LEZIONE DI MATEMATICA LEIBNIZ E IL SISTEMA BINARIO

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1 LEZIONE DI MATEMATICA LEIBNIZ E IL SISTEMA BINARIO OBIETTIVI: Conoscere la figura di Leibniz sia sul piano filosofico con la costruzione della characteristica universalis, il cui scopo era quello di trasformare il ragionamento in calcolo, sia in campo matematico in quanto a lui si deve la scoperta del sistema di numerazione binario. Capire come si rappresentano i numeri nel sistema binario. Sapere trasformare i numeri dal sistema decimale a quello binario e viceversa. Confrontare i nostri metodi di calcolo con quelli utilizzati in passato come la tecnica di esecuzione delle moltiplicazioni con i bastoncini di Nepero. CONTENUTI: Prima parte descrittiva contiene i seguenti argomenti: Vita romanzata di Leibniz Il pensiero di Leibniz La richiesta di un furbo matematico Il sistema di numerazione binario I bastoncini di Nepero Seconda parte è una raccolta di alcuni degli esercizi realizzati con gli alunni, di seguito elencati: Attività : il gioco dei bicchieri pieni o vuoti. Tutti gli studenti, aiutati dai tirocinanti e dalle assistenti educatrici proveranno a distribuire in un certo numero di bicchieri, disposti sul tavolo in ordine crescente delle potenze di (da destra verso sinistra) dei dischetti di carta, facendo attenzione a mettere in ogni bicchiere solo il numero indicato dalle corrispondenti potenze. Una volta effettuata la distribuzione, assegneranno ad ogni bicchiere pieno il simbolo e ad ogni bicchiere vuoto il simbolo 0. Infine leggeranno la successione dei simboli partendo dal bicchiere pieno più a sinistra, ottenendo così la conversione in base del numero decimale (rappresentato dalla quantità iniziale dei dischetti presi).

2 Attività : scrivere alcuni numeri decimali in forma binaria utilizzando l espressione polinomiale con le potenze del e viceversa trasformare i numeri dati in forma binaria in scrittura decimale. Si tratta di compilare il foglio fornito dall insegnante indicando la conversione esatta dei numeri. Attività 3: trasformare un numero decimale in forma binaria utilizzando il metodo delle divisioni successive. Questa attività consiste nel dividere più volte il numero decimale per annotando i resti delle varie divisioni, successivamente leggerli partendo dall ultimo e così si avrà la rappresentazione del numero in forma binaria. Verificate che nel caso in cui si utilizzano gli stessi numeri dell attività, dobbiamo ottenere con i due metodi la stessa rappresentazione in forma binaria. Attività : costruire i bastoncini di Nepero su un foglio opportunamente creato dall insegnante e dopo averli ritagliati, utilizzarli per eseguire alcune moltiplicazioni. Osservate come sono disposti i numeri nei quadrati dei bastoncini. Nell ultima parte della dispensa sono state riportate alcune delle schede utilizzate per le attività sopra menzionate. LA DOCENTE Prof.ssa Lanzacane Concetta

