Sempre dritto: l equazione della retta

Transcript

1 Sempre dritto: l equazione della retta PLAYLIST 2 Sempre dritto: l equazione della retta PLAYLIST 2 Prerequisiti Conoscere il sistema di coordinate cartesiane. Conoscere le proprietà dei triangoli simili. Obiettivi Conoscenze e abilità Rappresentare il grafi co di una retta nel piano cartesiano. Comprendere e approfondire la relazione tra l equazione della retta e la sua rappresentazione grafi ca nel piano. Competenze Consolidare i concetti di proporzionalità diretta e dipendenza lineare. Saper ricavare le soluzioni di un modello matematico in un contesto di ricerca operativa, avvalendosi dell equazione della retta. Saper individuare, costruire e analizzare contesti reali di modellizzazione lineare. Lo studio analitico delle rette nel piano cartesiano è un argomento di fondamentale importanza nel percorso didattico non solo della matematica, ma delle materie scientifi che in genere. Oltre a essere il punto di partenza per affrontare lo studio analitico delle coniche nel piano cartesiano (che occupa gran parte del terzo anno del liceo scientifi co), infatti, permette di consolidare alcuni concetti fondamentali nello studio di altre materie come la fi sica, la biologia o la chimica, in particolare relativamente alla rappresentazione grafi ca delle relazioni tra grandezze e ai concetti di proporzionalità diretta e di dipendenza lineare. La seguente proposta didattica può essere utilizzata in classe a conclusione delle lezioni introduttive sui concetti di equazione e rappresentazione nel piano cartesiano della retta, per consolidare e verifi care le nuove nozioni introdotte. LA STRUTTURA DELLA LEZIONE Il percorso didattico che proponiamo, dal titolo Sempre dritto: l equazione della retta, è disponibile sul portale sotto forma di playlist pubblica. Potete quindi copiarlo liberamente, modifi carlo e salvarlo nel vostro spazio personale. Nella tabella seguente sono riportati, nell ordine, i contenuti di cui la playlist si compone, la loro tipologia e gli ambiti o obiettivi didattici in cui s inseriscono. 23 2_Sempre_23_32.indd 23 15/12/11 09:12

2 PLAYLIST 2 Sempre dritto: l equazione della retta Contenuti della playlist Tipologia Ambito/obiettivo didattico Punti nel piano cartesiano risorsa Apprendiscienza applicazioni Punti nel piano cartesiano (II) risorsa Apprendiscienza applicazioni Il grafi co di una retta risorsa Apprendiscienza applicazioni Troviamo la pendenza di una retta risorsa Apprendiscienza applicazioni La pendenza di una retta risorsa Apprendiscienza applicazioni Misura della pendenza risorsa Apprendiscienza applicazioni Troviamo il coeffi ciente angolare di una retta risorsa Apprendiscienza applicazioni Il coeffi ciente angolare di una retta risorsa Apprendiscienza applicazioni Utilizziamo il coeffi ciente angolare di una retta risorsa Apprendiscienza applicazioni Il coeffi ciente angolare di rette parallele risorsa Apprendiscienza applicazioni o perpendicolari La forma generale dell equazione di una retta risorsa Apprendiscienza applicazioni The family of lines y = 2x + c risorsa Apprendiscienza applicazioni, CLIL The family of lines risorsa Apprendiscienza applicazioni, CLIL Rette in bolletta risorsa personale applicazioni, matematica e realtà Le risorse così aggregate saranno lo spunto, in classe, per un percorso di diffi - coltà crescente articolato in due parti. La prima, realizzata con le risorse di Apprendiscienza, è centrata sul consolidamento delle conoscenze e delle abilità da poco acquisite nelle lezioni frontali classiche; l altra eventualmente sul potenziamento di queste ultime e sulla valutazione delle competenze, in particolare delle capacità di modellizzare e di applicare le tecniche apprese a contesti di realtà o astratti. PUNTI NEL PIANO CARTESIANO Potete cominciare la lezione in classe richiamando le conoscenze relative al piano cartesiano e alla rappresentazione di punti, prerequisiti fondamentali del nostro percorso. Confrontatevi con i ragazzi e modifi cate la risorsa in modo da fare il punto di quanto emerge dalla discussione: potete aggiungere commenti e annotazioni sia nella fase di preparazione della playlist, sia durante la lezione. 24 2_Sempre_23_32.indd 24 15/12/11 06:25

3 Sempre dritto: l equazione della retta PLAYLIST 2 Per farlo, inserite una casella di testo 1 cliccando sull apposito pulsante e annotate che cosa si intende con i termini coppia ordinata, asse delle ascisse e asse delle ordinate. A questo punto tracciate sul piano cartesiano la prima coppia di punti indicata cliccando sullo strumento Matita 2. Quindi con lo strumento Linea 3 collegateli ai rispettivi assi cartesiani La risorsa introduttiva proposta serve anche a prendere confi denza con l utilizzo del piano cartesiano, coinvolgendo attivamente la classe: l esercizio, infatti, come indica la consegna visibile cliccando sul pulsante i in alto a sinistra, richiede di rappresentare grafi camente i dieci punti indicati. Chiamate quindi i ragazzi a turno alla LIM per esercitarsi, sulla base del primo esempio da voi svolto. IL GRAFICO DI UNA RETTA Introducete le due attività (a e b) della risorsa Punti nel piano cartesiano (II), dove si richiede, come nell esercizio precedente, di rappresentare sul piano cartesiano i punti indicati. La principale differenza rispetto alla risorsa introduttiva, fate notare agli studenti, è che i punti non sono disposti casualmente sul piano ma, come vedremo, si dispongono su una retta. In entrambi i casi, inoltre, le rette passano per l origine, come si può evincere dalle coordinate dei punti. Nel primo, infatti, l ordinata è sempre doppia rispetto all ascissa. Esplicitando questo con un apposita casella di testo, potete stimolare la stessa osservazione da parte degli studenti, in modo autonomo, 25 2_Sempre_23_32.indd 25 15/12/11 06:26

4 PLAYLIST 2 Sempre dritto: l equazione della retta per la seconda attività. Dopo aver completato il primo esercizio, invitate gli studenti a svolgere individualmente il secondo sul quaderno. Chiamate quindi uno di loro per replicarlo alla LIM. A questo punto lanciate la risorsa Il grafi co di una retta, chiedendo alla classe di associare alla retta rappresentata a sinistra la sua equazione. Potete inoltre soffermarvi sulle opzioni errate presenti, chiedendo agli studenti di trovare da soli gli esempi numerici che verifi chino queste impossibilità. Saranno così coinvolti in un utile analisi degli errori e potenzieranno il proprio senso critico. LA PENDENZA DI UNA RETTA Proiettate l animazione della risorsa Troviamo la pendenza di una retta (v. fi gura) per illustrare questo concetto: può essere lo spunto per riprendere la nozione di variazione in forma visuale. Inserendo una casella di testo, potrete soffermarvi sul procedimento per misurare la pendenza di una retta e su cosa si intenda per variazione o incremento di una coordinata. Quindi chiedete agli studenti di verifi care che non importa con quale ordine si scelgano i punti A e B, purché sia lo stesso sia nel calcolo della variazione dell ordinata sia in quello dell ascissa. È possibile a questo punto applicare i concetti appena visti con qualche esempio. Lanciate l attività La pendenza di una retta e chiamate a turno i ragazzi alla LIM per scegliere due punti nel piano e verifi care il calcolo della misura della pendenza della retta che passa per A e B. Fate presente che i numeri devono essere introdotti in forma decimale, la variazione deve essere calcolata utilizzando 26 2_Sempre_23_32.indd 26 15/12/11 06:26

5 Sempre dritto: l equazione della retta PLAYLIST 2 A come primo punto e B come secondo, infi ne la frazione deve essere già ridotta ai minimi termini. Potete scegliere se svolgere le attività solo numericamente, oppure anche grafi camente. Coinvolgete i ragazzi nella simulazione Misura della pendenza, che consente di spostare liberamente i punti A e B lungo la retta per verifi care se la misura della pendenza dipende dalla scelta delle coordinate di riferimento. Chiedete loro, quindi di osservare cosa accade: la risorsa dimostra che il rapporto tra la variazione delle coordinate x e quella delle coordinate y in questo caso non può che restare costante. IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA Lanciando l animazione Troviamo il coeffi ciente angolare di una retta potete introdurre brevemente il nuovo termine, che identifi ca il concetto già illustrato della misura della pendenza di una retta nel piano cartesiano. A questo punto coinvolgete i ragazzi nell esercizio della risorsa successiva, Il coeffi ciente angolare di una retta, che permette di scegliere due punti nel piano, uno sull asse delle ordinate e uno sull asse delle ascisse. I due punti identifi cano una retta di cui si chiede di calcolare il coeffi ciente angolare. Fate osservare agli studenti che non è necessario utilizzare i due punti evidenziati e invitateli a turno al computer o alla LIM a scegliere una qualsiasi altra coppia di punti sulla retta. In particolare potete soffermarvi sul caso speciale in cui i punti siano entrambi sull asse delle ascisse: chiedete agli studenti di calcolare individualmente il coeffi ciente angolare. Può sorgere spontanea la domanda di verifi care che cosa accada scegliendo i due punti entrambi sull asse delle ordinate. A B 27 2_Sempre_23_32.indd 27 15/12/11 06:27

6 PLAYLIST 2 Sempre dritto: l equazione della retta Soffermatevi quindi sul caso speciale delle rette verticali: aggiungete una nuova pagina alla risorsa (basta cliccare sul pulsante Aggiungi nota), e disegnate una retta verticale sul piano cartesiano con lo strumento Linea, invitandoli a verifi care l impossibilità di calcolare il coeffi ciente angolare. COEFFICIENTE ANGOLARE: APPLICAZIONI E CASI PARTICOLARI Lanciate la risorsa Utilizziamo il coeffi ciente angolare di una retta con quattro esercizi simili che richiedono di rappresentare una retta dati il suo coeffi ciente angolare e le coordinate di un punto a essa appartenente. Introducendo una casella di testo, potete completare la schermata relativa alla prima attività con un possibile svolgimento, che in questo caso prevede il calcolo dell equazione della retta in questione. Gli altri tre esercizi possono essere svolti individualmente dagli studenti. Passando alla determinazione del coeffi ciente angolare nei casi particolari, l esercizio per la LIM Il coeffi ciente angolare di rette parallele o perpendicolari (v. fi gura) richiede di trovare il coeffi ciente angolare di diverse rette rappresentate sul piano cartesiano. Una volta individuato il primo, potete lasciare i calcoli successivi a un lavoro individuale. A questo punto chiedete agli studenti di verifi care le relazioni tra i coeffi cienti delle rette parallele e delle rette perpendicolari che compaiono nel disegno. L esercizio prevede infi ne di esplicitarle scegliendo tra alcune possibili risposte. L EQUAZIONE DI UNA RETTA Proponete l esercizio La forma generale dell equazione di una retta, che richiede di associare al grafi co di una retta la sua equazione scegliendo tra sei possibili risposte. Per facilitare la comprensione, completate la schermata relativa al primo esercizio con un possibile svolgimento step by step. In questo caso sono stati esplicitati tutti passaggi necessari per trovare l equazione della retta. Sulla base del modello fornito, assegnate gli altri quattro esercizi agli studenti individualmente, chiamandoli poi a turno alla LIM per esplicitare il procedimento. 28 2_Sempre_23_32.indd 28 15/12/11 06:27

7 Sempre dritto: l equazione della retta PLAYLIST 2 La risorsa L equazione di una retta (v. fi gura) permette di percorrere il procedimento inverso rispetto a quello della precedente attività. Se preferite potete esplicitare lo svolgimento dell esercizio accanto al grafi co. Poiché, però, è l unico esercizio di questo tipo, questo suggerimento può essere in un primo momento nascosto. Per farlo, basta cliccare sullo strumento Mostra area 1, circoscrivendo l area da visualizzare. Potete quindi chiedere agli studenti di svolgere l attività autonomamente, ed eventualmente mostrare lo svolgimento alla fi ne, utilizzando la funzione Nascondi il contenuto THE FAMILY OF LINES La risorsa in lingua inglese The family of lines y = 2x + c (v. fi gura) consente di introdurre il concetto di fascio di rette. Se la classe ha buone competenze nell ascolto e nella comprensione in lingua potete lanciare l animazione, fermandola di volta in volta per sottolineare le espressioni di più diffi cile comprensione. Chiedete quindi ai ragazzi di estrapolare una defi nizione di fascio di rette, eventualmente lasciando la traduzione a un attività di ricerca in lingua inglese a piccoli gruppi attraverso il web. Se preferite un approccio più intuitivo al concetto di fascio di rette, potete eliminare la risorsa precedente (v. Come modifi care una playlist, p. 124) e passare direttamente all attività interattiva in lingua The family of lines. A partire da un insieme di rette con un parametro in comune si chiede di ricavare l equazione generale. CLIL inglese webquest 29 2_Sempre_23_32.indd 29 15/12/11 06:28

