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1 INDICE CAPITOLO. Cristalli.. Tipici piani reticolari di un cristallo cubico.2. Reticoli... Reticolo quadrato bidimensionale..2. Reticolo cubico semplice.. Celle unitarie... Primo esempio di arrangiamenti di atomi: BCC..2. Secondo esempio di arrangiamenti di atomi: FCC.4. Il Silicio. Cristalli CAPITOLO Lo studio per la conoscenza dei materiali basilari per l elettronica può essere effettuato iniziando da un punto di vista morfologico, in particolare dalla loro struttura cristallina, osservando combinazioni e simmetrie spaziali degli atomi costituenti. Un materiale cristallino è infatti tale per cui gli atomi che lo compongono sono disposti nello spazio in reticoli ordinati. Figura : Porzione di cristallo Un cristallo gode delle seguenti proprietà: è un solido in cui tutti gli atomi sono sistemati con periodicità [ x, y, z]; i suoi atomi sono in posizioni equivalenti; ciascun atomo vede le stesse condizioni al contorno; l intera strutture gode di simmetria traslazionale. Dagli assi principali in un cristallo si definiscono direzioni e piani specifici. I cosiddetti indici di Miller, numeri interi racchiusi da parentesi, individuano proprio direzioni di piani reticolari, come dagli esempi proposti in figura.

2 (a) (b) (c) Figura 2: Piani di indice basso Gli indici di Miller nascono dall esigenza di attribuire a ciascun piano del reticolo un indicatore che lo renda distinguibile. Per indicizzare un piano se ne individuano quindi le intercette sugli assi. Negli esempi della figura precedente nel caso (a) il piano intercetta solo il primo dei tre assi, nel caso (b) ne intercetta due, nel caso (c) tutti e tre. La denominazione dei piani si fa ricorrendo ad un numero intero pari al reciproco del valore delle intercette sugli assi. Nel nostro esempio ai casi di intercetta corrisponde quindi ancora, mentre nel caso di non intercetta, equivalente ad una intercetta all infinito corrisponde il reciproco 0 ( = 0 ). I tre piani di figura sono quindi individuati dalle terne (00) per il caso (a), (00) per il caso (b), () per il caso (c). Oltre la notazione che utilizza le parentesi tonde per individuare le terne di numeri, si fa ricorso a convenzioni per cui, se la terna è racchiusa da parentesi quadre ([ ]) si vuole intendere una specifica direzione, se da parentesi triangolari (< >) si vuole indicare una famiglia di direzioni, se infine da parentesi graffe ({ }) si vogliono intendere tutti i piani cristallografici equivalenti... Tipici piani reticolari di un cristallo cubico Prendendo in considerazione il caso semplice di un cristallo di forma cubica, si possono individuare alcuni piani reticolari notevoli. In particolare, indicando rispettivamente con i, j, k i versori nelle direzioni x, y, z: lungo (00) troviamo gli atomi collocati nelle posizioni: a i 2a i a i avendo indicato con a = 5 o A (distanza atomica tipica) lungo (0) troviamo gli atomi collocati nelle posizioni: a i + a j 2a i + 2a j a i + a j con a = 2 2Å = 7.07Å