3 VITA ROMANZATA DI LEIBNIZ SCENA: davanti allo specchio, il filosofo Leibniz, aiutato dai alcuni suoi amici, sistema la parrucca, accomoda la sciarpa di seta al collo e, infine, si incipria il viso LEIBNIZ: suvvia, cari amici, facciamo presto... Presto...sono in ritardo! -- CARTESIO: calmati Leibniz,...così facendo agiti tutto e tutti!! -- NEWTON: cerca di stare fermo un po'...non riesco a sistemarti bene la parrucca! -- LEIBNIZ: povero me! Sono un individuo smunto, di media statura, con un viso pallido, e con mani e piedi sempre gelati. E poi ho una voce debole, sono calvo precocemente, e sono leggermente gobbo ( così Leibniz si esprime in un'autobiografia). -- CARTESIO: suvvia,... caro amico, non buttati giù,...tutti abbiamo dei difetti...non fare una tragedia...e poi ci siamo noi ad aiutarti! -- LEIBNIZ: sì, sì, ma vi prego facciamo in fretta! -- NEWTON: e poi...dove devi andare con tanta urgenza...? -- CARTESIO: c'è, forse, qualcosa che ci nascondi? -- LEIBNIZ: non posso dirvi nulla...è un segreto...non posso dire a nessuno dove devo andare CARTESIO: ma come!? Noi siamo i tuoi amici più cari e non possiamo sapere i tuoi segreti? -- LEIBNIZ: no! Non potete! E poi quante domande...! -- NEWTON: bell'amico che sei! E io che ti ho aiutato a capire bene gli integrali, in algebra! E ti ricordi di quella volta che ti ho avviato al calcolo infinitesimale? Bella riconoscenza...la tua!! -- CARTESIO: e allora io che ti ho presentato a Sofia Carlotta, la regina di Prussia, la quale ti ha assunto nella sua biblioteca? Non siamo forse tuoi amici fidati!? E allora perché non vuoi dirci dove devi andare così di fretta? -- LEIBNIZ: sì, sì...che siete miei mici...non lo nego,...ma siete anche un po' curiosoni! -- CAETESIO E NEWTON: su,dai dai, dì dove devi andare? Hai forse un appuntamento galante con la tua fidanzata? -- LEIBNIZ: macchè fidanzata e fidanzata!......io non ho nessuna fidanzata! Devo andare, invece, a un appuntamento segreto NEWTON: allora è qualcosa di interessante!? Bene, allora, veniamo anche noi! -- LEIBNIZ: no!! per carità! Non potete!! -- CARTESIO: e perchè non possiamo?... noi sappiamo tenere un segreto!! -- LEIBNIZ: OH! Siete miei amici,è vero,... ma siete anche dei super scocciatori!!

4 -- NEWTON: allora ci porti con te,... vero Leibniz? -- LEIBNIZ: Sì, Sì, Sì...Vi porto con me!...ma vi prego acqua in bocca...vi raccomando!! -- CARTESIO: finalmente ti sei deciso.!...bene allora andiamo!!! -- LEIBNIZ: adesso vi mostro questa cartina geografica e la bussola...sapete anche il luogo è segreto!! -- NEWTON: certo che sei tutto strano, caro Leibniz;...siamo a Trento, una città non molto grande e ti serve la carta geografica e la bussola!? -- LEIBNIZ: silenzio!...fate come vi dico...non potete capire!! Allora, vediamo...dunque, per di qua, poi 5 passi a destra, 3 passi a sinistra, poi dritto per altri passi...e poi si dovrebbe vedere una porta verde con una X......ma...che strano...è la porta dell'aula Montessori!!! -- CARTESIO: ma dove ci hai portato? E poi chi sono queste persone? E cosa ci fa una croce sul tavolo con sopra una rosa? Leibniz sei sicuro che questo sia il posto dove intendevi andare? -- LEIBNIZ: Sì,Sì...fidatevi di me! Adesso procediamo con le presentazioni e poi vi rivelo il segreto... Dunque, ecco... ( ci si presenta, salutandosi, con cordialità; tutti i membri dell'associazione hanno in testa un cappuccio bianco, ricavato da un foglio di carta, raccolto a forma di cono) -- LEIBNIZ: eccomi, adesso vi rivelo il segreto... Tutte queste persone, compreso me, facciamo parte di un'associazione segreta, chiamata ROSACROCE. Abbiamo come simbolo, infatti, una croce, con al centro una rosa: ecco il nostro simbolo ( al centro del tavolo vi è una croce di legno con al centro una rosa, che viene mostrata a tutti) -- NEWTON: e perché vi riunite in segreto? Cosa c'è da nascondere? --LEIBNIZ: per noi è un po' come si era da bambini: vi ricordate quando ci si diceva di tenere un segreto e di non dirlo a nessuno? -- CARTESIO: sì, abbiamo capito...ma non abbiamo capito cosa, ora, ci sia da nascondere? -- LEIBNIZ: noi sappiamo i segreti della vita e della morte, sappiamo trasformare il ferro in oro, influenziamo la politica,...e tante altre cose ancora...poi abbiamo delle cerimonie per accogliere i nuovi iscritti e giuriamo di non rivelare a nessuno i nostri segreti!! --NEWTON: e tu che sei un illustre filosofo-scienziato ti presti a queste cose assurde? --CARTESIO: e poi se hai scoperto qualcosa è giusto condividerla con il mondo intero...non ti pare? -- LEIBNIZ: ma non è una cosa strana! Ve lo assicuro!! Volete iscrivervi anche voi...??

