Matematica Canale A-D- Farmacia a.a.2017/2018. x a x b = x a+b x a y a = (x y) a x a x b = xa b = 1. y a = y. (x a ) b = x a b = (x b ) a.

Transcript

1 1 Matematica Canale A-D- Farmacia a.a.2017/2018 Proprietà delle potenze. naturali; si ha Siano: x, y, sono numeri reali positivi; a, b numeri reali; m e n numeri x a x b x a+b x a y a (x y) a x a x b xa b 1 x a ( ) x a y a y x b a (x a ) b x a b (x b ) a x m n x 1 n n x n x m ( n x) m Nell espressione x a, x è detta base della potenza, a esponente. Se x (o y) è negativo, a può assumere solo valori interi relativi o valori razionali che, scrittti in forma di frazione, abbiano al denominatore un numero intero dispari. Esempio. ( 2) 3/ ( 2) 2/5 5 4 ( 2) 3/4 4 8 non esiste nel campo reale Logaritmi. Sia a > 0, a 1, k > 0, allora!y : a y k; y si dice logaritmo in base a di k: Risulta log a a x x log a x 1 log x a a y k y log a k a log a x x (x > 0) log a (x y) log a x + log a y (x y > 0) log a x y log a x log a y ( x y > 0) log a x n n log a x (x n > 0) log a n x m m n log a x ( n x m > 0) log a k log b a log b k Funzioni lineari. Una funzione espressa dalla legge f(x) mx + q (1) con m e q R, è una funzione lineare il cui grafico è una retta del piano cartesiano. Il numero q è detto termine noto ed è l ordinata del punto di intersezione del grafico di (1) con l asse delle y. Dalla (1) si ha f(x 1 ) : y 1 mx 1 + q f(x 2 ) : y 2 mx 2 + q da cui m y 2 y 1 x 2 x 1

2 2 Presi, dunque, due qualsiasi punti del grafico di (1), il coefficiente m rappresenta la variazione delle ordinate di questi rispetto alla corrispondente variazione delle ascisse. Il numero m è detto coefficiente angolare della retta grafico di (1) e vale m tan α dove α è l angolo che il grafico di (1) forma con la direzione positiva dell asse delle x, misurato in senso antiorario. Risulta: se m > 0, il grafico di (1) è una retta inclinata di un angolo α (0, π 2 ) rispetto alla direzione positiva dell asse delle x e (1) è una funzione crescente. se m < 0, il grafico di (1) è una retta inclinata di un angolo α ( π 2, 0) rispetto alla direzione positiva dell asse delle x e (1) è una funzione decrescente. se m 0, α 0 il grafico di (1) è una retta parallela all asse delle x, che coincide con l asse delle x se anche q 0. Figura 1: Coefficiente angolare di una retta.

3 3 Limiti notevoli xb log x x 0 + log x { +, se b > 0 0, se b < 0. x b 0 (b > 0) ( 1 + x) b x e b (b R) x log x + x 0 xb log x 0 (b > 0) + x b 0 (a > 1, b > 0) ax ( 1 + b x) x e b (b R) sin x x 0 x 1 2 x cos x 0 in quanto cos x è itata e Retta tangente. La retta tangente in (x 0, f(x 0 )) al grafico di f(x) ha equazione y f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) 2 x 0 Il valore f (x 0 ), derivata di f(x) calcolata in x 0, coincide, dunque, con il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f(x) in (x 0, f(x 0 )). Integrali [f(x)] a f (x) dx [f(x)]a+1 + c a 1 a + 1 cos[f(x)] f (x) dx sin[f(x)] + c e f(x) f (x) dx e f(x) + c f (x) dx arctan[f(x)] + c 1 + [f(x)] 2 Come caso particolare, in questi, si ha f(x) x (quindi f (x) 1). f (x) f(x) dx log f(x) + c sin[f(x)] f (x) dx cos[f(x)] + c a f(x) f (x) dx af(x) log a + c f (x) cos 2 dx tan[f(x)] + c [f(x)] c R Distribuzione binomiale. Il lancio di una moneta dà testa con probabilità p, 0 p 1, croce con probabilità 1 p. Determinare la probabilità di ottenere una prefissata sequenza di teste e di croci lanciando la moneta n volte. Soluzione. Uno spazio di probabilità opportuno può essere Ω {ω (ω 1,..., ω n ) : ω i 1 oppure ω i 0, i 1,..., n} dove 1 indica che si è ottenuto testa, 0 che è uscito croce. Il sottoinsieme A i {ω : ω i 1} corrisponde all evento il risultato dell i-esimo lancio è testa quindi P (A i ) p; dunque, per la particolare sequenza si ha ω (1,..., 1, 0,..., 0 ) }{{}}{{} k volte n k volte {ω} A 1 A k A C k+1... AC n Non c è ragione di pensare che la conoscenza del risultato di un lancio dia informazioni sul risultato degli altri, dunque gli eventi A 1,... A k, A C k+1,... AC n risultano indiopendenti e quindi si ha P ({ω}) P (A 1 ) P (A k )P (A C k+1 ) P (AC n ) p k (1 p) n k (2)

