Ricordiamo la relazione tra la variazione di resistenza di un conduttore filiforme e la deformazione longitudinale ad esso applicata: R Mis

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1 Misure di deformazione con estensimetri elettrici Ricordiamo la relazione tra la variazione di resistenza di un conduttore filiforme e la deformazione longitudinale ad esso applicata: Δ R = k ε R Mis 1 Estensimetro Lo strumento più diffuso per le misure di deformazione è l estensimetro elettrico: esso è composto da una pista conduttiva deposta su un film polimerico. Indicatori di Supporto polimerico allineamento Direzione i di misura Terminali per saldatura cavi La relazione fondamentale dell estensimetria fornisce la variazione di resistenza di un conduttore filiforme f soggetto ad una deformazione longitudinale: Δ R = k ε Mis R Se alimentato, l estensimetro produce una variazione di tensione che può essere facilmente letta da un voltmetro. 2 1

2 Estensimetro L estensimetro fornisce una variazione di resistenza proporzionale al valore medio della deformazione nell area da lui coperta. Def. indicata SI Def. effettiva NO Def. effettiva Def. indicata Def. picco Def. indicata NO Def. effettiva L estensimetro dovrebbe essere installato in zone a deformazione uniforme: l effetto di media sulle deformazioni è comunque generalmente contenuto viste le dimensioni contenute del sensore. Un po più critico il caso di estensimetri a griglia multipla (rosette) che leggono la deformazione idealmente nello stesso punto ma in direzioni differenti. 3 Estensimetro Esistono in commercio numerosi modelli di estensimetro in grado di incontrare le esigenze delle più varie applicazione. 4 2

3 Estensimetro 5 Estensimetro I criteri di selezione riguardano: allungamento massimo; numero di cicli di deformazione; temperatura di lavoro; precisione ii richiesta. ihi 1600 με > Moderata 6 3

4 Misure di deformazione con Ponte di Wheatstone 7 Misure di deformazione L impiego degli estensimetri nei sistemi di misura di deformazione è normalmente associato al ponte di Wheatstone. Con le convenzioni di figura si ha: ΔR1 ΔR2 ΔR3 ΔR4 Δ V = + 4 R R R R Ricordando la prima relazione fondamentale dell estensimetria: Δ R = k ε Mis k strain gauge factor R Nel caso comune di impiego di estensimetri uguali si ottiene la seconda relazione fondamentale dell estensimetria : Δ V = ( k1ε 1 k2ε2+ k3ε3 k4ε4) = k( ε1 ε2+ ε3 ε4)

5 Misure di deformazione Una misura di classico impiego strutturale è quella di una componente di deformazione in un punto di una struttura. Per ottenere questa informazione si utilizza un solo estensimetro e la configurazione a ¼ di ponte. ΔR La seconda relazione fondamentale si riduce quindi a: Δ V = 4 R Con le convenzioni di figura un incremento di resistenza (deformazione di estensione) la variazione è positiva per gli estensimetri 1 e 3. L estensimetro è sensibile sia alla deformazione meccanica ( ε ) sia a quella termica ( ε M T ). V S ΔR V S Δ V = = k ( ε M + εt ) 4 R 4 L uscita è proporzionale alla tensione di alimentazione. Sarebbe quindi utile alzarla per ottenere un miglior rapporto segnale/rumore. Ci sono dei limiti? 9 Bilanciamento del ponte La seconda relazione fondamentale si ottiene bilanciando il ponte ( R R = R R ): ΔR Δ V = 4 R Anche nella discussione delle caratteristiche del ponte si è assunto il ponte bilanciato Cosa succede se non si effettua tale compensazione? 10 5