5 -- NEWTON: per carità, no! Tienici fuori da questa storia...noi siamo degli scienziati filosofi e se scopriamo qualcosa la riveliamo al mondo intero...altro che tenerla in segreto! Pensa...io ho detto a tutti della mia scoperta sulla forza di gravità: ora tutti sanno che ogni cosa è attratta dal centro della terra... --CARTESIO: Dovresti, caro Leibniz, abbandonare queste cose segrete, la massoneria... Su, dai andiamo via! Torniamo a casa... --LEIBNIZ: No..., io resto qui...e se anche voi resterete qui vi rivelerò un segreto,...molto, molto interessante...sulla logica binaria --NEWTON: va bene, come vuoi...ma devi prometterci che rivelerai, poi, al mondo intero la logica binaria LEIBNIZ: va bene...va bene...lo farò! Adesso...vi mostro come si può fare! La logica binaria è straordinaria: consente di calcolare senza piagnucolare; si inserisce nel calcolatore e agevola la vita a tutte le ore. Ma chi l'ha inventa aveva la testa strampalata. Leibniz si chiamava e non sempre si stimava. Diceva di avere pochi capelli e di mangiare molti tortelli. Di esser piccolino, così come un tavolino. Era legato a una segreta società dove si esigeva silenzio e complicità Ma come tirarlo via di là? Newton e Cartesio ci provarono e poi finalmente ci riuscirono. La logica binaria egli rivelò e al mondo regalò un calcolo meraviglioso che nulla ha di misterioso. Ora anche noi vogliam imparare questo calcolo spettacolare. LOGICA BINARIA

6 IL PENSIERO DI LEIBNIZ Gottfried Wilhelm Leibniz (66 76) nacque a Lipsia, fu un uomo di straordinario genio. A 6 anni apprese il latino da solo leggendo Tito Livio, a 0 scoprì la logica aristotelica, a 5 anni si iscrisse all università, si laureò in filosofia a 7 ed ottenne un dottorato in giurisprudenza a 0. Si dedicò alle scienze e alla filosofia, frequentò le maggiori sedi universitarie europee e fu direttore dell' Accademia Prussiana delle Scienze. Molto ardito il suo pensiero che lo portò a immaginare di costruire una lingua simbolica universale (caratteristica) per scienza, matematica e metafisica, quella che lui chiama la characteristica universalis, progetto molto comune e alla moda ai suoi tempi. Ma mentre gli altri studiosi non riuscivano a trovare nulla di meglio che attribuire un medesimo segno per le varie espressioni sinonime delle diverse lingue, come una specie di scrittura convenzionale e arbitraria; Leibniz voleva arrivare a una scrittura universale, semplice da apprendere e da ricordare, basata su un fondamento logico, cioè su un'analisi completa dei concetti e sulla loro riduzione a dei termini primitivi, i quali dovevano essere rappresentati con segni naturali e appropriati, da una specie cioè di alfabeto del tutto caratteristico. Infatti Leibniz pensava di costruire la Characteristica attraverso tre passaggi.. Occorreva, prima di tutto analizzare e scomporre, per mezzo di definizioni, le nozioni complesse allo scopo di giungere ad un alfabeto dei pensieri umani, ad un catalogo di