8 PLAYLIST 2 Sempre dritto: l equazione della retta matematica e realtà competenze modellizzazione PER CONCLUDERE: RETTE E BOLLETTE Al termine della lezione, è possibile integrare la playlist con materiali propri, da assegnare alla classe come verifi che in classe o compiti a casa, pensati per potenziare conoscenze e abilità e introdurre gli studenti alla modellizzazione matematica. In questo caso è stata aggiunta una scheda che propone attività legate a un problema concreto, la cui risoluzione è riconducibile all equazione e alla rappresentazione di una retta nel piano cartesiano. L attività Rette in bolletta (Scheda 1,, p. 31) propone agli studenti un contesto ambientato della vita quotidiana, articolato in domande che mettono alla prova diverse competenze, focalizzandosi in particolare sulla comprensione del testo e sulla sua traduzione in modello matematico. La scheda consente di valutare alcune competenze fondamentali, come le capacità di: comprendere un problema matematico, formalizzarlo in un modello e risolverlo applicando le tecniche apprese e le conoscenze trasversali acquisite. La playlist che proponiamo contiene una griglia conclusiva in excel costruita secondo lo schema in basso, per valutare le diverse competenze dimostrate da ogni studente nel corso dello svolgimento dell attività. Griglia di valutazione - Scheda 1 Competenze Domande Voto Comprensione del testo Matematica e modelli Conoscenze e abilità Rappresentazione grafi ca 1 2, 3 4, 5, _Sempre_23_32.indd 30 15/12/11 06:28

9 Sempre dritto: l equazione della retta PLAYLIST 2 SCHEDA 1 Rette in bolletta State valutando di cambiare il gestore telefonico della vostra linea mobile. Ciò che vi interessa di più sono le tariffe della connessione a internet tramite cellulare. Dopo un attenta ricerca avete selezionato quattro offerte: a. Un abbonamento fi sso a 10 euro al mese e nessun altro costo aggiuntivo b. Un abbonamento fi sso a 5 euro al mese, con un costo aggiuntivo di 0,30 euro per ogni ora di connessione c. Un abbonamento fi sso di 2 euro al mese, con nessun costo aggiuntivo per le prime 3 ore di connessione e di 0,50 per le successive d. Nessun abbonamento fi sso, ma un costo di 1 euro all ora per le prime due ore di connessione e di 0,50 per ogni ora successiva. Quale abbonamento risulta più conveniente sapendo che in media utilizzate la connessione a Internet tramite cellulare per circa 12 ore al mese? 1. Ogni offerta può essere rappresentata in un piano cartesiano dove sull asse delle ascisse si indica il tempo (in ore) di connessione, e sull asse delle ordinate il costo. Per fare ciò, completate innanzitutto la seguente tabella (le prime due righe sono già state riempite): Tempo di a b c d connessione (h) , Costo dell offerta ( ) 2. Rappresentate i punti relativi a ogni offerta sul piano cartesiano con quattro diversi colori. I punti si dispongono lungo curve particolari: di che tipo sono? _Sempre_23_32.indd 31 15/12/11 06:28

10 PLAYLIST 2 Sempre dritto: l equazione della retta 3. Le rappresentazioni di tutte le offerte corrispondono a tratti di retta. Indicate per ogni offerta l equazione della retta (o delle rette) che le rappresentano. Offerta a y = Offerta c { y = se x < y = se x < Offerta b y = Offerta d { y = se x < y = se x < 4. A questo punto provate a rispondere alla domanda del problema iniziale, quindi passate alle successive, motivando sempre la risposta. 5. Per quante ore di connessione mensili l offerta a risulta la più conveniente tra tutte? E l offerta d? 6. Dopo quante ore di connessione l offerta d risulta più conveniente dell offerta c? A che cosa corrisponde ciò nella rappresentazione grafica e nell equazione delle rette? 32 2_Sempre_23_32.indd 32 15/12/11 06:28