6 Bilanciamento del ponte Con la numerazione di figura, l uscita a ponte scarico è: RR RR = VO R 1 R 4 R 2 R 3 ( + )( + ) Nominalmente il ponte è bilanciato se R R = R R Per resistenze nominalmente uguali da 120 Ω, di tolleranza 0.5%, e un alimentazione da 10 V, lo sbilanciamento di tensione può però arrivare ad essere dell ordine di 15 mv. Un valore piccolo, ma non trascurabile rispetto alla misura attesa! La variazione di tensione dovuta alla deformazione V Δ V = k S ε di un estensimetro è data da: 3 4 La deformazione corrispondente a tale lettura, con k=2, è di 3000 με : un valore che è prossimo al limite di snervamento di un comune materiale metallico 11 Bilanciamento del ponte Sono possibili due tecniche per ovviare a questo problema: 1) effettuare misure differenziali senza bilanciare preventivamente il ponte; 2) bilanciare preventivamente il ponte ed effettuare una sola lettura diretta della variazione di tensione dovuta alla deformazione. Per discuterli consideriamo il caso di ¼ di ponte con estensimetro in posizione

7 Bilanciamento del ponte 1) Ponte non bilanciato (misura differenziale) RR 1 3 RR 2 4 R1( R3+ ΔR3) R2R4 V V O = O = 0 ( R )( ) ( R 1+ R 4)( R 2 + R 3 +Δ R 3) 1+ R 4 R 2 + R 3 RR 1 3 RR 2 4 RRk 1 3 ε + ( R1+ R4)( R2 + R3(1 + kε) ) ( R1+ R4)( R2 + R3(1 + kε) ) V S V V = O O RR RR RRkε RR RR ( R + R )( R + R (1 + k ε ) ) ( R + R )( R + R (1 + k ε ) ) ( R + R )( R + R ) La rimozione dell offset non è perfetta a causa della presenza del contributo di deformazione a denominatore del primo termine, invece assente nel terzo. Il legame tra ΔV e ε non è perfettamente lineare, ma nell ambito delle approssimazioni fatte rimane trascurabile. 13 Bilanciamento del ponte 2) Ponte bilanciato Comportamento puramente proporzionale con la deformazione, sempre nell ambito delle approssimazioni fatte: VO =Δ V = k ε 4 Bilanciando si evita: la lettura di zero; la misura differenziale; di impostare il fondoscala di lettura sulla somma dell offset e del segnale diminuendo la risoluzione (in genere comunque trascurabile dato che lo sbilanciamento è piccolo). 14 7

8 Bilanciamento del ponte Come ottenere il bilanciamento di un ponte per cui R R R R? La modifica delle resistenze normalmente comporta solo piccole correzioni (es. caso di 4 estensimetri nominalmente uguali ma leggermente diversi i per incertezze legate alla realizzazione). i Di fatto basta correggere la resistenza di uno solo dei rami del ponte. Occorre quindi scegliere cosa è più conveniente fare: aumentare uno dei due prodotti o diminuire l altro? Per incrementare una resistenza si aggiunge una R = R + R resistenza in serie: Per diminuire una resistenza si aggiunge una RARB resistenza in parallelo: REquiv = R + R Equiv A B A B 15 Bilanciamento del ponte Supponiamo che sia necessario modificare la resistenza di un ramo di un 1%. Caso della serie. Occorre aggiungere una resistenza 1/100 di quella del ramo ( R): R = R R = 1.01 R R = 0.01 R B Equiv A A A A Caso del parallelo. Occorre aggiungere una resistenza 99 volte più grossa di quella del ramo (99.0 R): RA RB R Equiv = = 99 Ω RA + RB REquiv( RA + RB ) = RARB RR A Equiv 1 RB = = RA RB = 99 RA R R R / R 1 A Equiv A Equiv 16 8

9 Centraline estensimetriche 17 Centraline estensimetriche La lettura dei ponti viene spesso effettuata con un sistema di condizionamento e misura specifico: la centralina estensimetrica. La centralina mette a disposizione tutta la componentistica per: completare un ponte; alimentarlo; bilanciarlo; leggere lo sbilanciamento sotto carico; fornire la misura in termini di microdeformazioni. Questo per qualsiasi configurazione di ponte (¼, ½ o ponte intero). 18 9

10 Approfondimento: effetto dei cavi Nota: per la risoluzione del problema dell effetto dei cavi si rimanda alle esercitazioni. 19 Effetto dei cavi Configurazione a ponte intero: 4 estensimetri installati R 1 R 2 R k2 R k4 V o V i R 4 R k3 R 3 R k1 Effetto della resistenza dei cavi di collegamento 20 10

