La Funzione di Patterson A.A Marco Nardini Dipartimento di Scienze Biomolecolari e Biotecnologie Università di Milano

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1 A.A Marco Nardini Dipartimento di Scienze Biomolecolari e Biotecnologie Università di Milano

2 La Funzione di Patterson Sviluppo in serie di Fourier svolto con i quadrati dei moduli dei fattori di struttura F hkl : 1 V + ρ P (u, v, w) = ΣΣΣ F hkl 2 cos 2π(hu+kv+lw) h=- k l (1) V = volume della cella elementare - la funzione è sempre calcolabile perché contiene il modulo al quadrato dei fattori di struttura F hkl (misurabili sperimentalmente in quanto proporzionali a I hkl ) e nessun riferimento alla fase α hkl. - (u, v, w) hanno la stessa geometria della cella elementare

3 - la funzione di Patterson può essere vista come una mappa vettoriale in cui compaiono tutti i vettori inter-atomici spiccati a partire dall origine. Spazio Reale

4 Spazio Patterson La Funzione di Patterson

5 tra gli N 2 picchi nello spazio Patterson, N sono posizionati nell origine, mentre N(N-1) sono fuori dall origine. Quindi, se ho due atomi generici A e B: Spazio Patterson u = x a x b = x b x a v = y a y b = y b y a w = z a z b = z b z a

6 Si può dimostrare che il valore della funzione di Patterson (1) in un dato punto (u, v, w) è dato dal prodotto di autoconvoluzione della densità elettronica: ρ p (u, v, w) = ρ(x, y, z) ρ(x+u, y+v, z+w) dv Cioè, se scelgo un vettore di componenti generiche (u, v, w) e faccio una scansione nella cella elementare diretta, ci sono 3 casi: - il vettore non individua ai suoi capi atomi - il vettore individua ai suoi capi un solo atomo - il vettore individua ai suoi capi due atomi

7 Se calcolo il prodotto della densità elettronica alle due estremità del vettore il risultato è diverso da zero solo nell ultimo caso. Durante la scansione faccio scorrere il vettore (u, v, w) lungo tutta la cella elementare nello spazio reale. Quando trovo un prodotto diverso da zero lo registro come picco di Patterson nello spazio di Patterson, spiccando il vettore dall origine nello spazio di Patterson.

8 Questo equivale, se ho N atomi, a mettere a turno ognuno degli N atomi nell origine dello spazio di Patterson e registrare le posizioni degli altri atomi e poi sovrapporle. Spazio Patterson I picchi di Patterson, dipendendo dalla densità elettronica ai capi del vettore (u, v, w), sono proporzionali al prodotto dei numeri atomici degli atomi presi in considerazione. Se Z A e Z B sono i numeri atomici di due atomi A e B correlati da un particolare vettore (u, v, w), il picco di Patterson corrispondente sarà proporzionale a Z A x Z B

9 La cella elementare nello spazio di Patterson è identica a quella nello spazio reale, ma la simmetria nello spazio patterson è diversa: Spazio Patterson - la funzione di Patterson è sempre centrosimmetrica, anche se nel reticolo reale non c è un centro di simmetria (proibito per i cristalli macromolecolari) - le componenti di simmetria traslazionale dello spazio reale vanno perse nello spazio di Patterson

10 Esempio: funzione di Patterson monodimensionale La stessa mappa di Patterson è compatibile con due celle identiche che però hanno simmetrie traslazionali diverse. Il picco nell origine è dato dalla somma dei prodotti delle densità elettroniche di ciascun atomo per se stesso (distanza interatomica nulla)

11 Poichè i picchi rappresentano i prodotti delle densità elettroniche ai vertici del vettore (u, v, w), essi non saranno puntiformi, ma avranno una certa ampiezza (allargamento dei picchi) data dal fatto che gli atomi hanno una distribuzione spaziale di carica. Mentre per piccole molecole (basso numero di atomi) dallo studio della distribuzione dei picchi di Patterson è possibile risalire alla posizione degli atomi che l hanno prodotta (deconvoluzione), per una macromolecola la mappa di Patterson diventa molto rumorosa e complessa e non può essere deconvoluta.

12 Patterson & metodo degli Atomi Pesanti E possibile utilizzare la deconvoluzione della funzione di Patterson per determinare la posizione di alcuni atomi presenti nei cristalli macromolecolari: gli atomi pesanti. Questo perchè gli atomi pesanti hanno numero atomico significativamente più alto degli atomi presenti normalmente nelle proteine, e quindi i picchi di Patterson corrispondenti alle loro distanze interatomiche saranno particolarmente intensi. Inoltre il numero di atomi pesanti legati alla proteina di cui determinare la posizione è piccolo.

13 Patterson & metodo degli Atomi Pesanti Per determinare la posizione degli atomi pesanti all interno della cella elementare cristallina si calcola una funzione di Patterson delle differenze o difference Patterson function Difference Patterson function 1 V + Δρ P (u, v, w) = ΣΣΣ ΔF hkl 2 exp [-2πi(hu+kv+lw)] where h=- k l ΔF hkl = ( F PH - F P ) hkl

14 Patterson & metodo del Molecular Replacement Posizionamento modello: Data una struttura molecolare in un cristallo, si distinguono due tipi di vettori di Patterson: - self vector set = insiemi di vettori intramolecolari - cross vector set = insiemi di vettori intermolecolari

15 I vettori del self vector set sono rappresentativi delle distanze tra atomi appartenenti alla stessa molecola e, quindi, sono tutti contenuti in una sfera centrata nell origine dello spazio di Patterson di raggio pari alla massima distanza intramolecolare. I self vectors sono importanti per determinare l orientazione della molecola rispetto agli assi della cella cristallina.

16 I cross vectors, invece, sono importanti per determinare la posizione della molecola all interno della cella asse binario I cross vectors occupano uno spazio esterno a quello dei self vectors e dipendono dalla simmetria presente nella cella cristallina (dipendono cioè dalla posizione relativa delle molecole all interno della cella cristallina)

17 Corretto orientamento e posizionamento del modello all interno del cristallo virtuale : 1) si calcola una funzione Patterson per il modello e si ruota tale Patterson su quella calcolata sulla base dei fattori di struttura misurati sperimentalmente sui cristalli della proteina a struttura incognita, fintanto che non si trova una matrice di rotazione [C] tale da massimizzare la sovrapposizione dei self vectors delle due Patterson

18 Corretto orientamento e posizionamento del modello all interno del cristallo virtuale : 2) all interno della cella elementare si trasla poi il modello (nella miglior orientazione ottenuta mediante l identificazione della matrice di rotazione [C]) e si calcolano, per ogni posizione, i cross vectors che vengono confrontati con quelli calcolati sulla base dei fattori di struttura misurati sperimentalmente sui cristalli della proteina a struttura incognita. Sia t è il vettore traslazione che individua la miglior posizione del modello (miglior sovrapposizione dei cross vectors delle due Patterson) nella cella cristallina.

19 Soluzione del Molecular Replacement: La soluzione del Molecular Replacement, cioè l opportuno posizionamento del modello nel cristallo virtuale è dato da x = [C]x + t x = (x, y, z) = coordinate iniziali degli atomi del modello