Reticoli e struttura dei cristalli

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Beata Volpe
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1 Reticoli e struttura dei cristalli

2 Struttura cristallina=reticolo+base Reticolo Base

3 Reticolo di Bravais: 1) Reticolo infinito di punti discreti le cui posizioni sono descritte da R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 dove a 1, a 2, a 3 sono 3 vettori qualsiasi non complanari e n 1, n 2, n 3 sono 3 numeri interi 2) Reticolo infinito di punti discreti con una disposizione e orientazione che appare esattamente la stessa, da qualsiasi punto del reticolo esso venga visto R Cubico semplice

n 3 sono 3 numeri interi 2) Reticolo infinito di punti discreti con una disposizione e orientazione

4 E importante anche l orientazione, non solo la disposizione: un reticolo a cella esagonale 2D non è un reticolo di Bravais (ma puo essere visto come un reticolo con base, vedi dopo) Il reticolo visto dal punto R è ruotato di 180 rispetto a quello visto da P e Q

puo essere visto come un reticolo con base, vedi dopo) Il

5 Per un dato reticolo di Bravais, la scelta dei vettori primitivi non e univoca: ci sono molte scelte possibili non equivalenti cella primitiva

6 Cella primitiva: - I vettori a i che compaiono nella definizione di reticolo di Bravais sono chiamati vettori primitivi e si dice che generano il reticolo - La cella unitaria primitiva e un volume di spazio (di volume minimo tale che) che, quando traslato tramite tutti i vettori del reticolo di Bravais, riempie esattamente senza vuoti o sovrapposizioni tutto lo spazio; non c e un modo univoco di scegliere la cella primitiva (in realta se non e ottenuta congiungendo siti reticolari primi vicini si parla di cella elementare) - Il volume della cella primitiva e indipendente dalla scelta: - Una cella primitiva contiene esattamente un solo punto del reticolo

vuoti o sovrapposizioni tutto lo spazio; non c e un modo univoco di scegliere la cella primitiva (in realta se non e ottenuta congiungendo siti reticolari primi

7 Cella unitaria primitiva : Date due celle unitarie primitive di forma arbitraria, e possibile scomporre la prima in pezzi che traslati attraverso opportuni vettori del reticolo formano la seconda

8 Body centered cubic BCC bcc lattice (reticolo cubico a corpo centrato) Può essere visto come 2 cubici semplici compenetrati. Il secondo è traslato rispetto al primo del vettore a/2(x+y+z)

9 Primitive vectors: a 1 =ax a 2 =ay a 3 = a/2(x+y+z)

11 Cella unitaria convenzionale - una cella unitaria (non primitiva) in generale e una regione che riempie tutto lo spazio senza sovrapposizioni quando traslata attraverso un sottoinsieme dei vettori di un reticolo di Bravais - generalmente la cella unitaria convenzionale e scelta in modo da avere la simmetria del reticolo ed è di volume maggiore rispetto alla cella primitiva - ad es. nel reticolo bcc la cella convenzionale cubica e 2 volte piu grande della cella primitiva; nel reticolo fcc la cella convenzionale e 4 volte piu grande della cella primitiva BCC

convenzionale e scelta in modo da avere la simmetria del reticolo ed è di volume maggiore rispetto alla cella primitiva - ad es.

12 Cella primitiva di Wigner-Seitz - Cella primitiva con la piena simmetria del reticolo di Bravais. La cella di Wigner-Seitz attorno a un punto del reticolo e la regione di spazio che e piu vicina a quel punto che a qualsiasi altro punto del reticolo - Costruzione: tracciare linea che unisce il punto in questione a tutti gli altri punti, bisezionare tali linee con un piano, e prendere il poliedro piu piccolo che contiene i punti delimitati da questi piani Caso 2D

qualsiasi altro punto del reticolo - Costruzione: tracciare linea che unisce il punto in questione a tutti gli altri

13 Celle di Wigner-Seitz: esempi

14 Numero di coordinazione: numero di punti in un reticolo di Bravais che sono i piu vicini a un dato punto

15 Caso 2D: reticoli di Bravais

16 Caso 3D: i 14 reticoli di Bravais

21 Cristalli: reticolo con base

22 Esempi di strutture cristalline Grafite Diamante Silicio GaAS - Immagine TEM Au - Immagine STM

23 CC Elementi che cristallizzano in BCC e FCC FCC

25 Struttura esagonale semplice a 1 = ax a 2 = a 2 x + a 3 2 y Simple hexagonal lattice a 3 = cz

26 hcp: ABABABABAB

27 lose packing Fig hcp: ABABABABAB = 8 a = a 3 Struttura hcp ideale c/a=1.633

28 Close packing structures hcp: ABABABABAB fcc: ABCABCABC.

29 Altre possibilita di close-packing fcc: ABCABCABC.

31 Struttura del cloruro di sodio NaCl: 2 fcc compenetrati spostati di (a/2)(x + y + z)

32 Struttura del cloruro di cesio CsCl: 2 simple cubic compenetrati e spostati di (a/2)(x + y + z)

33 Struttura della zincoblenda Struttura del diamante con 2 atomi diversi

34 clivaggio superifici cristalline: ricostruzione

35 Esempio di superfici non ricostruite Au NaCl

36 Esempio di superficie ricostruita Si(111) 7x7

37 Reticolo reciproco Insieme dei vettori K tali che ik R e =1 per ogni R appartenente al reticolo di Bravais

39 ! bcc con cella cubica di lato 4π/a bcc con cella cubica di lato a! fcc con cella cubica di lato 4π/a esagonale semplice con parametri reticolari a e c! esagonale semplice con parametri 2π/c e 4π/(3 1/2 a), ruotato di 30 attorno all asse verticale rispetto al reticolo diretto

41 Proprieta dei vettori del reticolo reciproco - Per ogni famiglia di piani cristallini separati da una distanza d, esistono vettori del reticolo reciproco perpendicolari ai piani, il piu piccolo dei quali ha modulo g = 2π / d. Ogni vettore K del reticolo reciproco e perpendicolare a una famiglia di piani, la cui distanza e d = 2π / g, dove g e il piu piccolo vettore del reticolo reciproco parallelo a K. -La densita superficiale di punti del reticolo su un piano e d/v, dove v e il volume della cella unitaria (le famiglie di piani con d maggiore sono quelle con maggiore densita per piano) - Il volume della cella primitiva del reticolo reciproco e Ω = (2π) 3 / v - Il reticolo reciproco di un reticolo reciproco e il reticolo diretto Indici di Miller: Famiglia di piani a g = hb 1 + kb 2 + lb 3 ha indici (h, k, l), indirettamente proporzionali alle intercette dei piani con gli assi nello spazio diretto

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