Università degli Studi di Bologna - Facoltà di Economia, sede di Forlì. Metodi statistici per l economia - Prof. A Capitanio

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1 Università degli Studi di Bologna - Facoltà di Economia, sede di Forlì Metodi statistici per l economia - Prof. A Capitanio ESERCIZI RISOLTI (prima parte) Esercizio 1 Un azienda ha servito 500 clienti ed ha gestito un volume di transazioni di vendita di 1750 fatture. Nella seguente tabella è riportata la classificazione delle fatture rispetto all importo fatturato (in migliaia di ). Classi di importo Numero Totale fatturato di fatture fatturato a) Calcolare l importo medio fatturato, commentando la procedura di calcolo. b) Quanto fattura mediamente l azienda per ciascun cliente? c) Determinare l importo medio relativo alle fatture comporto inferiore a 1000 euro. d) Misurare attraverso lo scarto quadratico medio la variabilità degli importi fatturati. e) Lo scarto quadratico medio del fatturato relativo alla prima classe (cioè per le fatture con un importo non superiore a 1000 euro) è 410. Confrontare la variabilità di questo sottoinsieme con quella dell intero collettivo. f) Rappresentare la distribuzione mediante l istogramma di frequenza, indicare la classe modale e commentare. g) Determinare la classe mediana e del fatturato. h) Determinare la percentuale di fatture comporto superiore a Soluzione La tabella seguente riporta tutti i dati necessari per rispondere ai quesiti a) g). La variabile importo fatturato è stata indicata con X X x j = x j x j 2 h j = f j / a j Totale a) Nella colonna totale fatturato è indicata la somma degli importi fatturati per ciascuna classe. La media aritmetica si calcola in maniera esatta: la somma dei dati di tale colonna (5540) corrisponde al fatturato totale dell azienda. L importo medio per fattura è dunque pari a : migliaia di., ovvero b) Mediamente per ciascun cliente l impresa fattura 11080, essendo. 1

2 c) L importo medio relativo alle fatture comporto inferiore a 1000 euro è dato dalla media aritmetica del fatturato della classe 0 1. Il fatturato totale relativo a questa classe, che ha numerosità 150, è, e quindi l importo medio è migliaia di euro (730 ) d)come valori rappresentativi per ciascuna classe prendiamo le medie aritmetiche, che si calcolano come al punto c) precedente e sono riportate nella quarta colonna. 4 Dev(X ) = x 2 j nx 2 = = j=1 Var(X ) = Dev(X ) = = 2.3 n 1750 σ = Var(X ) = 2.3 = 1.52 Lo scarto quadratico medio è e) Il confronto deve essere fatto sulla base dei coefficienti di variazione, per tener conto dell ordine medio di grandezza del fatturato nelle due situazioni. La variabilità è maggiore fra i fatturati compresi nella classe 0 1. f) Visto che le classi non hanno stessa ampiezza, per disegnare l istogramma di frequenza è necessario calcolare le densità (colonna 7) La classe modale è la seconda: Dal grafico si deduce che la maggior parte delle fatture ha importo compreso fra 1000 e g) Per identificare la classe mediana e calcolare la mediana facciamo riferimento alle distribuzioni cumulate, riportate nella tabella seguente. X

3 n=1750, e quindi le due posizioni mediane sono la 875-esima e la 876-esima. Dalle distribuzioni cumulate di numerosità e di frequenza si deduce che 3 6 è la classe mediana. i) La percentuale è circa 51.43%, in quanto ( )/1750 = Esercizio 2 Si consideri la seguente classificazione di 1000 individui secondo il reddito annuo dichiarato (in migliaia di euro) Classi di reddito Numero di dichiaranti Totale reddito Totale 1000 Con riferimento ai soli dati riportati nelle prime due colonne: a) Determinare il valore medio aritmetico del reddito, commentando la procedura di calcolo. b) Rappresentare la distribuzione attraverso l istogramma di frequenza e determinare la classe modale. c) In quale classe è compreso il valore mediano del reddito? d) Quanti individui hanno dichiarato un reddito non superiore a quarantamila euro? e) Determinare la varianza e lo scarto quadratico medio. f) Se esprimiamo il reddito in decine di migliaia, anziché in migliaia, quali valori otteniamo per media aritmetica, varianza e scarto quadratico medio? g) Supponiamo che per un altro gruppo di 1000 dichiaranti il reddito medio dichiarato (in migliaia di euro) sia pari a e la devianza sia In quale gruppo si riscontra maggiore variabilità? Supponiamo ora di avere a disposizione anche i dati riportati nell ultima colonna. h) Cosa cambia rispetto alla situazione precedente nel calcolo del reddito medio? i) E nel calcolo della varianza? Soluzione La tabella seguente riporta tutti i dati necessari a rispondere ai vari quesiti. La variabile reddito è stata indicata con X X x j x 2 j p j = f j 100 h j 100=p j /a j N j F j x* Totale