4 4 Tale risultato dipende solo dal numero di 1 presenti nella sequenza e non dalle loro posizioni. La (2) è dunque la probabilità di una qualsiasi sequenza contenente k volte il numero 1. Facendo seguito allo schema successo-insuccesso appena visto, k successi in n prove, {X k}, sono rappresentati dall insieme formato dalle sequenze ω contenenti esattamente k simboli 1; come visto, ogni sequenza di questo tipo ha probabilità data dalla (2). La probabilità di ottenere k successi in n prove, P ({X k}), è pari a p k (1 p) n k moltiplicato la cardinalità dell insieme A k formato da tutte le possibili sequenze di 0 e di 1 nelle quali 1 appare esattamente k volte, ovvero {( n ) P ({X k}) k p k (1 p) n k se k 0, 1,..., n 0 altrimenti. (3) La (3) definisce la Legge binomiale di parametri n e p, indicata con il simbolo B(n, p). Distribuzione gaussiana. Una variabile aleatoria X si dice normale oppure gaussiana di parametri µ e 2, in simboli X N(µ, 2 ), se X ha funzione di densità data da f(x) 1 } { 2π exp (x µ)2 2 2 x R La densità normale è una curva simmetrica rispetto all ase x µ dove ha il massimo pari a 1 2π. Se X N(µ, 2 ), allora Z : X µ è una variabile aleatoria normale di media 0 e varianza 1; in simboli Z N(0, 1). La variabile aleatoria Z si dice normale standard e si ha Φ(x) P (Z x) : 1 2π x e y2 2 dy x R (4) Da quanto esposto segue anche, ovviamente, che se Z N(0, 1), allora Z + µ N(µ, 2 ). Si ha, per a < b, ( X µ P (X < b) P < b µ ) ( P Z < b µ ) ( ) b µ : Φ ( a µ P (a < X < b) P < X µ < b µ ) ( a µ P < Z < b µ ) ( P Z < b µ ) ( P Z < a µ ) ( ) ( ) b µ a µ : Φ Φ L integrale dell equazione (4) non si può risolvere analiticamente; è possibile il calcolo di Φ(x) facendo uso di apposite tavole, presenti su questo sito. Risulta Φ( x) P (Z < x) P (Z > x) 1 P (Z < x) 1 Φ(x). Teorema del ite centrale. Siano X 1, X 2,..., X n variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite, tutte con media µ e varianza 2 ; allora, se n è grande, la somma X 1 + X X n è approssimativamente normale con media nµ e varianza n 2. Tale somma può anche essere normalizzata in modo da ottenere una distribuzione approssimativamente normale standard; si ha infatti che X 1 + X X n nµ N(0, 1) n

