Analisi multicriteria. Analisi multicriteria

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2 m alternative: a, b,... n criteri: 1, 2,..., n g i (a): valore che viene attribuito all alternativa a sulla base del criterio i. Ogni criterio i induce sull insieme dei candidati una relazione di ordine che indicheremo con il simbolo i g i (a) g i (b) a i b, se il criterio i è tale che a valutazioni migliori corrispondono valori più alti, e g i (a) g i (b) a i b, se invece a valutazioni migliori corrispondono valori più bassi della funzione g i (.).

3 I problemi nascono dal fatto che di questi ordinamenti ce ne sono uno per ogni criterio e che questi ordinamenti sono in generale fra loro molto diversi. Come fare ad arrivare ad una scelta in una situazione di questo tipo? Un metodo di valutazione non va mai inteso come un algoritmo che fornisca automaticamente la soluzione voluta, quanto piuttosto come un aiuto che permetta una analisi sistematica delle alternative e che guidi il decisore verso la decisione, di cui avrà comunque tutta la responsabilità.

4 Un problema di scelta Nell ambito di un intervento internazionale in una situazione di emergenza, la Overseas Aid è incaricata di gestire la logistica della distribuzione degli aiuti in una specifica area. L incaricato della Ong, arrivato sul luogo, si trova di fronte al problema di approntare un magazzino adeguato al flusso di merci, soprattutto medicinali e cibo. Dopo una breve indagine, individua 5 possibili magazzini che potrebbero essere affittati, a, b, c, d, e, f.

5 I magazzini a b c d e Igiene Umidità Sì No No No No Topi No No No Sì Sì Uccelli No Sì Sì No Sì Polvere Sì No No No No Sicurezza Sistema antincendio No No No No No Basso rischio d incendio No Sì Sì Sì Sì Recinzione con cancello Sì Sì Sì Sì Sì Illuminazione esterna Sì No No No Sì Accessibilità Accesso di grandi automezzi Sì Sì Sì Sì Sì Caratteristiche Superficie (mq/1000) fisiche Altezza (m) Numero porte per carico/scarico Pensilina No No No Sì No Banchina No No No Sì No Capienza piazzale (n. automezzi) Scaffalature No No No No No Illuminazione interna diurna Sì Sì Sì Sì Sì Illuminazione interna notturna No No Sì Sì Sì Servizi Elettricità, acqua, gabinetti Sì Sì Sì Sì Sì Linee telefoniche Ufficio (mq) Costo Indice del costo mensile

6 I magazzini Ci sono 22 criteri diversi, ma solo 16 sono rilevanti in quanto differenziano i magazzini. Definiamo le funzioni g i (.) sostituendo ai Sì degli 1, ed ai No degli 0. i a b c d e 1 Umidità Topi Uccelli Polvere Basso rischio d incendio Illuminazione esterna Superficie (mq/1000) Altezza (m) Numero porte per carico/scarico Pensilina Banchina Capienza piazzale (n. automezzi) Illuminazione interna notturna Linee telefoniche Ufficio (mq) Indice del costo mensile

7 Ordinamenti indotti dai criteri I diversi criteri inducono ordinamenti fra le alternative anche molto diversi fra loro. Criterio 7: Criterio 12: i a b c d e 1 Umidità Topi Uccelli Polvere Basso rischio d incendio Illuminazione esterna Superficie (mq/1000) Altezza (m) Numero porte per carico/scarico Pensilina Banchina Capienza piazzale (n. automezzi) Illuminazione interna notturna Linee telefoniche Ufficio (mq) Indice del costo mensile { } a c 7 e 7 b 7 d e 12 d 12 c 12 b 12 a

8 Un approccio alla Condorcet Si considerano tutti i criteri come ugualmente importanti e si confrontano a due a due le alternative, considerando il numero di criteri in cui ciascuna delle due è superiore o equivalente all altra. n(x, y): numero di criteri secondo cui x è migliore o equivalente a y n(y, x): numero di criteri secondo cui y è migliore o equivalente a x (n(x, y) + n(y, x) n) Fissata una soglia s n 2 + 1, diciamo che x è preferito ad y se n(x, y) s, e analogamente che y è preferito ad x se n(y, x) s.

9 Un approccio alla Condorcet i a b c d e 1 Umidità Topi Uccelli Polvere Basso rischio d incendio Illuminazione esterna Superficie (mq/1000) Altezza (m) Numero porte per carico/scarico Pensilina Banchina Capienza piazzale (n. automezzi) Illuminazione interna notturna Linee telefoniche Ufficio (mq) Indice del costo mensile a b c d e a b c d e Numero di criteri secondo cui ciascun magazzino è non peggiore di ciascun altro

10 Un approccio alla Condorcet a b c d e a b c d e

11 Un approccio alla Condorcet Tabella delle preferenze a b c d e a b c d e = (s = 11) a b c d e a b c d e

12 Un approccio alla Condorcet Tabella delle preferenze a b c d e a b c d e = (s = 11) a b c d e a b c d e Il magazzino a non è preferito a nessuno, mentre tutti gli altri magazzini sono ad esso preferiti. Sembra allora ragionevole scartare questo magazzino e concentrarsi sugli altri.