7 nozioni primitive che non si possano rendere più chiare attraverso ulteriori definizioni.. A ciascuna di queste nozioni primitive doveva poi essere assegnato un opportuno carattere. 3. Si dovevano, infine, determinare le regole che avrebbero consentito di combinare tra loro le nozioni primitive operando sui loro caratteri. In questo modo, sarebbe stato possibile trasformare il ragionamento in calcolo, ma la characteristica sarebbe stata preziosa anche come ars inveniendi (arte dello scoprire): attraverso la combinazione dei caratteri primitivi sarebbe, infatti, stato possibile ottenere sistematicamente e in modo ordinato tutte le nozioni possibili. Con questo Leibniz prendeva posizione anche nel dibattito seicentesco sul rapporto tra logica e matematica riunendo entrambe nella characteristica e superando la posizione più diffusa (è anche quella di Galileo Galilei) che contrapponeva la fecondità della matematica alla sterilità della logica. Leibniz si rese, però, rapidamente conto di quanto fosse difficile ricondurre tutte le nozioni e soprattutto le verità di fatto a nozioni primitive. Non si scoraggiò per questo, ma decise, in assenza di un completo catalogo delle nostre nozioni primitive, di iniziare a costruire la characteristica nei campi in cui era possibile. La characteristica universalis rappresenta un importantissimo passo verso l'intelligenza artificiale perché, secondo il progetto di Leibniz, doveva servire a trasformare il ragionamento in calcolo. Una volta costruita la characteristica, diceva: " non ci sarà maggior bisogno di discussione tra due filosofi di quanto ce ne sia tra due calcolatori. Sarà sufficiente, infatti, che essi prendano la penna in mano, si siedano a tavolino, e si dicano reciprocamente (chiamato, se loro piace, un amico): calcoliamo". Quindi, l'ambizioso progetto di Leibniz offre un modello valido d'intendere la logica, cioè il vero ragionamento, come un calcolo di tipo matematico. Infatti, in logica (cioè nel calcolo) non è importante la ricerca degli elementi ultimi, quanto invece la scelta dei segni che servono a rappresentarli. Andrà trovato in questa interpretazione il successo che Leibniz ottenne agli inizi del '900 con la nascita della moderna logica simbolica (che è anche logica matematica), successo che lo pose come padre spirituale della logica moderna. Fondamentale rimane anche il suo contributo alla storia del calcolo in quanto a lui si deve la scoperta del sistema di numerazione binario su cui si basa il funzionamento di tutti i computer moderni. Infatti il matematico tedesco con le sue ricerche nell'ambito della numerazione in base due raggiunge un duplice obiettivo: da un lato lo studio teorico delle "progressioni binarie" gli consente

8 di anticipare scoperte di analisi e di teoria dei numeri, dall'altro egli reputa il sistema binario molto utile per le applicazioni pratiche a pesi, monete e misure. Del resto, non dobbiamo dimenticare che fino ad allora, la scienza si era limitata a rispondere alle esigenze di una società basata sulle manifatture, sul commercio e sulla navigazione. Purtroppo nonostante i reiterati sforzi compiuti da Leibniz per divulgare la rappresentazione binaria dei numeri, alla sua morte questa come del resto molte altre sue intuizioni cade nell'oblio e solo nel 87 verrà riscoperta, grazie al matematico inglese C. Boole e soprattutto alla nascita del calcolatore elettronico. Con l introduzione del sistema binario, basato sull utilizzo di due simboli le cifre "0" e "", Leibniz dimostra che l'esecuzione della moltiplicazione avviene attraverso l'addizione e, nel 67, concepì una macchina moltiplicatrice basata su questo principio. Il funzionamento consisteva nell'addizionare il moltiplicando tante volte quante sono le cifre del moltiplicatore con scatti di un carrello verso sinistra ad ogni cifra di quest'ultimo. Questa macchina permetteva di fare le quattro operazioni, un ingegnoso perfezionamento di quella che era la calcolatrice creata da Pascal che invece eseguiva soltanto somme e sottrazioni. Quasi sconosciuta al grande pubblico rimase l'altra originalissima macchina che Leibniz creò per eseguire le quattro operazioni con l'aritmetica binaria in cui l'uno e lo zero sono materializzati nella presenza o assenza di una pallina in una determinata posizione.

9 LA RICHIESTA DI UN FURBO MATEMATICO Prima di parlare del sistema binario raccontiamo una storia sulle potenze del per comprendere la straordinaria potenzialità di questo calcolo. Un giorno un saggio indiano di nome Sessa Nassir inventò il gioco degli scacchi. In seguito il gioco fu presentato al re delle Indie, che, avendone valutata l ingegnosità e la grande varietà di combinazioni possibili, fu tanto meravigliato che fece chiamare il suo suddito per ricompensarlo di persona: "Per la tua straordinaria invenzione" disse entusiasta il re "voglio compensarti con quel che desideri. Sappi che la mia generosità non ha limiti." Il saggio rispose: "Grande è la tua bontà, o sovrano. Io non ti chiederò tanto. Desidero solamente che mi siano dati i chicchi di grano che saranno necessari per riempire le 6 caselle della mia scacchiera in modo tale che vi sia un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza, otto sulla quarta e così di seguito, raddoppiando ogni volta." "La tua domanda mi sembra troppo modesta!" esclamò il monarca stupito. "Tu mi ferisci con il tuo desiderio così inadeguato alla mia benevolenza e trascurabile rispetto alle magnificenze che io potrei offrirti!" Ma di fronte alle insistenze di Sessa, il re si rassegnò e ordinò di far portare il sacco di grano che il saggio desiderava. Qualche giorno appresso il sovrano si informò dal ministro per sapere se quello sciocco di Sessa fosse entrato in possesso della sua magra ricompensa. "I contabili addetti non hanno ancora finito le operazioni. Sperano tuttavia di riuscirvi prima dell alba", venne risposto al re.