4 a) La distribuzione è per classi, e quindi per calcolare la media aritmetica dobbiamo scegliere un valore rappresentativo per ciascuna classe. Il valore risultante non sarà il valore esatto, ma un approssimazione. Scegliamo come valore (teorico) rappresentativo il valore centrale di ciascuna classe (terza colonna), e supponiamo che in ognuna di esse il reddito sia uniformemente distribuito. X = 1 k x * = = i=1 b) Visto che le classi non hanno stessa ampiezza, per disegnare l istogramma di frequenza è necessario calcolare le densità, per comodità di scala moltiplicate per 100 (colonna 7). Dal grafico si deduce che la distribuzione del reddito nel collettivo considerato è concentrata sulle classi più basse La classe modale è la 0 10 c) Dalla distribuzione cumulata di numerosità si deduce che la classe mediana è la d) Dalla distribuzione cumulata si deduce che sono 853. e) La media aritmetica è già stata calcolata; la decima colonna contiene gli ulteriori dati necessari per il calcolo della varianza. k Dev(X ) = x * 2 j nx 2 = = j=1 Var(X ) = σ 2 = Dev(X ) = = σ = Var(X ) = = n 1000 f) Dalle proprietà di media aritmetica, varianza e scarto quadratico medio si deduce: M(X / 10) = M(X ) = 2.138, Var(X / 10) = var(x ) = , σ (X / 10) = σ (X ) = g) Il confronto fra due collettivi in termini di variabilità non può essere fatto sulla base della varianza o dello scarto quadratico medio, in quanto questi risentono dell ordine medio di grandezza. E necessario usare il coefficiente di variazione. Nel secondo collettivo questo risulta essere CV 2 = = 0.69 mentre nel primo è pari a CV 1 = = 0.77 Dunque nel primo collettivo si riscontra maggiore variabilità. 4

5 h) Avendo a disposizione anche i dati dell ultima colonna (si tratta della distribuzione di quantità), ovvero la somma dei redditi per ciascuna classe, diventa possibile calcolare la media aritmetica in maniera esatta. Infatti la somma dei dati di tale colonna ( ) corrisponde al reddito totale, e dividendo per il numero totale delle unità, cioè per 1000, si ottiene come reddito medio X q j x j = x * x* Totale i) Anche in questo caso la varianza potrà essere calcolata solo in maniera approssimata, scegliendo un valore rappresentativo per ciascuna classe e ipotizzando l uniformità distributiva del reddito. In questo caso però possiamo migliorare l approssimazione, scegliendo come valore rappresentativo il reddito medio di ciascuna classe, che si calcola in modo esatto facendo il rapporto fra reddito totale in ciascuna classe e corrispondente numerosità (si veda la quarta colonna). Facendo i calcoli si ottiene k Dev(X ) = x * 2 j nx 2 = = j=1 Var(X ) = Dev(X ) n = = Esercizio 3 La tabella riportata di seguito contiene la classificazione degli edifici ad uso abitativo rispetto al numero di interni (fonte: censimento generale delle abitazioni - anno 2001) con riferimento al comune di Forlì. Numero di interni (X) più di Totale a) Sulla base della distribuzione di numerosità riportata nella tabella, come descrivereste la realtà edilizia residenziale del comune di Forlì? b) Calcolare il numero medio di interni per edificio abitativo (prendere come estremo superiore dell ultima classe il valore 30). c) Calcolare la mediana e il primo quartile del numero di interni. d) Quantificare la variabilità del numero di interni mediante lo scarto quadratico medio. 5