5 5 dove con il simbolo si intende è approssimativamente distribuito come. Ciò significa che per n grande e x qualsiasi vale l approssimazione ( ) X1 + X X n nµ P < x Φ(x) n dove Φ denota la funzione di ripartizione della normale standard. Come caso particolare di tale teorema si ha questo altro enunciato del Teorema stesso: Sia X {0, 1} n lo spazio degli eventi della ripetizione n volte di una prova in cui p è la probabilità di successo e q 1 p; sia N la variabile aleatoria di conteggio del numero di successi, ovvero la Legge binomiale B(n,p). Risulta che N ha media np e varianza npq; inoltre N pn npq ha media 0, varianza 1 e vale ( ) N pn P [a, b] 1 n npq 2π b a e x2 2 dx Disposizioni e combinazioni semplici. Dato un insieme con n elementi, in quanti modi si possono scegliere k elementi (tutti distinti, ovvero senza ripetizioni) tra questi n? Il problema ha senso solo se k n. Si distinguono due casi; in essi l aggettivo semplice indica che non sono ammesse ripetizioni di oggetti, ovvero che sono tutti distinti i k elementi che si scelgono. L ordine con cui vengono scelti gli oggetti è importante; si parla, in tal caso, di disposizioni semplici di n oggetti di classe k. Tali disposizioni sono in numero di D(n, k) n (n 1)c (n 2)c... (n k + 1) in quanto: il primo elemento può essere scelto tra tutti gli n dell insieme, quindi in n modi; il secondo elemento può essere scelto tra tutti gli n 1 elementi rimanenti, dato che i k oggetti devono essere tutti distinti; il terzo elemento può essere scelto tra tutti gli n 2 elementi rimanenti; si continua così fino al k-esimo oggetto che può essere scelto tra tutti gli n (k 1) n k + 1 elementi rimanenti. Se k n allora n elementi si possono scegliere tra n elementi in D(n, n) n! modi; Se k 1 allora un elemento si può scegliere tra n elementi in D(n, 1) n modi. Dunque, il numero di disposizioni semplici di n oggetti di classe k rappresenta il numero di k-ple ordinate di k elementi distinti presi da un insieme di n elementi. L ordine con cui vengono scelti gli oggetti è irrilevante; si parla, in tal caso, di combinazioni semplici di n oggetti di classe k. Il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k rappresenta il numero di sottoinsiemi di k elementi in un insieme di n elementi. Tale numero si indica con ( n k) ed è così calcolato: in un insieme A con n elementi, ogni sottoinsieme di A con k elementi (k n) ha esattamente k! ordinamenti, quindi corrisponde a k! k-ple distinte; dunque, il numero di sottoinsiemi di A aventi k elementi, si ottiene dividendo per k! il numero totale di k-ple ordinate, ovvero ( ) n k D(n, k) k! n (n 1) (n 2)... (n k + 1) k! n! k!(n k)! Esempio. I 4 simboli di A dna {A, C, G, T } possono essere messi in fila in 4! 24 modi. Esempio. Le disposizioni semplici delle 4 basi in A dna {A, C, G, T }, prese due alla volta, sono in numero di D(4, 2) 4 (4 (2 1)) 12 e sono AC, AG, AT, CA, CG, CT, GA, GC, GT, T A, T C, T G Esempio. Quattro nuovi farmaci devono essere sperimentati; occorre scegliere dove tra 11 laboratori dichiaratisi disponibili. Quante scelte sono possibili, assegnando i farmaci a laboratori differenti?

6 6 Soluzione. Si ha k 4, n 11, quindi le scelte possibili sono in numero di 11 (11 1) (11 2) (11 (4 1)) Esempio. Ad una gara di atletica hanno partecipato 30 atleti; si considerino i primi tre classificati: al primo va una medaglia d oro, al secondo una d argento, al terzo una di bronzo. Quanti sono i possibili modi in cui possono essere assegnate le medaglie? Ovvero, quante possono essere le terne ordinate di vincitori (tali, cioè, che il primo elemento della terna riceve la medaglia d oro, il secondo quella di argento, il terzo quella di bronzo)? Soluzione. La terna Andrea (primo), Barbara (seconda), Claudio (terzo) differisce dalla terna Barbara (prima), Andrea (secondo), Claudio (terzo) (le assegnazioni delle medaglie sono differenti, anche se sul podio salgono le stesse persone). I possibili vincitori sono 30, i possibili secondi posti sono 29, i possibili terzi posti sono 28. Quindi i possibili modi in cui possono essere assegnate le medaglie sono in numero di D(30, 3) , tante quante sono le disposizioni semplici di 3 elementi di classe 3. Esempio. Ad una gara di atletica hanno partecipato 30 atleti; si considerino i primi tre classificati: al primo va una medaglia d oro, al secondo una d argento, al terzo una di bronzo. Quante sono le possibili terne di vincitori, ovvero quante sono le terne di atleti che saliranno sul podio? Soluzione. In questo caso non importa la qualifica primo, secondo o terzo qualificato: la terna Andrea (primo), Barbara (seconda), Claudio (terzo) o la terna Barbara (prima), Andrea (secondo), Claudio (terzo) sono da considerarsi uguali. Si considerano, dunque, uguali tutte le terne di premiati, indipendentemente dal tipo di medaglia. Fissati 3 atleti premiati A, B, C, essi possono essere premiati in tanti modi quante sono le permutazioni di 3 elementi, cioè in 3! 6 modi. La risposta al quesito posto dall esercizio è dunque Tale numero rappresenta il numero di combinazioni semplici di 30 oggetti di classe 3. Disposizioni e combinazioni con ripetizione. Dato un insieme con n elementi, in quanti modi si possono scegliere k elementi (anche coincidenti) tra questi n? Ovvero, quante sono le k-ple, con elementi eventualmente coincidenti, presi da un insieme di n elementi? Si distinguono due casi. L ordine con cui vengono scelti gli oggetti è importante; si parla, in tal caso, di disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k. Tali disposizioni sono in numero di n k n n n n in quanto: il primo elemeto può essere scelto in n modi, il secondo ancora in n modi (essendo ammesse ripetizioni) e così via fino al k-esimo. L ordine con cui vengono scelti gli oggetti è irrilevante; si parla, in tal caso, di combinazioni con ripetizione di n elementi di classe k. Il numero di combinazioni con ripetizione di n elementi di classe k eguaglia il numero di combinazioni semplici di n + k 1 elementi di classe k, ovvero ( ) n + k 1 Esempio. Quante targhe costituite da 7 cifre si possono formare? Ovvero: in quanti modi si possono scegliere 7 elementi (anche coincidenti) nell insieme (costituito da 10 elementi) {0, 1, 2,..., 9}; ossia: quante sono le 7-ple di elementi presi dall insieme {0, 1, 2,..., 9}? Soluzione. Il primo elemento della 7-pla può essere scelto in 10 modi, allo stesso modo il secondo (in quanto possono coincidere), così di seguito. In tutto le possibili targhe sono, quindi k

7 7 Esempio. Quattro proposizioni p 1, p 2, p 3, p 4 possono assumere, ciascuna, solo due valori, vero (V) e falso (F). Quanti sono i possibili modi in cui le quattro proposizioni possono assumere valore? Soluzione. Occorre contare tutte le possibili quaterne costituite da due elementi (V o F), eventualmente ripetuti; interessa sapere quale proposizione acquista quale valore. Si tratta delle disposizioni con ripetizione di n 2 elementi di classe k 4 che, come visto, sono in numero di n k Le 16 quaterne sono le seguenti (la colonna i-esima rappresenta il valore assunto dalla proposizione p i, i 1, 2, 3, 4.): V V V V V V V F V V F V V F V V F V V V V V F F V F V F F V V F V F F V F V F V F F V V F F F V F F V F F V F F V F F F F F F F Esempio. Quattro proposizioni p 1, p 2, p 3, p 4 possono assumere, ciascuna, solo due valori, vero (V) e falso (F). Quanti sono i possibili valori che le quattro proposizioni possono assumere? Soluzione. Non interessa sapere quale proposizione acquista quale valore, ma interessa solo quanti valori (quali quaterne di valori) sono stati assunti dalle proposizioni; per questo motivo, saranno considerate uguali, ad esempio, la quaterna VVFV e la quaterna VVVF (tre proposizioni vere e una falsa, non interessa sapere quali/e). Si tratta delle combinazioni con ripetizione di n 2 elementi di classe k 4 che, come visto, eguaglia il numero di combinazioni semplici di n + k 1 5 elementi di classe 4, ovvero ( ) ( ) n + k 1 5 5; k 4 sono le seguenti: V V V V V V V F V V F F V F F F F F F F Come si vede dagli esempi, se si ammettono ripetizioni, non si deve supporre k n.