10 Ma il giorno seguente i contabili ufficiali non erano ancora riusciti a determinare la quantità di grano dovuta a Sessa. "Perché mai tanta lentezza nel risolvere un problema così elementare?" domandò il re esasperato. "Ordino che questa faccenda sia sistemata prima di domani". L indomani l ordine restò inevaso. Corrucciato, il re congedò i contabili, giudicandoli incompetenti. Ma il giorno dopo quelli ingaggiati al loro posto non fecero di meglio. Alla fine di parecchi giorni di lavoro affannoso, il responsabile del gruppo dei contabili si presentò al monarca per comunicargli il risultato. "E allora!? "chiese il re impaziente, "avete dato a Sessa ciò che gli spetta?". "O buon sovrano, perdonami, ma devo dirti che, malgrado la tua potenza e la tua ricchezza, non è in tuo potere fornire questa quantità di grano. Vuotando tutti i granai del regno, il numero di chicchi di grano che ne otterresti sarebbe trascurabile rispetto a questa enorme quantità". "I chicchi di grano che il saggio desidera sono esattamente "Decisamente", rispose il sovrano ammirato, "il gioco inventato da questo saggio è tanto ingegnoso quanto è sottile la sua richiesta!". Cerchiamo di capire adesso come si arriva a questo risultato. Iniziamo col considerare la somma dei chicchi di grano che si trovano sulle prime quattro caselle cioè: +++8 = 5 = 6- se si sostituiscono le corrispondenti potenze del si ottiene: + ¹ + ² + ³ = -

11 per cui, iterando il procedimento, si ha: + ¹ + ² = 6 - che è uguale esattamente al numero scritto prima. Quindi sono davvero tanti i chicchi di grano che occorrerebbero per riempire le 6 caselle della scacchiera raddoppiando ogni volta. Questa storia stimola la nostra curiosità su come le potenze del possano essere utilizzate nella scrittura dei numeri cioè ci introduce nell affascinante mondo del sistema binario.

12 IL SISTEMA DI NUMERAZIONE BINARIO Per comprendere il funzionamento della macchina di Leibniz, ma anche di tutte le calcolatrici e computer moderni, è necessario capire la rappresentazione dei numeri nel sistema binario (in base ): il sistema binario è un sistema di numerazione posizionale in cui le uniche cifre ammesse sono 0 e ; i valori delle cifre dipendono dalle potenze del ; la sua costruzione e le operazioni sono del tutto simili a quelle del sistema decimale, almeno sul piano formale. Infatti noi, naturalmente, usiamo il sistema decimale (base 0) nel quale ogni cifra di un numero assume un valore a seconda della posizione occupata all'interno del numero stesso (valore posizionale). Così ad esempio nel numero 35 ci sono centinaia 3 decine e 5 unità, che è come dire x x x ed anche Nel sistema binario, invece di utilizzare le potenze del 0, si utilizzano quelle del. In questo modo nel numero 0 ci sono ottetto, 0 quartine, doppietto e unità che è come si vede: x x + x + x ed anche: Quindi il sistema binario è molto simile a quello decimale, vediamo adesso come si passa da un sistema a un altro.

13 Per trasformare un numero decimale in forma binaria, si trasforma il numero sotto forma polinomiale con potenze del, oppure si ricorre eventualmente, al metodo delle divisioni successive euclidee. Per esempio, per scrivere in base, il numero che in base 0 si scrive, si procede così: = = = = 000 Quindi se vogliamo scrivere un numero in forma binaria, dobbiamo prima pensare alle potenze del che lo rappresentano e successivamente scriverlo in forma polinomiale, mettendo come coefficienti delle potenze del, considerate in ordine decrescente, le cifre 0 e. Se consideriamo un altro numero 6 abbiamo: 6 = = = = 00 Un altro metodo che ci consente di trasformare un numero in forma binaria è quello delle divisioni successive, che consiste nel dividere più volte il numero di base 0 per annotando i resti delle varie divisioni, nel caso di si ha: : = 0 con resto 0: = 0 con resto 0 0: = 5 con resto 0 5: = con resto : = con resto 0 : = 0 con resto Partendo dall ultimo resto quindi risulta: 0 = 000 Per trasformare un numero dato in forma binaria, in scrittura decimale, basta esplicitare la forma polinomiale del numero. Per esempio 0 diventa: = = 9 È possibile costruire delle semplici macchine che permettono di trasformare numeri dalla base 0 alla base e viceversa. Ecco la prima e più semplice la mano-codificatrice.