11 Effetto dei cavi Configurazione a mezzo ponte: 2 estensimetri installati R k2 R 1 R 2 R k1 V o V i R 4 R 3 R k3 Effetto della resistenza dei cavi di collegamento 21 Effetto dei cavi Configurazione a quarto di ponte: 1 estensimetro installato R k2 R 1 R 2 R k1 V o V i R 4 R 3 Effetto della resistenza dei cavi di collegamento 22 11

12 Effetti della temperatura sulle misure con estensimetri elettrici 23 Ponte di Wheatstone: effetti di temperatura Una variazione di temperatura dell estensimetro genera una variazione: di lunghezza della griglia estensimetrica: ΔL Est =α Est ΔT L Est di lunghezza del supporto dell estensimetro: ΔL Pez =α Pez ΔT L Pez di resistenza per effetto del cambiamento di resistività ità del materiale. I primi due termini producono una deformazione meccanica equivalente pari a: ε = ( α α ) Δ APP Est Pez T Il terzo una variazione di resistenza pari a: L ΔR= ρ( T) -ρ( TRif ) A Variazione del fattore di sensibilità con la temperatura in funzione di materiale della griglia e del supporto

13 Ponte di Wheatstone: effetti di temperatura La compensazione degli effetti della temperatura, ovvero l eliminazione della variazione di tensione generata dal calore, può essere fatta con varie modalità: correzione analitica grazie ad appositi diagrammi (poco utilizzata in ambito sperimentale); utilizzo combinato di estensimetri di misura in un ponte di Wheatstone per una compensazione diretta, peraltro praticabile solo in alcune condizioni che dovranno essere verificate; annullamento dell effetto di temperatura tramite un apposita misura (tecnica detta del provino morto), normalmente con un ponte di Wheatstone (sempre utilizzabile). 25 Misure di deformazione: il «morto» Il provino morto è : costituito da un pezzo di materiale identico a quello del quale si vuole misurare la deformazione; sottoposto alla stessa temperatura; strumentato in maniera identica; ma non caricato. Quindi la sua uscita è: ΔRB = kεb = kεt R A B Mentre l uscita dell estensimetro di misura è: ΔRA = kεa = k( εm + εt) R La compensazione deve per differenza di due misure indipendenti di due ponti in configurazione ¼. Può essere preferibile l utilizzo di un unico ponte di misura

14 Misure di deformazione: compensazione termica La compensazione termica può avvenire inserendo il morto su un ramo del ponte adiacente a quello dell estensimetro di misura. In questo modo si realizza direttamente la compensazione sfruttando le proprietà del ponte. ΔR1 ΔR4 ΔR2 ΔR3 = k ε1 = k ε4 = = 0 R R R R 2 L uscita del ponte diventa: R 1 R 4 V ΔR ΔR ΔR ΔR V 4 R R R R ΔR1 ΔR4 4 R R e poiché: ε = ε + ε ε = ε S Δ = + = 1 M T 4 T si ottiene un uscita sensibile solo all effetto meccanico: Δ V = k( ε1 ε2) = kεm Alimentazione di estensimetri elettrici 28 14

15 Celle estensimetriche: problemi di misura Nel caso di una misura puntuale di deformazione la sensibilità del ¼ di ponte è: Ipotizzando l uso di estensimetri con k = 2 R = 120Ω Δ V = V S 4 kε Per un livello di deformazione tipico es 1000 με (per una materiale metallico in campo lineare) e un alimentazione di 5 V l uscita sarebbe : ΔV V Evidente la necessità di amplificazione, di un fattore minimo 1000 e/o di aumento di V S, per avere tensioni i «facilmente» leggibili con un AD La tensione di alimentazione non può però essere utilizzata con questo scopo 29 Celle estensimetriche: modalità d impiego L alimentazione del ponte determina un flusso di corrente lungo i rami determina il riscaldamento degli estensimetri per effetto Joule Il calore viene dissipato per conduzione nella struttura sotto misura, in funzione delle sue caratteristiche di conducibilità termica (oltre che dell adesivo e del supporto) e delle dimensioni dell estensimetro stesso (superficie attraverso la quale per conduzione il calore viene trasferito alla struttura) e della struttura (tipicamente lo spessore nella zona sottostante all estensimetro) Se il calore prodotto NON viene adeguatamente dissipato, possono nascere diversi problemi: Deterioramento dello strato di adesivo Nascita di rumori di misura per effetti elettrochimici i i Deterioramento dell estensimetro La tensione di alimentazione non può quindi essere utilizzata come «amplificatore» del segnale ma deve essere definita in funzione delle caratteristiche dell estensimetro e delle condizioni di impiego previste Le schede dichiarano la tensione limite di alimentazione di un ponte 30 15