6 e) Nel comune di Modena lo scarto quadratico medio è Avete informazioni sufficienti per affermare che la variabilità del numero di interni per edificio abitativo è maggiore? (motivare la risposta). Soluzione a) Possiamo dedurre che nel comune di Forlì prevalgono nettamente gli edifici ad uso abitativo con uno o due interni, (case uni-bi familiari). E comunque presente un discreto numero di edifici di dimensioni maggiori, con nove o più interni. La tabella seguente riporta i dati necessari per rispondere ai quesiti successivi. Numero di interni (X) x j x j x 2 j N i F i più di Totale b) Per calcolare la media aritmetica dobbiamo scegliere un valore rappresentativo per le ultime quattro classi. Scegliamo come valore (teorico) rappresentativo il valore (seconda colonna), e supponiamo che in ognuna di esse il reddito sia uniformemente distribuito. Inoltre poniamo pari a 30 l estremo superiore della quarta classe. Il valore medio che otteniamo sarà un approssimazione di quello effettivo. X = 1 k x * = = 3.07 mediamente 3 interni per ciascun edificio abitativo i=1 c) n = 16871, e quindi la posizione mediana è la 8436-esima e quella del primo quartile è la esima. Conseguentemente la mediana è 2 ( N 1 = 6594 e N 2 = ) e il primo quartile è 1. I valori di mediana e primo quartile possono essere identificati anche sulla base delle frequenze cumulate: il 25% dei valori è certamente pari a 1, in quanto F 1 = 0.39, e il 50% è certamente inferiore o uguale a 2, in quanto F 2 = d) 4 Dev(X ) = x 2 j nx 2 = = j=1 Var(X ) = Dev(X ) = = n σ = Var(X ) = = 3.90 Lo scarto quadratico medio è e) Non conoscendo il numero medio (ordine medio di grandezza) di interni per edificio abitativo nel comune di Modena non è possibile confrontare le due situazioni in termini di variabilità. Usare lo scarto quadratico medio sarebbe improprio, in quanto questo indicatore risente dell ordine di grandezza del carattere. 6

7 Esercizio 4 Di seguito è data la distribuzione del fatturato di 35 aziende del settore meccanico. I dati sono espressi in migliaia di euro, e approssimati alle migliaia. Fatturato La media aritmetica del fatturato è X = , cioè , e lo scarto quadratico medio σ (X ) = ( ). a) Calcolare la mediana del fatturato e confrontarlo con la media aritmetica, commentando. b) Calcolare il primo e il terzo quartile. c) Sulla base del box-plot riportato di seguito, descrivere la variabilità del fatturato. (Nota: i due baffi coincidono col primo e il terzo quartile, e quindi nel grafico non risultano evidenziati.) 7

8 Soluzione a) Per calcolare la mediana costruiamo la distribuzione cumulata di numerosità (o di frequenza). Fatturato N j F j La posizione centrale è la = 18 a, e quindi il valore mediano è euro (si giunge alla 2 stessa conclusione notando che F 3 = 0.46 e F 4 = 0.74 ). Questo valore è sensibilmente inferiore a quello della media aritmetica, , e pare rappresentare meglio la maggioranza delle modalità osservate. Il valore della media aritmetica è più alto per l effetto degli ultimi due valori ( e ), molto più elevati degli altri valori osservati; la mediana, essendo una media di posizione, è robusta rispetto alla presenza di isolati valori estremi, e dunque non risente delle due modalità e In questo caso la mediana può essere ritenuta più adatta a rappresentare il fatturato medio delle aziende considerate. b) Possiamo calcolare i due quartili osservando i valori delle frequenze cumulate: il 25% dei valori di fatturato è sicuramente minore o uguale a 600, mentre il 75% è sicuramente minore o uguale a In conclusione i valori del primo e terzo quartile sono (in migliaia di Euro) Q 1 = 600 e Q 3 = c) Visto che la distribuzione contiene due valori estremi, per evitare un interpretazione distorta del box-plot è bene indicarli esplicitamente. 8

9 Il box-plot mette in evidenza come il 25% dei valori maggiori della mediana e il 25% dei valori inferiori alla mediana siano caratterizzati da dispersione molto simile (fra quartili successivi si trovano, per definizione, il 25% delle modalità osservate). Il 25% dei valori superiori o uguali al terzo quartile sembrerebbe mostrare una forte dispersione, ma si tratta solo dell effetto dei due fatturati particolarmente alti. Infatti, a parte questi due valori, i valori del fatturato sono tutti identici, e pari a Esercizio 5 Marco possiede un portafoglio di titoli così composto: Valutarne l omogeneità. Titolo A 12 B 34 C 14 D 11 Totale 71 9