14 Sulle dita della mano, partendo dal mignolo, scriviamo i numeri corrispondenti alle potenze del. Cioè:,,, 8, 6 CODIFICA = da base 0 a base DECODIFICA = da base a base 0 Si voglia trasformare (codificare) il numero 7 in base. Vediamo che il 7 si ottiene dalla somma del pollice (6) e del mignolo(). Avremo quindi partendo dal pollice: 000 che è il numero binario cercato Se al contrario vogliamo sapere a che numero decimale corrisponde 00 basta che sommiamo i numeri scritti sul pollice, sul medio e sul mignolo. Otterremo. Questa operazione si chiama decodifica. Infatti non dimentichiamo che il primo computer usato dall'uomo è stato senza dubbio la mano. Grazie alle mani gli egiziani riuscirono a rappresentare tutti i numeri sino a 9999 ed erano in grado di eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e anche calcoli più complessi. Il termine inglese "digit" ("cifra"), oggi tanto usato, deriva proprio dalla parola latina digitus ("dito"). Questo sistema di numerazione creato da Leibniz ha avuto nel tempo delle grandi applicazioni, dopo circa 50 anni, il matematico inglese George Boole (85-86) lo ha ripreso in considerazione e ha ideato le variabili binarie o BIT. Esse si chiamano così perché possono assumere solo due valori. In realtà la parola "bit" è contrazione del termine "binary-digit", che significa "cifra binaria" Ad esempio un rubinetto è una variabile binaria perché può avere solo due possibilità: aperto (ON -->) o chiuso (OFF -->0); una lampadina può essere accesa (ON -->) o spenta (OFF -->0); un interruttore può essere chiuso (ON -->) o aperto (OFF -->0).

15 interruttore a Bit --> possibilità: ON/OFF --> /0 Ebbene, con l avvento dell elettricità, ciò è stato possibile, per cui si sono creati circuiti inserendo anche più interruttori e così i giochi e le combinazioni si sono fatti sempre più interessanti e sempre più complessi, al punto da avere: interruttore a Bit interruttori a Bit 3 interruttori a 3 Bit Quindi in corrispondenza al numero di bit si hanno tante combinazioni e cioè: Bit --> = ¹ Bit --> = ² 3 Bit --> 8 = ³ BIT BIT 3 BIT Infine a forza di 0 e, di circuiti accesi e spenti, di tasti ON/OFF a partire dagli anni intorno al 90 ad oggi gli scienziati sono riusciti a costruire delle macchine stupende, supersoniche che fanno i calcoli a velocità sorprendenti, che risolvono contemporaneamente più problemi e che hanno chiamato computer. I BASTONCINI DI NEPERO

16 Ai nostri tempi eseguire moltiplicazioni o fare operazioni complicate, con la nascita dei calcolatori o addirittura dei computer, è diventato molto semplice. Vediamo come si eseguivano le moltiplicazioni nel XVII secolo, si utilizzavano i famosi bastoncini di Nepero, uno strumento di calcolo inventato nel 6, da un grande matematico scozzese, John Napier (550 67), italianizzato Nepero. Egli studiò difficili argomenti di matematica, infatti il suo nome fu molto noto negli ambienti accademici anche per aver inventato i logaritmi e si divertì a elaborare questo semplice sistema con cui si possono eseguire le moltiplicazioni come somme di numeri. Si pensa che in origine i bastoncini fossero costruiti in osso o avorio, perciò erano chiamati "Ossi di Nepero". La realizzazione dell invenzione fu presentata nel 67, anno della sua morte e rimasero in uso per circa un secolo. I bastoncini di Nepero consentono anche altre operazioni meno semplici, quali la divisione e l estrazione di radice.

