CORSO DI FISICA DELLO STATO SOLIDO

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1 CORSO DI FISICA DELLO STATO SOLIDO PER GLI STUDENTI DI INGEGNERIA ELETTRONICA RETICOLI CRISTALLINI E BANDE ELETTRONICHE Appunti dalle lezioni del Prof. P. Calvani A. A Tratte in parte dai testi: C. Kittel - Introduzione alla fisica dello stato solido G. Burns- Solid State Physics N. W. Ashcroft - N. D. Mermin - Solid State Physics e da: G. Bachelet - Dispense di Fisica dei solidi M. Capizzi Dispense di Fisica dei solidi Questi appunti sono destinati a solo uso interno e riservati agli studenti che frequentano il corso.

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4 E esercitato dalla forza attrattiva tra ioni positivi e negativi, conseguente al trasferimento di elettroni fra atomi neutri. Ad es., la configurazione del Na è 2p 6 3s 1 ; quella del Cl 3s 2 3p 5. La cessione dell elettrone del na al Cl comporta i processi nella Figura a sinistra, che si risolvono in un guadagno energetico di 5,5 ev. Si forma così il cristallo ionico NaCl (Figure in basso). 4

5 5 Il legame covalente tiene insieme moltissimi solidi, ma è soprattutto tipico degli atomi tetravalenti come C, Si, Ge ecc. Ad es., la configurazione esterna del C è 2s 1 2p 3 ; quella del Si 3s 1 3p 3. L orbitale s è sferico, i p sono disposti lungo 3 assi ortogonali x, y, z. Unendosi ad altri atomi vicini di C o Si, gli elettroni si dispongono su 4 orbitali ibridizzati (combinazioni lineari di stati s e p) disposti a circa 110 l uno dall altro, secondo una struttura tetraedrica, detta della zncoblenda (Figura). In questo modo ogni atomo ne coordina altri 4. La messa a comune degli elettroni fra atomi vicini dà luogo a orbitali bonding e antibonding, a seconda dell orientazione degli spin. Un caso particolarmemnte semplice è, come già sappiamo, quello della molecola H 2.

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7 un solo punto reticolare. Qui accanto si vede, in 3D, la cella primitiva e la cella unitaria di un reticolo cubico a facce centrate (fcc, v. oltre) 7

8 Per esempio, nella Figura si vede la cella unitaria dell arseniuro di gallio (o di indio) che contiene una base formata da due atomi diversi: As e Ga. 8

9 9 Reticoli tridimensionali e reticoli di Bravais Tutti i reticoli cristallini si cpossono ricondurre a 14 tipi fondamentali, detti reticoli di Barvais. Noi nomineremo soltanto i 3 reticoli cubici: semplice (sc), a corpo centrato (bcc) e a facce centrate (fcc), che si vedono in figura risepettivamente a sinistra, al centro e a destra. Si riconosce che solo la cella unitaria dell sc è anche una cella primitiva, mentre le altre contengono rispettivamente 2 atomi e 4 atomi.

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11 11 Diffrazione dai piani cristallini Formula di Bragg Usando raggi X (ma anche elettroni o neutroni, dei quali si sfruttano le proprietà ondulatorie) monocromatici, e riducendo il cristallo in polvere, si possono ottenere al variare dell angolo θ picchi di intensità riflessa in corrispondenza di piani cristallini comunque orientati e spaziati fra loro. In questo modo viene determinata la simmetria del cristallo.