10 Soluzione Calcoliamo sia l indice di Gini sia l entropia, utilizzando per quest ultima il logaritmo naturale. Titolo f j f j 2 f j ln(f j ) A 12 0,1690 0,0286-1,7778-0,3005 B 34 0,4789 0,2293-0,7363-0,3526 C 14 0,1972 0,0389-1,6236-0,3202 D 11 0,1549 0,0240-1,8648-0,2889 Totale 71 1,0000 0,3208-6,0025-1, E 1 = 1 f i = = , E 2 = f j ln(f j ) = i=1 Per poter quantificare l eterogeneità abbiamo bisogno degli indici relativi: E 1 max(e 1 ) = = , E 2 max(e 2 ) = ln(4) = Entrambi gli indici relativi ci segnalano elevata eterogeneità (pari al 90.56% della massima possibile, se misurata attraverso l indice di Gini, e pari al 91.04% se misurata con l entropia). Il portafoglio titoli di Marco è quindi scarsamente omogeneo. 4 i=1 Esercizio 6 Nella tabella è riportato il numero di imprese che si sono iscritte al Registro delle Imprese nei quattro trimestri del 2003 (fonte: C.C.I.A.A. di Bologna - Infocamere - Registro Imprese). Trimestre ( t ) I II III IV Iscrizioni t-1i t a) Calcolare la corrispondente serie dei numeri indici a base mobile ed evidenziare la variazione percentuale fra un trimestre e l altro. b) Calcolare la corrispondente serie dei numeri indici a base fissa (base: I trimestre). c) Calcolare la variazione percentuale trimestrale media fra il primo e il quarto trimestre, e verificare che il valore ottenuto mantenga inalterata la variazione assoluta nelle iscrizioni (da 921 iscrizioni a 692). Soluzione a) I numeri indici a base mobile esprimono la variazione fra un tempo e il precedente, e si calcolano mediante i rapporti t 1 I t = y t y t

11 I = 599 I II = I = 559 II III = I = = III IV 559 Le variazioni percentuali sono legate ai numeri indici dalla seguente relazione: t 1 Δ t % = t 1 I t 100 Δ % = = 34.96% ; Δ % = = 6.68% ; Δ % = = %. I II II III III IV b) I numeri indici a base mobile esprimono la variazione fra il tempo base e il tempo t, e si calcolano mediante i rapporti I I t = y t y I 100. I = 599 I II = I = 559 I III = I = = III IV 921 c) La variazione percentuale media si ottiene dall indice medio calcolato attraverso la media geometrica degli indici a base mobile. 3 I Mg = = La variazione percentuale media è del 9.09% ( =9.09). Una diminuzione costante del 9.09% nelle iscrizioni al II, III e IV trimestre avrebbe portato comunque a 692 iscrizioni nell ultimo trimestre = = = Esercizio 7 Si consideri la seguente successione delle variazioni percentuali del prezzo unitario (per risma) di una particolare marca di carta per stampanti fra un anno e il successivo. Anni a) Determinare la corrispondente successione dei numeri indici a base mobile. b) Determinare la variazione percentuale del prezzo fra il 2000 e il 2002 e fra il 1998 e il c) Calcolare la variazione percentuale media del prezzo fra il 1998 e il Fra il 2000 e il 2001 il prezzo di una confezione di toner per stampanti di una certa marca è aumentato del 3.12%. Un ufficio che usa questi due prodotti, nel 2000 ha speso 3200 per la carta e 1400 per il toner. d) Calcolare la variazione nel prezzo del materiale per stampante, per l ufficio, fra il 2000 e il

12 Soluzione Anni Δ % t 1 t I t 1 t I 98 t a) L espressione generale è t 1 I t = t 1 Δ t %, da cui 98 I I 00 = = = = ecc (i valori sono riportati nella tabella) b) 00 I 02 = 00I I = = % 100 I = 98I I I = = % 100 c) La variazione percentuale media si ottiene dall indice medio calcolato attraverso la media geometrica degli indici a base mobile (per comodità di calcolo divisi per cento). Otteniamo in questo modo la variazione costante che avrebbe portato alla stessa variazione assoluta di prezzo osservata fra il 1998 e il M g = 98I I = 98I = = L indice medio è variazione percentuale annua media +3.17% d) Conosciamo la spesa sostenuta nel 2000 per l acquisto di carta e toner, e quindi possiamo calcolare la spesa totale nel S 2000 = = 4600 Conoscendo poi gli indici semplici di prezzo fra il 2000 e il 2001 per carta e toner, che sono rispettivamente ( I 00 01) 1 = ( I 00 01) 2 = è possibile valutare la variazione media del prezzo dei due beni attraverso l indice di Laspeyres, che corrisponde alla media aritmetica ponderata degli indici semplici dei prezzi dei due beni con pesi pari alla spesa sostenuta per l acquisto di ciascuno di essi nell anno base. I L = ( I 00 01) m p m00 q m00 m=1 2 m=1 p m00 q m00 = = = L indice segnala un aumento del prezzo medio del materiale per stampante pari al 5.67%. 12