17 I suddetti bastoncini (o regoli) non erano che una tavola moltiplicativa di forma speciale, essi permettevano di moltiplicare un numero qualunque per un numero di una sola cifra. In tutto erano, quelli numerati da 0 a 9 erano divisi in 9 quadrati. Questi, a loro volta, erano tagliati da una diagonale, sopra la quale stavano i numeri delle decine e sotto i numeri delle unità. Un regolo era fisso e gli altri mobili. Se osserviamo attentamente i bastoncini numerati da a 9 notiamo che nei 9 quadrati in cui sono suddivisi, sono riportati i multipli del numero del bastoncino con le unità separate dalle decine che possiamo anche rappresentare così: Vediamo come si utilizzano per moltiplicare.

18 Se per esempio si voglia eseguire la moltiplicazione 35 x 3. Si accostano i bastoncini del, del 3 e del 5 (che corrispondono a 35, il primo fattore), si avvicinano al bastoncino che consideriamo come indice cioè quello che viene chiamato regolo fisso e si leggono i numeri in corrispondenza del 3 (secondo fattore). Il risultato si ottiene sommando in diagonale le cifre della terza riga, da destra verso sinistra e considerando gli eventuali riporti. Infatti tenendo conto che: - 5 sono unità - 9 e sono decine - 6 sono centinaia eseguendo come riportato in tabella sotto, si ottiene (9 + ) 5 7 (6 + di riporto) 0 5 E volendo fare 35 x 56? Si applica la proprietà distributiva al secondo fattore e poi si dissocia 50, procedendo così: 35 x 56 = 35 x (50 + 6) = 35 x x 6 = 35 x 5 x x 6 A questo punto basta eseguire con i bastoncini le due moltiplicazioni per 5 e per 6 e completare con le somme.

19 Facciamo qualche altro esempio, proviamo a calcolare: 6 x 8 Si devono accostare al bastoncino indice, i bastoncini del e quello del 6 in modo da formare il numero 6. Poi si va a leggere il risultato in corrispondenza dell 8 dell indice sommando le cifre adiacenti dei due bastoncini. 3 ( + ) 8 = 368 Se invece vogliamo effettuare la moltiplicazione dei numeri con più cifre come 3867 x si procede sempre allo stesso modo cioè si dispongono l uno a fianco dell altro i quattro bastoncini 3,8,6 e 7. Allora in corrispondenza del dell indice vale a dire nella quarta riga orizzontale si leggerà: / 3/ / /8. Trascriviamo addizionandole l una con l altra le cifre collocate tra le due diagonali: avremo ; +3; +; +; 8; ovvero 568 che costituisce il risultato cercato. Davvero geniale questa invenzione di Nepero che permetteva con una certa facilità di eseguire le moltiplicazioni in un epoca in cui non esistevano ancora le calcolatrici.

20 CONVERSIONE SISTEMA DECIMALE SISTEMA BINARIO Numeri sistema decimale Procedimento Numeri sistema binario 0 = = = + 0 = + 0 = = + 0 = = + = = = 8 3 = = = = 3 + = = = 8 + = 3 + = = =

21 Numeri sistema decimale = = Procedimento Numeri sistema binario

22 CONVERSIONE SISTEMA BINARIO SISTEMA DECIMALE Numeri sistema binario Procedimento Numeri sistema decimale 0 = = + 0 = = = = = = = =

23 CONVERSIONE SISTEMA BINARIO SISTEMA DECIMALE Numeri sistema binario Procedimento Numeri sistema decimale

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25 CONVERSIONE SISTEMA DECIMALE SISTEMA BINARIO Metodo delle divisioni successive Numeri sistema decimale Numeri sistema binario : = 0 con resto : = con resto 0 : = 0 con resto 0 3: = con resto : = 0 con resto 3 : = con resto 0 : = con resto 0 : = 0 con resto

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28 ESEGUITE LE SEGUENTI MOLTIPLICAZIONI CON I BASTONCINI DI NEPERO x 8 =. 97 x 6 =. 6 x 7 =. 39 x 6 =. 5 x =. 3 x 3 =. 7 x 5 =. 67 x =. 93 x 9 =. 53 x 3 =. 856 x 7 =. 763 x 8 =. 35 x =. 36 x =. 537 x 5 = x 9 =.