16 Celle estensimetriche: specifiche di alimentazione Tensione limite espressa in termini di ponte Data l espressione della corrente di ramo, sul singolo estensimetro, la tensione limite è pari alla metà di quella limite di ponte: iramo = = R 2R Ramo La tensione di alimentazione cresce con: la radice dell area di misura (lunghezza del filo), a resistenza fissata, la resistenza dell estensimetro, a pari dimensione. La legge di dissipazione termica è: P = V 2 / R ed essendo per la geometria del conduttore: b p P = pl = pa = S = cost S passo passo si ottiene la legge: Est V = c R S 31 Celle estensimetriche: specifiche di alimentazione La tensione di alimentazione limite è influenzata da diversi fattori:: Resistenza dell estensimetro R una maggiore resistenza produce un minor effetto termico Superficie di impronta dell estensimetro una maggior superficie consente una migliore dissipazione del calore Conducibilità termica e spessore del substrato strutturale la prima influenza lo scambio termico il secondo regola il trasporto di calore nella struttura, quindi l efficienza di raffreddamento Specificità dell estensimetro per esempio la tipologia a rosetta con griglie di misura sovrapposte) Thermal conductivity Measuring body material λ [W/m*K] L importanza del materiale del substrato è evidente dalla tabella: Ferritic steel 50 Aluminum 236 Acciaio come riferimento, fattore di Austenitic steel 15 conversione: Quarz glass/composite 0.76 λmateriale Titanium/gray cast iron 22 C λ = Plastic < 0.05 λacciaio Molybdenum

17 Celle estensimetriche: specifiche di alimentazione Suggerimenti: Utilizzare, quando disponibili, estensimetri di resistenza elevata Utilizzare estensimetri con grande griglia di misura (compatibilmente con la variabilità della deformazione nella zona di misura) Correggere la tensione di alimentazione in funzione della conducibilità termica del substrato Ridurre la tensione di alimentazione se l estensimetro è installato su pareti sottili (spessore confrontabile con la dimensione della griglia di misura) Applicare ulteriori riduzioni in funzione delle specificità dell estensimetro per esempio nel caso di rosette con griglie di misura sovrapposte 33 Altre necessità di misura Necessità di caratterizzazione completa dello stato di deformazione superficiale ε y γ xy ε x Necessità di rilevamento di effetti di scorrimento 34 17

18 Estensimetro Un singolo estensimetro misura una deformazione longitudinale Misure multiple in direzioni diverse consentono la ricostruzione completa dello stato di deformazione superficiale mediante l utilizzo delle relazioni di cambiamento di sistema di riferimento o il cerchio di Mohr 2 2 εx = εxcos θ + εysin θ + γ xysinθcosθ 2 2 εy = εxsin θ + εycos θ γ xysinθcosθ γ ε ε θ θ γ θ θ 2 2 xy = 2( x y)sin cos + xy(cos sin ) Evitando i termini trigonometrici quadratici: ε x = ( ε ) ( )cos2 sin2 2 x + εy + ε 2 x εy θ + γ 2 xy θ ε y = ( ε ) ( )cos2 sin 2 2 x + εy ε 2 x εy θ γ 2 xy θ γ = ( ε ε )sin2θ + γ cos2θ xy x y xy y ε1 2 ; P ε 2 y ; ε y θ x ; ε x Date le deformazioni in tre direzioni note, è possibile risalire alle deformazioni principali e alla loro direzione: essendo lo scorrimento nel riferimento delle deformazioni principali nullo, abbiamo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite (deformazioni principali e angolo) x ; P ε1 35 Misura della deformazione a scorrimento Possiamo risalire alla componente di scorrimento a partire da due misure di deformazione lineare rilevate a ±45 rispetto alla direzione di applicazione del taglio In presenza di uno stato di deformazione di puro scorrimento, in una direzione a 45 avremo deformazioni lineari uguali ed opposte: ε = ε x y Quindi γ xy = 0 cos(2 θ ) = 1.0;sin(2 θ ) = ε x = ( ε = 0.5( ε x + ε y) 0 2 x + εy) + ( ε 2 x εy)cos2θ + γ 2 xysin2θ ε ( ) ( )cos2 sin2 = 0.5( εx + εy) 0 y = ε 2 x + εy ε 2 x εy θ γ 2 xy θ γ = ( ε x εy ) 2ε xy = ( εx εy)sin 2θ + γ xycos2θ x Dovendo operare una differenza delle due deformazioni immediato ricorrere ad un ponte: utilizzando 4 stensimetri accoppiati: griglie in direzione x su due rami opposti e griglie in direzione y sugli altri due 36 18

19 Misure di deformazione Facciamo il modello generalizzato dell estensimetro 37 Misure di deformazione Facciamo il modello generalizzato dell estensimetro Modello di resistenza variabile: Δt, αest, αstr ε Estensimetro ΔR R Out = (1+k ε) ) R Modello di sbilanciamento del ponte: Δt, αest, αstr ε Estensimetro ΔR Alimentatore Ponte V Out =Gkε Bilanciamento La sensibilità dello strumento dipende dalla tensione di alimentazione. Sensibilità tra deformazione e tensione: può essere opportuno risalire alla causa della deformazione attraverso il legame forza-deformazione

20 Approfondimenti: misura completa dello stato di deformazione piano 39 Rosetta «Delta» (120 ) Date le misure di 3 deformazioni lineari in direzioni a 120 una dall altra è possibile determinare le deformazioni principali e la loro direzione Sia θ l angolo tra la direzione principale p 1 e la direzione di misura della deformazione A Le deformazioni nelle direzioni di misura possono essere espresse in funzione di quelle principali e della direzione 1 εa = ( ε + ε ) + ( ε ε )cos2θ εb = ( ε + ε ) + ( ε ε )cos2( θ ) ε = ( ε + ε ) + ( ε ε )cos 2( θ ) C Il sistema può essere risolto rispetto a ε1, ε2 e θ : ε A + εb + εc ε1, ε2 = ± ( εa εb) + ( εb εc) + ( εc εa) ( εc εb) θ = tan 3 2 2εA εb εc θ 40 20

21 Rosetta rettangolare (45 ) Lo stesso procedimento può essere applicato alle misure di una rosetta rettangolare, nella quale le misure laterali sono orientate a ±45 rispetto a quella centrale Sempre indicando con θ l angolo tra la direzione principale 1 e la direzione di misura della deformazione A, le deformazioni nelle direzioni di misura possono essere espresse in funzione di quelle principali e della direzione 1 ε = ( ε + ε ) + ( ε ε )cos2θ A ε = ( ε + ε ) + ( ε ε )cos2( θ + 45 ) B ε = ( ε + ε ) + ( ε ε )cos2( θ + 90 ) C θ Anche in questo caso il sistema può essere risolto rispetto a A voi determinare le relazioni risolutive ε1, ε2 e θ 41 Misura sforzi principali Con misure multiple è possibile determinare le deformazioni nelle direzioni principali Nel caso di comportamento elastico lineare, le direzioni degli sforzi e delle deformazioni principali coincidono, quindi gli sforzi principali possono essere determinati, nota la relazione costitutiva del materiale, a partire dalle deformazioni principali: E σ1 = ( ε 2 1+ υε2) 1 υ E σ 2 = ( ε υε1) 1 υ Nel caso della misura di scorrimento lo sforzo di taglio può essere calcolato come: τ = Gγ 42 21