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14 14 GLI ELETTRONI NEI SOLIDI IL MODELLO TIGHT BINDING A PRIMI VICINI E L ORIGINE DELLE BANDE ELETTRONICHE NEI SOLIDI In un solido-modello gli atomi sono disposti nelle 3 direzioni dello spazio lungo catene lineari. Consideriamo una di queste catene, nella direzione x, lunga L e contenente N atomi separati da un passo reticolare a. N è molto grande in un campione solido, dell'ordine di 10 7 o 10 8 /cm in ogni direzione dello spazio. Quando un'onda (come la quasi-particella elettrone) si muove lungo la catena, i suoi possibli stati si possono contare in due modi equivalenti (Kittel p ): o imponendo che l'onda abbia sempre due nodi a 0 e a L, causati dalle riflessioni all'interfaccia solidovuoto, oppure imponendo le condizioni cicliche al contorno, cioè che la catena si possa immaginare chiusa su se stessa e che la funzione d'onda dell'elettrone sia periodica con periodo L: cioè che ψ(x) =ψ(x + L) Infatti, nel caso semplice di un'onda piana di vettore d'onda k 2π λ dell'elettrone, dalla dove λ è la lunghezza d'onda Quindi il vettore d'onda è quantizzato in N stati e ikx = e ik(x +L ) = e ik(x +Na ) segue e ikna =1= e i2πm k m = 2π m m = 0,±1,±2,...± N /2 a N Questo è lo stesso risultato che si ottiene contando le possibili onde stazionarie che si possono sistemare in una catena di N atomi con nodi agli estremi. Poiché nello spazio k vi è uno stato ogni intervallo 2π /Na, la densità degli stati nello spazio k dei vettori d'onda è, in una dimensione, ρ(k) = Na 2π = L 2π e in tre dimensioni, se V è il volume del campione, ρ(k) = V (2π) 3 IL TEOREMA DI BLOCH Le energie degli elettroni che si propagano in un cristallo si possono calcolare con due modelli semplificativi ma opposti: quello dell'elettrone quasi libero e quello del legame forte: nel primo caso il potenziale periodico creato dagli ioni del cristallo è una perturbazione sull'energia di un elettrone che si propaga liberamente nel vuoto; nel secondo caso è una perturbazione sull'energia degli elettroni che orbitano nei loro atomi. In entrambi i casi le funzioni d onda delle particelle che si propagano nel reticolo

15 15 devono soddisfare il seguente teorema di Bloch: Gli autostati dell Hamiltoniana di una particella che si propaga nel cristallo (cioè in un potenziale periodico tale che U( r + R ) = U( r ) se R è un qualunque vettore del reticolo) sono della forma ψ k ( r ) = e i k r u k ( r ) (1) dove anche u k ( r ) ha la periodicità del reticolo: u k ( r + R ) = u k ( r ) Questo enunciato è equivalente a dire che ψ k ( r + R ) = e i k R ψ k ( r ) (2) Infatti ψ k ( r + R ) = e i k ( r + R ) u k ( r + R ) = e i k R e i k r u k ( r ) = e i k R ψ k ( r ) se e solo se u k ( r ) è periodica. E immediato verificare che gli stati LCAO k verificano la (2) e quindi il teorema di Bloch. Infatti nella catena R = p a con p intero e, dato che gli orbitali atomici sono tutti uguali, Per dimostrare il teorema ricordiamo che se T R e ik(n + p )a n + p = e ikpa e ikna n autofunzioni ψ di H sono anche autofunzioni di T R Possiamo sempre porre c( R ) nella forma n T n è un operatore di traslazione del reticolo le con certi autovalori c( R ): ψ = c( R )ψ R c( R ) = e iϑ (3) con θ reale. Inoltre, poiché T T = T R R ' R + R ' c( R ) c( R ') = c( R + R ') (4) Quindi c( R ) = e i k R Infatti questa forma verifica la (4). Inoltre k è un vettore che può essere espresso con coefficienti reali nella base del reticolo reciproco, e quindi è un vettore d onda: k = x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3 (5) Infatti sapendo che a sua volta R si può esprimere nella base del reticolo diretto e che R = y 1 a 1 + y 2 a 2 + y 3 a 3