13 Esercizio 8 Nella seguente tabella sono riportati prezzi al quintale (in euro) e quantità scambiate (in quintali) di tre diverse merci negli anni 1998 e Inoltre, sempre per gli stessi anni, è riportato il valore totale delle tre merci scambiate p q p q Merce A A A Valore a) Calcolare la variazione percentuale fra il 1998 e il 2000 del valore delle merci scambiate. b) Calcolare, mediante l indice di Laspeyres, la variazione percentuale dei prezzi per l insieme delle tre merci considerate, e commentare il risultato. Soluzione a) La variazione percentuale si ottiene dal rapporto fra valore nel 2000 e valore nel = e dunque si riscontra un aumento del 6.38%. b) Calcoliamo l indice dei prezzi di Laspeyres. Il valore da mettere al denominatore è già noto, visto che coincide con la spesa al tempo base (1998), riportata nella tabella. I L = 3 m=1 3 m=1 p m,2000 q m, = p m,98 q m, I prezzi in media sono diminuiti dello 0.21% ( =0.21) 100 = Nonostante la spesa sia aumentata, l indice di Laspeyres segnala che i prezzi sono in media lievemente diminuiti. Questo fatto può essere spiegato osservando che nel 2000 è aumentata sensibilmente la quantità acquistata del bene A3, il cui prezzo è diminuito, e parallelamente è diminuita la quantità acquistata del bene A2, il cui prezzo è aumentato. Questo ha evidentemente bilanciato l aumento sia nel prezzo sia nella quantità acquistata del bene A1. Esercizio 9 Nel 2000 un albergatore, per la sostituzione di alcuni televisori, condizionatori e serrande usurate avrebbe speso rispettivamente 1225, 1550, 900. L albergatore ha rimandato la sostituzione all anno successivo. a) Sapendo che, per i tre accessori, l aumento di prezzo è stato rispettivamente del 5%, 3% e 7%, calcolare l aumento medio del costo delle sostituzioni. Soluzione Conosciamo la spesa complessiva per ciascun accessorio al tempo base, cioè al 2000, e la variazione di ciascun prezzo tra il 2000 e il Possiamo calcolare quindi l indice dei prezzi di 13

14 Laspeyres, che coincide con la media ponderata degli indici di prezzo, con pesi pari alla spesa per ciascun bene al tempo base: I L = 3 m=1 p mt p m0 M m=1 p q m0 m0 100 = p m0 q m0 3 m= I (m) M m=1 m p m0 q m0 100 = p m0 q m0 100 = 100 = L aumento medio è pari circa al 4.65%. Esercizio 10 E stato effettuato un sondaggio per esplorare l atteggiamento dei residenti in una città nei confronti della chiusura totale al traffico di alcune vie del centro storico. La tabella seguente riporta la classificazione dei 654 rispondenti secondo i due caratteri fascia di età (Y) e tipo di atteggiamento (X). X Contrario Incerto Favorevole Y a) Determinare le distribuzioni marginali di X e Y. b) Il carattere età è più variabile fra i contrari o fra gli incerti? c) Qual è la percentuale di persone che si sono dichiarate favorevoli e non hanno più di 40 anni? d) Qual è la percentuale di incerti fra le persone che hanno più di 40 anni? Soluzione a) La distribuzione marginale del tipo di atteggiamento (X) si ottiene sommando i valori di ciascuna colonna, mentre quella dell età (Y) sommando i valori di ciascuna riga. X Contrario Incerto Favorevole Totale Totale 654 b) Per rispondere a questa domanda è necessario calcolare i coefficienti di variazione per due distribuzioni condizionate dell età: ripetto alla modalità contrario e rispetto alla modalità incerto. Le distribuzioni sono in classi e quindi è necessario stabilire un valore rappresentativo per ciascuna classe. Scegliamo il valore centrale e ipotizziamo uniformità distributiva del carattere all interno delle classi. I valori che otterremo per media aritmetica, varianza,., non saranno di conseguenza valori esatti, sono approssimazioni. Y 14

15 Y/X=contrario y j * y j * y j * Totale M(Y / X = contr.) = 1 k y * = = 56.5 i=1 4 Dev(Y / X = contr.) = y * 2 j nm(y / X = contr.) 2 = = j=1 Var(Y / X = contr) = CV = = 0.32 = σ = = Y/X=incerto * y j y * j y *2 j Totale Facendo i calcoli per questa distribuzione si ottiene CV = 18.9 = 0.44 e quindi l età è più variabile nel gruppo degli incerti c) Fra le persone intervistate =303 si sono dichiarate favorevoli e non hanno più di 40 anni. Dunque la percentuale cercata è = 46.33%. 654 d) Fra le =245 persone che hanno più di 40 anni, 30+20=50 si sono dichiarate incerte, ovvero il = 20.41%

16 Esercizio 11 Nella seguente tabella è riportata la classificazione di 200 laureati in una facoltà di economia rispetto alla zona geografica di residenza e al tempo occorso per trovare lavoro dopo la laurea Residenza (Y) Tempo (in mesi) occorso per trovare lavoro (X) Nord Centro Sud e isole Totale studenti < Totale Media Devianza a) Determinare le distribuzioni marginali dei due caratteri. b) Valutare, attraverso l indice di Gini, l eterogeneità dei laureati rispetto alla zona geografica di residenza. c) Calcolare il tempo mediamente occorso per trovare il primo lavoro per i laureati residenti in Centro Italia, commentando la procedura di calcolo. d) Calcolare, usando le medie delle distribuzioni condizionate, il tempo mediamente occorso ai 200 laureati considerati per trovare il primo lavoro. e) Misurare, attraverso lo scarto quadratico medio, la variabilità del tempo occorso per trovare lavoro per i laureati residenti in Centro Italia. f) Il tempo che è occorso per trovare lavoro è più variabile per i laureati residenti in Centro Italia rispetto al complesso dei laureati considerati? g) Calcolare la devianza di X tra ed entro i tre gruppi definiti dalle tre aree geografiche. h) Quantificare la dipendenza in distribuzione e commentare il risultato. Soluzione a) La distribuzione marginale di Y si ottiene sommando i valori di ciascuna colonna, e quella di X attraverso le somme per riga. Le due distribuzioni risultanti sono riportate nella tabella. Residenza (Y) Tempo (in mesi) occorso per trovare lavoro (X) Nord Centro Sud e isole b) Calcoliamo l indice: Marginale di X < Marginale di Y Residenza (Y) f j f j 2 Nord Centro Sud e isole Totale

17 Per poter quantificare l eterogeneità abbiamo bisogno dell indice relativo: E 1 max(e 1 ) = = L eterogeneità è molto elevata: secondo l indice di Gini è pari al 94.08% della massima possibile. c) Bisogna considerare la distribuzione condizionata del tempo occorso per trovare lavoro rispetto a Y= Centro, ovvero la seconda colonna X Y=Centro * x i x * i x 2 i Totale La distribuzione è per classi, e quindi per calcolare la media aritmetica dobbiamo scegliere un valore rappresentativo per ciascuna classe. Il valore risultante non sarà il valore medio effettivo, ma un approssimazione. Scegliamo come valore (teorico) rappresentativo il valore centrale di ciascuna classe (terza colonna), e supponiamo che in ognuna di esse il tempo sia uniformemente distribuito. M(X Y = Centro) = 1 3 x = 480 = 7.50 Il tempo mediamente necessario per il primo impiego i=1 64 dopo la laurea è 7 mesi e mezzo. d) La media aritmetica può essere calcolata attraverso la media ponderata delle medie di ciascuna distribuzione condizionata, con pesi pari alla rispettiva numerosità: X = = = 7.64 e) Le stesse considerazioni valgono per il calcolo dello scarto quadratico medio. Dev(X Y = C) = 3 i=1 x i 2 σ (X Y = C) = Var(X Y = C) = = nx 2 = = 2052 Var(X Y = C) = Dev n = = f) Per confrontare due collettivi in termini di variabilità dobbiamo usare il coefficiente di variazione, in modo da eliminare l effetto del diverso ordine di grandezza. Per i laureati in complesso, usando i dati già disponibili otteniamo Per i laureati residenti in Centro Italia, sulla base dei conti fatti ai punti b) e c) si ha La variabilità è sostanzialmente uguale. 17

18 f) Per determinare la devianza tra ed entro usiamo i seguenti dati, alcuni dei quali già forniti nel testo, ed altri (riportati in corsivo nella tabella) calcolati ai punti precedenti Residenza (Y) Tempo (in mesi) occorso per trovare lavoro (X) Nord Centro Sud e isole Totale Media Devianza Dev entro (X ) = Dev(X Y = y j ) = = j=1 Usando la scomposizione della devianza, il calcolo della devianza tra i gruppi è immediato Dev tra (X ) = Dev tot (X ) Dev entro (X ) = = g) Possiamo utilizzare l indice V di Cramer. Il primo passo consiste quindi nel calcolare la quantità χ2. Tabella delle numerosità teoriche j * =. n. j j relative all ipotesi di totale indipendenza. * Es.: n 11 Residenza (Y) Tempo (in mesi) occorso per trovare lavoro (X) Nord Centro Sud e isole < Totale = * = 51.36, n 13 = = (n Per il calcolo di χ 2 possiamo usare l espressione esplicita χ 2 = ij n * ij ) 2 oppure l espressione equivalente χ 2 = n. Tabella co valori di n 2 ij * j 3 3 j 2 * i=1 j=1 j Residenza (Y) Tempo (in mesi) occorso per trovare lavoro (X) Nord Centro Sud e isole < Somma i=1 j=1 j * 18

19 3 3 j 2 χ 2 = n = = = = * i=1 j=1 j Si ha quindi: V = χ 2 n min{(h 1),(K 1)} = min 2,2 { } = L indice V può assumere valori compresi tra 0 (totale indipendenza) e 1 (massima dipendenza). La dipendenza in distribuzione fra i due caratteri è pari a circa il 31.35% della massima possibile. 19

20 Un esempio riassuntivo Durante uno studio volto a migliorare l'efficienza di un ente pubblico di grandi dimensioni sono state provate per una settimana tre differenti organizzazioni del lavoro (chiamiamole A, B e C). Ciascuno dei tre metodi è stato applicato ad un gruppo di impiegati omogenei rispetto all esperienza nel proprio incarico e al rendimento. La caratteristica scelta per misurare l efficienza dei tre metodi è il numero di pratiche completate durante la settimana di prova da ciascun impiegato. La figura 1 mostra i boxplot costruiti co dati grezzi. Figura 1 a) Sulla base dei grafici descrivere le caratteristiche dei tre metodi di organizzazione del lavoro Metodo A La mediana è circa 85, e quindi almeno il 50% degli impiegati ha completato non meno di 85 pratiche. Il 25% dei valori inferiori alla mediana sono più dispersi del 25% dei valori superiori, ed inoltre sono stati identificati due valori anomali, particolarmente più bassi degli altri. Complessivamente la distribuzione del numero di pratiche completate da ciascun addetto presenta asimmetria, da cui si può dedurre forte disomogeneità nell adattamento al metodo di lavoro (alcuni lavorano molto meglio e altri decisamente peggio) Metodo B - La mediana è circa 80, e quindi almeno il 50% degli impiegati ha completato non meno di 80 pratiche. La dispersione del 25% dei valori inferiori alla mediana è simile a quella del 25% dei valori superiori. Complessivamente la distribuzione del numero di pratiche completate da ciascun 20

21 addetto presenta simmetria che, unitamente al valore circa pari a 9 dello scarto interquartile, suggerisce una discreta omogeneità da parte degli impiegati nell adattarsi al metodo di lavoro. Metodo C - La mediana è circa 80, e quindi almeno il 50% degli impiegati ha completato non meno di 80 pratiche. La dispersione del 25% dei valori inferiori alla mediana è simile a quella del 25% dei valori superiori. Come per il metodo B complessivamente la distribuzione del numero di pratiche completate da ciascun addetto presenta simmetria, ma in questo caso lo scarto interquartile è più ridotto, circa pari a 5, così come è minore l estensione dei baffi. Questo minore dispersione suggerisce una buona omogeneità da parte degli impiegati nell adattarsi al metodo di lavoro. Abbiamo ora a disposizione la distribuzione congiunta dei due caratteri Numero di pratiche completate (X) e Metodo di organizzazione del lavoro (Y), in cui la variabile Numero di pratiche è stata raggruppata in classi. Sono inoltre fornite alcune altre misure di sintesi. Possiamo quindi procedere ad un analisi quantitativa per avere altre informazioni sulle caratteristiche dei tre metodi di organizzazione del lavoro. Numero di pratiche completate (X) Metodo (Y) A B C Totale Totale Media Devianza Qualche calcolo preliminare. b) Calcolare il numero medio di pratiche completate da ciascumpiegato su cui è stato sperimentato il metodo B. I dati che ci servono sono nella seconda colonna, in quanto si sta facendo riferimento alla distribuzione condizionata del numero di pratiche rispetto a Y= Metodo B X Y=B * x i x * i Totale La distribuzione è per classi, e quindi per calcolare la media aritmetica dobbiamo scegliere un valore rappresentativo per ciascuna classe. Il valore risultante non sarà il valore medio effettivo, ma un approssimazione. Scegliamo come valore (teorico) rappresentativo il valore centrale di ciascuna classe (terza colonna), e supponiamo che in ognuna di esse il carattere sia uniformemente distribuito. Per la prima classe ( 70) sulla base del boxplot scegliamo come estremo inferiore il valore 65. M(X Y = B) = 1 4 x = = i=1 21

22 Il numero medio di pratiche completate da ciascumpiegato su cui è stato sperimentato il metodo B è circa 81. c) Calcolare lo scarto quadratico medio del numero di pratiche completate relativo agli impiegati su cui è stato sperimentato il metodo B. Qui valgono le stesse considerazioni fatte per il calcolo della media aritmetica. X Y=B * x i x * i x 2 i Totale Dev(X Y = B) = x 2 i nx 2 = = i=1 Var(X Y = B) = Dev n = = σ (X Y = B) = Var(X Y = B) = = 8.01 d) Calcolare il numero medio di pratiche completate dai 90 impiegati, usando le medie delle distribuzioni condizionate. Includendo i calcoli appena fatti i dati a nostra disposizione sono: Numero di pratiche completate (X) Metodo (Y) A B C Totale Media Devianza numero di impiegati Il numero medio di pratiche completate dai 90 impiegati può essere calcolato attraverso la media ponderata delle medie delle distribuzioni condizionate, con pesi pari alle rispettive numerosità. X = = = Visto che stiamo studiando le caratteristiche dei tre metodi, è interessante andare a calcolare la scomposizione della devianza del numero completato di pratiche. Questo tipo di studio tiene conto di come la variabilità complessiva si ripartisce fra ed entro i tre gruppi definiti dal tipo di organizzazione del lavoro. e) Calcolare la devianza tra i tre gruppi. 3 ( ) 2 j Dev tra (X ) = M(X Y = y j ) X = j=1 ( ) ( ) ( ) 2 32 = =

23 f) Calcolare la devianza entro i tre gruppi. Dev entro (X ) = Dev tot (X ) Dev tra (X ) = = Che conclusioni possiamo trarre? I tre metodi di organizzazione sono simili in termini di numero medio di pratiche completate da ciascun addetto: col metodo A il numero medio è superiore agli altri due, e quindi in questi termini potrebbe essere preferibile. Dalla scomposizione della devianza emerge però come, rispetto alla variabilità complessiva, la variabilità fra le medie sia di fatto da considerarsi quasi irrilevante. Sulla base dell analisi grafica possiamo mettere in evidenza le caratteristiche dei tre metodi: in particolare il metodo A anche se ha consentito l espletamento di più di 85 pratiche per almeno il 50% degli impiegati, sembra essere poco congeniale a più del 25% degli impiegati che lo hanno adottato. Infatti pur escludendo i due valori estremi particolarmente bassi, il boxplot mostra un alta dispersione, specie per i valori inferiori alla mediana. Il metodo C pur non caratterizzandosi per valori molto superiori a 80 si qualifica come un metodo di lavoro a cui gli impiegati si sono adattati in modo più omogeneo. Il metodo B si colloca in posizione intermedia. 23

24 Un esempio sulla CORRELAZIONE LINEARE Una grande società che possiede una catena di negozi situati in diverse città italiane vuole valutare l impatto avuto da unvestimento in pubblicità su quotidiani locali e attraverso volantini fatto nel mese di settembre. A tal fine seleziona un campione casuale di 20 negozi, situati in città simili per dimensione demografica e per altre caratteristiche che possono influenzare il comportamento d acquisto. Per ciascun negozio vengono rilevati: investimento in pubblicità (X) e volume delle vendite (Y) fra il 20 settembre e il 30 novembre. Di seguito sono riportati i dati e una loro rappresentazione grafica mediante diagramma di dispersione. Città (codice) X (Inv. in pubblicità) Y (Volume vendite) Totale Media Alcune sintesi dei dati: 24

25 21 Y Volume delle vendite (migliaia di ) X - Investimento in pubblicità (migliaia di ) a) Valutare graficamente la connessione fra X e Y. E opportuno considerare le variabili scarto dalla media e Y-M(Y) X-M(X) Fra i dati prevale concordanza: a valori più alti della media per una variabile si accompagnano prevalentemente valori più alti della media per l altra, e a valori più bassi della media per una variabile si accompagnano prevalentemente valori più bassi della media per l altra. 25

26 b) Quantificare l interdipendenza lineare attraverso il coefficiente di correlazione lineare. Si riscontra un elevata correlazione lineare positiva (il valore del coefficiente di correlazione è positivo e molto vicino a 1). c) Sulla base dei risultati ottenuti, formulare una valutazione riguardo il volume delle vendite che ci si aspetta di ottenere in corrispondenza di unvestimento in pubblicità pari a 4500, e dell investimento in pubblicità che sarebbe stato necessario per ottenere un volume delle vendite pari a circa Visto che il coefficiente di correlazione è positivo, e che il suo valore assoluto segnala intensa concordanza, in corrispondenza di unvestimento in pubblicità pari a 4500, valore che è più alto della media, ci si aspetta di osservare un volume delle vendite più alto della media, ovvero maggiore di Sulla base di analoghe considerazioni si desume che per ottenere un volume delle vendite pari a circa 10000, che è un valore più basso della media, sarebbe stato necessario fare unvestimento in pubblicità inferiore alla media, cioè minore di