13 Un approccio alla Condorcet Abbiamo ora un nuovo problema, con 4 alternative e 13 criteri significativi. Infatti, una volta eliminata l alternativa a, i criteri umidità, polvere e basso rischio di incendio cessano di essere discriminanti. b c d e b c d e

14 Un approccio alla Condorcet Abbiamo ora un nuovo problema, con 4 alternative e 13 criteri significativi. Infatti, una volta eliminata l alternativa a, i criteri umidità, polvere e basso rischio di incendio cessano di essere discriminanti. b c d e b c d e = (s = 9) b c d e b c d e

15 Un approccio alla Condorcet Abbiamo ora un nuovo problema, con 4 alternative e 13 criteri significativi. Infatti, una volta eliminata l alternativa a, i criteri umidità, polvere e basso rischio di incendio cessano di essere discriminanti. b c d e b c d e = (s = 9) b c d e b c d e Ripetendo il ragionamento fatto prima, possiamo scartare l alternativa b, e passare così ad una terza fase in cui si hanno solamente tre alternative, c, d ed e.

16 Un approccio alla Condorcet Abbiamo ora un problema in cui il numero di criteri significativi è di 11, il che comporta una soglia di 8 per costruire la relazione di precedenza. c d e c d e

17 Un approccio alla Condorcet Abbiamo ora un problema in cui il numero di criteri significativi è di 11, il che comporta una soglia di 8 per costruire la relazione di precedenza. c d e c d e = (s = 8) c d e c d e 0 0 1

18 Un approccio alla Condorcet Abbiamo ora un problema in cui il numero di criteri significativi è di 11, il che comporta una soglia di 8 per costruire la relazione di precedenza. c d e c d e = (s = 8) c d e c d e Ora la dominanza di una alternativa sulle altre non è così forte da giustificare una applicazione meccanica della regola di esclusione che abbiamo applicato nei precedenti passi.

19 Il metodo ELECTRE: I pesi Il metodo ELECTRE (ELimination Et Choix T raduisant la REalité) è in realtà una intera famiglia di metodi. Qui ne vedremo la versione più semplice. I criteri vengono pesati con pesi normalizzati, cioè a somma 1.

20 Il metodo ELECTRE: I pesi Il metodo ELECTRE (ELimination Et Choix T raduisant la REalité) è in realtà una intera famiglia di metodi. Qui ne vedremo la versione più semplice. I criteri vengono pesati con pesi normalizzati, cioè a somma 1. i Pesi a b c d e Umidità Topi Uccelli Polvere Basso rischio d incendio Illuminazione esterna Superficie (mq/1000) Altezza (m) Numero porte per carico/scarico Pensilina Banchina Piazzale per.... automezzi Illuminazione interna notturna Linee telefoniche Ufficio (mq) Indice del costo mensile

21 Il metodo ELECTRE: Indici di preferibilità indice di preferibilità: c(x, y) = i:x i y p i

22 Il metodo ELECTRE: Indici di preferibilità indice di preferibilità: c(x, y) = i:x i y p i a b c d e a b c d e

23 Il metodo ELECTRE: Indici di preferibilità indice di preferibilità: c(x, y) = i:x i y p i a b c d e a b c d e = (s = 2/3) a b c d e a b c d e

24 Il metodo ELECTRE: Relazione di preferenza a b c d e a b c d e b c a d e

25 Il metodo ELECTRE: Relazione di preferenza a b c d e a b c d e b c a d e

26 Il metodo ELECTRE: Il nucleo del grafo b c a d e

27 Il metodo ELECTRE: Il nucleo del grafo b b c a = a d e c,d,e

28 Il metodo ELECTRE: Il nucleo del grafo b b c a = a d e c,d,e Nucleo del grafo: x, y Nucleo x y, y Nucleo x Nucleo : x y,

29 Il metodo ELECTRE: Le fasi 1 Si assegnano i pesi ai diversi criteri. I pesi devono essere normalizzati, cioè pesi positivi a somma 1. Il processo della loro determinazione può essere pensato come iterativo: alla luce dei risultati può essere opportuno un riesame dei pesi scelti inizialmente. 2 Si determinano gli indici di preferibilità ed i casi di veto. Ad esempio è possibile che per una coppia (x, y) la maggior parte dei criteri giochi a favore di x, ma ci sia un criterio i per il quale risulti g i (x) g i (y), cioè la differenza per quel criterio è molto alta a favore di y. Questo può essere sufficiente a farci dire che comunque non si può preferire x ad y anche se c(x, y) è a favore di x. Si parla allora di situazioni di veto, e l insieme di veto, V, è l insieme di tutte le coppie per cui è stata riconosciuta una situazione di veto.

