportate sotto (abbinate ad una lettera dell alfabeto per essere meglio ricordate). Come si gioca?: Utilizzando le tessere si può cercare di formare varie figure. Per iniziare si può provare a formare i rettangoli di area 60, per esempio quelli 5 x 12 o 3 x 20. Non tutte le figure con 60 quadretti sono però ottenibili. A cosa serve?: si possono analizzare le simmetrie delle varie tessere, studiare se è possibile tassellare il piano, costruire figure, scatole o oggetti tridimensionali se si utilizzano i pentacubi. La geometria delle api : le api ci insegnano come risparmiare Di cosa si tratta?: Le api costruiscono le loro cellette con una forma particolare. La sezione è esagonale e il fondo di ogni cella è cuspidato anziché piano o curvo. Operando il tal modo sembra che abbiano risolto un problema geometrico ed economico: come usare il minimo di cera per avere il massimo di volume per contenere il miele. Il problema matematico corrispondente a questa realtà naturale è dunque un problema di minimo. Decrizione del problema : %20Tra%20arte%20e%20matematica.pdf 7

8 Approfondimento e generalizzazione : Trattazione più approfondita : pag 556 e seguenti del libro Matematica dilettevole e curiosa di Italo Ghersi : api&source=bl&ots=1_uzra4auo&sig=is- P_J8IECjtZJK28Y6y9AhouPk&hl=it&ei=54zwSf7_DITx_AaAwjJCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4#PPA556,M1 Bolle di sapone e non solo. Di cosa si tratta?: Tutti conoscono la bellezza delle bolle di sapone. Meno note sono le proprietà fisiche e matematiche delle lamine saponate. Può essere interessante creare oggetti matematici mediante queste lamine sottili e studiarne le proprietà. Quali concetti matematici si possono evidenziare?: Utilizzando dei telai di forme irregolari, si possono vedere ed esemplificare alcuni concetti topologici come quello di curva aperta e chiusa, ecc. Per esempio si possono studiare la forme delle membrane liquide che si formano utilizzando telai di forma cubica, tetraedrica ecc. La superficie in cui si dispone la lamina di saponata è sempre quella di minima energia. Possibili ricette per la soluzione di sapone: Generalità e telaietti: Superficie minima: Guida didattica allo studio delle bolle: 4t4n197_Rivista_matematica_n2.pdf Telaio fatto con caramelle gommose e spiedini di legno Labirinti e topologia 8

9 Il labirinto di Creta in due antiche monete Di cosa si tratta?: al di là delle numerose e apparentemente diverse raffigurazioni che si hanno di tale labirinto, il suo schema è topologicamente ben definito: si tratta di un labirinto ad una sola strada (senza incroci), a 8 livelli che seguono la successione Esso si può costruire attraverso un semplice procedimento grafico. A cosa serve?: Di labirinti ad n livelli ne esistono un numero ben definito. Ad esempio di labirinti a 10 livelli se ne possono trovare 262, mentre sono 1828 quelli a 12 livelli. Il grafo del labirinto più semplice, senza incroci, ad esempio quello di Creta, è un semplice segmento. Il labirinto dato dai famosi ponti di Konigsberg viene studiato con un grafo più complesso. Lo studio dei labirinti è legato alla teoria dei grafi e si lega dunque alle trasformazioni topologiche nel piano. /Labirinti/Matematica%20e%201abirinti.htm I labirinti tra gioco e storia nel sito del Progetto Polymath. Algoritmi risolutivi per attraversare ogni tipo di labirinto. Una guida per localizzare i labirinti sparsi per il mondo. Curve di ampiezza costante Di cosa si tratta?: La più semplice figura di ampiezza costante dopo il cerchio è il triangolo di Reuleaux, dal nome dell ingegnere e matematico tedesco Franz Reuleaux ( ): si costruisce partendo da un triangolo equilatero e tracciando tre archi di cerchio, di raggio uguale al lato del triangolo, aventi il centro in uno dei vertici di esso e gli estremi sugli altri due. L ampiezza di questa figura è uguale alla lunghezza del lato del triangolo equilatero. A cosa serve?: Poiché il triangolo di Reuleaux può ruotare in un quadrato circoscritto mantenendosi in contatto contemporaneamente con tutti e quattro i suoi lati e durante la rotazione ciascuno dei suoi vertici traccia una traiettoria approssimativamente quadrata è possibile costruire una punta da trapano per realizzare fori quadrati la cui sezione è un triangolo di Reuleaux reso concavo da tre insenature in modo da permettere il taglio dei bordi e la fuoriuscita dei trucioli. rve/visita/schedacurveampcost.htm Superfici rigate Di cosa si tratta? Un esempio di superficie doppiamente) rigata: l'iperboloide a una falda. Se afferriamo 9

10 con una mano degli spaghetti (che sono infatti dei segmenti di retta), questi si dispongono approssimativamente come un iperboloide. Questo fatto dà luogo a un fenomeno inaspettato: facendo girare una retta opportunamente inclinata, si riesce a farla passare attraverso una fessura a forma di iperbole. Infatti l'asta, ruotando, descrive un iperboloide, che tagliato con un piano ha come tracce le due fessure attraverso le quali passa senza difficoltà. (Dalla mostra Matemática viva, Lisbona, 2000) A cosa serve? La produzione (frequente in passato in scuole e università) di modelli di superfici in gesso, legno, corde o altri materiali consente di individuare proprietà intuitivamente difficili da visualizzare Concentrare le onde Di cosa si tratta: se in una bacinella di forma ellittica col fondo coperto d acqua getto un sasso in corrispondenza di uno dei due fuochi, le onde circolari che si generano, riflettendosi sulle pareti del contenitore andranno a convergere tutte sull altro fuoco. A cosa serve: Lo stesso vale per qualsiasi tipo di raggi: luminosi, sonori, calorifici. In ogni caso, tutti i raggi che partono da un fuoco, dopo una riflessione sull'ellisse vanno a concentrarsi nell'altro, a causa delle proprietà focali dell ellisse (e delle coniche in generale). Di qui la ragione del nome fuochi; se si mette una fonte di calore in uno dei fuochi, il calore si concentra nell'altro e può incendiare un pezzo di carta o un materiale infiammabile. -Matematica/mostra/specchiustori.htm Alcuni altri interessanti siti con materiale matematico: