Introduzione. M. Galuzzi. Trento, 2108

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1 Introduzione M. Galuzzi Trento, 2108

2 Perché la storia della matematica? (a) Per convincere del fatto che la matematica appartiene alla cultura (non è solamente un attività pratica o una pseudo-scienza); (b) Come ausilio (indispensabile?) per la didattica; (c) Per seguire lo sviluppo delle idee matematiche (un tema particolarmente caro ad André Weil: si veda la bibliografia).

3 Il punto (a) Per alcuni (ancora) la matematica non è vera cultura. L idealismo: Croce e Gentile, ecc. Ma forse sarebbe il caso di abbandonare definitivamente questa problematica... La matematica, in quanto matematica, non conosce, ma stabilisce formule di eguaglianza; non serve a conoscere, ma a contare e a calcolare il già conosciuto. Per contare e calcolare, la matematica ha bisogno di formole, e, per stabilire queste, di certi principi supremi, che si chiamano, a volta a volta, definizioni, assiomi e postulati. Così l aritmetica ha bisogno della serie numerica la quale, movendo dall unità, si ottiene aggiungendo sempre un unità al numero precedente. 1 1 Cfr. [Croce(1909), p. 253].

4 Il punto (b): Storia e didattica Un esempio: L equazione x 2 3x + 2 = 0 ha per radici 1 e 2. È evidente? Bombelli 2 : si tratta di agguagliare a 3 1. L evidenza sembra diminuire... Ma con Bombelli siamo già in una fase evoluta delle notazioni algebriche. Problemi: Un equazione di grado n ha n radici? Quante radici ha l equazione x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 1 = 0? Quante radici ha l equazione x 2 + x 2 = 0? E l equazione x 2 + x + 1 = 0? Quando si utilizzano le parentesi? Descartes (quasi): y 6 + 2py 4 +pp yy qq = 0. +4r Il legame tra i coefficienti di un polinomio e le sue radici si ottiene solo con Viète e Descartes (prima metà del Seicento). 2 La notazione in [Bombelli(1966), p. 201] è livemente diversa... ).

5 Il punto (c). Sviluppo di idee 1 2 = Un altro modo, sviluppo in frazione continua: 2 = = = = 1 + = = = 1 1 = (1) Otteniamo 2 = [1, 2] Periodicità invece di caos. Problema: con lo stesso algoritmo: 3 2 = [1, 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1,... ] Non appaiono regolarità.

6 Il punto (c). Sviluppo di idee 2 Come valutare il polinomio per x = 2? P (x) = x 7 15x 5 + 8x 4 3x 2 + x 1 P (x) = (x 2 2)(x 5 13x 3 + 8x 2 26x + 13) 51x Allora P ( 2) = Con l algoritmo della divisione si ottengono molti risultati.

7 Altre meraviglie della divisione. L algoritmo di Sturm Daro un polinomio f(x) privo di radici multiple, si crea la sequenza di Sturm. f 0 (x) = f(x), f 1 (x) = f (x); f i (x) = q i (x) f i+1 (x) + r i (x) f i+2 (x) = r i (x) La sequenza si arresta... Sia Valutiamo per a < b: S = f 0, f 1,..., f k. S(a) = f 0 (a), f 1 (a),... f k (a); S(b) = f 0 (b), f 1 (b),... f k (b); Sia V (a) il numero di variazioni di S(a), V (b) quello di S(b). V (b) V (a) è il numero di radici contenute in (a, b].

8 Un esempio. L equazione di secondo grado rivisitata Consideriamo il polinomio f 0 (x) = x 2 + px + q. Allora f 1 (x) = 2x + p e quindi f 0 (x) = ( x 2 + p 4 Allora f 2 (x) = p2 4 q. La sequenza: S = [x 2 + px + q, 2x + p, p2 4 q] Si tratta di valutare la sequenza per x =, +. [+,,?], [+, +,?] Due radici reali se e solo se p2 4 q > 0, Cosa succede con x 3 + px + q = 0? ) f1 (x) p2 4 + q.

9 [Bombelli(1966)] Bombelli R. (1966). Algebra. Feltrinelli, Milano. Prima edizione integrale a cura di E. Bortolotti. [Cajori(1993)] Cajori F. (1993). A History of mathematical Notations. Dover, New York. Republication in one volume of the work first published in two volumes by The Open Court Publishing Company, La Salle Illinois, 1928 and [Croce(1909)] Croce B. (1909). Logica come scienza del concetto puro. Laterza, Bari. Seconda edizione interamente rifatta. [Weil(1980)] Weil A. (1980). History of mathematics: why and how.

10 In Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978). Acad. Sci. Fennica, Helsinki. [Weil(1993)] Weil A. (1993). Teoria dei numeri. Storia e matematica da Hammurabi a Legendre. Einaudi, Torino. A cura di C. Bartocci. Trad. it. di A. Collo. Introduzione di E. Bombieri.