30 Il metodo ELECTRE: Le fasi 1 Si assegnano i pesi ai diversi criteri. I pesi devono essere normalizzati, cioè pesi positivi a somma 1. Il processo della loro determinazione può essere pensato come iterativo: alla luce dei risultati può essere opportuno un riesame dei pesi scelti inizialmente. 2 Si determinano gli indici di preferibilità ed i casi di veto. Ad esempio è possibile che per una coppia (x, y) la maggior parte dei criteri giochi a favore di x, ma ci sia un criterio i per il quale risulti g i (x) g i (y), cioè la differenza per quel criterio è molto alta a favore di y. Questo può essere sufficiente a farci dire che comunque non si può preferire x ad y anche se c(x, y) è a favore di x. Si parla allora di situazioni di veto, e l insieme di veto, V, è l insieme di tutte le coppie per cui è stata riconosciuta una situazione di veto.

31 Il metodo ELECTRE: Le fasi 3 Si sceglie la soglia di preferibilità. La soglia s sarà un numero compreso fra 0.5 ed 1. Un valore troppo vicino a 0.5 rischierebbe di discriminare troppo poco, mentre un valore troppo alto, cioè vicino ad 1, darebbe una relazione troppo povera (pochi archi nel grafo). 4 Si costruisce il grafo di preferibilità. Innanzitutto viene costruito un grafo di partenza G = (N, A), dove N, l insieme dei nodi, è l insieme delle alternative (ad ogni nodo corrisponde una alternativa) ed esiste un arco fra il nodo x ed il nodo y se e solo se è x y, cioè se x è preferita o equivalente a y, e (x, y) / V, cioè la coppia (x, y) non appartiene all insieme di veto V.

32 Il metodo ELECTRE: Le fasi 3 Si sceglie la soglia di preferibilità. La soglia s sarà un numero compreso fra 0.5 ed 1. Un valore troppo vicino a 0.5 rischierebbe di discriminare troppo poco, mentre un valore troppo alto, cioè vicino ad 1, darebbe una relazione troppo povera (pochi archi nel grafo). 4 Si costruisce il grafo di preferibilità. Innanzitutto viene costruito un grafo di partenza G = (N, A), dove N, l insieme dei nodi, è l insieme delle alternative (ad ogni nodo corrisponde una alternativa) ed esiste un arco fra il nodo x ed il nodo y se e solo se è x y, cioè se x è preferita o equivalente a y, e (x, y) / V, cioè la coppia (x, y) non appartiene all insieme di veto V.

33 Il metodo ELECTRE: Le fasi 5 In G vengono cercati i cicli, cioè insiemi di nodi equivalenti e questo si traduce in una operazione di condensamento dei singoli nodi in un unico nodo che li rappresenta tutti. Abbiamo così costruito un nuovo grafo Ĝ = ( ˆN, Â), dove ora i nodi non rappresentano più singole alternative, ma insiemi di alternative. 6 Si determina il nucleo del grafo.

34 Il metodo ELECTRE: Le fasi 5 In G vengono cercati i cicli, cioè insiemi di nodi equivalenti e questo si traduce in una operazione di condensamento dei singoli nodi in un unico nodo che li rappresenta tutti. Abbiamo così costruito un nuovo grafo Ĝ = ( ˆN, Â), dove ora i nodi non rappresentano più singole alternative, ma insiemi di alternative. 6 Si determina il nucleo del grafo.

35 Un esempio: la scelta di una automobile Pesi Costo Confort E E M M M S S 0.27 Velocità V M V V M V M 0.20 Estetica E E E M E E M 0.20 (E = Eccellente; M = Medio; S = Scarso; V = Veloce) Indici di preferibilità:

36 Un esempio: la scelta di una automobile Pesi Costo Confort E E M M M S S 0.27 Velocità V M V V M V M 0.20 Estetica E E E M E E M 0.20 (E = Eccellente; M = Medio; S = Scarso; V = Veloce) Indici di preferibilità:

37 La scelta di una automobile: la relazione di precedenza (s = 0.7)

38 La scelta di una automobile: la relazione di precedenza (s = 0.7)

39 La scelta di una automobile: la relazione di precedenza

40 La scelta di una automobile: la relazione di precedenza = 3 4 2,3 4,5,6

41 La scelta di una automobile: la relazione di precedenza = 3 4 2,3 4,5,6 Nucleo = {4, 5, 6, 7}

42 La scelta di una automobile: la relazione di precedenza = 3 4 2,3 4,5,6 Nucleo = {4, 5, 6, 7} Pesi Costo Confort E E M M M S S 0.27 Velocità V M V V M V M 0.20 Estetica E E E M E E M 0.20 (E = Eccellente; M = Medio; S = Scarso; V = Veloce)