3 lungo () gli atomi si trovano in: a i + a j + a k 2a i + 2a j + 2a k a i + a j + a k con a = Å = 8.66Å Dagli esempi riportati si può osservare che esistono delle direzioni con maggiori addensamenti di atomi rispetto ad altre (di conseguenza è facile presumere che le proprietà fisiche del materiale siano diverse nelle diverse direzioni). In particolare per il caso dell esempio si noti che le distanze tra gli atomi sono minori lungo la direzione (00)..2. Reticoli E detto reticolo l insieme dei punti che definisce la posizione degli atomi (o gruppi di atomi). Consideriamo nello spazio i vettori a, a 2, a che chiamiamo vettori fondamentali di traslazione (o vettori di base). Un insieme di punti nello spazio può allora essere descritto tramite il generico vettore r : r = na + n2a2 + na al variare di n, n 2, n nel campo dei numeri interi. Con il vettore r è quindi possibile individuare il generico punto di un reticolo tridimensionale ed in funzione sia del valore dei vettori componenti, sia degli angoli α, β, γ, (come da figura) si individuano le diverse classi dei reticoli cristallini. a γ a 2 α β a Figura Il parallelepipedo individuato dai vettori a, a 2, a viene detto cella primitiva.... Reticolo quadrato bidimensionale Un vettore del reticolo è in grado di portare da un punto ad un qualsiasi altro, ma si possono fare diverse scelte dei vettori base, come negli esempi di seguito riportati. r = na + n2a2 con a, a 2 vettori di base. Tutti i vettori possibili hanno la forma: r = n ai n aj + 2 n, n 2 interi [+, 0, -] i, j versori a distanza tra i punti

4 Figura 4 In questo secondo caso si fa una scelta diversa dei vettori di base: ' ' a = ai ; a2 = ai + aj In questo caso consideriamo il seguente vettore R del reticolo: R = ai + 2aj che può essere scritto come ' ' R = a + 2a 2 oppure R = a + 2a2 (a) Figura 5: (a) esempio di scelta alternativa dei vettori di base per il reticolo quadrato bidimensionale (b)..2. Reticolo cubico semplice Nel reticolo cubico semplice la cella unitaria è un cubo di lato a. Estensione al caso tridimensionale a = ai a2 = aj vettori di base a = ak ed il vettore del reticolo è espresso da: R = n a + n a + n 2 2 a.. Celle unitarie Un cristallo può essere diviso in blocchi elementari detti celle unitarie. Ciascuna cella ha: stessa forma stesso contenuto stesso volume La scelta della cella unitaria può non essere univoca. Ad esempio, per il reticolo cubico semplice alcune possibilità sono: cella unitaria con il punto reticolare in ciascun angolo (detta cella unitaria convenzionale) 4

5 cella unitaria con il punto reticolare al centro altra possibile scelta di cella unitaria... Primo esempio di arrangiamenti di atomi: BCC Figura 6: Tipo cubico a corpo centrato (B.C.C.: Body Centered Cubic) La cella convenzionale per un reticolo B.C.C. è un cubo di lato a come mostrato in Figura 7. Per essa si parla solo di 2 punti reticolari, dato che quelli angolari valgono /8. Figura 7: Cella unitaria convenzionale per il reticolo B.C.C. con 2 punti reticolari Questa cella però non è la più piccola che possa essere costruita. La più piccola contiene solamente punto ed è chiamata cella unitaria primitiva. Il suo volume è metà del volume della cella unitaria convenzionale. Un esempio di questo tipo di arrangiamento atomico è dato dalla struttura del Cloruro di Cesio: 5

6 (a): Struttura (b): Cella unitaria convenzionale Figura 8: Cloruro di Cesio..2. Secondo esempio di arrangiamenti di atomi: FCC Figura 9: Tipo cubico a facce centrate (F.C.C.: Face Centered Cubic) La cella convenzionale in questo caso è: Figura 0: Cella unitaria convenzionale di un reticolo F.C.C. 6

7 .4. Il Silicio Il silicio ha una struttura cristallina del tipo diamante (come quella riportata in figura) con passo reticolare 5.4 o A Figura : Struttura del Silicio Calcolo del numero di atomi per cella: Contributo dei vertici: 8 x /8 = Contributo delle superfici: 6 x /2 = Contributo atomi interni: 4 x = 4 Totale: 8 atomi equivalenti 8 Concentrazione: *0 = [at/cm ] Peso atomico: 2.8 [g/mole] 22 5 *0 [ at / cm ]* 28.[ g / mole] ] Densità: 6.02 *0 2 [ at / mole] = 2. [ g / cm ] 7