16 16 si ottiene che b i a j = 2πδ ij c( R ) = e i k R = e i2π (x 1y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 ) verifica la (3). Quindi, come dovevasi dimostrare, T ψ( r ) =ψ( r + R ) = e i k R ψ( r ) R Dimostrazioni alternative del teorema di Bloch si trovano sull Ashcroft. Dal teorema di Bloch segue che anche lo spazio k è periodico. Infatti, poiché ψ k ( r + R ) = e i k R ψ k ( r ) posto k '= k + G con G = m 1 b 1 + m 2 b 2 + m 3 b 3 vettore del reticolo reciproco (m i interi), si ha e i k ' R = e i( k + G ) R = e i k R e 2πi = e i k R Quindi gli stati k ' e k sono del tutto equivalenti: tutti i valori indipendenti di k si trovano nella prima zona di Brillouin che in 1D si estende da π a a + π a. Essa ha però infinite repliche, modulo un vettore del reticolo reciproco, come mostrato nella Figura. In 1D essa si ripete modulo 2π /a.

17 17 IL MODELLO DELL ELETTRONE QUASI-LIBERO L approssimazione opposta al modello tight-binding è quella dell elettrone quasi-libero. Qui la gap tra le bande non nasce dalla separazione in energia degli orbitali atomici, ma da effetti di diffrazione a bordo zona. Consideriamo un autofunzione di Bloch della forma più semplice: un onda piana ψ k ( r ) = e i k r Fisicamente, questo equivale ad assumere che l elettrone è totalmente libero: non avverte il potenziale periodico del reticolo, ad esempio perché gli ioni positivi sono schermati elettrostaticamente da tutti gli altri elettroni che, come lui, si muovono liberamente nel cristallo. Quindi la sua energia è E(k) = 2 k 2 (1) 2m dove m è la massa. La banda (1), proiettata in ognuna delle 3 dimensioni, ha la forma di una parabola (v. Fig. a p. 9). Ora cerchiamo la condizione per la quale l elettrone subisce una riflessione elastica di Bragg dai piani cristallini, come accade ai raggi X o ai neutroni. In base al criterio di Laue, se la riflessione lo porta dallo stato k in uno stato k ', deve aversi Quindi k = k'; k ' k = G (2) k 2 = k' 2 = k + G 2 = k k G + G G = k 2 + G (2 k + G ) Di qui si ricava 2k + G = 0 ovvero k G = 2 Quindi, se il k dell elettrone è al bordo della zona di Brilluoin, che si estende da G 2 a G 2 (in 1 dim. da π a a π ) viene riflesso. In base alla (2) finisce al bordo opposto della zona e così via: le a riflessioni lo trasformano in un onda stazionaria che non può propagarsi. La sua autofunzione sarà perciò la somma algebrica di 2 onde che si propagano con uguale ampiezza in direzioni opposte: [ ] ψ ± (x) = 1 2 ei(π / a )x i(π / a )x ± e Le corrispondenti densità elettroniche sono ρ + (x) = ψ + (x) 2 = 2cos 2 (π /a)x ρ (x) = ψ (x) 2 = 2sin 2 (π /a)x Come mostra la Fig. a p. 22, i massimi di ρ + cadono a x = na; quindi pongono gli elettroni sugli ioni positivi raggiungendo la condizione di minima energia potenziale; quelli di ρ cadono a x = (2n+1)a/2, cioè a metà tra uno ione e l altro. Questa è la situazione di massima energia potenziale. In questo modo si crea una gap a bordo zona tra la fine della banda della prima zona (banda di valenza) e l inizio della banda della seconda zona (banda di conduzione), come mostra la Figura. Quest ultima si può riflettere specularmente nella prima zona. Nella pagina seguente si dimostra che la gap è uguale all ampiezza del potenziale periodico.

18 18 Infatti, sia U(x) = U cos(2π /a)xil potenziale periodico. Poiché a bordo zona l onda è stazionaria, l energia è puramente potenziale e la differenza tra i suoi due valori è a E G = U U + = 1 a ψ * (x)u(x)ψ (x)dx 1 a ψ * + (x)u(x)ψ + (x)dx 0 Sostituendo ψ,ψ +,U e usando in successione le posizioni y = πx /a e z = 2y, otteniamo E G = 2 Ua a π = U π 2π 0 π 0 cos2y( sin 2 y cos 2 y)dy = 2U π U cos 2 zdz = 2π (z + senzcosz) 2π = U 0 π 0 a 0 cos2y( cos2y)dy =

19 19 LA MASSA EFFICACE DELL ELETTRONE Consideriamo il caso di un elettrone libero di massa m che si muove in una dimensione. La sua energia E(k) = 2 2m k 2 ha la forma di una parabola nello spazio k, la cui curvatura 2 E k 2 = 2 m è fissata dalla massa dell elettrone: m = 2 2 E k 2 Si può pensare di generalizzare questa relazione ad un elettrone interagente con il reticolo, e quindi a una banda E(k) di forma qualunque, in un punto qualunque dello spazio k. Si definisce in questo modo una massa efficace m * = 2 2 E k 2 che può avere, in base alla curvatura della banda in quel punto, valore positivi, negativi o anche nulli. Normalmente m* non viene misurata in kg, ma in termini della massa dell elettrone libero: m*/m. Questa rinormalizzazione della massa dell elettrone dovuta alle interazioni con il reticolo (ma anche con gli altri elettroni) fornisce una misura della forza dell interazione. Ad esempio, un elettrone poco mobile, o fortemente localizzato, potrà anche avere una m* pari a molte decine o addirittura centinaia di masse elettroniche. D altra parte, sono anche frequenti in molti solidi (come i semiconduttori) valori m*/m < 1. Si noti che, essendo la velocità di gruppo dell elettrone v g = dω dk = 1 de dk, dv g dk = m * Quindi, nel modello dell elettrone quasi-libero, a bordo zona la massa efficace è infinita, coerentemente con la presenza di onde stazionarie. Infine si può notare che la definizione di m* è coerente con il II principio della dinamica: a = v g t = 1 2 E k t = 1 2 E k k 2 t = k m * t = F m *

20 20 L APPROSSIMAZIONE A LEGAME FORTE E n fig. 1 Il modello opposto a quello dell elettrone quasi-libero è l approssimazione a legame forte (tight binding), che è basata sulla combinazione lineare di orbitali atomici. Il potenziale periodico del reticolo, che presenta una "buca" attrattiva per l'elettrone in prossimità di ogni ione di carica Z +, (fig. 1), anziché essere trattato come una perturbazione dell energia di una particella libera, diventa una piccola perturbazione sull Hamiltoniana dell'elettrone nel suo orbitale atomico, H at : H = H at + U( r ) dove H at soddisfa l'equazione di Schrödinger H at ψ n ( r ) = E n ψ n ( r ). Se non ci fosse sovrapposizione fra le funzioni d onda ψ n ( r ) di atomi vicini, cioè se questi fossero isolati fra loro, ogni livello atomico E n si ripresenterebbe N volte (se N è il numero di atomi). L interazione elettromagnetica tra gli orbitali degli atomi vicini invece trasforma questi N livelli degeneri in una banda elettronica che dipende da k (v. fig. 2), e le funzioni d onda atomiche ψ n ( r ) diventano ψ nk ( r ). Bisogna calcolare ψ nk ( r ) e la banda E nk o, come si scrive meglio, la funzione E(k). E nk Per il teorema di Bloch, fig. 2 ψ nk ( r + R ) = e i k R ψ nk ( r )

21 21 Questa equazione è certamente soddisfatta dalla combinazione lineare di orbitali atomici (LCAO) ψ nk ( r ) = R e i k R ψ n ( r R ) dove R è la posizione di un generico atomo nel reticolo. Infatti ψ nk ( r + R ) = R e i k R ψ n ( r R + R ) = e i k R R e i k ( R R ) ψ n [ r ( R R ) ] = e i k R ψ n ( r ) Sostituiamo questa funzione d'onda nell'equazione di Schrödinger Hψ( r ) = ( H at + U( r ))ψ( r ) = E( k )ψ( r ) e limitiamo l'interazione ai primi vicini,che per definizione si trovano tutti alla stessa distanza dall atomo, sostituendo R con R m (m = 1,... n dove n è il numero dei primi vicini: 6 nel cubico semplice, 8 nel bcc, 12 nell fcc). Svolgendo i calcoli si ricava E( k ) = E n α γ m e i k R m dove α è la correzione a E n causata dall'interazione coi primi vicini, e γ, il termine di hopping, è proporzionale alla probabilità che l'elettrone possa saltare da un atomo all'altro, propagandosi nel cristallo. Nell'esercizio che segue sono riportati semplici esempi di calcolo di questa formulea. Essi mostrano come le bande che nella fig. 2 si mostravano come livelli allargati, in un grafico E(k) diventano funzioni periodiche di k. Nella fig. 3 sono mostrate quelle vere del Silicio: W è la larghezza di banda. Ogni banda è fatta di N stati discreti, ma poiché N viene rappresentata con una linea continua. Gli stati possono essere vuoti o occupati da elettroni, e questo determina le proprietà elettriche del cristallo come vedremo fra poco. W fig. 3 Esempio. Calcolare E(k) per un reticolo cubico semplice di lato a, combinando solo orbitali di tipo s. Perciò qui il generico n è sostituito da s. Nella formula

22 E( k ) = E s α γ m e i k R m in base alle coordinate dei primi vicini di un atomo qualunque, il vettore R m può assumere i valori (±a,0,0),(0,±a,0),(0,0,±a). Quindi [ ] = [ ] E( k ) = E s α γ e ik x a + e ik x a + e ik ya + e ik ya + e ik z a + e ik z a = E s α 2γ cosk x a + cosk y a + cosk z a Perciò in questo caso semplice la banda ha un andamento sinusoidale. Si noti che ogni volta che k viene incrementato di 2π /a l'energia riprende lo stesso valore (periodicità nel reticolo reciproco). 22 BANDE PIENE E SEMIPIENE In base al principio di Pauli non possono esistere in uno stesso sistema due elettroni con tutti i numeri quantici uguali. Poiché una banda può ospitare N diversi valori di k, e gli stati di spin dell'elettrone sono 2, i posti liberi sono 2N. Se ogni atomo può mettere a disposizione 2 elettroni di valenza (cioè nell'orbitale più esterno) per ogni sito, si formerà nel solido una banda di valenza completamente piena. Il solido a T = 0 sarà un isolante, perché sotto l'azione del campo elettrico l'elettrone, per potersi muovere, deve poter cambiare il suo vettore d'onda k; ma siccome tutti gli stati con k diversi sono pieni, ciò non potrà avvenire. La banda vuota superiore infatti (banda di conduzione) si trova al di là di una gap di stati proibiti. Se però la gap è relativamente piccola, a temperatura finita le eccitazioni termiche possono promuovere nella banda superiore elettroni che a quel punto trovano un'abbondanza di stati vuoti e possono condurre. Un tale sistema è un semiconduttore. Se gli atomi del cristallo sono monovalenti, come nei metalli alcalini, solo N stati possono venire riempiti e si formerà una banda semipiena. A T= 0, per il principio di Pauli, tutti gli stati vengono riempiti a coppie fino a un'energia massima che si chiama energia di Fermi E F. Al di sopra di E F gli stati sono tutti vuoti e gli elettroni possono cambiare a piacimento il loro vettore d'onda sotto l'azione del campo elettrico e delle collisioni all'interno del reticolo: il solido è un metallo. Infine, se il minimo della banda di energia superiore è più basso del massimo della banda di energia inferiore, anche in una diversa direzione dello spazio reciproco, gli elettroni si possono distribuire fra le due bande, che diventano entrambe parzialmente piene, dando luogo a un semimetallo. Considerando solo la metà destra della zona di Brillouin (assumendo che la metà sinistra sia uguale per riflessione) potranno dunque aversi le tre situazioni mostrate nelle figure qui sotto.

23 23 Il modello di Drude I METALLI IN UN CAMPO ELETTRICO Prima che fosse nota la meccanica quantistica e l'esistenza delle bande nei solidi, il trasporto della corrente nei metalli veniva spiegato con un modello classico, il modello di Drude. Nel modello di Drude le cariche positive (ioni) sono fisse e quelle negative sono completamente libere come in un gas perfetto. La velocità termica media è < v >= 0 ma il campo elettrico E accelera gli elettroni a una velocità media di deriva < v deriva > finché dopo un tempo medio τ non subiscono casualmente un urto con gli ioni in cui perdono memoria dello stato precedente (diremmo che la funzione di autocorrelazione delle velocità si annulla dopo τ). La forza è ee = m d v dt = m v deriva /τ Se n è la densità di elettroni, la densità di corrente (carica totale che passa per una sezione di area unitaria del conduttore nell unità di tempo) è, se A è l area della sezione del conduttore e V = A v deriva τ il volume delle cariche che la possono attraversare nel tempo τ, Per la legge di Ohm, j = q Aτ = ena v deriva Aτ e quindi la conducibilità elettrica σ è τ = en v deriva = en eτ E m j = σ E

24 24 dove σ = ne 2 τ /m = neµ µ = eτ m è la mobilità degli elettroni. Conoscendo e, m e valutando n dalla densità del metallo d e il suo peso atomico dell elemento A e la sua valenza Z si ottiene la densità di elettroni Di qui, misurando la resistività del metallo n = d A Z ρ = m ne 2 τ e ricavando n dal numero di elettroni di valenza e dalla densità del metallo, si ricava il tempo di rilassamento o tempo medio fra urti τ che risulta dell ordine di o s. Drude immaginava c he gli elettroni urtassero gli ioni del reticolo. Questo assunto però è sbagliato, perché gli elettroni, essendo onde, si muovono imperturbati in un potenziale periodico mentre possono essere scatterati solo dalle impurezze presenti nel cristallo e dai fononi ((i quanti di vibrazione del reticolo, vedi Parte 4). Infatti, se fosse vero il modello di Drude, la resistività sarebbe indipendente dalla temperatura mentre si osserva che cresce come T 5 a bassa T e come T ad alta T (proprio a causa dell aumento con T della densità dei fononi). L accordo qualitativo del modello di Drude con alcuni dati sperimentali derivava in realtà da una fortunata eliminazione reciproca di errori. La sfera di Fermi Nel 1927 Sommerfeld modificò il modello di Drude per renderlo compatibile con la meccanica quantistica e introdusse il concetto di densità degli stati. Successivamente, il modello fu completato con l'introduzione della statistica di Fermi. Come abbiamo visto, l'imposizione delle condizioni cicliche al contorno alla catena di N atomi lunga L quantizza il vettore d'onda k. Entro l'intervallo 2π /a ci sono N stati; quindi c'è uno stato possibile per l'elettrone ogni intervallo 2π an = 2π L Perciò la densità degli stati k in una dimensione è ρ(k) = L 2π

25 25 In 2 dimensioni la distribuzione degli stati è presentata in Figura. Passando a 3 dimensioni, nella zona di B. di un cristallo cubico semplice c'è uno stato k in un volumetto 2π L Supponiamo che anche il solido sia un cubo di volume V = L 3. Allora la densità degli stati nello spazio k è ρ( k ) = V (2π) 3 Perciò, considerando anche lo spin, se N è il numero totale di elettroni disponibili, il massimo vettore d'onda k F che in ogni direzione dello spazio isotropo k corrisponde a uno stato pieno a T = 0, è fissato dalla condizione 3 V 2 (4 /3)πk F (2π) = V 3 3π k 3 2 F = N La sfera di raggio k F si chiama sfera di Fermi e la sua superficie, superficie di Fermi. Naturalmente, in reticoli con simmetrie più complesse la superficie di Fermi può assumere forme molto più complicate. Di qui si ottiene per il vettore d'onda di Fermi 3 k F = 3π 2 N V 1 3 e poiché l'energia di Fermi è si ricava E F = 2 2m k 2 F E F = 2 3π 2 N 2m V 2 3 Infine la velocità di Fermi, cioè la velocità di un elettrone che si muove sulla superficie di Fermi, è

26 26 v F = k F m = 3π 2 N m V Poiché gli elettroni eccitabili dal campo sono quelli che hanno velocità prossime a v F, il cammino libero medio degli elettroni fra un urto e l altro è λ v F τ Dall espressione di E F possiamo anche ricavare il numero N degli stati che si trovano al di sotto di una generica energia E N = V 2mE 3π 2 2 e quindi la densità degli stati per unità di energia ρ(e) = dn de = V 2π m E 2 Come è noto, a temperature T > 0 la probabilità di occupazione di uno stato fermionico è data dalla funzione di Fermi 1 f (T) = exp E µ +1 k B T dove è il potenziale chimico. A E = la probabilità di occupazione è 1/2 a ogni T. Allo zero assoluto coincide con l'energia di Fermi. Infatti a T =0 f (T) è una funzione gradino con la discontinuità a. I grafici mostrano l'andamento di f (T) (curva rossa) a diverse temperature per una energia di Fermi di 5 ev.

27 27 Per gli elettroni di un metallo in banda semipiena, la conducibilità si può ancora calcolare con il modello di Drude, solo che ora l'effetto del campo elettrico per un tempo t si può vedere nello spazio k: a spostarsi di una quantità δk = eet / è l'intera sfera di Fermi, come mostra la Figura qui sotto. In condizioni stazionarie, quando gli elettroni fluiscono con una velocità di deriva < v deriva >= eeτ /m, δk = eeτ /. Nel modello quantistico resta valida l espressione della conducibilità elettrica σ = neµ = ne 2τ m*

28 28 dove n è ancora il numero totale di elettroni, ma ora τ = λ v F, con λ = cammino libero medio degli elettroni e v F = velocità di Fermi. Infatti gli elettroni che subiscono la diffusione (scattering) ad opera delle impurezze del reticolo o delle vibrazioni reticolari (v. Parte 4) sono essenzialmente quelli vicini alla superficie di Fermi. I METALLI IN UN CAMPO MAGNETICO: L EFFETTO HALL L effetto Hall è un potente mezzo per la misura diretta della densità n di portatori in un metallo. B E E y Sezione orizzontale del campione Un campo E diretto lungo x genera nel metallo una corrente j x. Un campo magnetico B è diretto lungo z. La forza risultante sugli elettroni è F = d dt + 1 τ δ k = e E + 1 v B c dove δ k è lo spostamento della sfera di Fermi indotto dal campo. Nello stato stazionario, la velocità di deriva è Eseguendo il prodotto vettoriale si trova, lungo y, v = δ k m = e τ E + 1 v B m c v y = eτ m E y eτ mc v xb ( ) = eτ m E y +ω c τv x dove ω c = eb mc è la frequenza di ciclotrone. La componente v y acquistata dagli elettroni carica negativamente la faccia anteriore e positivamente quella posteriore, come mostrato nella figura. Il processo termina quando il campo E y generato da questo doppio strato annulla la forza di Lorentz e si ha v y = 0. Pertanto dall'ultima e penultima equazione si ricava e - o anche E y = ω c m e v x = ω c τe x

29 29 Si definisce angolo di Hall il rapporto E y = ebτ mc E x θ H = E y = ebτ E x mc = µ B e c dove µ e è la mobilità egli elettroni, e costante di Hall il rapporto R H = E y Bj x = E y Bneµ e E x = 1 nec Si vede dunque che dalla misura d ei campi e della densità di corrente si ottiene direttamente la densità dei portatori (diversamente da quanto consente una misura di resistività). Nel Sistema Internazionale la costante di Hall si scrive invece R H = 1 ne