PICCOLE INTUIZIONI CRESCONO: ALCUNE ATTIVITÀ PER SVILUPPARE IDEE INTUITIVE SUL CONCETTO DI INFINITO A LIVELLO DI SCUOLA DELL'OBBLIGO

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1 PICCOLE INTUIZIONI CRESCONO: ALCUNE ATTIVITÀ PER SVILUPPARE IDEE INTUITIVE SUL CONCETTO DI INFINITO A LIVELLO DI SCUOLA DELL'OBBLIGO L. Grugnetti, A. Rizza S. Dallanoce, S. Foglia, S. Gregori, C. Marchini, F. Molinari, A. Piccoli, V. Vannucci Unità locale di ricerca didattica, Dipartimento di Matematica, Università di Parma. 1. Introduzione Secondo numerosi studiosi di didattica della matematica perché l insegnamento di un concetto risulti efficace non si può prescindere dalle conoscenze intuitive dell allievo acquisite in un contesto extrascolastico o negli studi precedenti. Esse infatti possono facilitare o ostacolare in modo determinante l apprendimento del concetto stesso. In particolare Fischbein (1973, 1987) si riferisce a tali idee intuitive come ad «intuizioni primarie» e sottolinea l opportunità di sostenerle e rafforzarle in modo che esse possano evolvere allo stadio di «intuizioni secondarie» e costituiscano così un terreno propizio per l acquisizione del concetto. Tutto ciò risulta particolarmente importante nel caso dei concetti più complessi e delicati della matematica, come ad esempio il concetto di infinito e quelli ad esso strettamente collegati di infinitesimo, limite e continuità. Sulle difficoltà inerenti l apprendimento di tali concetti esiste una vasta letteratura, che mette in evidenza da un lato la presenza di veri e propri «ostacoli epistemologici» (Brousseau 1976, Sierpinska 1985, 1987, etc.), da un altro l opportunità di particolari scelte didattiche (ex. Furinghetti, Somaglia 1994; Hauchart, Schneider 1996; CREM 1995). Sono state evidenziate anche difficoltà di natura linguistica (Andriani et al. 1999, Grugnetti e Rizza, 1999) dovute allo stretto legame e alle ambiguità riscontrabili nell uso quotidiano dei termini "limite" e "infinito". Una recente ricerca del nostro gruppo (Dallanoce, Grugnetti et al., 2000, Alberti, Andriani et al. 2001) ha avuto come finalità l esplorazione delle conoscenze intuitive di studenti di età compresa tra i 10 e i 19 anni (nel caso di un quesito dai 6 ai 19 anni) relative ai concetti di infinito, infinitesimo e continuità. L'analisi degli elaborati ha evidenziato la presenza di intuizioni primarie a tutti i livelli di età considerati, in particolare negli allievi più giovani. D altra parte non è apparsa un'evoluzione degna di nota né in senso quantitativo né in senso qualitativo: nel corso del processo scolastico, cioè, tali intuizioni non solo sembrano non evolvere, ma in genere tendono a regredire. La prassi didattica pare avere principalmente l effetto di innescare automatismi e di spostare l attenzione degli studenti sul calcolo più che sul 1

2 ragionamento critico. Ad esempio una corretta idea di approssimazione presente, sebbene in forma abbozzata, in alcuni protocolli di allievi della scuola elementare, tende a scomparire nei successivi gradi scolastici per lasciare il posto ad una ossessiva e impropria ricerca di un risultato esatto. 2. La ricerca 2.1 Le ragioni della ricerca Lo sfondo teorico della nostra ricerca è costituito da recenti ricerche sull'apporto del socio-costruttivismo all'apprendimento (ex. Grugnetti 1997, Rouche 1991) di cui condividiamo i presupposti fondamentali e soprattutto l invito a proporre problemi significativi, che non si riducano soltanto all applicazione di una formula o di una tecnica particolare e nei quali sia richiesto più di congetturare ed argomentare che di calcolare. Di notevole importanza riteniamo inoltre l utilizzo delle nuove tecnologie per stimolare, attraverso la visualizzazione, la produzione di congetture e sostenere adeguatamente il processo di formazione dei concetti. Lo scopo del nostro lavoro è quello di proporre, a partire da contenuti già presenti nei programmi della scuola media, alcune attività idonee allo sviluppo delle intuizioni degli allievi, sotto forma di situazioni aperte da esplorare con gli strumenti più familiari (carta e matita) oppure con il computer. Riteniamo che la matematica «elementare» sia ricchissima di occasioni per familiarizzare gradualmente con il concetto di infinito e che la scuola dell obbligo possa svolgere un ruolo fondamentale nello sviluppo di immagini mentali favorevoli al suo apprendimento. Osserviamo tuttavia che spesso negli insegnanti prevale la preoccupazione di «tenere nascosti» gli stimoli che porterebbero a parlare di infinito piuttosto che approfondirli, per la paura che da essi possano nascere problemi complessi e di difficile gestione. A titolo di esempio citiamo la questione della divisione per zero: essa viene spesso frettolosamente risolta in un divieto scarsamente motivato che rischia di produrre distorsioni ed errori. Potrebbe invece diventare (figura 1) un occasione per iniziare a parlare di «numeri che crescono oltre ogni limite prefissato» e per suscitare domande e curiosità sull infinito; in un secondo tempo, quando si affronterà lo studio della funzione x k/x, la questione potrà essere ripresa ed approfondita. 2.2 Considerazioni sui libri di testo 5 0 =??? Allora proviamo a calcolare: ,,,,... 0, 1 0, 01 0, 001 0, 001 0, 0001 figura 1 Abbiamo svolto una breve indagine esaminando alcuni libri di testo delle scuole medie, allo scopo di trovare idee e stimoli per un primo approccio al concetto di infinito. Abbiamo rilevato che, in generale, la maggiore preoccupazione degli autori è 2

3 quella di proporre un gran numero di esercizi molto simili fra loro e tutti con una soluzione, piuttosto che addentrarsi in situazioni problematiche o ambigue anche da un punto di vista linguistico (Jaquet 2000, Marchini 1999). Tuttavia abbiamo notato la presenza di spunti interessanti, forse non adeguatamente sviluppati nella pratica scolastica. Un esempio comune a vari testi riguarda il problema della misura e in particolare l area di figure a contorno curvilineo. Dopo aver trattato le aree delle figure poligonali e del cerchio, ci si pone il problema più generale di misurare l estensione di una figura «irregolare». Vengono proposti vari metodi, fra i quali quello di approssimazione mediante quadrettatura. Si tratta di un attività ricchissima di stimoli, che anche nel nostro gruppo abbiamo utilizzato per verificare la presenza di idee intuitive negli allievi (Alberti, Andriani et al. 2001). Essa infatti, pur presentando un elevato contenuto di concetti matematici superiori (infinitesimo, infinito, limite, continuità, approssimazione, numeri reali, ), per il suo carattere di concretezza e la possibilità di un continuo passaggio dal registro numerico a quello grafico, si presta ad un approccio diretto e immediato da parte degli allievi. Nei libri di testo esaminati, a parte i pochi in cui l argomento non è presente, si nota un atteggiamento molto conflittuale: alcuni autori evitano accuratamente termini quali infinito, limite, continuo ; altri utilizzano espressioni del tipo accontentarsi di..., avvicinarsi a.... Tuttavia la maggior parte dei libri conclude l argomento con la proposta di un calcolo effettivo dell area attraverso una formula che fornisce la media fra le aree di un poligono inscritto e di uno circoscritto. A nostro parere in questo modo si perde il senso profondo del problema, cioè il fatto che il risultato sia necessariamente approssimato e migliorabile a piacere con una conveniente scelta della quadrettatura. Anche in questo caso sembra dunque prevalere negli autori il timore di destabilizzare le rassicuranti conoscenze offerte da metodi, regole e formule chiare. 2.3 Progressioni geometriche e omotetie Un argomento che, a nostro avviso, può costituire una delle prime occasioni di approccio ad un processo infinito e all idea di limite è quello delle progressioni geometriche che, peraltro, gli allievi incontrano già alla scuola elementare. Il fatto poi che una progressione geometrica è una successione divergente (tendente all infinito) se la ragione è maggiore di 1 oppure infinitesima (tendente a zero) se la ragione è minore di 1, fa di questo argomento, anche in un accezione non formale, un interessante finestra sulla problematica dell infinito. Particolare interesse hanno le somme di numeri in progressione geometrica (serie), come ad esempio le somme: 1+ 1/2 + 1/4 + oppure che risultano convergenti nel primo caso e divergenti nel secondo. Le progressioni geometriche hanno molte applicazioni in matematica, anche a livello 3

4 elementare: ad esempio un numero periodico, come è noto, è la somma dei termini di una progressione geometrica di ragione 1/10. Rispetto al problema della misura, l argomento delle progressioni geometriche ci è sembrato più semplice ed immediato perché opera nel discreto e coinvolge prevalentemente un infinito di tipo potenziale. E possibile inoltre visualizzare grandezze in progressione geometrica o loro somme, applicando più volte ad una figura iniziale un omotetia di rapporto fissato (figura 2). In questo modo le successioni o le serie numeriche diventano concrete (Groupe aha 1999) e lasciano intuire il loro comportamento all infinito senza necessità di conoscere i relativi concetti matematici. E stata quindi realizzata la scheda riportata a fianco (figura 3) in cui, senza far ricorso ai termini infinito e limite, si chiede di immaginare il comportamento finale della sequenza. NOME E COGNOME CLASSE SCUOLA Domanda 1 figura 2 Scopo della scheda è quello di far comprendere l idea di iterazione e la differenza fra un processo divergente (domanda 1) e uno convergente (domanda 2). Nella nostra analisi a priori abbiamo ipotizzato per il primo caso una buona percentuale di risposte corrette, mentre per il secondo abbiamo previsto che l idea di infinito legata al processo potesse condizionare negativamente la risposta. Ci sembrava che la convergenza fosse difficilmente intuibile e che molto improbabile fosse l identificazione del limite come il doppio del segmento iniziale. Osserva la sequenza. Pensa di continuarla finché la tua immaginazione te lo consente. 1.A Cosa succede di volta in volta al perimetro delle figure? 1.B Com è il perimetro dell ultima figura che riesci a immaginare? Domanda 2 Osserva la sequenza. Pensa di continuarla finché la tua immaginazione te lo consente. 2.A Cosa succede di volta in volta alla lunghezza della base (segmento più spesso)? 2.B Com è la lunghezza della base dell ultima figura che riesci a immaginare? figura 3 La scheda è stata distribuita a 11 classi dalla prima alla terza media per un totale di 236 alunni. Per ogni domanda sono state previste a priori 2 o 3 tipi di risposte, elencate nel seguito con le lettere a), b), c); le risposte impreviste sono state incluse nella voce altro (d) e le risposte mancanti o del tipo non si sa sono state inserite nella categoria e). 4

5 Domanda 1.A: a) AUMENTA, genericamente; b) AUMENTA, con la specificazione non proprio esatta di quanto aumenta; c) RADDOPPIA. Domanda 1.B: a) molto GRANDE, o comunque aumentato rispetto al primo; b) INFINITO Domanda 2.A: a) AUMENTA, genericamente; b) AUMENTA ogni volta della metà rispetto alla precedente. Domanda 2.B: a) INFINITA; b) LIMITATA, eventualmente con l indicazione di una misura anche errata, ma che comunque evidenzia l esistenza di un limite per la lunghezza finale; c) IL DOPPIO della prima. Nella seguente tabella sono riportate le frequenze delle varie risposte: 1.A 1.B 2.A 2.B a) b) c) d) e) Si potrebbero fare molte considerazioni sui risultati ottenuti: intanto, dal numero di risposte omesse appare chiaramente la maggiore difficoltà per gli studenti delle domande B che, rispetto alle domande A, richiedono un maggiore ricorso all immaginazione, alla creatività, a procedimenti di iterazione. Appare limitato, ma significativo, il numero di risposte corrette alle domande 1.B (40) e 2.B (12); piuttosto alto risulta il numero delle risposte parzialmente corrette alle stesse domande (rispettivamente 110 e 95). Pur non presentandosi differenze molto evidenti nel numero di risposte accettabili, la seconda domanda sembra provocare maggiori difficoltà: oltre al conflitto previsto fra la possibilità di iterare il procedimento all infinito e la lunghezza finita del segmento finale, emerge il problema di individuare la quantità variabile: ben 57 risposte (all interno di quelle classificate come altro ) affermano che la lunghezza diventa piccolissima, riferendosi al lato dell ultimo quadratino e non all intero segmento. Notevoli ed impreviste resistenze appaiono anche nella prima domanda: piuttosto che ammettere che il perimetro diventa infinito, si preferisce usare altre espressioni, anche molto efficaci, come enormemente enorme. In entrambi i casi spesso c è il tentativo di produrre un risultato espresso con un numero, confermando la presenza di automatismi e l abitudine ad esercizi di tipo tradizionale. 2.4 Visualizzazione mediante Cabri La presenza contemporanea di buone intuizioni e di forti resistenze ci ha portato a riflettere sull opportunità di riproporre la stessa situazione in un ambiente in cui la costruzione diventasse effettivamente dinamica e potesse essere esplorata direttamente dagli studenti. La scelta più naturale ci è sembrata quella del software Cabri Géomètre, largamente utilizzato nella scuola secondaria e al centro di 5

6 interessanti ricerche didattiche (ex. Capponi 2000, Laborde 2000). Tale prodotto consente agli allievi la manipolazione diretta degli oggetti e la costruzione di procedure iterative che possono favorire la produzione di congetture e la creazione di immagini mentali significative. L esperienza si è svolta in una classe seconda della scuola media G. Marconi di Dovera (CR) e ha occupato un ora di lezione per ciascuno dei due gruppi di 10 allievi che sono stati formati per lavorare a coppie con i 5 computer della scuola. In seguito ad una fase di familiarizzazione con le principali funzioni del programma, è stato proposto il disegno di un triangolo equilatero ed è stato richiesto di applicare ad esso una omotetia di rapporto 2. Dopo aver constatato l effetto della trasformazione, gli alunni sono stati invitati a continuare allo stesso modo sollecitati da domande come fino a quando si può continuare? e come diventa il triangolo? Rispetto alla stessa attività con carta e matita svolta poco prima in classe, gli allievi si sono spinti ad un maggiore livello di intuizione, sono riusciti a distinguere meglio le variabili del problema e a formarsi una visione d insieme della situazione piuttosto che concentrare l attenzione sui singoli passaggi. Ancora più convincente è stata la seconda costruzione. Assegnato un quadrato e il rapporto di omotetia 0,5, gli studenti hanno applicato più volte una macro preventivamente creata dall insegnante che realizza un omotetia e una traslazione. Mentre nel lavoro in classe alcuni allievi hanno risposto che la lunghezza del segmento somma dei lati dei vari quadrati diventa infinita e molti si sono limitati a dire genericamente che aumenta, nella costruzione al computer la maggior parte si è resa facilmente conto che non dovrebbe diventare molto lungo (Angela), anche perché diventa presto impossibile continuare a disegnare i quadratini. Una volta convinti della convergenza del processo, gli allievi sono stati invitati a cercare il limite della successione, attraverso domande come quale sarà il secondo estremo del segmento finale? Giorgio ha proposto di costruire la retta che unisce i vertici dei quadrati (figura 4) e i compagni si sono facilmente convinti che il punto di intersezione di essa con la base della figura dovesse essere l ultimo punto della costruzione. L attività si è quindi conclusa con l osservazione che, aumentando il rapporto di omotetia, permane la convergenza fino al valore 1. figura 4 6

7 3. Conclusioni Riteniamo che concetti complessi come quello di infinito possano essere compresi a fondo solo in seguito ad un lungo lavoro che, a partire dalle intuizioni più spontanee e immediate, riesca a creare in ciascun allievo un quadro coerente e solido di immagini mentali. Come viene sottolineato anche dal Groupe aha (1999) "L'apprendimento dei concetti dell'analisi interferisce inevitabilmente con le intuizioni della maggior parte degli allievi. Se alcune di tali intuizioni possono rappresentare il germe di uno sviluppo più formale, così come è avvenuto nel corso della storia della matematica, altre, per contro, si oppongono alla teoria stabilita. Troppo sovente l'insegnamento ha come effetto quello di giustapporre una teoria a tali intuizioni senza appoggiarsi su quelle del primo tipo né correggere quelle del secondo tipo". Il computer può costituire uno strumento molto utile per proporre attività di esplorazione che portino gli studenti a interrogarsi e a riflettere sul concetto di infinito. Esso induce a fissare l attenzione sul controllo di un processo piuttosto che sulla realizzazione di un prodotto e pertanto richiede l utilizzo di capacità elaborative e progettuali piuttosto che semplicemente esecutive. Inoltre abitua gli studenti a lavorare in termini di approssimazione e a controllare gli errori commessi. Bibliografia: Alberti, N., Andriani, M. F., Bedulli M., Dallanoce S., Falcade R., Foglia S., Gregori S., Grugnetti L., Marchini C., Molinari F., Pezzi F., Rizza A,.: 2001, 'Sulle difficoltà di apprendimento del concetto di limite', Riv. Mat. Univ. Parma, (6) 3*, Andriani, M.F, Dallanoce, S, Grugnetti L., Molinari F., Rizza A.: 1999, 'Autour du concept de limite' in F. Jaquet (ed.) Proceedings of CIEAEM 50, Neuchâtel 2-7 August 1998, Brousseau, G.: 1976, 'Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques', Actes CIEAEM "La problématique et l'enseignement de la mathématique, Louvain-la-Neuve Belgique, Août 1976, Capponi, B.:, 2000, De la géometrie de traitement aux constructions dan Cabri- Géomètre II au Collège Repères IREM 2000 n.40, Centre de Recerche sur l Enseignement des Mathématiques, 1995, Les Mathématiques de la maternelle jusqu à 18 ans, CREM. (La Matematica dalla scuola materna alla maturità, versione italiana a cura di L. Grugnetti e V. Villani con traduzione e adattamento di S. Gregori, Pitagora editrice, Bologna, 1999). 7

8 Dallanoce, S., Grugnetti, L., Molinari F., Rizza A., Andriani M.F., Foglia S., Gregori S., Marchini C., Pezzi F: 2000, 'A cognitive co-operation across different sectors of education', in Ahmed, Kraemer, Williams (eds.) Proceedings of CIEAEM 51, Chichester, Horwood Publishing, Fischbein, E.: 1973, 'Intuition, structure and heuristic methods in teaching Mathematics' in A.G. Howson (ed.) Developments in Mathematical Education, Cambridge University Press (Intuizione e strttura dei metodi euristici in matematica, in C: Sitia (ed), Quaderno n. 10, UMI, 1979). Fischbein, E.: 1987, Intuition in Science and Mathematics, D. Reidel Publishing Company. Furinghetti, F., Somaglia A.M.: 1994, Uno studio longitudinale sulla funzione, Atti Incontro Nuclei di Ricerca Didattica in Matematica nella Scuola Secondaria Superiore, Siena, 1994, Groupe aha, 1999: Vers l'infini pas à pas (approche heuristique de l'analyse), DeBooek, Wesmael Bruxelles. Grugnetti, L., Rizza, A. & all.: 1999, 'Le concept de limite: Quel rapport avec la langue naturelle?' in F. Jaquet (ed.) Proceedings of CIEAEM 50, Neuchâtel 2-7 August 1998, Grugnetti, L.: 1997, 'Pensiero proporzionale e costruttivismo: superamento di ostacoli?', in Gregori, S., Grugnetti, L. (a cura di ) Dallo spazio del bambino agli spazi della Geometria - Atti del 2 Internuclei Scuola dell'obbligo - Dipartimento di Matematica, Parma, Hauchart, C., Schneider, M.: 1996, Une approche heuristique de l'analyse Repères IREM 1996, n 25, Jaquet, F., 2000, 'Il conflitto area-perimetro', L'educazione Matematica, prima parte nel n. 2-giugno, 66-77, seconda parte nel n. 3-ottobre, Laborde, C.: 2000, Insegnare la geometria nel 2000 con Cabri Géomètre: quali cambiamenti per insegnanti e allievi? in Centro Didattico Cantonale (ed.) Bollettino dei docenti di matematica, n.41, Marchini, C.: 1999, Il problema dell area, L Educazione Matematica, anno XX-serie VI-Vol.1, Rouche, N.: 1991, 'Formation des concepts et construction du savoir', in R. Bkouche et al., Faire des mathématiques, le plaisir du sens, A. Colin, Paris. 8

9 Sierpinska, A.: 1987, Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits, Educational studies in Mathematics Vol. 18, n. 4, Sierpinska, A: 1985, Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite : Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 6, n.1,